第28章 锐角三角函数章节检测 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级下册

《锐角三角函数》章节检测题 参考答案 一、1. B 2. A 3. D 4. A 5. D 6. A 7. A8. A 9. B 10. D 11. C 12. C 二、13.20° 14.2.7 三、17.(1)原式=1;(2)原式: 18. 在△ABC 中,∠A,∠B 都是锐角, 19.根据题意，得∠ ∴乙楼的高为：21+18=39(m). 20.(1)在 中， 设DE=3x,则 (2)过点A 作AF⊥BC于点 F,则DE∥AF, ∵D是AB的中点,∴DE是△ABF的中位线, ∴AF=2DE,BF=2BE,由(1)知:DE=BE=3, ∴AF=6,BF=6,∴CF=BC=BF=1,∴tan∠ACB=6. 21.(1)由题意得,BM⊥OM,∵∠BOM=18.17°,BM=3米,在 Rt△BOM中, (米). 答：直吊臂OB的长约为10米； (2)延长BM 交水平线于点 F,由题意得BF⊥OF,OB=10米,BM=3米, 在 Rt△BOF中,BF=OB×cos∠OBM=10×0.81=8.1(米),∴MF=BF-BM=8.1-3=5.1≈5(米),∴货物M上升了约5米. 或 (舍去), ∴CD 的长度为 23.(1)∵四边形 PQMN是矩形,∴∠Q=∠P=90°,在 Rt△ABQ 中,∠ABQ=60°,AB=5.4m, ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90°, ∵∠PAD=180°-30°=60°,∴AP=AD·cos∠PAD= (2)在 Rt△BCE中, 在 Rt△ABQ中,BQ=AB·cos∠ABQ=2.7 m, ∵该充电站有20个停车位,∴QM=QB+20BE=66.7 m, ∵四边形 PQ∵四边形 PQMN是矩形,∴PN=QM=66.7 m. 24.(1)过点A 作AE⊥CD 于 E,过点 B 作. 于 F,∴∠AED=∠BFC=90°,由题意得,∠DAE=30°,在Rt△ADE中, (千米),DE=AD·sin∠DAE=20·sin30°=10(千米),∵甲无人机位于A 的正东方向10 千米的 B处，D位于C的正西方向上,∴AB∥CD,∴AE⊥AB,BF⊥AB,∴四边形AEFB 是矩形,∴EF=AB=10 千米,BF=AE= 千 米 ,∴DF =DE +EF =20 千 米 ,∴BD = (千米).答：BD的长度约为26.5千米； (2)当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足 MN=20千米,过点 M作 MT⊥CD于 T,由题意得 , ∠BCF=90°-30°=60°, 在 Rt△FBC 中 ,BC= 千米， 千米,∴CD=DF+CF=30千米, 设 BM=x千米,则DN=2x千米,CM=(20-x) 千米,在 Rt△CMT 中,CT=CM·cos∠MCT=(20-x)·cos60°= 千米,MT=CM·sin∠MCT=(20-x)·sin60°= 千米， 千米，在 Rt△MNT中，由勾股定理得 或 (此时大于BC的长，舍去), (千米). 答：甲无人机飞离B处3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号. MN是矩形,∴PN=QM=66.7 学科网（北京）股份有限公司 $ 《锐角三角函数》章节检测题 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(2025·广西)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=7,AC=3,则sinB= 【 】 B. D. 2.(2024·淄博)如图1，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC为35 m.又在点 C 处测得该楼的顶端A 的仰角是29°.则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是【】 A. 3 5 tan B. 3 5 ÷ tan C. sin D.35 ✗ cos 9 3.△ABC中,若∠C>90°,∠A=30°,下列各式成立的是 【 】 4.2025年4月24日，长征二号 F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，成功将陈冬、陈中瑞、王杰3名航天员搭载的神舟二十号载人飞船送入太空，标志着中国空间站进入了稳定的常态化运营阶段.如图2，当火箭上升到点A 时，位于海平面R 处的雷达测得点R 到点A 的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL 为 【 】 A. asinθ 千米 千米 C. acosθ千米 千米 5.如图3，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是 【 】 A. B. C. D. 6.如图4，点A，B，C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是 【 】 7.转化思想如图5,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,点D 是 CB延长线上的一点,且BD=BA,则tan∠DAC的值为 【 】 8.活动探究 如图6，某数学兴趣小组测量一棵树CD 的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B 处测得树顶C的仰角为60°，且A,B,D三点在同一直线上,若AB=16m,则这棵树CD 的高度是【】 9.如图7，某轮船在点O 处测得一个小岛上的电视塔A 在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔A 在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行 【 】 海里 海里 海里 海里 10.某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长 【 】 (参考数据： A.6米 B.3米 C.2米 D.1米 11.实践应用 某森林保护区开展了寻找古树活动.如图8，在一个坡度(或坡比)i=1∶2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A 的距离AC=26米，在距山脚点A 水平距离6米的点E处，测得古树顶端D 的仰角∠AED=48°(古树CD与山坡AB的剖面、点E 在同一平面上，古树CD与直线AE垂直)，则古树CD的高度约为(参考数据： 【 】 A.17.0米 B.21.9米 C.23.3米 D.33.3米 12.传统文化 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图9，在由四个全等的直角三角形 (△DAE,△ABF,△BCG,△CDH) 和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中,∠ABF>∠BAF, 连接BE. 设∠BAF=α,∠BEF=β,若正方形 EFGH 与正方形ABCD 的面积之比为1:n,tanα=tan²β,则n= 【 】 A.5 B.4 C.3 D.2 学科网（北京）股份有限公司 二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分.把答案写在题中横线上) 13.王明同学遇到了这样一道题， 则锐角α的度数为 14.如图10，将45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC 放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据 15.(2025·扬州)如图11-1，棱长为9 cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM=7cm.将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A 齐平，从正面看其示意图如图11-2所示,则tanα= . 16. 阅读理解与应用一般地,当α,β为任意角时, sin(α+β)与 sin(α-β)的值可以用下面的公式求得： 例如 类似地，可以求得 三、解答题(本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分7分)计算： 18.(本小题满分8分) 在△ABC中,∠A,∠B都是锐角, 且 求△ABC的面积. 学科网（北京）股份有限公司 19.(本小题满分8分)(2025·湖北)如图12,甲、乙两栋楼相距30 m,从甲楼A 处看乙楼顶部B的仰角为35°，A 到地面的距离为18m，求乙楼的高.(参考数据： 20.(本小题满分8分)如图13,在△ABC中,∠B=45°,CD是AB边上的中线,过点D作DE⊥BC,垂足为点 E,若 (1)求BC的长; (2)求∠ACB的正切值. 21.(本小题满分9分)(2025·凉山州)某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物 M 与点O 的连线MO 恰好平行于地面，BM=3米,∠BOM=18.17°.(参考数据:sin18.17°≈0.31,cos18.17°≈C ，结果精确到1米) (1)如图14-1,求直吊臂OB的长; (2)如图14-2,直吊臂OB 与 BM 的长度保持不变,OB 绕点O 逆时针旋转，当∠OBM=36°时，货物M 上升了多少米? 学科网（北京）股份有限公司 22.(本小题满分9分)阅读理解与应用 已知锐角 中,角A,B,C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式： (1)如图15-1,若 求b的值； (2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD (如图15-2), 若( 求景观桥CD的长度. 23.(本小题满分11分)(2024·广东)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图16是矩形 PQMN 充电站的平面示意图，矩形ABCD 是其中一个停车位. 经测量,∠ABQ=60°,AB=5.4m,CE=1.6m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定.(结果精确到0.1m，参考数据 根据以上信息回答下列问题： (1)求 PQ 的长; (2)该充电站有20个停车位，求PN的长. 学科网（北京）股份有限公司 24.(本小题满分12 分)实践应用(2025·重庆)为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况.如图17，A，B，C，D在同一平面内A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A 的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A 的南偏西30°方向20千米的D处.两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于 C的北偏西30°方向上. (参考数据： (1)求BD的长度(结果保留小数点后一位)； (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍.当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号(结果保留小数点后一位)? 学科网（北京）股份有限公司 $