精品解析：黑龙江省哈尔滨市道外区2025-2026学年高二上学期期中数学试题

2025-2026学年度上学期期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知点和点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 某校高三年级共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考试结束后，学校采用按性别分层随机抽样的方法抽取容量为的样本，已知样本中男生比女生人数多8人，则（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 48 3. 某袋中有编号为的个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年巴黎奥运会金牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，15，14，13，这组数据的下四分位数为（ ） A. 13 B. 14 C. 14.5 D. 15.5 5. 在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（ ） A. 14 B. 19 C. 90 D. 200 6. 直线（为常数）恒过定点，直线与直线垂直，且过点，其中直线，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，过右焦点的直线与椭圆交于两点，若，且直线的斜率，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两人分别从云台山、青天河、神农山、月山寺这四个景点中随机选择一个景点去旅游，已知甲、乙两人选择哪个景点互不影响，则下列说法正确的是（ ） A. 甲去云台山的概率为 B. 甲、乙两人都去云台山的概率为 C. 甲、乙两人中恰有一人去云台山的概率为 D. 甲、乙两人中至少有一人去云台山的概率为 10. 已知一组样本数据、、、，下列说法正确的是（ ） A. 该样本数据的第百分位数为 B. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数 C. 剔除某个数据后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差 D. 若、、、的平均数为，方差为，、、、的平均数为，方差为，则、、、的方差为 11. 关于统计量，下列说法正确的是（ ） A. 统计量的值越大，两个分类变量的线性相关程度越强 B. 若求出统计量，由于6.31比较接近，因此能推断两个分类变量有关系，且犯错误概率不超过0.01 C. 独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的 D. 根据统计量的构造过程可知，的值越小，零假设成立的可能性越大． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知和之间的一组数据如右表；与线性相关，且回归方程为，为的方差的0.6倍，则当时，___________. 0 1 2 3 5 13. 已知事件，相互独立，且，，则____________. 14. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了加强对学生动手操作能力的培养，将素质教育落到实处，某校开展了剪纸、刺绣、草艺、泥塑民间工艺活动，学校要求每名学生至少参加其中一项活动．为了解上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，得到如下数据： 工艺活动编号 1 2 3 4 工艺活动名称 剪纸 刺绣 草艺 泥塑 高一学生参加活动人数 50 30 30 60 高二学生参加活动人数 40 25 80 50 高三学生参加活动人数 40 10 40 40 以频率作为概率． （1）从样本中随机选取了1名学生，估计这名学生参加了剪纸活动的概率； （2）从高一、高二、高三学生样本中各随机选取了1名学生，估计这3名学生中恰有2人参加了剪纸活动的概率； （3）为了进一步了解不同年级学生对以上各项工艺活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三学生样本中各随机选取了1名学生进行调查，设这3名学生均参加了第项工艺活动的概率为，求的最大值． 16. 已知圆关于直线对称，且过点 （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）若直线过点，且与圆交于，两点，满足，求直线的方程． 17. 某小区的住房结构有A和B两种户型，从中各随机抽取40户，调查他们的月平均电费，所得数据如下： 月平均电费 低于200元 不低于200元 A户型 32 8 B户型 18 22 （1）分别估计该小区A户型和B户型居民的月平均电费低于200元的概率； （2）根据列联表，能否有99%的把握认为该小区居民的月平均电费与所居住的户型有关？ 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 18. 随着电池充电技术的逐渐成熟，以锂电池为动力的新一代无绳类电动工具以其轻巧便携､工作效率高､环保､可适应多种应用场景下的工作等优势，被广泛使用.在消费者便携无绳化需求与技术发展的双重驱动下，锂电类无绳电动工具及配套充电器市场有望持续扩大.某公司为适应市场并增强市场竞争力，逐年增加研发人员，使得整体研发创新能力持续提升，现对2017~2021年的研发人数作了相关统计，如下图： 2017~2021年公司的研发人数情况（年份代码1~5分别对应2017~2021年） （1）根据条形统计图中数据，计算该公司研发人数与年份代码的相关系数，并由此判断其相关性的强弱； （2）试求出关于的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数.（结果取整数） 参考数据：，.参考公式：相关系数.线性回归方程的斜率，截距. 附： 相关性 弱 一般 强 19. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为为坐标原点，的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线交椭圆于两点，的中点坐标为，求直线的方程； （3）如图所示，过点的直线与椭圆交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点．判断点是否为线段的中点，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知点和点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点的斜率公式以及倾斜角与斜率的关系即可求得结果. 【详解】因为，且，所以的倾斜角 故选：B 2. 某校高三年级共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考试结束后，学校采用按性别分层随机抽样的方法抽取容量为的样本，已知样本中男生比女生人数多8人，则（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】利用分层抽样的性质直接求解. 【详解】根据分层抽样的性质可知，样本中男生人数为：， 样本中女生人数为：， 由题意，所以， 所以. 故选：C 3. 某袋中有编号为的个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据（甲，乙）方法得出总的取法的结果，求得符合题意的个数，可求甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率． 【详解】甲先从袋中摸出一个球，有4种可能的结果，乙再从袋中摸出一个球，有4种可能的结果， 如果按（甲，乙）方法得出总共的结果为：16个， 甲、乙两人所摸出球的编号不同的结果为12个， 甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是. 故选：A． 4. 2024年巴黎奥运会金牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，15，14，13，这组数据的下四分位数为（ ） A. 13 B. 14 C. 14.5 D. 15.5 【答案】C 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，根据下四分位数的含义求解，即可得答案. 【详解】将这组数据从小到大排列为：13，14，15，16，18，20，40，40， 由于，故这组数据的下四分位数为， 故选：C. 5. 在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（ ） A. 14 B. 19 C. 90 D. 200 【答案】B 【解析】 【分析】由分类加法计数原理运算即可. 【详解】按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为. 故选：B. 6. 直线（为常数）恒过定点，直线与直线垂直，且过点，其中直线，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令的系数为0可求出定点的坐标，由直线与直线垂直可以得出直线斜率，即可求得直线的方程. 【详解】可以化为， 解方程组，得. 故直线恒过定点. 直线斜率为， 直线与直线垂直，则直线斜率为， 则直线的方程：，即， 故选：A. 7. 与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据与椭圆共焦点，与双曲线共渐近线的方程设为，再求解 【详解】因为椭圆，焦点在x轴上，且， 又因为所为双曲线与双曲线共渐近线， 所以设所求双曲线，即 则，解得. 所以所求双曲线为. 故选：B 8. 已知椭圆，过右焦点的直线与椭圆交于两点，若，且直线的斜率，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系，结合共线向量的坐标表示公式、椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】由题意可知，设该椭圆右焦点坐标为， 因为直线的斜率， 所以设直线的方程为， 与椭圆方程联立，得 ， 设，则有， 因为，所以， 所以有，消去，得 ， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用，得到，进而利用一元二次方程根与系数关系进行求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两人分别从云台山、青天河、神农山、月山寺这四个景点中随机选择一个景点去旅游，已知甲、乙两人选择哪个景点互不影响，则下列说法正确的是（ ） A. 甲去云台山的概率为 B. 甲、乙两人都去云台山的概率为 C. 甲、乙两人中恰有一人去云台山的概率为 D. 甲、乙两人中至少有一人去云台山的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】将甲、乙两人去云台山、青天河、神农山、月山寺旅游分别记为，写出样本空间，计数后计算概率判断各选项． 【详解】将甲、乙两人去云台山、青天河、神农山、月山寺旅游分别记为， 依题意可知样本空间为： ， 共含有16个样本点. 甲去云台山的情况为， 样本点有4个，概率为，故A正确； 甲、乙两人都去云台山的情况为， 样本点有1个，概率为，故B错误； 甲、乙两人中恰有一人去云台山的情况为， 样本点有6个，概率为，故C正确； 甲、乙两人中至少有一人去云台山的情况为， 样本点有7个，概率为，故D错误. 故选：AC． 10. 已知一组样本数据、、、，下列说法正确的是（ ） A. 该样本数据的第百分位数为 B. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数 C. 剔除某个数据后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差 D. 若、、、的平均数为，方差为，、、、的平均数为，方差为，则、、、的方差为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据中位数的定义可判断A选项；由频率分布直方图中中位数、平均数的概念即可判断B；由极差的定义即可判断C；由方差计算公式即可判断D. 【详解】对于A选项，由，所以样本数据的第百分位数为，A错； 对于B选项，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，则其平均数大于中位数，B对； 对于C选项，若剔除的数据为，则新样本数据的极差为，原样本数据的极差为， 因为，则，由不等式的基本性质可得， 即新样本数据的极差不大于原样本数据的极差； 若剔除的数据为，则新样本数据的极差为，原样本数据的极差为， 因为，则，即新样本数据的极差不大于原样本数据的极差； 若剔除的数据为，则新样本数据的极差为，原样本数据的极差为，即新样本数据的极差等于原样本数据的极差； 综上可知剔除某个数据后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差，C对； 对于D选项，由，则， 所以、、、的方差为，D错. 故选：BC. 11. 关于统计量，下列说法正确的是（ ） A. 统计量的值越大，两个分类变量的线性相关程度越强 B. 若求出统计量，由于6.31比较接近，因此能推断两个分类变量有关系，且犯错误概率不超过0.01 C. 独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的 D. 根据统计量的构造过程可知，的值越小，零假设成立的可能性越大． 【答案】CD 【解析】 【分析】根据独立性检验的思想以及的性质逐项分析判断. 【详解】对于选项A：统计量的值越大，两个分类变量的相关的可能性越大，与线性相关程度无关，故A错误； 对于选项B：因为， 在犯错误概率不超过0.01的前提下，没有足够条件推断两个分类变量有关系，故B错误； 对于选项C：根据独立性检验思想可知： 独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的，故C正确； 对于选项D：根据独立性检验思想可知：的值越小，零假设成立的可能性越大，故D正确； 故选：CD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知和之间的一组数据如右表；与线性相关，且回归方程为，为的方差的0.6倍，则当时，___________. 0 1 2 3 5 【答案】## 【解析】 【分析】由题意求得两个变量的平均值，即样本中心，将其代入回归直线，可得斜率，进而可得答案. 【详解】由表格可得的平均值， 则， 由表格可得的平均值， 将代入回归直线，可得，解得， 则，当，则. 故答案为：. 13. 已知事件，相互独立，且，，则____________. 【答案】## 【解析】 【分析】先判断之间的关系，再根据对立事件和独立事件的概率计算公式求得结果. 【详解】因为，相互独立，所以，也相互独立， 又因为，， 所以， 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则_____________. 【答案】8 【解析】 【分析】因为抛物线的准线为，是上一点，所以设点，，利用，求得，即可求得答案. 【详解】抛物线的准线的方程为，焦点为. 设点，， ，即 ， 可得： ，即，代入 解得： ，即 由两点间距离公式可得: . 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了加强对学生动手操作能力的培养，将素质教育落到实处，某校开展了剪纸、刺绣、草艺、泥塑民间工艺活动，学校要求每名学生至少参加其中一项活动．为了解上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，得到如下数据： 工艺活动编号 1 2 3 4 工艺活动名称 剪纸 刺绣 草艺 泥塑 高一学生参加活动人数 50 30 30 60 高二学生参加活动人数 40 25 80 50 高三学生参加活动人数 40 10 40 40 以频率作为概率． （1）从样本中随机选取了1名学生，估计这名学生参加了剪纸活动的概率； （2）从高一、高二、高三学生样本中各随机选取了1名学生，估计这3名学生中恰有2人参加了剪纸活动的概率； （3）为了进一步了解不同年级学生对以上各项工艺活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三学生样本中各随机选取了1名学生进行调查，设这3名学生均参加了第项工艺活动的概率为，求的最大值． 【答案】（1） （2）0.32 （3）0.12． 【解析】 【分析】（1）由古典概率的定义求解即可； （2）由相互独立事件的乘法公式求解即可； （3）由相互独立事件的乘法公式求出，比较大小即可得出答案. 【小问1详解】 样本中学生共有300人， 参加了剪纸活动的学生人数为， 所以这名学生参加了剪纸活动的概率为． 【小问2详解】 从高一、高二、高三学生样本中各随机选取了1名学生， 估计这3名学生中恰有2人参加了剪纸活动的概率为: ． 【小问3详解】 由题意可知，， ， ， ， 故最大，且为0.12． 16. 已知圆关于直线对称，且过点 （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）若直线过点，且与圆交于，两点，满足，求直线的方程． 【答案】（1）圆心坐标为，半径为 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据圆心在直线上和点在圆上，列方程可求，进而可得圆的圆心和半径. （2）利用几何法，根据弦长可求圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，可求直线的斜率，进而得到的方程. 【小问1详解】 由题意：. 所以圆：. 所以圆的圆心为，半径. 【小问2详解】 因为，所以圆心到直线的距离为：. 设直线的点斜式方程为：，即. 由或. 所以直线的方程为：或. 17. 某小区的住房结构有A和B两种户型，从中各随机抽取40户，调查他们的月平均电费，所得数据如下： 月平均电费 低于200元 不低于200元 A户型 32 8 B户型 18 22 （1）分别估计该小区A户型和B户型居民的月平均电费低于200元的概率； （2）根据列联表，能否有99%的把握认为该小区居民的月平均电费与所居住的户型有关？ 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）， （2）有99%的把握认为该小区居民的月平均电费与所居住的户型有关 【解析】 【分析】（1）根据古典概型计算即可； （2）由列联表，根据独立性检验公式计算比较即可. 【小问1详解】 A户型居民的月平均电费低于200元的概率， B户型居民的月平均电费低于200元的概率 . 【小问2详解】 根据列联表． ∴有99%的把握认为该小区居民的月平均电费与所居住的户型有关. 18. 随着电池充电技术的逐渐成熟，以锂电池为动力的新一代无绳类电动工具以其轻巧便携､工作效率高､环保､可适应多种应用场景下的工作等优势，被广泛使用.在消费者便携无绳化需求与技术发展的双重驱动下，锂电类无绳电动工具及配套充电器市场有望持续扩大.某公司为适应市场并增强市场竞争力，逐年增加研发人员，使得整体研发创新能力持续提升，现对2017~2021年的研发人数作了相关统计，如下图： 2017~2021年公司的研发人数情况（年份代码1~5分别对应2017~2021年） （1）根据条形统计图中数据，计算该公司研发人数与年份代码的相关系数，并由此判断其相关性的强弱； （2）试求出关于的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数.（结果取整数） 参考数据：，.参考公式：相关系数.线性回归方程的斜率，截距. 附： 相关性 弱 一般 强 【答案】（1），与具有很强的线性相关关系 （2），预测2023年该公司的研发人数约为613人 【解析】 【分析】（1）首先求，根据参考公式求值，代入相关系数公式，即可求解； （2）根据参考公式求和，即可求得回归直线方程，并代入求预报值. 【小问1详解】 由条形统计图，得， ， 所以 ， . 所以. 因为相关系数，所以与具有很强的线性相关关系，且为正相关. 【小问2详解】 ， 所以， 所以. 由题意知，2023年对应的年份代码， 当时，， 故预测2023年该公司的研发人数约为613人. 19. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为为坐标原点，的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线交椭圆于两点，的中点坐标为，求直线的方程； （3）如图所示，过点的直线与椭圆交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点．判断点是否为线段的中点，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）方法一：点为线段的中点，理由如下：由题知直线的斜率存在，如下图所示： 设过点的直线的方程为，即． 联立，得． 整理得． 由，得． 设， 则 直线的方程为， 令，得点的纵坐标． 直线的方程为， 令，得点的纵坐标． 要证点为线段的中点，只需证明，即 因为 ， 即， 所以点为线段的中点 方法二：要证点为线段的中点，只需证明：． 只需证明： 只需证明：． 设直线的方程为，即． 由得． 整理得 由得 所以 显然，原命题为真． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可； （2）设，再根据点差法求解即可； （3）方法一：设过点的直线的方程为，联立椭圆方程，得出韦达定理，再证明即可； 方法二：化简可得只需证明：，再设直线的方程为，联立椭圆的方程，构造可得，进而根据韦达定理证明. 【小问1详解】 由题可知，得． 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设，已知RS的中点坐标为，则 所以，所以， 直线的方程为：，即 所以直线的方程为： 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $