精品解析：河南省南阳市社旗县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025年秋期八年级期中教学质量评估试卷 数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列四个选项中，负无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 3 2. 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 3. 的相反数是（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 下列说法：①是9的平方根；②实数可以分为正实数和负实数两类；③的立方根是；④负数没有平方根，其中正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 古人对全等三角形的认识源于测量，据史料记载，古希腊学者泰勒斯应该是第一个应用全等三角形的人．下面是人们测量池塘两端距离的一种方法：如图． A、B两点分别位于池塘的两端，以为边作 在 的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等中的 （ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②；③；④，你认为其中正确的有（ ） A. B. C. D. 9. 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的大小间的关系是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，点、分别在、上，、相交于点，若，则再添加一个条件，仍不能证明≌的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 用一组a，b的值说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题，若a＝﹣3，则b的值可以是___________．（写出符合要求的一个即可） 13. 图2是图1折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．撑开后的折叠凳宽度，则______． 14. 多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是________（填一个即可）． 15. 如图，在中，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段上由C点向A点运动．若发现与恰好全等，则点Q运动速度可能为________ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 因式分解： 解：原式 第一步 第二步 第三步 任务： （1）填空：以上解题过程中，第三步进行因式分解用到的方法是______法． （2）在同桌互查过程中，小明的同桌指出小明的因式分解结果是错误的，具体错误是______． （3）在小组交流过程中，大家发现这道题可以先运用公式法进行因式分解，再继续完成．请你按照这样的思路完成正确的因式分解过程． 19. 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 在学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她先发现了角平分线的另一种作法，后利用三角形全等证明了她的作法． 第一步：构造角平分线． 如图，小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线．在边上截取，过点F作的垂线与的垂线交于点P，作射线，即为的平分线． 第二步：利用三角形全等证明她的作法． 已知：，_____，______． 求证：是的角平分线． 请根据小红的作法补全已知并完成证明． 21. 实践教学：某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量，数据如图所示． 数据应用： （1）请分别计算这两个建筑物的占地面积； （2）若，则图______的面积更大（填“1”或“2”） 22. 阅读下列内容，并按要求回答问题． 问题：用长度为16米的篱笆围一个长方形区域，小明认为围成一个正方形区域可使面积最大，而小亮认为不一定，你是怎么想的？说说你的道理． 下面是课堂上两位同学的解答过程： 解：我认同小明的观点，列表如下： 长（单位：m） 1 2 3 4 5 6 7 宽（单位：m） 7 6 5 4 3 2 1 面积（单位：） 7 12 15 16 15 12 7 发现当长、宽都等于4米时，围成的长方形区域的面积最大，所以用长度为16米的篱笆围一个长方形区域，当围成一个正方形区域时可使面积最大． 解：设篱笆围成的长方形区域的长为米，则宽为米，根据题意，该长方形区域的面积为平方米． ∵， …… ∴当时，代数式有最大值16． 当时，， 即当长、宽都等于4米时，围成的长方形区域的面积最大，最大面积为16平方米． 所以我认同小明的观点． （1）第二名同学的解题过程中，▲、■、★表示的数分别为______、______、______； （2）请你仿照第二名同学的方法，求当取什么值时，代数式有最小值，最小值是多少？ 23. （1）【发现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出三角形全等的模型图（如图2），如图2，，，于点，于点．由，得；又，可以通过推理得到，进而得到______，______．我们可以把这个数学模型称为“一线三等角”模型． （2）【类比】如图，在中，，点都在直线上，并且．若，，求的长度（用含的代数式表示）； （3）【拓展】如下图，在中，，，于点，于点，，，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期八年级期中教学质量评估试卷 数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列四个选项中，负无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：A．是负无理数，故A符合题意； B．是有理数，故B不符合题意； C．0是有理数，故C不符合题意； D．3是有理数，故D不符合题意． 故选：A． 2. 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数的方法是解题的关键； 根据，可得，即可得到答案 【详解】解：∵， ∴， ∴估计的值在1和2之间， 故选：A 3. 的相反数是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的计算及相反数的概念，解题的关键是先求出√4的具体值，再根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）确定其相反数． 计算的值：因为，所以；求2的相反数：根据相反数定义，2的相反数是，因此的相反数是． 【详解】解：∵表示4的算术平方根，且， ∴． 根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），可得2的相反数是，即的相反数是． 故选：B． 4. 下列说法：①是9的平方根；②实数可以分为正实数和负实数两类；③的立方根是；④负数没有平方根，其中正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根定义，实数的分类等，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键．根据相关定义逐一判断每个说法的正确性即可． 【详解】解： ①是9的平方根，故①正确； ②实数包括正实数、负实数和零，故②错误； ③的立方根是，故③错误； ④在实数范围内，负数没有平方根，故④正确； 综上，正确说法有2个． 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分数除法、同底数幂的乘法、积的乘方和同底数幂除法． 逐一计算并判断各选项的正确性即可． 【详解】解：∵选项A：，∴A错误； ∵选项B：，∴B错误； ∵选项C：，∴C错误； ∵选项D：，∴D正确； 故选：D． 6. 古人对全等三角形的认识源于测量，据史料记载，古希腊学者泰勒斯应该是第一个应用全等三角形的人．下面是人们测量池塘两端距离的一种方法：如图． A、B两点分别位于池塘的两端，以为边作 在 的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等中的 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据证明，得到，即可解答． 【详解】解：在和中 ∴， ∴． 故选：D． 7. 如图，已知，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选C． 8. 如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②；③；④，你认为其中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的应用，根据长方形面积公式判断各式是否正确即可，根据图形正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：，该选项正确，符合题意； ，应为，该选项错误，不符合题意； ，该选项正确，符合题意； ，该选项正确，符合题意； ∴正确的有， 故选：． 9. 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的大小间的关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易证Rt△ABC≌Rt△DEF，从而可得，再利用直角三角形两锐角互余即可得正确结论． 【详解】∵ 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴ ∴ 又∵在中, ∴ 故选：D 【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定和性质在实际问题中的应用，问题简单． 10. 如图，点、分别在、上，、相交于点，若，则再添加一个条件，仍不能证明≌的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可． 【详解】解：A、可利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意； B、根据三角形外角的性质可得∠A＝∠B，再利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意； C、不可利用SSA证明△AOC≌△BOD，故此选项符合题意； D、根据线段的和差关系可得OA＝OB，再利用SAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12. 用一组a，b的值说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题，若a＝﹣3，则b的值可以是___________．（写出符合要求的一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】当a＝﹣3，b＝0时，根据有理数的乘方法则得到a2＞b2，根据有理数的大小比较法则得到a＜b，根据假命题的概念解答即可． 【详解】解：当a＝﹣3，b＝0时，a2＝9，b2＝0， 此时a2＞b2，而a＜b， ∴命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题， 故答案为：0（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断、有理数的乘方，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 13. 图2是图1折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．撑开后的折叠凳宽度，则______． 【答案】36 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，以及三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法和性质定理．利用定理判定，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵O是和的中点， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：36． 14. 多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，根据题意可得多项式加上一个单项式后可以变为一个多项式的平方的展开式，据此根据完全平方公式的特点求解即可． 【详解】解：由题意得，加上的单项式可以为，理由如下： ， ∴符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，在中，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段上由C点向A点运动．若发现与恰好全等，则点Q运动速度可能为________ 【答案】2或3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质定理和等腰三角形的性质，能根据全等三角形的性质定理得出 两种情况是解此题的关键，注意∶全等三角形的对应边相等．设运动时间是t秒，点的运动速度为厘米秒，根据全等三角形的性质得出两个情况∶①，②，代入后先求出t，再求出x即可． 【详解】解：设两点的运动时间为秒，点的运动速度为厘米秒， ，． 点为的中点， ①当时， ②当时， 综上，当点的运动速度为2或3厘米秒时，能够使与全等． 故答案为∶2或3． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分别计算乘方、立方根、绝对值以及有理数的乘法，再进行加减计算； （2）先计算单项式乘以多项式，再进行合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算——化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式等计算中括号内的、再利用多项式除以单项式化成最简，然后将的值代入化简后的式子即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 18. 下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 因式分解： 解：原式 第一步 第二步 第三步 任务： （1）填空：以上解题过程中，第三步进行因式分解用到的方法是______法． （2）在同桌互查过程中，小明的同桌指出小明的因式分解结果是错误的，具体错误是______． （3）在小组交流过程中，大家发现这道题可以先运用公式法进行因式分解，再继续完成．请你按照这样的思路完成正确的因式分解过程． 【答案】（1）提公因式 （2）因式分解的结果不彻底，其中还可以进行因式分解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式、提公因式法以及因式分解等知识点，熟练掌握平方差公式的识别与因式分解必须彻底的原则是解题关键． （1）直接观察可得出方法为提公因式法； （2）小明分解至第三步时停止，应继续利用平方差公式对展开； （3）对原式直接应用平方差公式，化简并提取公因数，最终得到． 【小问1详解】 解：第三步中把8提取出来，并将其作为公因式，因此用到的方法为提公因式法， 故答案为：提公因式 【小问2详解】 解：第三步中未对进行因式分解，应该利用平方差公式对其展开为， 故答案为：因式分解的结果不彻底，其中还可以进行因式分解 【小问3详解】 解： 19. 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）11 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 在学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她先发现了角平分线的另一种作法，后利用三角形全等证明了她的作法． 第一步：构造角平分线． 如图，小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线．在边上截取，过点F作的垂线与的垂线交于点P，作射线，即为的平分线． 第二步：利用三角形全等证明她的作法． 已知：，_____，______． 求证：是的角平分线． 请根据小红的作法补全已知并完成证明． 【答案】 已知：，，， 求证：平分． 证明：，， ， 在和中， ， ， ， 平分 故答案为：，， 利用证明三角形全等即可． 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．第一步根据题意补全填空即可，第二步先判定，再利用全等三角形性质得出对应角相等即可得证． 【详解】略 21. 实践教学：某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量，数据如图所示． 数据应用： （1）请分别计算这两个建筑物的占地面积； （2）若，则图______的面积更大（填“1”或“2”） 【答案】（1）图1中建筑物的占地面积为，图2中建筑物的占地面积为 （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的乘法、因式分解，能根据题意用含a，b的代数式分别表示出两个建筑物的占地面积是解题的关键． （1）根据所给图形，用含a，b的代数式分别表示出两个建筑物的占地面积即可． （2）根据（1）中所得代数式，结合即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题意得， 图1中建筑物的占地面积为：； 图2中建筑物的占地面积为：． 【小问2详解】 解：， 因为， 所以， 所以图1的面积更大． 故答案为：1． 22. 阅读下列内容，并按要求回答问题． 问题：用长度为16米的篱笆围一个长方形区域，小明认为围成一个正方形区域可使面积最大，而小亮认为不一定，你是怎么想的？说说你的道理． 下面是课堂上两位同学的解答过程： 解：我认同小明的观点，列表如下： 长（单位：m） 1 2 3 4 5 6 7 宽（单位：m） 7 6 5 4 3 2 1 面积（单位：） 7 12 15 16 15 12 7 发现当长、宽都等于4米时，围成的长方形区域的面积最大，所以用长度为16米的篱笆围一个长方形区域，当围成一个正方形区域时可使面积最大． 解：设篱笆围成的长方形区域的长为米，则宽为米，根据题意，该长方形区域的面积为平方米． ∵， …… ∴当时，代数式有最大值16． 当时，， 即当长、宽都等于4米时，围成的长方形区域的面积最大，最大面积为16平方米． 所以我认同小明的观点． （1）第二名同学的解题过程中，▲、■、★表示的数分别为______、______、______； （2）请你仿照第二名同学的方法，求当取什么值时，代数式有最小值，最小值是多少？ 【答案】（1）；； （2）当时，代数式有最小值为 【解析】 【分析】（1）根据材料中第二名同学的解答过程，按照配方法直接作答即可得到答案； （2）第二名同学的解答过程实际上就是利用配方法求代数式最值，仿照方法即可求解． 【小问1详解】 解： ， ▲表示的数为；■表示的数为；★表示的数为； 【小问2详解】 解： ， ， ， 当时，代数式有最小值为． 【点睛】本题考查阅读理解，主要涉及配方法的运用，读懂题中材料，仿照材料中方法求解是解决问题的关键． 23. （1）【发现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出三角形全等的模型图（如图2），如图2，，，于点，于点．由，得；又，可以通过推理得到，进而得到______，______．我们可以把这个数学模型称为“一线三等角”模型． （2）【类比】如图，在中，，点都在直线上，并且．若，，求的长度（用含的代数式表示）； （3）【拓展】如下图，在中，，，于点，于点，，，则______． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：、、、、，熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键． （1）根据全等三角形的性质即可得答案； （2）利用外角性质可得出，利用可证明，根据全等三角形的性质得出，，利用线段的和差关系即可得答案； （3）利用角的和差关系得出，利用可证明，根据全等三角形的性质得出，，利用线段的和差关系即可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，． 故答案为：， （2）∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴． （3）∵，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $