专项素养巩固训练卷 （三）直角坐标系中的面积问题 2025-2026学年 北师大版八年级数学上册

专项素养巩固训练卷(三)直角坐标系中的面积问题 [ 类型一直接利用面积公式求图形的面积 1. 如图,已知A(-2,0),B(4,0),C(2,4),D(0,2). (1)求△ABC 的面积. (2)假设 P 为 x 轴上的一点,且 求点 P 的坐标. 类型二利用和差法求图形的面积 2.如图，在平面直角坐标系中，O 是原点，小虫甲从点A(0，10)处开始，以每秒3个和差法求单位长度的速度沿y轴向下爬行，同时小虫乙从点 B图形面积(8，0)处开始，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左爬行，2s后,它们分别到达点A',B'. (1)求出点A',B'的坐标. (2)求四边形AA'B'B的面积. 类型三利用补形法或分割法求图形的面积 3. 已知平面直角坐标系内有4个点:A(0,2),B(-2,0),C(1,-1),D(3,1). (1)在如图所示的平面直角坐标系中描出这4个点. (2)顺次连接A，B，C，D四点组成四边形ABCD，求出四边形ABCD 的面积. 4.如图，在平面直角坐标系中， 的顶点分别为A(2,0),B(0,4),C(-3,2). (1)求 的面积. (2)若点 P 的坐标为(m,0). ①线段AP 的长为 (用含m的式子表示). ②当 时，求m的值. 类型四 与面积有关的点的存在性问题 5.已知A(-3,-2),B(2,-2),C(3,1),D(-2,1)四个点. (1)在图中描出A,B,C,D四个点,顺次连接A,B,C,D,A. (2)直接写出线段AB，CD之间的关系. (3)在y轴上是否存在点 P，使 若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 6.如图，在平面直角坐标系中，有A(0,a),B(b,0),C(b,c)三点,其中a,b,c满足关系式 (1)求a,b,c的值. (2)如果在第二象限内有一点 那么请用含m的式子表示四边形ABOP 的面积. (3)在(2)的条件下，是否存在点 P，使四边形ABOP 的面积与三角形ABC 的面积相等?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 专项素养巩固训练卷(四) 直角坐标系中的轴对称和规律探究问题 题型一折叠对称 1.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(-3,0),,点B 的坐标是(0,4),点C是OB上一点,将 沿AC翻折，点B 恰好落在x轴上的点.B'处，则OC的长为 ( ) C.2 2.OD边在y轴上,(OB=10,OD=6,点E 是直线 BC上的一个动点，若将 沿DE 翻折，点C 的对应点 F 落在了x轴上，则点 E 的坐标为 . 3.如图,在长方形OABC中, 点A，C在x轴、y轴的正半轴上，且(OA=2OC.OA，BC上的点，将长方形OABC 沿着直线点 C 重合，点B 落在点.B'的位置，求F点： 题型二周长最小问题 4.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC,A(1,1),B(4,2),C(3,4). (1)在图中画出与 关于x轴对称的 并写出对应点 的坐标. (2)求 的值. (3)在x轴上是否存在一点 P，使得 的周长最小，若存在，请在图中描出点 P；若不存在，请说明理由. 题型三坐标规律问题 5.如图，一机器人从原点出发按如图所示的方式运动，第1 次从原点运动到 0)，第2次运动到 第3次运动到 规律探究第4次运动到 第5次运动到A₅(2,-1),……,则第2025 次运动到的点 的坐标是 ( ) A.(507,-506) B.(507,507) C.(506,-505) D.(506,506) 6.如图，在平面直角坐标系中，A(3，2)，连接OA，进行如下变换：第一次将点A 绕原点O 逆时针旋转 得到点 第二次作点A₁关于x轴的对称点A₂；第三次将点 绕点O 逆时针旋转90°得到点A₃；第四次作点A₃关于x轴的对称点A₄，……，按照这样的规律，点A₂₀₂₅的坐标是 ( ) A.(-3,2) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(3,-2) 第6题图 7.如图，所有正方形的中心均为坐标原点，且各边与坐标轴平行，从内到外它们的边长依次为2，4,6,8,…,顶点依次用A₁,A₂,A₃,A₄,…表示,则顶点 的坐标是 . 8.【观察发现】如图，观察下列各点的排列规律： 【归纳应用】 (1)点 的坐标为 ，点 的坐标为 . (2)若点. 。的坐标为(3 036,1013),求n的值. 参考答案 1.解析 (1)∵A(-2,0),B(4,0), ∴AB=2+4=6, 又(C(2,4),∴ (2)设点 P的坐标为(m,0), 解得m=1或-5, ∴点P的坐标为(-5,0)或(1,0). 2.解析 (1)由题意知(OA'=10-2×3=4,OB'=8-2×2=4,∴A'(0,4),B'(4,0). (2)由题意知 4=32, ∴ 四边形AA'B'B 的面积为32. 3.解析 (1)点A,B,C,D如图所示. (2)【解法一】四边形ABCD 如图所示，作长方形EFGH， 则 =8. 【解法二】四边形ABCD 如图所示，将四边形ABCD 分割为△ABO,△BCQ,△CMD,△AND 和正方形 OQMN,其中Q(1,0),M(1,1),N(0,1), 则 =8. 4.解析 (1)过点C作CD⊥x轴,垂足为D,过点B作BE⊥CD,交DC的延长线于E,过点A作AF⊥BE,交EB的延长线于F，如图所示. 易知四边形ADEF 是长方形， ∵A(2,0),B(0,4),C(-3,2), ∴D(-3,0),E(-3,4),F(2,4), ∴AD=5,CD=2,BE=3,CE=2,DE=4,BF=2,AF=4, (2)①|m-2|. ∵BO=4,∴AP=|m-2|=8, ∴m-2=8或m-2=-8,∴m=10或m=-6. 5.解析 (1)画出图形如图所示. (2)AB=CD,AB∥CD. (3)存在.易知四边形ABCD为平行四边形，则 3=15. 设在y轴上存在点P(0，t)，使 即l2+ tl=6,解得t=4或t=-8, ∴点P的坐标为(0,4)或(0,-8), ∴在y轴上存在点 P，使 此时点 P 的坐标为(0,4)或(0,-8). 6.解析 . (2)由(1)易知A(0,1),B(2,0),C(2,3), 在第二象限,∴m<0, (3)存在.∵B(2,0),C(2,3),∴BC⊥x轴,BC=3, 由题意得 解得m=-4,∴点P的坐标为 专项素养巩固训练卷(四) 直角坐标系中的轴对称和规律探究问题 1. B 由题意知AB=AB',∵A(-3,0),B(0,4),∴OA=3,OB= .点B'的坐标为(2，0)，设C点的坐标为(0,b),则B'C=BC=4-b,∵ B'C²=B'0²+OC²,∴(4-b)²= 故选 B. 2.答案(10, 或(10,-24) 解析 ∵四边形OBCD 是长方形， ∴CD=OB=10,BC=OD=6,∠DOB=∠OBC=90°,由翻折可知DF=CD=10,分情况讨论: ①如图1,当点 E 在线段 BC 上时, ∴BF=OB-OF=10-8=2, 由翻折可知CE=EF,设BE=x,则CE=EF=BC-BE=6-x,在 Rt△BFE中，由勾股定理得 解得 ∴点E 的坐标为(10, ). ②如图2，当点 E在线段CB的延长线上时，由勾股定理得 ∴BF=OF+OB=8+10=18,设BE=x,则CE=EF=BC+BE=6+x,在 Rt△BFE中,由勾股定理得( 解得x=24,∴点E的坐标为(10,-24). 综上，点E 的坐标为 或(10,-24). 3.解析 ∵OA=2OC=6,∴OC=3, 由折叠的性质知 BF=B'F,∠B'=∠B=90°,CB'=AB =OC=3, 在 Rt△B'CF 中,由勾股定理得 解得 点 F 的坐标为 4.解析 (1)如图,△A₁B₁C₁ 即为所求.点 A₁ 的坐标为(1,-1). (3)存在.如图,连接A₁C,交x轴于点 P,则点 P 即为所求. 5. A ∵2025÷4=506……1,∴点A₂₀₂₅在第四象限,观察题图中点的坐标特征可知点 A₂₀₂₅的坐标是(507,-506).故选 A. 6. B 如图,过点A₁作A₁M⊥y轴于M,过点A作AN⊥x轴于N, 由题意得∠AOA₁ = ∠MON = ∠ANO = 90°,∴ ∠A₁OM+∠AOM=90°,∠AOM+∠AON=90°, ∴∠A₁OM=∠AON, 又 ∴△A₁MO≌△ANO(AAS), ∴A₁M=AN=2,OM=ON=3, ∴A₁(-2,3),则. 同理可得A₃(3,-2),A₄(3,2),……,∴每4个点的坐标为一个循环组,∵2 025÷4=506……1,∴点 A₂₀₂₅的坐标与点A₁的坐标一致,为(-2,3),故选 B. 7.答案 (-507,-507) 解析 ∵2025÷4=506……1,∴A₂₀₂₅与A₁在同一象限,即都在第三象限， ∵A₁(-1,-1),A₅(-2,-2),A₀(-3,-3),……, 8.解析 (1)由题图知,点A。的坐标为(9,4),点A₁₂的坐标为(18,7). (2)由题图知A(0,1),A₂(3,2),A₄(6,3),A₆(9,4),……,即A(0,1),A₂(1×3,1+1),A₄(2×3,1+2),A₆(3×3,1+3),……,以此类推 即.A₂ₙ(3n,n+1), ∵点A₂ₙ的坐标为(3036,1013), ∴n+1=1013,解得n=1012. 学科网（北京）股份有限公司 $