湖南省湘一名校联盟2025-2026学年高三上学期11月联考数学试卷（Y）

保密★启用前 7.已知函数f代x)=Isin xl-a的所有正零点从小到大构成等差数列，则满足条件的a的个 数为 A.5 B.4 C.3 D.2 高三数学 8设双曲线C号-1(@>0，b>0)的左右焦点分别为日，，点P,Q在C上，满足F户 3B,,且LPF,Q=5,则C的离心率为 考生注意： 1,答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘 B.5 C.7 D.22 贴在答题卡上的指定位置. 2,回答选择题时，远出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改 咖 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写 在本试卷上无效， 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 批 3,考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回， 9若}<名<0，则下列不等式成立的是 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 A.a2>6 B.e">e 是符合题目要求的， C.a+b<ab D.lal -a>1bl-b 梨 1.已知复数z=3-i,则z(z-i)= 归 10.在△ABC中，内角A,BC的对边分别为abc,已知ai血C=4,反，d2=++号c,则下 A.7-3i B.11-3i C.7-9i D.11-9i 列说法正确的是 2.已知集合A=-1,0,1,2,3},B={xn(x+1)<1,则A∩B= A.{0 B.{0,1 C.-1,0,1 D.{0,1,2 A.sin=2 3 3.已知向量a=(2x+3,x)与b=(x,1)的方向相同，则x= B.c=6 螺 A.-3 B.-1 C.1 D.3 C若asin B=8g2,则a=2√万 3 4.已知正四棱台上、下底面的面积分别为4和144，侧面等腰梯形的高为13，则该四棱台的体 积为 D.若△ABC是等腰三角形，则AB边上的高为22 L C.2236 11.记数列{a,}的前n项和为S,前n项积为T.,已知a>1,且S,1=aa1S,则下列说法正 B.688 D.888 3 确的是 5.已知f八x)是定义域为R的奇函数，且当x<0时，f八x)=e-1,则f(1n2)= A若4=2，则西=号 A号 c B.存在大于1的正整数n,使得a1>am ,P(A+B)= 3 则P(B): 3 C.对任意neN°，S.=T. 6.设A,B是两个相互独立的随机事件，已知P(A)= n当n≥3时，I≤” c 数学(Y)试题第1页（共4页） 数学(Y)试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 17.(15分) 12.已知函数八x)=血x-号的图象在x=1处的切线与直线x+3y-2=0垂直，则a= A4纸是长、宽比为√2：1的矩形纸张.设一张A4纸的四个顶点分别为A,B,C,D,以两长边 的中点连线EF为折痕，将矩形BCFE折起，连接AB,CD,得到如图所示的直三棱柱AEB DFC,G是AB的中点 13.已知M是抛物线C:y2=2px(p>2)上一点，若点M到C的准线的距离为4，到C的对称轴 (1)证明：平面GED⊥平面ABCD: 的距离为23，则C的焦点坐标为 14函数)=(si加x+m)血2x在-受引上的值城为 (2)设AD=,2,三棱柱A5B-DFC的体积为，且∠ABB为钝角，求二面角C-DE-G的 正弦值 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知S.为数列{a.}的前n项和，且3a.-2Sn=1. (1)求{a.}的通项公式； (2)设b,=2(n+2)-a。,数列b,}的前n项和为T,求T.的表达式及最大值 18.(17分) 已知椭圆C,二+卡1(@>b>0)的离心率为号，上、下顶点分别为A,B,且1AB1=4 16.(15分) (1)求C的方程 为了解小学生课外阅读时长与语文成绩的关系，从某校学生中随机抽取200人，得到他们 (2)D是椭圆C的左顶点，P是C上除顶点外的任意一点，直线AP与BD交于点Q,直线 每周课外阅读时长（单位：h)与语文成绩的数据如下表所示： DP与y轴交于点T,设直线AP的斜率为k,直线QT的斜率为m 阅读时长范围 (i)求点P的坐标（用k表示）； [0.2) [2.4) [4.6) [6.81 语文成绩 (i)证明：？-房为定值 m 优秀 7 10 28 不优秀 35 53 40 22 (1)估计该校学生每周课外阅读时长不少于2h的概率； (2)估计该校学生每周课外阅读的平均时长；（同一组的数据用该组区间的中，点值作代表） 19.(17分) (3)若规定每周课外阅读时长不少于4h为达标，少于4为不达标，根据小概率值《= 已知函数f八x)=(x2+2x+a)e. 0.01的独立性检验，分析课外阅读时长与语文成绩是否有关 (1)讨论f(x)的单调性. n(ad-be)2 P(X2≥k) 0.05 0.01 0.001 (2)若f代x)无零点，但有两个不同的极值点。 附：X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d 3.841 6.635 10.828 (1)求a的取值范围： （ⅱ)设无1，为f代x)的两个极值点，求f(x:)+f代2)的取值范围 数学(Y)试题第3页（共4页） 数学(Y)试题第4页（共4页） 高三数学(Y)答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.答案C 命题透析本题考查复数的运算. 解析z(z-i)=(3-i)(3-2i)=9-6i-3i-2=7-9i. 2.答案B 命题透析本题考查集合的表示与运算 解析由ln(x+1)<1可得0<x+1<e,即-1<x<e-1,故A∩B={0,1}. 3.答案D 命题透析本题考查向量的线性运算 解析因为a∥b,所以2x+3-x2=0,解得x=3或x=-1,当x=3时，a=(9,3),b=(3,1),符合题意，当x= -1时，a=(1,-1),b=（-1,1),方向相反，故舍去 4.答案B 命题透析本题考查棱台的体积计算， 解析因为正四棱台上、下底面的面积分别为4,144，所以上、下底面的边长分别为2和12，又侧面等腰梯形的 高为13，所以该四棱台的高为√182-(22)=12，体积为写×12x(4+14+2×12)=688 5.答案A 命题透析本题考查奇函数的性质以及分段函数求值， 解析因为1n2>0,所以-n2<0,所以-n2)=e2-1=3-1=-子，又x)是奇函数，所以h2)= -f-n2)=2 6.答案D 命题透析本题考查相互独立事件与和事件的概率运算性质 解析因为A,B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=子P(B),所以P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)= 号+P(B)-子P(B)=号解得P(B)=号 7.答案C 命题透析本题考查三角函数的图象 一1 解析f(x)的零点即曲线y=Isin xl与直线y=a的交点横坐标，函数y=Isin x的最小正周期为π，易知a=0 和a=1符合条件，当0<a<1时，直线y=a与曲线y=Isin xl在每个周期内有2个交点，则相邻两交点之间的 距离为受，如图，可知a=sim平-号，所以消足条件的a为0,1，号，有3个 2π 3πx 8.答案C 命题透析本题考查双曲线的性质、双曲线与直线的位置关系. 解析由题意可知，FP与FQ同向，则P在C的左支上，Q在C的右支上.设1QF2I=m(m>0),则1PF2I=3m, 1PQ1=2m,由双曲线的定义，得1PFI=3m-2a,IQFI=m+2a.在△PF1Q中，由余弦定理得IPQ12=(3m- 2a)2+(m+2a)2-(3m-2a)(m+2a)=4m2,化简得(m-2a)2=0,所以m=2a.所以1PF21=6a,1PF1= IPQ1=lQr1=4a,所以∠FPF,=号在△PFF中，由余弦定理得1FF,P=(4a)P+(6a)2-4a·6a=28a, 所以1FFl=2万a,即2c=27a,所以离心率e=。=万. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案BC 命题透析本题考查不等式的性质与函数的单调性 解析对于A,由。<行<0，得6<a<0,所以>，放A错误： 对于B,函数y=e在R上单调递增，因为a>b,所以e“>e,故B正确； 对于C,因为a+b<0,ab>0,所以a+b<ab,故C正确； 对于D,1al-a=-2a,Ibl-b=-2b,由b<a<0同乘以-2，得0<-2a<-2b,故D错误 10.答案ABC 命题透析本题考查解三角形，正弦定理和余弦定理的应用. 解析对于A,由余孩定理可得4：4。一号，所以血A=2号放A正确： 2bc 对于B,由正弦定理可得c=asiC=6,故B正确； sin A 对于C,由正弦定理可得b=smB=4,则a=6+c2+名c=68,所以a=27,故C正确： sin A 3 对于D,因为A为钝角，且△ABC是等腰三角形，所以只可能是B=C,所以sinB=sinC,所以AB边上的高为 h=asin B=asin C=42,故D错误 一2 11.答案ACD 命题透析本题考查数列的递推关系： 鲜折对于名自5=8得S+=AS,所以a-写之者4-2.则=写-。品-2 西子号故A正确： 对于B,由递推关系及a>1,可推出a,>1,S。>1,所以当n≥2时，a1-a,=8二 Sa-1 S-1-1 S.(S.-1-1)-S-1(S.-1)_ (S,-1)(S1-1)一=(S.-1)(S1-D<0,所以a1<a,故B错误； -an 对于C,当n=1时，S1=T1显然成立，当n=2时，S2=a2S1=a2a1=T2,当n=3时，S3=a3S2=a3T2=T3,以此 类推，当Sn=T,时，Sm+1=am+1Sn=an+1Tn=T.t1,即对任意neN,Sn=Tn,故C正确； 对于D,当n≥3时.不等式转化为a,a≤3，由5+4：=a,可得5，=。0所以当n≥2时。 成成品点利用路法可得a。 11 11 1-14-1,所以 11 1 -干-+a+a,+…+0号，-+4,1+山+a,++a,≥n+得a,+即当n23时.0， ,累乘可得a,a:,≤”专，故D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案1 命题透析本题考查导数的几何意义. 解析由九)=nx-号得士+孕由题意知了)=3，即1+2a=3,得a=1 13.答案(3,0) 命题透析本题考查抛物线的方程与几何性质. 解析设M(wy),由题意知ly1=2万，xw+号=4，代入抛物线方程，得12=2p(4-号），整理得p-8p+ 12=0,解得p=6(p=2舍去)，所以C的焦点坐标为(3,0) 14答案【-25] 命题透析本题考查三角恒等变换与三角函数的性质， 解析设1=血x+os=五mx+平）当e[-受，号]时，+牙∈[-平，]，则1e[-1,万].因为 sin2x=2 sin xcos x=t-1,所以f代x)=g(t)=(t2-1)t=f-t,te[-1,W2].求导得g'(t)=3t2-1,可得g(t) -1.-停上单阔递增，在(-}上单调递减，又(-1)=0，(-）-（得） 一3 2<06(反)=反>2所以e0在[-1，w]上的值骏为[-2号即x)在-号号引上的值域 9 为[2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查等比数列的通项公式、等差与等比数列的前n项和. 解析(1)由题知3am-2Sn=1,① 当n=1时，S1=a1,所以3a1-2a1=1,即a1=1. (2分) 当n≥2时，3an-1-2Sm-1=1,② ①-②，得3an-3am-1-2(Sn-Sm-1)=0,即an=3am-· (4分) 所以{an}是首项为1，公比为3的等比数列， 故an=3-l.… (6分) (2)由(1)得bn=2(n+2)-3"-1, 所以元-6+24加-㎡+5n-多+分 …(10分)） 2 2+21 计算{bn}的前几项：b1=5,b2=5,b3=1,b4=-15,…, 由3-1比2(n+2)增长快，可知当n≥4时，bn<0, 所以T的最大值为T3=11.… …(13分） 16.命题透析本题考查用样本估计总体、独立性检验的应用， 解析(1)估计该校学生每周课外阅读时长不少于2h的概率P=1-5+35.4 200=5 。…(3分) (2)估计该校学生每周课外阅读的平均时长为 1+7×3+199 200 200 ×5+28+22 200 ×7=4.1(h). ……(6分) (3)由题意可得2×2列联表： 阅读时长 不达标 达标 合计 语文成绩 优秀 12 38 50 不优秀 88 62 150 合计 100 100 200 …(9分） 零假设为H。:课外阅读时长与语文成绩无关 由列联表中的数据可得X20X2X6238×8上=3218.027>6.635.……13分 50×150×100×100 根据小概率值α=0.01的独立性检验，推断H。不成立，即认为课外阅读时长与语文成绩有关 …(15分） 一4 17.命题透析本题考查面面垂直的证明，以及利用空间向量计算二面角 解析(1)由题可知AD⊥平面AEB,又GEC平面AEB,所以AD⊥GE,…(1分) 因为AE=BE,G是AB的中点，所以GE⊥AB, 又AB∩AD=A,所以GE⊥平面ABCD. (4分) 因此，平面GED⊥平面ABCD.… …(5分） (2)由AD=2,得AE+EB=√2AD=2,所以AE=BE=1, 则三楼柱AB-DPC的体积为V=ADX宁4 xBEsin/AEB=号in/AEB=-至 4 所以s血LA证B=夏，又∠ABB为能角，所以∠AB-2三 3 …(7分) 如图，以F为坐标原点，下，F它的方向分别为x轴、y轴正方向建立空间直角坐标系。 已知得D(1,0.0).E0E0).c(-30,）415,0).(-3万）d(2,） 则=(-1万0.成=(-是0，会》元-(-2} (9分) 设平面CDE的法向量为n=(x,y,z), rn·D2=-x+2y=0, 则 D元=3y3取n=(2,16）.… (11分) 设平面GDE的法向量为m=(a,b,c), rm.D2=-a+2b=0, 则 ++县=0 取m=(6,5,-2).…(13分) mD=-3a 设二面角C-DE-G为0，则1os1=m:m=一5 1 1 nlInl3×行33’ 所以sm0=√-0s9=32_466 …(15分) √3333 18.命题透析本题考查椭圆的方程与几何性质、椭圆与直线的位置关系 解析（1)由题意知lAB引=2b=4,所以b=2.…(1分) 5 因为离心率e=a-F-5 ,所以a=3. (3分) 因此C的方程为号+全 y2 (4分) (2)(i)由已知得A(0,2),B(0,-2),D(-3,0),直线AP:y=kx+2. ry=kx+2, 必 9 41 得(4+9)2+36=0，解得=0或=4…06分） 所以点P的横坐标为46代人y=:+2得183 4+9k2 所以点P的坐标为 36k8-182 4+9k2’4+92 …(8分) 2 -124-6k (i)由(1)可知直线BD的方程为y=-子x-2,与y=x+2联立，解得Q3+2·3+2) …(10分) 设T(0,t),由D(-3,0),P 36k8-18k2 4+92’4+9k2 ,T(0,t)三点共线， 8-182 -0 可得4+9k2 4+9现+30+3，解得1 -t-0 8-1822(2-3)(2+3k)-4+6k 36k 9k2-12k+4 (3k-2)2 -2-3h' 所以0》 …(13分) 4+6k4-6k 所以直线QT的斜率为m=2-33+2_4+6k)(3k+2)-(4-6)(2-3k)=4 12 12(2-3k) 2-3k …(15分) 3k+2 所以片品=名22必=号为定值 2k …(17分） 19.命题透析本题考查利用导数求函数的单调性与极值， 解析(1)由题意得f'(x)=(x2+4x+a+2)e,… (1分) 令f'(x)=0,则x2+4x+a+2=0,4=16-4(a+2)=8-4a. ①当8-4a≤0，即a≥2时，x2+4x+a+2≥0恒成立， 即f(x)≥0恒成立，f(x)在R上单调递增。……(3分) ②当8-4a>0,即a<2时，方程x2+4x+a+2=0有2个不同实根， 由求根公式可知该方程的根为x=二4±)8=40=-2±2-0，…(4分) 2 当xe(-2-2-a,-2+2-a)时，f(x)<0,当xe(-0,-2-√2-a)或xe(-2+√/2-a,+∞)时， f'(x)>0, 所以f(x)在区间(-2-√2-a,-2+√2-a)上单调递减，在区间(-∞，-2-√2-a)和(-2+√2-a,+∞)上 单调递增. …(6分) 6 (2)(i)令f(x)=(x2+2x+a)e=0,得a=-x2-2x, 由于f代x)无零点，所以直线y=a与曲线y=-x2-2x无交点， 又因为-x2-2x≤1，所以a>1.…(8分) 由(1)知，当a<2时f代x)有两个极值点，故a的取值范围为(1,2).…(9分) (ⅱ)由(1)中方程有1+x2=-4,x2=a+2.…(10分) 不妨设x1=-2-2-a,x2=-2+W2-a,因为ae(1,2),所以x1e(-3,-2) f(x1）+fx2)=(x好+2x1+a)e1+(x+2x2+a)e =(x+2x1+x1x2-2)e1+(x+2x2+x1x2-2)e2 =[x1(x1+x2+2)-2]e1+[x2(x1+x2+2)-2]e2 =-2[(x1+1)e1+(:2+1)e2] =-2[(x1+1)e1-(x+3)e4-1].…(13分) 设g(x)=-2[(x+1)e*-(x+3)e4-*], 则g'(x)=-2(x+2)(e*+e4-r), 当x∈(-3，-2)时，g'(x)>0,所以g(x)在(-3，-2)上单调递增，…(15分)》 又8-30=÷e(-2)=÷ 故x)+)的取值范围是（告专） …（17分) 一7