第2章二次函数 单元达标测试题 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

2025-2026学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列关于二次函数的说法，不正确的是（   ） A．图象关于直线对称 B．图象开口向上 C．图象的顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而增大 2．将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 3．将二次函数改写成顶点式，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．抛物线与坐标轴有个交点，则（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 6．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：小球从抛出到落地需要；小球运动时的高度小于运动时的高度；小球运动中的高度可以是，其中正确结论是（   ） A． B． C． D． 7．如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 8．如图，抛物线经过点，对称轴为．下面有四个结论：①；②；③；④关于的不等式的解集为．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 二、填空题（满分24分） 9．已知点是抛物线上的一点，则a的值为 ． 10．已知抛物线的对称轴为直线，则m的值是 . 11．若方程的解为，则二次函数的对称轴为 ． 12．抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位，然后将所得抛物线绕坐标原点旋转，所得抛物线的解析式是 ． 13．已知二次函数，当时，的取值范围为 ． 14．2025年长江文化艺术节烟花秀场面十分壮观，烟花的飞行路径可视为抛物线，在一次发射中，记录一枚烟花的飞行高度h米与飞行时间t秒的关系式为，则该枚烟花能达到的最大高度为 米． 15．若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解 ． 16．如图，二次函数（是常数，且）的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．当的最小值等于时，则的值为 ． 三、解答题（满分72分） 17．已知二次函数． (1)用配方法将化成的形式； (2)当取何值时，随的增大而减小？ 18．已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： 0 2 3 4 5 2 2 5 10 (1)根据上表填空： ①这个抛物线的对称轴是__________，抛物线一定会经过点（，__________）； ②抛物线在对称轴左侧部分是__________（填“上升”或“下降”）； (2)如果将抛物线向下平移使它经过点，求平移后的抛物线的表达式． 19．已知二次函数． (1)请在坐标系中画出二次函数的图象； (2)观察图象，回答下列问题： ①直接写出方程的解：_______； ②当时，x的取值范围是_______； (3)观察函数图象，请写出一条函数的性质：_______． 20．中国石拱桥历史悠久、形式优美而且结构坚固，在世界桥梁史上占据重要地位．如图为一座呈抛物线型的石拱桥的示意图，正常水位时，桥下水面宽度为，拱顶距离水面高度为． (1)以的中点为坐标原点，建立如图坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式． (2)水面在正常水位时，一艘装满物资的小船，露出水面的部分为，宽为，则该小船能从这座拱桥下通过吗？ 21．如图，对称轴为直线的抛物线经过、两点，抛物线与轴的另一个交点为 (1)求抛物线的解析式； (2)若点为第一象限内抛物线上的一点，设四边形的面积为，求的最大值． 22．某超市的某种商品进价为每件元，当售价为每件元时，每天可售出件．市场调查反映：如有降价活动，每降价元，该商品每天可多售出件． (1)降价活动期间，设降价数额为元（为非负整数）， ①用含的式子表示该商品降价后每天多售出的件数是 件； ②设该超市出售该商品每天所得利润为元，请求出关于的函数解析式； (2)该超市的员工说：“只要降价后售价高于进价，每天降价促销的利润都会比不降价的时候更大．”就该商品而言，你认为这名员工的说法是否正确？请说明理由． 23．如图，抛物线的图象与x轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式和点的坐标． (2)连接，若线段上方的抛物线上有一点，线段上有一点，且轴，求的最大值，并求出此时点的坐标． (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据二次函数顶点式的性质，分析开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，故A、B正确，不符合题意；C错误，符合题意； ∴当时，随增大而增大，故D正确，不符合题意． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．解决本题的关键是熟知平移口诀． 根据平移口诀“左加右减，上加下减”即可解答． 【详解】解：抛物线先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查通过配方法将二次函数化为顶点式． 【详解】解： ， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据二次函数的图象和性质，先确定对称轴，再根据增减性进行求解即可． 【详解】解：∵ 二次函数的对称轴为，且开口向下， ∴ 点离对称轴越近，值越大， 计算各点到对称轴的距离： 点：， 点：， 点：， ∴ 距离关系：近，其次，最远， 故值大小关系为，即， 故选： C． 5．B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x轴的交点情况，由已知条件可知抛物线与x轴有两个交点，只需即可． 【详解】解：∵抛物线与坐标轴有个交点，且与轴必有一交点， ∴需与轴有两个交点，即判别式， 解得, 又∵当时，抛物线过原点，与坐标轴只有两个交点， ∴, 综上，且, 故选：B． 6．B 【分析】本题考查二次函数的应用，解此题的关键是把实际问题转化成数学问题． 令解方程求出t的值，即可判断①，分别求出和时的值是，即可判断②，令，即可判断③． 【详解】解：∵落地时高度， ∴ 解得或， ∵为抛出时刻， ∴落地时间为，故①正确． 当时， ； 当时， ， ∵，故②正确． 根据题意得， ， ∴， ∴ ， ∴方程无实数解， ∴高度不可能达到，故③错误． 综上，正确结论为①②， 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 8．C 【分析】根据抛物线的图象在直角坐标系中的位置及其对称轴可确定、、符号及数量关系，可判断①②；根据抛物线的对称性可确定抛物线与轴的另一个交点，可判断③；确定直线的解析式，然后根据图形的位置可确定不等式的解集，可判断④． 【详解】解：由图知：抛物线的图象开口向下，对称轴为，图象与轴的交点在原点上方， ∴，，， ∴， ∴，故结论①不正确； ∵， ∴，故结论②不正确； ∵抛物线经过点，对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， 即，故结论③正确； 如图，设抛物线与轴的交点为，且设，过点，作直线， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 由图知：当时，抛物线的图象在直线的上方，即此时抛物线的函数值大于一次函数值， ∴关于的不等式的解集为， 即关于的不等式的解集为，故结论④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线图象与各项系数的符号，抛物线的对称性，根据图象判断式子的符号，根据交点确定不等式的解集，待定系数法确定函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 9．3 【分析】本题考查了二次函数的性质．由于点P在抛物线上，将其横坐标代入抛物线方程，即可求得纵坐标a的值． 【详解】解：∵点是抛物线上的一点， ∴， 故答案为：3． 10． 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的对称轴为直线进行求解即可． 【详解】解：由抛物线的对称轴为直线，可知：， ∴； 故答案为． 11．直线 【分析】本题考查了根据一元二次方程的解求二次函数的对称轴． 由根与系数的关系可知，进而根据二次函数的对称轴为直线计算即可． 【详解】解：由根与系数的关系可知，方程的两根之和为， 则二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴对称轴为直线． 故答案为：直线． 12． 【分析】此题考查了二次函数图像的平移，二次函数的性质，解题的关键是理解二次函数图象的平移规则．先对原抛物线进行平移变换，得到新抛物线的解析式，再根据绕原点旋转的性质，确定旋转后的顶点坐标和开口方向，从而得出解析式． 【详解】解：抛物线， 向左平移2个单位，向下平移3个单位后，解析式为，则顶点为， 将所得抛物线绕原点旋转后，顶点变为，开口方向由向上变为向下， 故解析式为． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式及对称轴、开口方向对函数值取值范围的影响是解题的关键． 先将二次函数化为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，再分别计算区间端点及顶点处的函数值，从而确定的取值范围． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 当时，， 抛物线开口向上，对称轴在范围内， 当时，的最小值为，且， 的取值范围为． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查二次函数的性质．由给定的顶点式可直接得出函数的最大值． 【详解】∵，二次项系数， ∴函数有最大值， ∵顶点坐标为， ∴最大高度为34米． 故答案为：34． 15． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，可直接求出的值． 【详解】解：二次函数的对称轴为，关于x的一元二次方程的一个解，另一个解为， ， ， 故答案为：． 16．4 【分析】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，可求出点B和点C的坐标，得到线段的长，由对称性可知，则当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，由勾股定理求出的长，再根据的最小值等于，可建立关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，当时，， 当时，，整理得，即， 解得，， ∴，，， ∴； 由对称性可知， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∵的最小值等于， ∴， 解得， 故答案为：4． 17．(1) (2) 当时，y随x的增大而减小 【分析】此题考查二次函数化为顶点式及二次函数的性质， （1）根据配方法将二次函数化为顶点式； （2）根据二次函数的性质确定增减性． 【详解】（1）解： （2）∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小． 18．(1)①，10；②下降 (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）①根据表格可知对称轴为直线，然后根据对称性可进行求解；②根据表格可直接进行求解； （2）由表格可知函数过点，由题意易得该抛物线向下平移5个单位长度，进而问题可求解． 【详解】（1）解：①由表格可知：点和点关于该抛物线的对称轴对称， ∴对称轴为直线， 根据对称性可知：当时，则该点关于对称轴对称的点的横坐标为， ∴根据表格可知：当时，则； ②根据表格及①可知：抛物线在对称轴左侧部分是下降； 故答案为，10；下降； （2）解：由表格可知函数过点， ∵将抛物线向下平移使它经过点， ∴该抛物线向下平移5个单位长度， 由表可把点，，代入得： ，解得：， ∴， ∴该函数向下平移5个单位长度后所得函数解析式为． 19．(1)见解析； (2)①，；②或； (3)该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小；函数的最小值为（任选一条即可）． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象画法、二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质是解题的关键． （1）先确定二次函数的顶点坐标，再找几个特殊点，然后描点连线画出图象． （2）①方程的解就是二次函数图象与轴交点的横坐标，通过观察图象可得． ②当时，的取值范围是二次函数图象在轴上方部分对应的横坐标范围，观察图象可得． （3）从二次函数的顶点、对称轴、单调性、最值等方面观察图象总结性质． 【详解】（1）解：坐标系中画出二次函数的图象如图所示， （2）解：①∵方程的解是二次函数图象与轴交点的横坐标， 观察图象可知，二次函数图象与轴交点的横坐标为和， ∴方程的解为，． ②当时，二次函数图象在轴上方， 观察图象可知，此时或， ∴的取值范围是或． （3）解：该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小；函数的最小值为（任选一条即可）． 20．(1) (2)该小船不能从拱桥下通过，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用： （1）待定系数法求函数解析式； （2）将代入求的值，进而得到答案． 【详解】（1）解：以的中点为坐标原点， 设抛物线的解析式为， 桥下水面宽度为，拱顶距离水面高度为， ， ， 将代入得：， 解得：， 故该拱桥所在抛物线的表达式为：． （2）不能通过 理由如下： 船宽为， 当时，， 该小船不能从这座拱桥下通过． 21．(1)； (2) 【分析】（）根据抛物线的对称性得出点的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （）作辅助线把四边形分成梯形和直角三角形，求出的二次函数，再根据二次函数的性质求解即可； 本题二次函数的几何应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由抛物线的对称性得，， 设抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，设点，过作轴，垂足为， 则，， ∵， ∴， ∴ ， ∵ ∴的最大值为． 22．(1)①；②（，为整数） (2)员工的说法不正确．见解析 【分析】本题主要考查列代数式和整式的加减，读懂题意是解答本题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）设降价后的销售利润与降价前的销售利润的差为，先得到的关系式，算出时，的取值，再根据二次函数的性质判断即可． 【详解】（1）解：（1）①降价活动期间，降价数额元，则该商品每天多售出的件数为件， ②设该超市出售该商品每天所得利润为元， （，为整数） （2）解：这名员工的说法不正确．理由如下： 设降价后的销售利润与降价前的销售利润的差为， 令，得 解得， 当时，， 即当时，每天降价促销的利润都会比不降价的时候小． 这名员工的说法不正确 23．(1)， (2)， (3)存在满足条件的点的坐标有． 【分析】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用平行四边形的性质，根据平行四边形对角线中点坐标相同求点的坐标是解题的关键． ()根据待定系数法，即可求得抛物线的解析式； ()先求出直线解析式，设点的坐标为，点的坐标为，且轴，得的解析式，即可求解； ()分类讨论：当为对角线，当为对角线，当为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同进行求解即可． 【详解】（1）解：将点和点的坐标分别代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）∵抛物线与轴交于点， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点和的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为 ∵点在抛物线上且在线段上方，点在线段上，且轴， ∴设点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴当时，有最大值， ∴， 此时，点的坐标为； （3）∵抛物线解析式， ∴抛物线对称轴为直线，设， ①如图，当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， ∴， 在中，当时，， ∴， ②当且时，可得： ， ∴或， 在中， 当时，，当时，， ∴或； 综上所述，存在满足条件的点的坐标有． 学科网（北京）股份有限公司 $