专题02一元二次方程（16大高频考点）（期末真题汇编，北师大版）九年级数学上学期

专题02一元二次方程（16大高频考点） 16大高频考点概览 考点1一元二次方程的有关概念 考点2一元二次方程的根 考点3一元二次方程的解法;：直接开平方法 考点4一元二次方程的解法;：配方法 考点5一元二次方程的解法;：公式法 考点6一元二次方程的解法;：因式分解法 考点7解一元二次方程 考点8利用根的判别式判断根的情况 考点9已知根的情况求参数 考点10根与系数的关系 考点11新定义问题 考点12一元二次方程的应用：传播握手问题 考点13一元二次方程的应用：增长率问题 考点14一元二次方程的应用：销售问题 考点15一元二次方程的应用：面积问题 考点16一元二次方程的应用：动点问题 考点1一元二次方程的有关概念 1．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）下列方程中关于x的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一分析各选项是否符合条件即可． 【详解】解：∵一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程， 选项A：，当时是一元二次方程，但题中未明确，故不一定成立； 选项B：，含有两个未知数x和y，不是一元二次方程； 选项C：，化简得：，是一元一次方程； 选项D：，只含未知数x，且最高次数为2，符合定义； 故选D． 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式 （），再确定一次项系数． 本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握将方程化为一般形式后确定各项系数的方法是解题的关键． 【详解】解： ， ∴一次项系数为 ， 故选：A． 3．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义：“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键． 由一元二次方程的定义得到，，由此即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 考点2一元二次方程的根 4．（24-25九年级上·广东清远·期末）一元二次方程的一个根是，则m的值为（   ） A．2 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根的概念．根据一元二次方程根的概念，将代入方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， 解得， 故选：B． 5．（24-25九年级上·广东·期末）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】根据题意，是方程的解，得，化简代入计算即可． 本题考查了方程的根，求代数式的值，熟练掌握方程的根是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．（24-25九年级上·四川泸州·期末）若m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 根据一元二次方程的解的意义可得，则，将原式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即． ∴ ． 故答案为：． 考点3一元二次方程的解法;：直接开平方法 7．（24-25九年级上·山东临沂·期末）方程的根为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握开平方法是解本题的关键．两边直接开平方即可得解． 【详解】解：， 两边直接开平方得：，， 故选：C． 8．（24-25九年级下·山东烟台·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以为 （写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了方程有根的基本条件，熟练掌握条件是解题的关键．根据题意，得，自主选择一个该范围内的数即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴， 故答案为：2（答案不唯一）． 9．（24-25九年级上·山东德州·期末）将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键． 运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：将一个关于x的一元二次方程配方为， ∴， ∴， 故答案为：3． 考点4一元二次方程的解法;：配方法 10．（24-25九年级上·河南周口·期末）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法，解答时熟练掌握配方法的步骤是关键．先将常数项移到等号的右边，在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成一个完全平方式即可． 【详解】解：移项，得 配方，得 即 故答案为：C． 11．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）将方程化成（m，n为常数）的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 通过配方法将原方程变形为，于是得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）配方法是一种重要的数学方法．解一元二次方程时，可以运用配方法先将方程变形为，从而求得方程的根；对于多项式，也可以运用配方法将其变形为，从而发现二次函数，当自变量时函数取最小值．根据以上信息解决下列问题： 已知实数满足：，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了配方法，二次函数的性质，令，利用配方法解关于的一元二次方程，再利用配方法求出求出最值，即可解答． 【详解】解：令， 则， ， ∴， 解得：； ∵， ∴当时，有最小值， ∴，即， ∴． 故答案为：． 考点5一元二次方程的解法;：公式法 13．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，根据题意列出方程求解即可 【详解】解：依题意得：， 整理得：， 解得：（舍去） 故选：B 14．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式，可找出a，b，c的值，从而可求解． 【详解】解：∵小慧利用求根公式求出方程的解为， ∴， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 15．（24-25九年级上·四川巴中·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则；②若方程的两根符号相同，那么方程的两根符号也相同；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若的一个实数根为4，则方程定有一个实数根为．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由，可知是方程的解，利用判别式可判断①；由方程的两根符号相同，由根与系数的关系可得，，对于方程，则有和，可判断②；由是方程的一个根，则有，可判断③；由题意得，利用公式法解方程，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：若，则是方程的解，即方程有实数根， ，故①正确； 若方程的两根符号相同，设两根为、， ，， 符号相同， 对于方程，则， 方程有实数根，设两根为、， ， 、符号相同，故②正确； 若是方程的一个根，则有， ， 或， 当时，不一定有成立，故③错误； 若的一个实数根为4，则有， 对于方程，则， ， ， ，， 方程定有一个实数根为，故④正确； 综上所述，其中正确的是①②④． 故答案为：①②④． 考点6一元二次方程的解法;：因式分解法 16．（24-25九年级上·四川泸州·期末）方程的根是（ ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，利用因式分解法求解即可，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 故选：C． 17．（24-25九年级上·全国·期末）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程的根，求这个三角形的周长等于（   ） A．11 B．14 C．10 D．11或14 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，整理方程得，根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为，然后计算三角形的周长． 【详解】解：， 则， 则或， 所以，， 因为，所以舍去， 所以三角形第三边的长为， 所以三角形的周长， 故选：B． 考点7解一元二次方程 18．（12-13九年级上·河北·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用直接开平方法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 19．（25-26九年级上·全国·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． （1）先移项，再利用因式分解法求解即可； （2）先去括号、移项整理，再利用公式法求解即可得解． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ， ∴， ， ，． 20．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 解得． 21．（24-25九年级上·河北承德·月考）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤___________（填序号），错误的原因是___________； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加 (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）根据解一元二次方程的基本步骤，进行判定即可； （2）用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； （2）解：解：， 移项得，， 两边同除以2得，， 配方得，， 即，， ∴或， ∴，． 考点8利用根的判别式判断根的情况 22．（24-25九年级上·广东河源·期末）一元二次方程 的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根，熟练掌握此知识点是解决问题的关键． 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，求出一元二次方程的判别式，确定有两个相等的实数根即可得到答案． 【详解】解：， ，， ， 一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：B． 23．（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了点的坐标特征、一元二次方程根的判别式，由点在第四象限，得出，，从而可得，再由一元二次方程根的判别式计算即可得解． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴，, ∴， ∴关于的方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 24．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴， 解得． 考点9已知根的情况求参数 25．（24-25九年级上·河南周口·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据题意得到，进而求得，根据各选项中的数判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， 各选项中，只有D选项中的7满足， 故选：D． 26．（24-25九年级上·湖北·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则k的整数值可以为 （填一个）． 【答案】答案不唯一（且的整数），如4 【分析】此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟知有实根即为根的判别式大于等于0． 根据一元二次方程根的定义及判别式即可求解 【详解】解：依题意可得 ，解得且， 故答案为：4（答案不唯一） 27．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求实数k的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 根据一元二次方程与根的关系列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，解得：． 考点10根与系数的关系 28．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据原方程的两个根互为相反数，利用根与系数的关系，可得出，解之即可得出的值． 本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个根互为相反数， ， 解得：， 的值为． 故答案为：． 29．（24-25九年级上·全国·期末）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求m的取值范围． (2)当时，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，根与系数的关系，因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是熟练一元二次方程的基础知识． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 解得； （2）由根与系数的关系可得：， 由可得 即，化简可得： 解得， 又∵ ∴ 30．（24-25九年级上·河北·期末）已知关于x的一元二次方程的两根分别为 (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意原方程有两个实数根，则，据此求解即可； （2）由根与系数的关系可得，则可推出，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意， ∴． 考点11新定义问题 31．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（    ） A．3或 B．或 C．或 D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解的定义，正确建立方程是解题关键．分两种情况：①当，即时，②当，即时，根据定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：①当，即时，则， 解得或（不符合题设，舍去）； ②当，即时，， 解得或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为3或， 故选：D． 32．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有 ．（填序号即可） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及根的判别式．根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程与它的倒方程有公共解，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断． 【详解】解：①的倒方程为， 把代入方程得， 解得，所以原说法错误； ②一元二次方程与它的倒方程有公共解，公共解是， 原说法正确； ③若一元二次方程无解，则其判别式小于0，而倒方程的判别式和原方程的判别式相同，则其值也小于0，故它的倒方程也无解，原说法正确，； ④当时，一元二次方程的根的判别式， 也为一元二次方程，此方程的根的判别式， 所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意； 故答案为：②③④． 33．（24-25九年级上·全国·期末）阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 【答案】(1)①②或3 (2)该方程的“关爱码”为或 (3)2 【分析】本题考查了“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程” ．正确理解“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． （1）①根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程并求解即可；②根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程求出即可； （2）根据“全整根方程”以及“关爱码”的定义计算即可； （3）根据“全整根伴侣方程”列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：①当时，方程为， 则， ∴该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：； ② 由题意得， 解得， 则当或3时，若该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：或3； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 其中完全平方数有、和， 当时，， 当时， （不合题意）， 当时，， 当时，原方程为， 则， 当时，原方程为， 则， 综上所述：该方程的“关爱码”为或； （3）解：方程的“关爱码” 方程的“关爱码， 由题意得：， ∴， ∴或， ∵m，n均为正整数， ∴不合题意， ∴． 考点12一元二次方程的应用：传播握手问题 34．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键，根据题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， ∴第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人， ∴， 故选：C． 35．（24-25九年级上·广东汕头·期末）在一次聚餐上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，则参加聚餐的人数为（   ） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程． 设参加聚餐的人数为x人，每人碰杯次数为次，根据一共碰杯66次，列出一元二次方程，解之即可得出答案． 【详解】解：设参加聚餐的人数为x人， 依题可得：， 化简得：， 解得：，（舍去）， 故选：D． 36．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴， 解得：（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人； 37．（24-25九年级上·四川泸州·期末）参加一次商品交易会活动的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同，请问共有多少公司参加此次商品交易会？ 【答案】家 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设共有家公司参加此次商品交易会，根据“每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同”建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设共有家公司参加此次商品交易会， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：共有9家公司参加此次商品交易会． 考点13一元二次方程的应用：增长率问题 38．（23-24九年级上·全国·期末）开学季，数学兴趣小组调查了学校门口的一家文具店，发现这家文具店第一天利润是300元，第三天利润是507元．设该文具店的利润日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程应用增长率问题，根据增长率意义，经过两天后利润可表示为，构建方程． 【详解】解：由题意，两天后利润为，则 ； 故选：B． 39．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）某一工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，则平均每月产值下降的百分率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用--增长率问题，根据题意用含x的式子表示出5月份的产值是解题关键．设平均每月产值下降的百分率为x，则到五月份的产值为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设平均每月产值下降的百分率为x，则到五月份的产值为， 依题意：， 解得：，（舍去）． 故答案为：． 40．（24-25九年级上·广东清远·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某平台上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． (1)若日获利1000元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ (2)经统计，促销活动后第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件．如果第二日、第三日销售的增长率相同，求该款小商品的日平均增长率． 【答案】(1)每件售价应定为50元； (2)该款小商品的日平均增长率为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每件降价x元，则每件售价应为元，日销售量为件，每件盈利为元，根据日获利1000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该款小商品的日平均增长率为m，根据第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设每件降价x元，则每件售价应为元，日销售量为件，每件盈利为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，日销售量为件； 当时，日销售量为件， 因为商家想尽快销售完该款商品，所以应选择日销售量较大的方案，故取， ∴， 答：每件售价应定为50元； （2）解：设该款小商品的日平均增长率为m， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款小商品的日平均增长率为． 考点14一元二次方程的应用：销售问题 41．（24-25九年级上·河南周口·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的商品进行直播销售，如果按每件50元销售，每天可卖出500件．通过市场调查发现，单件商品的售价每增加1元，日销售量减少10件，若将每件商品提价后定为x元，日销售量设为y件． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)为了使每天的销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)售价应定为60元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数关系式（方程）是解题的关键． （1）原销售量500减去减少的件数即可得到提价后的日销售量，于是可得与的函数表达式，再根据题意列出不等式，然后解不等式可得x取值范围； （2）根据“每件利润日销售量日销售利润”列出方程，再解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 整理得：， ∵日销售量， ∴，解得； 又∵售价要大于成本价40元，且原售价为每件50元，提价后为x元， ∴， ∴x的取值范围为， 与的函数表达式为：； （2）解：根据题意，得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴． 答：售价应定为60元． 42．（24-25九年级上·四川泸州·期末） 元旦节期间，水果店某种水果进价是每千克22元，该水果的销售情况是：销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．如果水果店每天要想获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元合适？ 【答案】这种水果的销售价为每千克29元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种水果的销售价为每千克x元，则每千克的销售利润为元，每天可售出千克，利用总利润=每千克的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽可能让段客得到实惠，即可确定结论． 【详解】解：设这种水果的销售价为每千克x元，则每千克的销售利润为元，每天可售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又要尽可能让顾客得到实惠， ， 答：这种水果的销售价为每千克29元． 43．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件． (1)若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元，利润最大是多少？ 【答案】(1)30 (2)每件衬衫降价20元，利润最大是2500元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意正确的列方程和二次函数是解题的关键． （1）设每件衬衫应降价x元，根据题意列方程求解，为了尽快减少库存，降价要取较大值； （2）设每件衬衫应降价x元时，商场利润为y，根据题意可得，再化为顶点式，根据二次函数的图象和性质求最值即可． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价x元， 根据题意，得， 解得， 尽快减少库存， ， 答：每件衬衫应降价30元； （2）解：设每件衬衫应降价x元时，商场利润为y， 由题意得， ， 当时，y有最大值，y最大， 答：每件衬衫降价20元，利润最大是2500元． 考点15一元二次方程的应用：面积问题 44．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，不等式的应用．根据题意得到矩形周长为12，面积为，设矩形的一边长为，则另一边为，则，即，根据方程有实数根列出不等式，求解即可． 【详解】解：根据题意知，这个矩形周长为，面积为， 设矩形的一边长为，则另一边为， 则， 整理得：， 由题意得原方程有实数根， ， ． 又， ， 即的取值范围为：． 45．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）在一幅长为，宽为的矩形挂画四周镶上相同宽度的金色纸边，设金色纸边的宽为，如果要使镶边后整个挂画的面积是，那么满足的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽为，根据整个挂图的面积是列出方程即可． 【详解】解：设金色纸边的宽为，则挂图的长为，宽为， 根据题意得：， 故答案为：． 46．（24-25九年级上·北京丰台·期末）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 【答案】 【分析】本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题的运用及一元二次方程解法的运用．解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方． 设彩色纸带的宽为，根据题目条件由面积公式列出方程，求出其解就可以． 【详解】解：设彩色纸带的宽为， 根据题意，得， 解方程，得，（不合题意，舍去)． 答：彩色纸带的宽为． 47．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽．经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在图纸上分别找到其他边的中点，则的长应为 ； 步骤二：顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分为轴对称图形，请你帮助他们完成任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 【答案】（1）5厘米（2）宽为2厘米时符合设计要求（3）见解析 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，解一元二次方程，矩形的性质，熟练掌握勾股定理并正确计算是解决本题的关键． （1）根据，，结合中点可得，，根据勾股定理求解即可； （2）先求解矩形面积，再表示出花坛总面积，根据“花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半”建立等量关系求解即可； （3）先由勾股定理求解出的长度，再根据面积的关系判断即可． 【详解】解：（1）∵，， 又∵点E与点F分别为与的中点， ∴，， 在中，厘米； 故答案为：5厘米； （2）设小路的宽为时符合设计要求， 矩形面积为平方厘米，平方厘米， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（舍去）， 答：当小路的宽为2厘米时符合设计要求； （3）连接，交于点O，则阴影两部分三角形区域作为花坛即可． 理由如下：根据矩形的性质，勾股定理，得厘米， 故厘米， 故， 故，且阴影部分是轴对称图形，故设计符合题意． 考点16一元二次方程的应用：动点问题 48．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，中，，，，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，两点同时出发，一点先到达终点时两点同时停止，则（   ）秒后，的面积等于． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题的关键． 设移动时间为秒，因为秒，所以，列方程得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设移动时间为秒， 秒， ， 根据题意得， 解得或（不符合题意，舍去）， 秒后，的面积等于， 故选：A． 49．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．设动点运动时间为，当时，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．当运动时间为时，，利用勾股定理，结合，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：当运动时间为时，，， 根据题意得：， 即， 整理得：， 解得： 不符合题意，舍去，， 的值为． 故答案为：． 50．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，点P从点A沿向C以的速度移动，到C即停，点Q从点C沿向B以的速度移动，到B就停 (1)若P、Q同时出发，经过几秒钟； (2)若点Q从C点出发后点P从点A出发，再经过几秒与相似． 【答案】(1)秒 (2)秒或秒 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，一元二次方程的应用，掌握相似三角形即可． （1）首先设经过时间为秒钟，根据题意列出关于t的一元二次方程，解出t值即可； （2）先设点从点出发后，再经过秒与相似，有两种情形，一种是当时分析求值，一种是当时分析解决即可． 【详解】（1）解：设经过秒钟， 由题意得，， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 则同时出发，经过秒钟； （2）解：设点从点出发后，再经过秒与相似，有两种情形， 由题意得，，则， ①当时，， 即， 解得，， ②当时，， 即， 解得，， 综上所述，点从点出发后点从点出发，再经过秒或秒与相似． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02一元二次方程（16大高频考点） 16大高频考点概览 考点1一元二次方程的有关概念 考点2一元二次方程的根 考点3一元二次方程的解法;：直接开平方法 考点4一元二次方程的解法;：配方法 考点5一元二次方程的解法;：公式法 考点6一元二次方程的解法;：因式分解法 考点7解一元二次方程 考点8利用根的判别式判断根的情况 考点9已知根的情况求参数 考点10根与系数的关系 考点11新定义问题 考点12一元二次方程的应用：传播握手问题 考点13一元二次方程的应用：增长率问题 考点14一元二次方程的应用：销售问题 考点15一元二次方程的应用：面积问题 考点16一元二次方程的应用：动点问题 考点1一元二次方程的有关概念 1．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）下列方程中关于x的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（   ） A． B． C．2 D．1 3．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 考点2一元二次方程的根 4．（24-25九年级上·广东清远·期末）一元二次方程的一个根是，则m的值为（   ） A．2 B．4 C． D．5 5．（24-25九年级上·广东·期末）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 6．（24-25九年级上·四川泸州·期末）若m是方程的一个根，则的值为 ． 考点3一元二次方程的解法;：直接开平方法 7．（24-25九年级上·山东临沂·期末）方程的根为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级下·山东烟台·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以为 （写出一个即可）． 9．（24-25九年级上·山东德州·期末）将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是 ． 考点4一元二次方程的解法;：配方法 10．（24-25九年级上·河南周口·期末）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）将方程化成（m，n为常数）的形式，则 ． 12．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）配方法是一种重要的数学方法．解一元二次方程时，可以运用配方法先将方程变形为，从而求得方程的根；对于多项式，也可以运用配方法将其变形为，从而发现二次函数，当自变量时函数取最小值．根据以上信息解决下列问题： 已知实数满足：，则的值为 ． 考点5一元二次方程的解法;：公式法 13．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（   ） A． B． C． D．或 14．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·四川巴中·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则；②若方程的两根符号相同，那么方程的两根符号也相同；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若的一个实数根为4，则方程定有一个实数根为．其中正确的是 ．（填序号） 考点6一元二次方程的解法;：因式分解法 16．（24-25九年级上·四川泸州·期末）方程的根是（ ） A． B． C．， D．， 17．（24-25九年级上·全国·期末）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程的根，求这个三角形的周长等于（   ） A．11 B．14 C．10 D．11或14 考点7解一元二次方程 18．（12-13九年级上·河北·期末）解下列方程： (1) (2) 19．（25-26九年级上·全国·期末）解方程： (1) (2) 20．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）解方程． (1)； (2)． 21．（24-25九年级上·河北承德·月考）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤___________（填序号），错误的原因是___________； (2)请你写出正确的解答过程． 考点8利用根的判别式判断根的情况 22．（24-25九年级上·广东河源·期末）一元二次方程 的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 23．（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是 ． 24．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 考点9已知根的情况求参数 25．（24-25九年级上·河南周口·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 26．（24-25九年级上·湖北·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则k的整数值可以为 （填一个）． 27． （24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求实数k的取值范围． 考点10根与系数的关系 28．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为 ． 29．（24-25九年级上·全国·期末）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求m的取值范围． (2)当时，求m的值． 30．（24-25九年级上·河北·期末）已知关于x的一元二次方程的两根分别为 (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 考点11新定义问题 31．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（    ） A．3或 B．或 C．或 D．3或 32．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有 ．（填序号即可） 33．（24-25九年级上·全国·期末）阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 考点12一元二次方程的应用：传播握手问题 34．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（   ） A． B． C． D． 35．（24-25九年级上·广东汕头·期末）在一次聚餐上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，则参加聚餐的人数为（   ） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 36．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 37．（24-25九年级上·四川泸州·期末）参加一次商品交易会活动的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同，请问共有多少公司参加此次商品交易会？ 考点13一元二次方程的应用：增长率问题 38．（23-24九年级上·全国·期末）开学季，数学兴趣小组调查了学校门口的一家文具店，发现这家文具店第一天利润是300元，第三天利润是507元．设该文具店的利润日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 39．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）某一工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，则平均每月产值下降的百分率为 ． 40．（24-25九年级上·广东清远·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某平台上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． (1)若日获利1000元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ (2)经统计，促销活动后第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件．如果第二日、第三日销售的增长率相同，求该款小商品的日平均增长率． 考点14一元二次方程的应用：销售问题 41．（24-25九年级上·河南周口·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的商品进行直播销售，如果按每件50元销售，每天可卖出500件．通过市场调查发现，单件商品的售价每增加1元，日销售量减少10件，若将每件商品提价后定为x元，日销售量设为y件． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)为了使每天的销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则售价应定为多少元？ 42．（24-25九年级上·四川泸州·期末） 元旦节期间，水果店某种水果进价是每千克22元，该水果的销售情况是：销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．如果水果店每天要想获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元合适？ 43．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件． (1)若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元，利润最大是多少？ 考点15一元二次方程的应用：面积问题 44．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，则的取值范围是 ． 45．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）在一幅长为，宽为的矩形挂画四周镶上相同宽度的金色纸边，设金色纸边的宽为，如果要使镶边后整个挂画的面积是，那么满足的方程是 ． 46．（24-25九年级上·北京丰台·期末）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 47．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽．经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在图纸上分别找到其他边的中点，则的长应为 ； 步骤二：顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分为轴对称图形，请你帮助他们完成任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 考点16一元二次方程的应用：动点问题 48．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，中，，，，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，两点同时出发，一点先到达终点时两点同时停止，则（   ）秒后，的面积等于． A． B． C．或 D．或 49．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．设动点运动时间为，当时，则的值为 ． 50．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，点P从点A沿向C以的速度移动，到C即停，点Q从点C沿向B以的速度移动，到B就停 (1)若P、Q同时出发，经过几秒钟； (2)若点Q从C点出发后点P从点A出发，再经过几秒与相似． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $