专题01 与圆的方程有关的六种题型（高效培优专项训练）数学沪教版2020选择性必修第一册

专题01 与圆的方程有关的六种题型 题型一：圆的标准方程和一般方程 题型二：二元二次曲线与圆的关系 题型三：圆过定点问题 题型四：圆的对称性的应用 题型五：圆上的点到定点、定直线的距离 题型六：过圆内定点的弦长最值 题型一：圆的标准方程和一般方程 1．已知圆的一条直径的端点分别是、，则该圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心坐标和半径，即可得出圆的方程. 【详解】由题意可知，圆心坐标为，半径为， 故所求圆的方程为. 故选：A. 2．与圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求圆的圆心和半径，再求圆心关于直线的对称点，即可求得对称圆的方程. 【详解】圆：， 所以圆心为. 设关于直线的对称点为， 则 . 故所求圆的方程为：. 故选：A 3．已知为圆上的点，则圆的方程为 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法进行求解即可. 【详解】设圆的方程为， 为圆上的点， ，解得， 圆的方程为. 故答案为： 4．已知圆与圆外切，并且与直线相切于点，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，故直线的方程为，设，可得，求解即可得圆的方程. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径． 因为圆与直线相切于点，所以，且圆的半径． 因为直线与轴垂直，所以直线的方程为． 因为圆与圆外切，所以，设， 则，依题意， 所以，解得， 所以， 所以圆的标准方程为． 5．求与圆：关于直线l：对称的圆的标准方程 . 【答案】 【分析】根据圆的方程设圆心关于直线l：对称的圆心坐标为，列方程组解得的坐标，从而得对称圆的标准方程. 【详解】圆：的圆心为，半径， 设圆心关于直线l：对称的圆心坐标为， 则，解得，故， 所以对称的圆的标准方程为. 故答案为：. 6．过三点的圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】利用圆的一般方程，结合待定系数法即可求解. 【详解】设圆的一般方程为：， 因为圆经过三点， 所以有，联立解得：， 即圆M的一般方程为：, 化为标准方程得： 故答案为： 7．若圆过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据圆心在直线上，可设，结合圆过两点，可知，解方程即可得圆心与半径，即可得解. 【详解】根据圆心在直线上， 则设圆心坐标为， 又圆过两点，， 则， 即， 解得， 所以圆心， 半径， 即圆的方程为， 故答案为：. 8．方程表示圆，直线与圆相交于两点，且为坐标原点)，则以为直径的圆方程是 . 【答案】 【分析】过交点的圆方程可设为：，然后根据垂直关系求出参数值，从而求得圆方程. 【详解】因为方程表示圆，则，解得. 过交点的圆方程可设为：， 化简得. 因为，则在以为直径的圆上，则，且圆心在直线上，故，得，则， 代入曲线方程，得即为所求. 故答案为：. 9．（1）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.斜率是，且经过点； （2）求满足下列条件的曲线的标准方程：过三点、、的圆； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据点斜式，即可求出直线方程，再将其化为一般式方程；（2）待定系数法求解圆的方程. 【详解】（1）由点斜式方程，可知所求直线的方程为， 化为一般式方程为. （2）设圆的标准方程为， 根据题意，，解得， 所以圆的标准方程为 10．已知圆 (1)若，求圆的圆心与半径； (2)求圆心的轨迹方程； (3)是否存在定直线，使得动圆截直线所得的弦长恒为若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，直线方程为或 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程即可求解. （2）求得的坐标并消去参数，从而求得的轨迹方程. （3）求得圆心到直线的距离，根据两平行线间的距离公式求得正确答案. 【详解】（1）当时，圆， 即， 所以圆的圆心为，半径. （2）圆的方程化为， 即， 所以圆的圆心为，即， 消去得， 所以圆心的轨迹方程为. （3）设直线交圆于两点，设到直线的距离为， 则，假设存在符合题意的定直线， 则， 即圆心与直线的距离恒为， 而圆心的轨迹方程为， 所以可设直线的方程为，且， 解得或， 所以存在符合题意的定直线，且定直线的方程为或. 题型二：二元二次曲线与圆的关系 1．若方程表示圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．R 【答案】D 【分析】根据圆的判别式计算直接得出结果. 【详解】因为该方程表示圆， 所以， 所以. 故选：D 2．若方程表示的曲线是一个圆，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的曲线表示圆的充要条件列式求解. 【详解】由方程表示的曲线是一个圆，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 3．若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，关于的方程表示一个圆或点求解. 【详解】因为关于的方程有实数解， 所以方程表示圆或点， 则，即 ， 解得或， 故选：B 4．已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程特征列出关系式求解即可. 【详解】由圆的一般方程特征可知，，即，解得. 故选：A. 5．若是一个圆的方程，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆的一般方程满足条件来求解即可. 【详解】因为是一个圆的方程， 所以，由得: ， 解得， 故选：C. 6．已知曲线表示圆，且点在曲线外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后，结合题意可得，解出即可得. 【详解】可化为， 则，解得或， 即的取值范围是. 故选：D. 7．已知方程，则下列说法错误的是（    ） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 【答案】B 【分析】化一般方程为标准方程，再结合选项逐个判断即可. 【详解】对于A：由得：，显然该方程表示圆心为， 半径为的圆，所以A正确； 对于B：将点代入圆的方程得：，显然该圆不过坐标原点，所以B错误； 对于C：因为圆心始终在直线上，所以C正确； 对于D：由得：， 所以，解得或， 所以该方程表示的圆恒过两点， 因为这两点到原点的距离都为1， 所以圆上总存在两点到原点的距离为1，所以D正确. 故选：B. 8．关于的方程，下列说法正确的为（    ） A．若方程表示圆，则实数的取值范围为 B．若方程表示圆，则所表示的圆的圆心一定在直线上 C．若方程不表示任何图形，则 D．若方程表示圆，且该圆与轴的两个交点位于原点的两侧，则 【答案】B 【分析】将关于的方程化成标准式可得，根据表示圆，可得，求得m的范围，即可判定A的正误；根据圆心坐标，可判断B的正误；根据方程的性质，分析可判断C的正误；根据条件，可得原点在圆的内部，代入计算，可判断D的正误. 【详解】关于的方程可化为． 若方程表示圆，，即或，故A错误； 若方程表示圆，则所表示的圆的圆心一定在直线上，故B正确； 若方程不表示任何图形，，则，故C错误； 若方程表示圆，且该圆与轴的两个交点位于原点的两侧， 则且原点在圆的内部， 所以或，且，解得，故D错误． 故选：B． 9．方程表示圆，则k的取值范围为 【答案】 【分析】根据圆的标准方程直接计算可得. 【详解】因为方程表示圆，即表示圆， 所以，解得. 所以当时，方程表示圆心为，半径为的圆. 故答案为：. 10．已知圆的圆心在第二象限，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后，结合题意计算即可. 【详解】由， 化简可得， 圆心在第二象限，则， 所以，解得， 所以实数的范围. 故答案为： 题型三：圆过定点问题 1．圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 2．已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标. 【详解】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：， 由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点， 由得：，以为直径的圆恒过定点. 故选：D. 3．若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【答案】A 【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆． 【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 4．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 5．已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则以下说法错误的是（    ） A．存在点，使得四边形为平行四边形 B．线段的最小值为 C．直线过定点 D．的外接圆恒过两个定点 【答案】B 【分析】通过求解圆心到直线的距离可确定，知此时四边形为平行四边形，知A正确；利用面积桥可求得B错误；根据过圆外一点作圆的切线，切点弦所在直线方程的结论可证得C正确；通过四点共圆可知所求外接圆即为以为直径的圆，通过求解圆的方程可确定D正确. 【详解】由圆的方程可知：圆心，半径.    对于A，当时，，， 此时，则，即，又，； 又，， 当时，四边形为平行四边形，A正确； 对于B，，， ， 则当取得最小值时，取得最小值， 当时，，，B错误； 对于C，若点为圆上一点，则， 当点处的切线斜率存在时，切线斜率， 切线方程为，整理可得：； 当点处切线斜率不存在时，也满足， 则在圆上一点处的切线方程为. 设， 则直线方程为：；直线方程为：； 满足方程组， 即坐标满足直线方程，即直线方程为：； ，则，整理可得：， 由得：，直线恒过定点，C正确； 对于D，，，四点共圆， 则的外接圆即为的外接圆，又， 的外接圆是以为直径的圆， 设，则圆心为，半径为， 的外接圆方程为：， 整理为：， 由得：或， 的外接圆恒过定点和，D正确. 故选：B. 6．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 【答案】 【分析】设抛物线交轴于点，交轴于点、，根据题意设圆心为，求出，写出圆的方程，可得出关于、的方程组，即可得出圆所过定点的坐标. 【详解】设抛物线交轴于点，交轴于点、， 由题意可知，由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为，设圆心为， 由可得，解得， ，则，则， 所以，圆的方程为， 整理可得， 方程组的解为. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 7．已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点 ． 【答案】， 【分析】由题设，令其为，令则是的两个根，经过，，三点的圆为，将点代入得，，进而有，令求定点坐标. 【详解】由题设，可得，故， 令，则，不妨令其为，令 令，则，且， 所以或，则是的两个根， 经过，，三点的圆为， 所以，即是的两个根，则， 且且（否则与中一点重合且为原点），则， 综上， ，则， 令，可得，即或， 对应分别为，所以圆必过，. 故答案为：， 8．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三个点的圆记为． (1)当时，求三角形的面积； (2)求的方程； (3)问是否经过定点（其坐标与a，b的值无关）？请证明你的结论． 【答案】(1) (2)的方程为 (3)过定点，证明见解析. 【分析】（1）当时，求出，，所以三角形的面积为. （2）设出所求圆的一般方程，令得到的方程与是同一个方程；令得到的方程有一个根为，由此求得参数及的一般方程． （3）把方程里面的合并到一起，分别令的系数及剩余项为零，得到方程组，求解该方程组，求出圆过的定点． 【详解】（1）当时，，令，得， 不妨设，则，令，得，所以三角形的面积为. （2）设所求圆的一般方程为， 由题意得的图象与两坐标轴的三个交点即为圆和坐标轴的交点， 令得，，由题意可得，这与是同一个方程，故，． 令得，，由题意可得，此方程有一个根为，代入此方程得出， ∴的方程为． （3）把的方程改写为，令， 解得，故过定点. 9．已知圆C的方程为x2＋（y－4）2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B. (1)若∠APB＝60°，求点P的坐标； (2)求证经过A，P，C（其中点C为圆C的圆心）三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标． 【答案】(1)（2，4）或 (2)证明见解析，定点（0，4）和 【分析】（1）设P（a，2a），由题意可知|PC|＝2，则，求出，从而可求出点P的坐标； （2）设P（b，2b），则过点A，P，C的圆的方程为x（x－b）＋（y－4）（y－2b）＝0，化简得（x2＋y2－4y）－b（x＋2y－8）＝0，从而得，进而可求出圆必经过定点坐标. 【详解】（1）由条件可得圆C的圆心坐标为（0，4），半径为1， 因为过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B，且∠APB＝60°， 所以|PC|＝2， 设P（a，2a），则， 解得或， 所以点P的坐标为（2，4）或. （2）设P（b，2b），过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x（x－b）＋（y－4）（y－2b）＝0， 整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0， 即（x2＋y2－4y）－b（x＋2y－8）＝0. 由解得或， 所以该圆必经过定点（0，4）和. 10．判别方程（k为参数，）表示何种曲线?找出通过定点的坐标. 【答案】圆心在，半径为的圆；定点的坐标为 【分析】由题通过配方整理可得方程表示圆，将原方程整理为关于k的方程可得定点. 【详解】将原方程整理得， 即， 方程表示圆心在，半径为的圆， 将原方程整理为关于k的方程：， 由 解得 即圆过定点. 题型四：圆的对称性的应用 1．过点的直线将的面积分为相等的两部分，求直线方程 . 【答案】 【分析】根据圆的对称性先判定直线过圆心，利用两点式计算直线方程即可. 【详解】因为直线将的面积分为相等的两部分， 所以该直线过圆心，由两点式知该直线方程为. 故答案为： 2．已知直线与圆交于两点，直线垂直平分弦，则的值为 ． 【答案】2 【分析】利用圆的性质，两直线位置关系计算即可. 【详解】由题意可知，即圆心， 又直线垂直平分弦，所以过圆心， 所以. 故答案为：2 3．已知圆C:关于直线对称，求圆心C坐标为 ． 【答案】 【分析】求出的范围，由直线过圆心可得答案. 【详解】由已知得，解得或， 圆C:，圆心为， 若圆C关于直线对称，则， 解得，所以圆心坐标为 故答案为：. 4．圆 关于直线对称的圆的方程为 . 【答案】 【分析】先求出圆心的对称点，然后求解对称圆的方程即可. 【详解】圆的圆心为， 则关于对称的点设为：，故. 与的中点为：， 中点在直线上，所以. 解得：，所以对称圆的圆心为：. 所以圆 关于直线对称的圆的方程为： . 故答案为：. 5．已知圆的一条对称轴是直线，则 . 【答案】1 【分析】根据圆的对称轴经过圆心的性质，将圆心代入直线方程，即可求得答案. 【详解】由于圆的一条对称轴是直线， 故圆心在直线上，故， 故答案为：1 6．若直线是圆的一条对称轴，则 ． 【答案】/ 【分析】直线是圆的对称轴，则直线过圆心，把圆心坐标代入直线方程即可求解. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在此直线上， 所以，解得. 故答案为： 7．已知圆C与圆D：关于直线l：对称． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与圆D相交于A，B两点，求四边形CADB的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）设圆C的圆心，根据圆心C与圆心D关于直线l对称求出可得答案； （2）设点D到直线l的距离为d，利用点到直线的距离公式求出，再由圆心距、弦长的一半、半径构成的直角三角形计算出弦长可得答案. 【详解】（1）易知圆D的圆心为，设圆C的圆心， 因为圆心C与圆心D关于直线l：对称， 所以，解得， 所以圆C的方程为； （2）设点D到直线l的距离为d，则， 所以， 所以四边形CADB的面积． 8．已知圆经过、，并且圆的面积被直线平分，求圆的方程． 【答案】 【分析】首先可求出线段的中垂线方程，然后联立线段的中垂线方程和直线即可求出圆心坐标，再然后根据即可求出半径，最后根据圆心坐标以及半径即可写出圆的标准方程． 【详解】因为圆经过、，所以圆心在线段的中垂线上， 因为线段的中点，， 所以线段的中垂线方程为，即， 因为圆的面积被直线平分，所以直线经过圆心， 联立方程，解得圆心坐标为， 圆的半径， 故圆的方程为． 【点睛】本题考查圆的方程的求法，若圆的面积被直线平分，则说明圆心在直线上，考查圆的标准方程的写法，考查推理能力，是中档题． 9．设O为坐标原点，曲线上有两点P，Q关于直线对称． （1）求实数m的值； （2）是否存在直线PQ，满足，若存在求出直线方程；若不存在，说明理由． 【答案】（1） ；（2）. 【分析】（1）由圆的对称性，可知圆上两点的垂直平分线过圆心，从而将圆心坐标代入直线方程即可求解； （2）由题意，假设存在直线PQ：满足，则将与圆联立方程，利用韦达定理及向量的坐标表示，可得关于的方程，求解即可得答案. 【详解】解：（1）由题意，圆的标准方程为，圆心为， 因为圆上有两点P，Q关于直线对称， 所以直线过圆心， 故有 ，解得； （2）因为直线PQ与直线垂直， 所以假设存在直线PQ：满足，且、， 将代入，可得， 则，即， 所以， 因为， 即，解得，经检验满足式， 所以存在直线PQ：，满足． 10．在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称. (1)求的半径； (2)过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意点在直线上，即可求出，从而得解； （2）首先求出圆心到直线的距离，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出所对应的直线方程，即可得解. 【详解】（1）圆，即， 则圆心为，半径， 因为上存在两点关于直线对称，所以点在直线上， 所以，解得， 所以的半径； （2）由（1）可得，圆心为， 因为过坐标原点的直线被截得的弦长为，所以圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，则，解得， 所以直线的方程为，即； 综上可得直线的方程为或.    题型五：圆上的点到定点、定直线的距离 1．如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的方程表示为标准方程，求出的范围，由可得，结合的范围可得出的范围，即可得解. 【详解】由可得可得，解得， 由可得，故的最大值为. 故选：D. 2．已知，点在直线上，点在圆上，则的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】求得圆的圆心和半径，求出点关于直线的对称点为，结合图形的几何性质求得答案. 【详解】由圆，得，得圆心的坐标是，半径； 点关于直线对称点为， 所以， 当且仅当四点共线且在之间时取等号. 故的最小值是. 故选：B.    3．已知圆，点，点Q是圆M上的一个动点，线段的最大值为（   ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】先判断点和圆的位置关系，然后根据点和圆的位置关系确定正确答案. 【详解】对于点和圆， ，所以点在圆外， 圆的方程可化为，圆心为，半径为， ， 所以的最大值为. 故选：C    4．圆上到点距离最小的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断点与圆的位置关系，再根据圆的几何性质即可求得. 【详解】由圆，可得圆的圆心为，半径，记， 则圆心到点的距离， 显然，所以点在圆的内部，如图： 根据圆的性质，圆内一点P到圆上一点最小距离对应的点在圆心C与该点P的连线上，且距离的最小值为半径减去该点到圆心的距离. 又，，所以，所以O，P，C三点共线，且，所以原点O在圆上. 又，所以圆上点O到点的距离最小. 故选：A. 5．已知点为直线上的一点，，分别为圆与圆上的点，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用对称，求得关于直线对称的点坐标，则.对于直线上任一点到圆上的点的距离的最小值均为，到圆上的点的距离的最小值均为.又，所以的最小值为. 【详解】由题知，两圆圆心为，，半径都是1， 设关于直线对称的点，则，解得，即. 对于直线上任意一点，到圆上的点的距离的最小值为， 到圆上的点的距离的最小值为. 又，且， 所以的最小值为. 即的最小值为3. 故选：C.      6．已知圆为直线上一动点，则点到圆上的点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的性质转化为求圆心到直线的距离即可得解. 【详解】由可得， 可知圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则点到圆上的点的最短距离为， 故选：D 7．已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系可知，点P到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径． 【详解】圆C的方程可化为， 所以，半径， 则C到直线l：的距离为， 所以所求距离的最小值为． 故选：C 8．圆上的点到直线的距离的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心及半径，再利用点到直线距离公式，结合圆的性质求出最小值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为． 设圆心到直线的距离为，则， 所以圆上的点到直线的距离的最小值是． 故选：A 9．是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断圆与直线的位置关系为相离，可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与该圆相离， 所以的最小值为. 故选：C. 10．已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的标准方程； (2)若点是圆上的任意一点，求点到直线距离的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据几何法求出圆心坐标及半径，进而可得圆的方程； （2）先判断直线与圆的位置关系，用几何法可得圆上的点到直线的距离的范围. 【详解】（1）由，，得中点坐标为. 由直线斜率，得中垂线斜率. 所以中垂线方程为，即. 由得，. 所以圆圆心为，半径. 所以圆的标准方程为. （2）由（1）可得直线方程为，即. 圆心到直线距离，显然直线与圆相交. 所以点到直线的最小距离为0，最大距离为. 故到直线距离的取值范围为. 题型六：过圆内定点的弦长最值 1．已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，易知当直线过点且与垂直时，弦长最小，结合两点间距离及弦长公式可得解. 【详解】圆化为， 所以圆心坐标为，半径为， 设，当过点的直线和直线垂直时， 圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短， 此时圆心到直线的距离， 此时弦长为， 故选：B． 2．直线被圆所截得的最短弦长等于（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】首先求出直线过定点坐标，当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，求出弦心距，利用弦长公式求出结果即可． 【详解】由题可知，直线过定点， 由圆的方程可知圆心为，半径为. 圆心到直线的最大距离为点的距离，即， 所以所截得的最短弦长为. 故选：C. 3．过点的直线l被圆C：截得的弦长最短，则直线l的斜率是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的性质及弦长公式计算即可. 【详解】由圆，可得圆心坐标为， 根据圆的性质可知：当时，此时弦长最短， 因为，所以直线l的斜率为. 故选:D． 4．已知直线l过点，则被圆所截得的弦中，最短弦所在直线的一般方程是 ． 【答案】 【分析】根据圆的几何性质，可得弦最短时的斜率，代入点斜式方程，化简整理，即可得答案. 【详解】直线过点     圆的圆心为，半径为， 连接点与圆心可得直线m， 所以直线m的斜率， 根据圆的性质可得，最短弦所在直线与直线m垂直， 所以最短弦所在直线的斜率， 所以最短弦所在直线的方程为，整理得 故答案为：. 5．已知直线被圆截得的最短弦长为，则 ． 【答案】 【分析】根据定点及两点间距离公式得出圆心到直线距离的最大值，进而结合圆的弦长公式，得到弦长，计算即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心，半径， 过定点 则圆心到直线的距离为， 可得截得弦长为， 弦长取得最小值时，. 故答案为：. 6．已知三点在圆上，的重心为坐标原点，则周长的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据圆的对称性，不妨取，确定是圆的直径，得到，再利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】如图所示：根据圆的对称性，不妨取，圆心，半径， 则，则过点，即是圆的直径，， ， 则， 当且仅当时等号成立，周长的最大值为. 故答案为：. 7．已知圆，过点的直线被该圆所截的弦长的最小值为 . 【答案】 【分析】设圆心为，直线过点，当直线与所在的直线垂直时最大，弦长最小，求解即可. 【详解】将圆的一般方程化为 设圆心为，直线过点，与圆交于，两点，则，半径，    设圆心到直线的距离为，则弦长 ， 当直线与所在的直线垂直时最大，此时最小， 这时， 所以最小的弦长 ， 故答案为：. 8．已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦长何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 【答案】(1)证明见解析； (2)直线时直线被圆截得的弦长最短，，最短弦长为. 【分析】（1）将直线方程化为，再由求得定点； （2）根据已知有直线时，直线被圆截得的弦长最短，并确定圆心和半径，根据垂直关系求直线方程，应用点线距离公式、圆中弦长的几何求法求弦长. 【详解】（1）直线，即， 联立，解得，则不论取何值，直线必过定点； （2）由，知圆心，半径为5， 显然点在圆内，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，    由，则直线的斜率为 ，解得， 此时直线的方程是， 圆心到直线的距离为， 所以最短弦长是. 9．已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)设点在圆C内，过点P的最长弦和最短弦分别为GH和EF，求四边形EHFG的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆心，根据解得，即可得圆心和半径，进而可得方程； （2）根据圆的性质分析可知最长弦和最短弦，且最短弦EF垂直于GH，进而可求面积. 【详解】（1）由题意设圆心， 因为，即， 解得，即， 则半径， 所以圆C的标准方程为. （2）因为， 由圆的性质可知过点P的最长弦过圆心，即为直径，即， 且最短弦EF垂直于GH，可得， 所以四边形EHFG的面积. 10．已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长． 【答案】(1)证明见解析 (2)当直线过圆心，即时，直线被圆截得的弦长最长； 记直线所过定点为，当时，直线被圆截得的弦长最短，最短弦长为，此时. 【分析】（1）直线若过定点，则无论取何值，直线的方程都成立，因此将方程化为，解方程组可得定点坐标； （2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长；当圆心到直线的距离最长时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解即可求得相应的的值以及最短弦长． 【详解】（1）由，知． 由，得. 所以当时，无论取何值，方程都成立. 所以直线恒过定点. （2）由（1）知直线恒过定点，记. 由圆的方程，得，半径为5. 如图1，当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，且等于直径.    将代入方程可得：. 此时直线方程为：； 如图2，当圆心到直线的距离最长，即时，直线被圆截得的弦长最短.    因为，且所以直线的斜率为-1， 所以直线的方程为：即. 对照方程，得：，解得：. 此时，，所以弦长为：. 故：当直线过圆心，即时，直线被圆截得的弦长最长； 当时，直线被圆截得的弦长最短，最短弦长为，此时. 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 与圆的方程有关的六种题型 题型一：圆的标准方程和一般方程 题型二：二元二次曲线与圆的关系 题型三：圆过定点问题 题型四：圆的对称性的应用 题型五：圆上的点到定点、定直线的距离 题型六：过圆内定点的弦长最值 题型一：圆的标准方程和一般方程 1．已知圆的一条直径的端点分别是、，则该圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．与圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知为圆上的点，则圆的方程为 ． 4．已知圆与圆外切，并且与直线相切于点，则圆的标准方程为 ． 5．求与圆：关于直线l：对称的圆的标准方程 . 6．过三点的圆的标准方程是 . 7．若圆过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为 . 8．方程表示圆，直线与圆相交于两点，且为坐标原点)，则以为直径的圆方程是 . 9．（1）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.斜率是，且经过点； （2）求满足下列条件的曲线的标准方程：过三点、、的圆； 10．已知圆 (1)若，求圆的圆心与半径； (2)求圆心的轨迹方程； (3)是否存在定直线，使得动圆截直线所得的弦长恒为若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 题型二：二元二次曲线与圆的关系 1．若方程表示圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．R 2．若方程表示的曲线是一个圆，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 5．若是一个圆的方程，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知曲线表示圆，且点在曲线外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知方程，则下列说法错误的是（    ） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 8．关于的方程，下列说法正确的为（    ） A．若方程表示圆，则实数的取值范围为 B．若方程表示圆，则所表示的圆的圆心一定在直线上 C．若方程不表示任何图形，则 D．若方程表示圆，且该圆与轴的两个交点位于原点的两侧，则 9．方程表示圆，则k的取值范围为 10．已知圆的圆心在第二象限，则实数的取值范围为 . 题型三：圆过定点问题 1．圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 2．已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 3．若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 4．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则以下说法错误的是（    ） A．存在点，使得四边形为平行四边形 B．线段的最小值为 C．直线过定点 D．的外接圆恒过两个定点 6．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 7．已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点 ． 8．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三个点的圆记为． (1)当时，求三角形的面积； (2)求的方程； (3)问是否经过定点（其坐标与a，b的值无关）？请证明你的结论． 9．已知圆C的方程为x2＋（y－4）2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B. (1)若∠APB＝60°，求点P的坐标； (2)求证经过A，P，C（其中点C为圆C的圆心）三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标． 10．判别方程（k为参数，）表示何种曲线?找出通过定点的坐标. 题型四：圆的对称性的应用 1．过点的直线将的面积分为相等的两部分，求直线方程 . 2．已知直线与圆交于两点，直线垂直平分弦，则的值为 ． 3．已知圆C:关于直线对称，求圆心C坐标为 ． 4．圆 关于直线对称的圆的方程为 . 5．已知圆的一条对称轴是直线，则 . 6．若直线是圆的一条对称轴，则 ． 7．已知圆C与圆D：关于直线l：对称． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与圆D相交于A，B两点，求四边形CADB的面积． 8．已知圆经过、，并且圆的面积被直线平分，求圆的方程． 9．设O为坐标原点，曲线上有两点P，Q关于直线对称． （1）求实数m的值； （2）是否存在直线PQ，满足，若存在求出直线方程；若不存在，说明理由． 10．在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称. (1)求的半径； (2)过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程. 题型五：圆上的点到定点、定直线的距离 1．如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 2．已知，点在直线上，点在圆上，则的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知圆，点，点Q是圆M上的一个动点，线段的最大值为（   ） A．2 B．6 C．8 D．10 4．圆上到点距离最小的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．已知点为直线上的一点，，分别为圆与圆上的点，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．已知圆为直线上一动点，则点到圆上的点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 7．已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D．1 8．圆上的点到直线的距离的最小值是（   ） A． B． C． D． 9．是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的标准方程； (2)若点是圆上的任意一点，求点到直线距离的取值范围. 题型六：过圆内定点的弦长最值 1．已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．直线被圆所截得的最短弦长等于（    ） A． B． C．2 D．1 3．过点的直线l被圆C：截得的弦长最短，则直线l的斜率是（    ） A．1 B．2 C． D． 4．已知直线l过点，则被圆所截得的弦中，最短弦所在直线的一般方程是 ． 5．已知直线被圆截得的最短弦长为，则 ． 6．已知三点在圆上，的重心为坐标原点，则周长的最大值为 . 7．已知圆，过点的直线被该圆所截的弦长的最小值为 . 8．已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦长何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 9．已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)设点在圆C内，过点P的最长弦和最短弦分别为GH和EF，求四边形EHFG的面积. 10．已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $