九年级上册 第2章 第11课时《一元二次方程》热门考点整合应用(课时作业)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

宝典训练·数学·九年级全册（北师大版） 第11课时《一元二次方程》热门考点整合应用 A基础巩固●。· 落实课标 B能力提升●●· 灵活应用 1.方程x2=一2x十8化为一元二次方程的一般 8.若m是方程2x2-3x一1=0的一个实数根， 形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分 则2026一2m2十3m的值为 别是 ( 9.若关于x的一元二次方程kx2一2x一1=0有 A.1,-2,8 B.-1,2,8 两个不相等的实数根，则实数k的取值范围 C.1,2,-8 D.1,2,8 是 2.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x十a2 10.解方程： 1=0的一个根是0，则a的值为 (1)(5x-1)2=3(5.x-1); A.1 B.-1 C.1或-1 D 3.解方程x2+12x一15=0时，小明进行了相关 计算并整理如下： 0 0.5 1 1.5 2 (2)x2-4x-3=0; x2+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 则该方程必有一个根满足 A.5<x<2 B.1<x<1.5 C.0.5<x<1 D.0<x<0.5 4.设x1,x2是关于x的方程x2-12x十1=0的 两个根，则x1十x2一x1x2= 5.广东省大力发展旅游产业，据统计，顺德市 (3)(y+1)2+2(y+1)=3; 2022年游客人数达到20万人次，2024年游 客人数达到28.8万人次，设该市旅游人数的 年平均增长率为x,则可列方程： 6.用长为100cm的金属丝制作一个矩形框子， (4)2x2-5x+3=0. 框子的面积为625cm,求这个矩形框子的长 和宽.设矩形的长为xcm,则可列方 程： 7.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一 共碰杯45次，设参加酒会的人数为x,则可列 方程： 24 第二章一元二次方程 11.某超市于今年年初以25元/件的进价购进 (2)如图2，若点P沿射线AB方向从点A出 一批商品，当商品售价为40元/件时，一月 发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线 份销售了256件，二、三月份该商品十分畅 CB方向从点C出发以2cm/s的速度移 销，销售量持续走高，在售价不变的基础上， 动，P,Q同时出发，直接写出几秒后， 三月份的销售量达到了400件. △PBQ的面积为1cm. (1)求二、三月份销售量的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的 方式回馈顾客，经调查发现，该商品每件 每降价1元，销售量增加5件，当每件商 品降价多少元时，商场获利4250元？ C拓展应用·· 深度思考 12.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm, BC-8 cm. (1)如图1，点P从 点A开始沿AB 边向点B以 1cm/s的速度 奥1 图2 移动（到达点B即停止运动），点Q从点 B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度 移动（到达点C即停止运动）.如果点P, Q分别从A,B两点同时出发 ①经过 秒，△PBQ的面积等 于8cm2; ②线段PQ能否将△ABC分成面积为 1:3的两部分？若能，求出运动时间； 若不能，说明理由； 25高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） (2)过点Q作QM⊥AB于点M,如答 (2)根据题意，得(20十2x)(40一x)= .假设不成立，即△PBQ的面积不能 图所示。 1200. 等于8cm2. ·PM=PB- CQ 解得x1=20,x2=10. |16-5tlcm, 扩大销售量，增加利润，∴.x=20 第11课时《一元二次方程》 QM=6 cm, 答：每件童装降价20元，平均每天盈利 热门考点整合应用 ∴.PQ=P+Q, 1200元. 1.C2.B3.B4.11 即102=(16-5t)2+6,B (3)不能.理由：根据题意，得 答图 5.20(1+x)2=28.8 解得4=号，么=酷（不 (40-x)(20+2x)=2000, 化简，得x2-30x十600=0. 6.x(50-)=6257.x(x21D-45 2 合题意，舍去) △=(-30)2一4×1×600=-1500<0， 8.20259.k>-1且k≠0 答：P,Q两点从出发开始到号秒时， 故方程无实数根.∴.平均每天销售利润 10.解：(1)(5x-1)2-3(5x-1)=0, 不能达到2000元. (5x-1)(5x-1-3)=0, 点P和点Q的距离第一次是10cm 6.解：设个位数字为x,则十位数字为x一2， (5x-1)(5x-4)=0, 根据题意，得3x(x一2)=10(x-2)十x, 第10课时应用一元二次方程(3) 整理，得3x2-6x=10x-20十x,3x2 五==日 1.C2.10255x3.(100+20x) 17x+20=0,(3x-5)(x-4)=0. (2)x-4x+4=7,(x-2)2=7, 4.(3+x)(4-0.5x)=15 x1=2十√7，x2=2-√7. 5.解：(1)4506750 解得x=号（舍去），或x=4 (3)(y+1)2+2(y+1)-3=0, (2)设销售单价定为x元， 当x=4时，x-2=4一2=2.所以这个 (y+1+3)(y+1-1)=0, 依题意，得(x-40)[500-10(x一50)] 两位数为24. y1=-4,2=0. =8000, 7.解：假设点P在线段AB上， (4)a=2,b=-5,c=3, 整理，得x2-140x十4800=0， ,点P在一次函数y=一2x十3的图象 b-4ac=(-5)2-4×2×3=1, 解得x1=60,x2=80. 上，.设P(a,-2a十3)， -=是=1 5士1 答：销售单价定为60元或80元. 由题意，得a·(一2a十3)=5， 6.B 整理，得2a2-3a十5=0， 11.解：(1)设二、三月份销售量的月平均 7.解：设每件降价x元，则每件销售价为(60 解得a1=-1,a2= 5 增长率为x, -x)元，每星期销量为(300+20x)件， 2 则256(1+x)2=400, 根据题意，得(60一x一40)(300+20x) 6-2×(-1)+3=5或-2×号+8=一2 解得x=0.25=25%, =6080,解得x1=1,x2=4. x2=-2.25(不符合题意，舍去)， ,在顾客得实惠的前提下进行降价， “P点坐标为(-1,5)或（号，-2）， 答：二、三月份销售量的月平均增长率 .取x=4. :线段AB在第一象限内，点P的横坐 为25%. .每件定价为60一x=56(元) 标、纵坐标均大于0， (2)设降价y元，依题意， 答：应将销售单价定为56元. .P点不在线段AB上 列方程为(40一y一25)(400+5y)= 8.解：(1)设花纹的宽度为xcm,依题意， 8.解：.5÷1=5(s), 4250, 得(80-3x)(60-x)=4292, 7 整理得y2+65y一350=0， 即3x2-260x+508=0, 7÷2=名，5>名0<7， 解得y1=5,y2=一70（不符合题意， 解得=2，=254（舍去）。 当运动时间为ts时，BP=(5一t)cm, 舍去). BQ=2t cm. 答：当每件商品降价5元时，商场获利 答：花纹的宽度是2cm, (1)根据题意，得2BP·BQ=4, 4250元 (2)设每条丝巾应该降价y元，则每天 12.解：(1)①设经过x秒钟，△PBQ的面 可售出(150十10y)条，依题意，得(200 积等于8cm, -y-100)(150+10y)=22500, 即2(5-)×21=4， 由题意，AP=x,BQ=2x, 即y2-85y+750=0, 整理，得t一5t+4=0, .'.BP=AB-AP=6-x, 解得M1=10,y2=75. 解得t1=1,2=4(不符合题意，舍去). 答：每条丝巾应该降价10元或75元 答：t的值为1. ∴2BP·BQ=子×(6-)X2x=8, 9.解：(1)设每件售价降低x元，根据题 (2)根据题意，得(5-t)2+(2t)2=52, 解得：x1=2,x2=4,故答案为2或4. 意，得(60-40-0(20+号×10) 整理，得2一2t=0. ②设经过y秒，线段PQ能将△ABC分 解得t1=0(不符合题意，舍去)，t2=2. 成面积为1：3的两部分，由题意得： =(60-40)×20,x1=0,x2=10, 答：t的值为2. 60-10=50(元). (3)△PBQ的面积不能等于8cm, 1DS6m=Sa,即2(6-·2y 答：售价应定为50元 理由如下： (2)设该商品打x折销售，根据题意，得 ×2×6×8∴-6y+6=0, 假设△PBQ的面积能等于8cm, 62.5×0≤50，≤8。 根据题意，得)BP·BQ=8, 解得丛=3十√3（不合题意，舍去）， 2 答：该商品至少需打八折销售 %=3-√3； 即2(5-0×2=8， 2)S6=是56，即 2(6-y)·2y 微专题4一元二次方程的综合应用 整理，得t2一5t+8=0: 1.B2.A3.B4.C △=(-5)2-4X1X8=-7<0, =×号×6×8y-6+18=0, 5.解：(1)(20+2x)(40-x) .该方程没有实数根， .(-6)2-4×1×18=-36<0, 38 参考苔案 此方程无实数根，即这种情况不存在； 由树状图知，张丽投放的垃圾共有16种 综上所述，经过(3一√3)秒时，线段 等可能的结果，其中张丽投放的两袋垃 6,解：1 PQ能将△ABC分成面积为1：3的 圾不同类的有12种结果，所以张丽投放 (2)画树状图如答图： 两部分； 开始 (2)设经过t秒，△PBQ的面积为 的两袋垃极不同类的概率为号=？。 1cm,可分三种情况： 9.解：列表格如下： ①点P在线段AB上，点Q在线段CB 秋冬春夏冬 春 秋 上时(0≤t≤4)， 2 答图 此时BP=AB-AP=6-t,BQ=BC 共有12种等可能的结果，其中抽取的 (4,1) (4,2) (4,3) -CQ=8-2,∴号BP,Q=号×(6 书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结 5 (5,1) (5,2) (5,3) 果有2种， -t)×(8-2t)=1, 抽取的书签恰好1张为“春”，1张为 共有6种等可能的结果，其中两次摸出 ∴.t一10t+23=0,解得t1=5十√2（舍 的小球上的数字之和能被3整除的结 “秋”的概率为名 6· 去)，2=5-√2； 果数为2， ②点P在线段AB上，点Q在线段CB 所以两次摸出的小球上的数字之和能 7A8B9} 的延长线上时(4<t≤6)， 此时BP=AB-AP=6-t,BQ=CQ 被3整除的概率= 6=3 10.解： -BC-21-8,2BP·BQ-7×(6 10.解：1号 (2)令A,B,C,D分别代表《周髀算经》 《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》， -t)×(2t-8)=1, (2)画树状图如答图： ∴.t-10t+25=0,解得t=t=5; 根据题意可以画出树状图如答图： 开始 开始 ③点P在线段AB的延长线上，点Q 在线段CB的延长线上时(t>6), 小丽 此时BP=AP-AB=t-6,BQ=CQ 小明ABC ABC AB -BC=2t-8, 答图 答图 ∴2BP·BQ-2X-6)X2L-8)=1, 共有9种等可能性，其中小明和小 由树状图可以看出，所有可能的结果 丽选择相同基地的可能性有3种， 有12种，并且这12种结果出现的可 .t2-10t+23=0, ∴.小明和小丽选择相同基地的概率为 能性相等，所有可能的结果中，恰好选 解得t1=5+√2，t2=5一√2（舍去）； 中《九章算术》和《孙子算经》的结果有 综上所述，经过(5-√2)秒或5秒或 9=31 2种，∴.恰好选中《九章算术》和《孙子 (5+√2)秒后，△PBQ的面积为1cm2. 11.解：列表格如下： 算经》的概率为2=6 21 、第二次 1 2 3 4 第三章概率的进一步认识 第一次 11.解：(1)点P所有可能的坐标列表如 (1,1)(1,2)(1,3)(1,4) 下： 第1课时用树状图或表格求概率(1)】 2 (2,1) (2,2)(2,3)(2,4) 4 1A2A34.5号 3 (3,1)(3,2)(3,3)(3,4) 1 (2,1) (3,1)(4,1) 6.解：列表如下： 4 (4,1)(4,2)(4,3)(4,4) 2 (1,2) (3,2) 4,2) 红 黄 共有16种等可能的结果，其中两次取 (1,3)(2,3) (4,3) 红 (红，红) (红，黄) 出的小球标号的和等于5的结果数为 黄 (黄，红) (黄，黄) 4,所以两次取出的小球标号的和等于 4 (1,4)(2,4)(3,4) 共有4种等可能的结果，其中两次摸出 5的概率为是 1 (2)共出现12种等可能的结果，其中 4 的分别是一个黄球和一个红球的结果 点(x,y)在函数y=一x十5图象上的 有2种，，两次摸出的分别是一个黄球 12.解：(1) 概率为子 和一个红球的概率为分 (2)画树状图如答图： 12.解：(1)五张牌中，牌面数字分别是4， 开始 4,5,5,6,其中牌面数字为4的张数为 姐姐 B 8.解：(1)赵明投放了一袋垃圾，∴.赵明 2则PC摩面数字为4)=号。 投放的垃圾恰好是厨余垃圾的概率 弟弟BCD (2)列表如下： 答图 为好 共有12种等可能的结果，其中姐姐抽 和 、第一张 5 6 (2)将有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾 到“A佩奇”，弟弟抽到“B乔治”的结 第二张 可回收垃圾分别记为A,B,C,D,画树 果有1种，姐姐抽到“A佩奇”，弟弟 0 10 状图如答图： 抽到B乔治"的概率为品 10 开始 5 9 10 11 第2课时用树状图或表格求概率(2) 9 9 10 答图 1.A2.A3.号465.3 6 1010 11 11 39