专题2.1 圆的方程（高效培优讲义）数学沪教版2020选择性必修第一册

专题2.1 圆的方程 教学目标 1. 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 2.利用圆的几何性质，解决与圆相关的问题 3.判断定点与圆的位置关系 教学重难点 1.重点 （1）圆的一般方程表示圆时参数需满足的关系； （2）点与圆的位置关系； 2.难点 （1）利用圆的几何性质，解决与圆相关的问题； 知识点01 圆的定义和标准方程 （1）圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆. （2）确定一个圆最基本的要素是圆心和半径. （3）圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)为圆心，r为半径. 【即学即练】 1．已知点，则以线段为直径的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 2．与圆关于直线对称的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．圆心为且半径为的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则以为直径的圆的方程为 . 知识点02 圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，其中圆心为，半径r＝. 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程. 【即学即练】 1．圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．圆的圆心坐标和半径分别是（   ）． A．， B．， C．， D．， 3．已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 4．圆的半径为 . 知识点03 点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0) (1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； (2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2； (3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2. 【即学即练】 1．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 2．若直线与圆相交，则点（    ）． A．与圆O的位置关系不确定 B．在圆O内 C．在圆O上 D．在圆O外 3．已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 4．已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 题型01 圆的标准方程和圆心半径的关系 【典例1】圆关于直线：对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】与圆关于直线对称的圆的方程为 . 【变式3】写出圆关于直线对称的圆的方程 . 【变式4】已知圆心为的圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相交于两点，求直线的方程． 题型02 圆的一般方程和圆心半径的关系 【典例1】圆的圆心坐标是（   ） A． B． C． D． 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质： ①圆心在过切点且垂直切线的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上； ③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线. (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 【变式1】若圆的半径小于，则的取值可能是（   ） A．4 B．7 C．9 D．11 【变式2】设圆方程为，则圆的面积为 ． 【变式3】设实数，圆的面积为，则 ． 【变式4】已知，则圆的半径最大时圆的方程为 ． 题型03 求过已知三点的圆的方程 【典例1】过点的圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式1】已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知，则外接圆的方程为 ． 【变式4】已知圆过点，，，则圆的方程为 ． 题型04 圆过定点问题 【典例1】已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【变式1】对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标 ． 【变式2】若圆恒过两个不同的定点A，B，则 . 【变式3】若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点，则的外接圆恒过的定点坐标为 . 【变式4】点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 题型05 圆的对称性的应用 【典例1】若曲线上相异两点P，Q关于直线对称，则k的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式1】已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【变式2】圆关于原点对称的曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知圆：与直线：，则圆心的坐标为 ，若圆关于直线对称，则 . 【变式4】圆关于直线对称，则 ． 题型06 点与圆的位置关系 【典例1】若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若过可作两条直线与圆相切，则k的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【变式3】已知两直线与的交点在圆的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4】若点在圆的外部，则实数m的取值范围 题型07 圆上的点到定点、定直线的距离 【典例1】是圆上动点，为到直线上的距离，则不可能为（   ）. A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】记点，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知，圆是圆上的动点，是轴上的动点，则的最小值是 . 题型08 过圆内定点的弦长 【典例1】已知圆，直线与圆相交，则直线被圆所截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】当直线被圆所截得的弦长最短时，实数 . 【变式3】已知直线，圆，直线l与圆C交于两点，则弦长的最小值为 ． 【变式4】已知圆，直线与圆C相交于A、B两点，则的最小值为 ，此时 . 1．若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆，点在直线上，当圆的半径最大时，的最小值为（　　） A． B． C．2 D． 3．圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 5．过三点的圆的面积为（    ） A． B． C． D． 6．若直线始终平分圆的周长，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．直线 与圆 交于 两点，若 是直角三角形，则 （    ） A．1 B．±1 C．2 D． 8．已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1，则的值是（   ） A．2 B． C． D． 9．若圆经过，圆心在直线上，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 10．若点在圆外，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．若过圆内不同于圆心的点恰好可以作5条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点构成的区域的面积为（   ） A． B． C． D． 12．直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 13．当直线被圆所截得的弦长最短时，实数 ． 14．已知点在圆上运动，点到直线的距离的最大值为 . 15．记点，点在圆上，则的取值范围是 . 16．圆关于直线对称，则实数 ． 17．已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆经过点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点且被圆截得的弦长为.求直线的方程. 18．矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，所在直线的方程为. (1)求边所在直线的方程； (2)求经过三点的圆的方程. 19．已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 20．在中，已知，边的中点在轴上，边的中线所在直线的方程 (1)求顶点的坐标； (2)求边上的高所在直线方程； (3)求外接圆的方程． 21．根据下列条件分别写出直线方程或圆的方程. (1)求与直线的距离为的直线的方程 (2)已知圆经过，，三点，求圆的方程： 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 圆的方程 教学目标 1. 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 2.利用圆的几何性质，解决与圆相关的问题 3.判断定点与圆的位置关系 教学重难点 1.重点 （1）圆的一般方程表示圆时参数需满足的关系； （2）点与圆的位置关系； 2.难点 （1）利用圆的几何性质，解决与圆相关的问题； 知识点01 圆的定义和标准方程 （1）圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆. （2）确定一个圆最基本的要素是圆心和半径. （3）圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)为圆心，r为半径. 【即学即练】 1．已知点，则以线段为直径的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心和半径即可求解. 【详解】因为AB为直径，则的中点为， 所以圆心为，半径， 所以圆的方程为 故选：A． 2．与圆关于直线对称的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆心关于直线对称的圆心，根据点关于直线的对称点的求法求出，即可得对称圆的标准方程. 【详解】已知圆心，设其关于直线对称的圆心， 则有，解得，即. 又因为圆和圆的半径相同， 所以圆关于直线对称的圆的标准方程为. 故选：D 3．圆心为且半径为的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程的形式，结合已知圆心坐标和半径，代入求解方程. 【详解】已知圆心为，即，半径，代入标准方程得：. 故选：A. 4．已知，，则以为直径的圆的方程为 . 【答案】 【分析】的中点即为圆心，即为半径，再结合中点坐标公式和两点的距离公式即可所求圆的标准方程． 【详解】，所以半径， 又∵，， ∴线段的中点坐标为，即圆心为. 所以圆的方程为. 故答案为：． 知识点02 圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，其中圆心为，半径r＝. 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程. 【即学即练】 1．圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】转化为标准圆方程即可得到答案. 【详解】，即， 则其圆心坐标和半径分别为，3. 故选：B. 2．圆的圆心坐标和半径分别是（   ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程直接求解即可. 【详解】由圆的一般方程知：圆心为，半径. 故选：B. 3．已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解. 【详解】因为，，所以圆心为， 即，，所以圆的半径为， 所以圆的标准方程为，所以圆的一般方程为. 故选：A. 4．圆的半径为 . 【答案】 【分析】将圆的一般方程配方成标准方程即得. 【详解】由配方得，故该圆的半径为. 故答案为：. 知识点03 点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0) (1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； (2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2； (3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2. 【即学即练】 1．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. 2．若直线与圆相交，则点（    ）． A．与圆O的位置关系不确定 B．在圆O内 C．在圆O上 D．在圆O外 【答案】D 【分析】根据直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离可得解. 【详解】由可知圆心为，半径， 因为直线与圆相交， 所以，即， 所以点在圆外. 故选：D 3．已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】先由根与系数的关系找到所满足的条件，再判断点与圆的位置关系. 【详解】因为是方程的两个不等实数根，且. 所以，. 所以点在圆外. 故选：C. 4．已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入验证法确定正确答案. 【详解】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A 题型01 圆的标准方程和圆心半径的关系 【典例1】圆关于直线：对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求关于直线的对称点的坐标，可得对称圆的方程. 【详解】因为圆的圆心为， 设点关于直线：的对称点为，则 . 所以圆关于直线：对称的圆的方程为. 故选：A 【变式1】圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程求解即可. 【详解】圆的圆心坐标为. 故选：A. 【变式2】与圆关于直线对称的圆的方程为 . 【答案】 【分析】先求出圆心和半径，再求出圆心关于直线对称的点，即可求解. 【详解】由，得到，所以圆心为，半径为， 设圆心为关于直线的对称点为， 则，解得， 所以与圆关于直线对称的圆的方程为， 故答案为：. 【变式3】写出圆关于直线对称的圆的方程 . 【答案】 【分析】根据已知圆的圆心求出关于直线对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果. 【详解】由圆可知，圆心，半径， 设点关于直线对称的点为， 则，解得， 所以所求圆的圆心为，半径为， 圆关于直线对称的圆的方程为， 故答案为：. 【变式4】已知圆心为的圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相交于两点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意易知圆的半径为，结合圆的标准方程即可求解； （2）两圆两圆方程相减即可求解. 【详解】（1）因为圆的圆心为 ，且与直线相切， 所以圆的半径为， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）知圆：， 即， 又圆与圆相交两点， 两圆方程相减得， 即直线方程为. 题型02 圆的一般方程和圆心半径的关系 【典例1】圆的圆心坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程整理为标准方程，进而得到圆心坐标. 【详解】圆的方程可整理为：，圆心坐标为. 故选：B. 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质： ①圆心在过切点且垂直切线的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上； ③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线. (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 【变式1】若圆的半径小于，则的取值可能是（   ） A．4 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】将圆的方程写出标准式，即可求解. 【详解】由题意得圆的标准方程为， 由可得. 故选：B 【变式2】设圆方程为，则圆的面积为 ． 【答案】 【分析】将方程化为标准式，进而可得半径和面积. 【详解】因为圆方程为，即， 可知圆的半径，所以圆的面积为. 故答案为；. 【变式3】设实数，圆的面积为，则 ． 【答案】 【分析】将一般方程化成标准方程后可得圆的半径，结合已知面积可求参数的值. 【详解】圆的标准方程为， 故，故（负解舍去）， 故答案为：. 【变式4】已知，则圆的半径最大时圆的方程为 ． 【答案】 【分析】将一般方程转化成标准方程，再由半径最大求出的值，即可得出结果. 【详解】易知圆的标准方程为， 可得，因此当时，圆的半径最大， 此时圆的方程为. 故答案为： 题型03 求过已知三点的圆的方程 【典例1】过点的圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据几何法求出圆心，进而可求圆的半径. 【详解】易知以为端点构成的线段的中垂线方程为， 以为端点构成的线段的中垂线方程为，如图： 设圆心坐标为，显然点为直线与直线的交点，即. 所以圆心坐标为，故圆的半径. 故选：B. 【变式1】已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意； 对于B，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意； 对于C，，，的坐标都满足圆的方程， 的坐标不满足圆的方程， 即圆过四个点中的三个点，故C符合题意； 对于D，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意. 故选：C. 【变式2】已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆方程为，代入三点坐标求出系数即可. 【详解】设的外接圆方程为， 因为，，， 所以，解得， 所以的外接圆方程为. 故选：D. 【变式3】已知，则外接圆的方程为 ． 【答案】 【分析】设圆的方程为，利用待定系数法求出，即可得解. 【详解】设圆的方程为， 则，解得， 所以外接圆的方程为. 故答案为：. 【变式4】已知圆过点，，，则圆的方程为 ． 【答案】 【分析】设圆的一般方程，然后将点代入组成方程组解出即可. 【详解】根据题意，设圆的方程为 又由圆过点，，， 则有， 解可得，，， 即圆的方程为：， 故答案为：. 题型04 圆过定点问题 【典例1】已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】将代入圆的方程进行求解． 【详解】将代入圆的方程中，得，即， 方程为，满足， 故, 故选：B. 【变式1】对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标 ． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 【变式2】若圆恒过两个不同的定点A，B，则 . 【答案】3 【分析】变形得到，求出定点A，B的坐标，得到答案. 【详解】变形得到， 令，解得或， 不妨设，， 所以. 故答案为：3 【变式3】若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点，则的外接圆恒过的定点坐标为 . 【答案】 【分析】法一：设抛物线交轴于点，，交轴于点，.令，则由韦达定理得，，线段的中点为.由圆的性质可设外接圆的圆心为.由可得，代入化简可得，，可得圆的方程为得，解方程组令即可求解； 法二：抛物线交轴于点，，交轴于点，，，，则为的两个解，由韦达定理得.由相交弦定理可得，解得.即可求解定点坐标； 法三：设外接圆方程为.令， 得，.令，则有一根为，结合，可得，故外接圆方程为，即，解方程组即可. 【详解】法一：设抛物线交轴于点，，交轴于点，. 令，则由韦达定理得，，所以线段的中点为. 由圆的性质可知外接圆的圆心在直线上，故设外接圆的圆心为. 由可得，解得. 因为，所以，则，所以半径的平方为， 所以圆的方程为，整理可得， 类比直线过定点的求法，方程的值不随的变化而变化. 令，解得. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 法二：如图所示，抛物线交轴于点，交轴于点. 设，，，，，， 则为的两个解，则由韦达定理得. 由相交弦定理可知过三点的圆也过点，且有，即，即，可得，解得. 则就是的外接圆过的定点坐标. 法三：设外接圆方程为. 令，则与为同一方程，，. 令，则有一根为，且，，， ∴外接圆方程为，即， 令，解得，所以的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 【变式4】点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 【答案】和 【分析】过点作垂直于直线，垂足为，则以为直径的圆过定点和，求出直线的方程，联立两直线方程，求出交点坐标，即可得解. 【详解】如图，过点作垂直于直线，垂足为， 则以为直径的圆过定点和， 因为直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，解得，即. 所以以为直径的圆经过定点和. 故答案为：和 题型05 圆的对称性的应用 【典例1】若曲线上相异两点P，Q关于直线对称，则k的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】依题意，直线过圆的圆心，把圆心坐标代入直线方程可求k的值. 【详解】曲线，即， 曲线是以为圆心，3为半径的圆， 圆上有两点满足关于直线对称， 所以直线必过其圆心，即，解得. 故选：D 【变式1】已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】求出圆心坐标，代入直线方程可得出实数的值. 【详解】由题意得：圆的标准方程为,故圆心为, 由于圆关于直线对称， 即直线过圆的圆心，所以且，解得，故A正确. 故选：A. 【变式2】圆关于原点对称的曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的一般式的判定条件可求出；再利用两圆关于点对称，等价于两圆的圆心关于点对称，半径不变，可求出所求圆的方程. 【详解】由 表示一个圆，因此需满足圆的判别条件： 和 的系数相等且不为零， 即，得方程 ， 解得 或 ， 当 时，方程为 ， 配方得 ，不表示实圆， 当 时，方程为 ， 配方得 ，表示圆心为 ，半径为 5 的圆. 因此 是唯一有效解，原圆方程为 . 两圆关于点对称，等价于两圆的圆心关于点对称，半径不变， 圆心 关于原点对称点为 ，半径不变为 5， 故所求方程为 . 故选：C 【变式3】已知圆：与直线：，则圆心的坐标为 ，若圆关于直线对称，则 . 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，再根据圆心在直线上，代入求出的值. 【详解】圆：，即， 所以圆心为， 若圆关于直线对称，则点在直线上，即，解得 故答案为：； 【变式4】圆关于直线对称，则 ． 【答案】3 【分析】由题分析知直线过圆心，代入圆心坐标即可． 【详解】由题意得直线过圆心，代入直线方程有， 解得， 故答案为：3． 题型06 点与圆的位置关系 【典例1】若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解. 【详解】由点在圆的外部，可列不等式组： ，解得：， 故选：C. 【变式1】已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简圆的方程为，根据题意，列出不等式组，即可求解. 【详解】解：由圆，可得， 可得，解得， 又由点在圆外，则，解得， 综上可得：，所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式2】若过可作两条直线与圆相切，则k的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，可得，结合圆的半径为正数，列出不等式，求解即得k的取值范围. 【详解】由题意，点在圆的外部， 由配方得， 可知圆心为，半径为， 则由，即，解得或. 又由，解得， 综上，可得k的取值范围是. 故选：B 【变式3】已知两直线与的交点在圆的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由两条直线求交点，再由交点在圆的内部可得. 【详解】联立，解得，即交点为. 再由交点在圆的内部，所以，解得. 故选：C. 【变式4】若点在圆的外部，则实数m的取值范围 【答案】 【分析】由点在圆外及圆的方程的条件列不等式组求解. 【详解】根据题意可得，解得. 故答案为：. 题型07 圆上的点到定点、定直线的距离 【典例1】是圆上动点，为到直线上的距离，则不可能为（   ）. A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】求得圆心到直线的距离，再结合圆的性质，即可求解. 【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离为,则直线与圆相离， 所以点到直线的最大距离为，最小距离为，则不可能为. 故选：D. 【变式1】直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，在求得圆心到直线的距离，结合圆的性质，得到点到直线的距离的范围，结合三角形的面积公式，进而求得面积的取值范围. 【详解】由直线分别交轴、轴于两点， 可得，则， 又由点在圆上，圆心为，半径为 设圆心到直线的距离为，可得， 故点到直线的距离的范围是， 所以． 故选：A. 【变式2】若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】圆的圆心，半径为， 点到直线的距离， 即直线与圆相离，又点在圆上， 故点到直线的最小值为， 故选：. 【变式3】记点，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过计算圆心到原点的距离，结合圆的半径，求出圆上点到原点距离的取值范围. 【详解】圆的圆心为，半径. 原点到圆心的距离：. 因为点在圆上，所以的最小值为，最大值为. 故的取值范围是. 故选：A.    【变式4】已知，圆是圆上的动点，是轴上的动点，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】首先把的最小值转化为的最小值，再利用最短路径问题的结论即可求解. 【详解】由题意可知圆心的坐标为，半径， 点关于轴对称的点的坐标为， 则，从而， 故，即的最小值是4. 故答案为：4    题型08 过圆内定点的弦长 【典例1】已知圆，直线与圆相交，则直线被圆所截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到圆心和半径，分析得到直线过定点，再根据与圆心连线与直线垂直时，l被圆C截得的弦最短求解即可． 【详解】圆，即， 故圆心为，半径为， 直线，即， 当，即，此时方程恒成立，故直线过定点， 当与圆心连线与直线l垂直时，l被圆C截得的弦最短， 此时圆心到直线的距离， 最短弦长为． 故选：A 【变式1】已知，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】分析可知直线过定点，结合圆的性质分析的最小值. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为，即， 可知直线过定点， 则，可知点在圆内， 当且仅当时，取到最小值. 故选：C. 【变式2】当直线被圆所截得的弦长最短时，实数 . 【答案】0 【分析】先确定直线过定点，再确定弦长最短时，直线的斜率，可求的值. 【详解】对直线： . 由 . 所以直线过定点. 又，所以点在圆内. 如图：    所以当时，圆被直线截得的弦长最短. 此时，所以. 即 . 故答案为：0 【变式3】已知直线，圆，直线l与圆C交于两点，则弦长的最小值为 ． 【答案】 【分析】先根据已知直线方程求出直线过的定点，再求出定点到圆心的距离，比较与半径的大小确定定点与圆的位置关系，进而确定弦长最小时直线与圆的位置关系，最后利用弦长公式求解． 【详解】   ， 直线经过直线与的交点， 圆的圆心为，半径为， 点到圆心的距离，即点位于圆内， 当时，取得最小值，最小值为． 故答案为：． 【变式4】已知圆，直线与圆C相交于A、B两点，则的最小值为 ，此时 . 【答案】 【分析】分析可知直线过定点，根据圆的性质可知当时，取到最小值，进而可求弦长和斜率. 【详解】圆的圆心为，半径， 直线即为，过定点，斜率为， 则，， 若取到最小值，则， 此时，. 故答案为：；. 1．若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程成立的条件求解． 【详解】若方程表示圆， 则， 整理得，解得． 故选：B． 2．已知圆，点在直线上，当圆的半径最大时，的最小值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】将一般式转化为标准式得到，然后根据二次函数的性质得到时半径最大，最后利用点到直线的距离公式求最值即可. 【详解】设圆的半径为． 由题意，圆的标准方程为，所以，，解得． 由二次函数的性质知，当时，取得最大值，取得最大值， 此时． 因为点到直线的距离，所以的最小值为． 故选：A． 3．圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得答案. 【详解】圆的标准方程为，故该圆的圆心为，半径为. 故选：C. 4．已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程特征列出关系式求解后，再代回检验即可. 【详解】若曲线表示圆，则，解得或. 检验： 若，则曲线，整理得，不能表示圆，故舍去； 若，则曲线，整理得，可以表示圆，故保留. 故选：A. 5．过三点的圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由中垂线方程得到圆心坐标，再由两点间的距离公式求出半径，从而可得圆的面积. 【详解】以点为端点的线段的中垂线方程为， 以点为端点的线段的中垂线方程为， 设圆心为，显然为与的交点，故， 故圆的半径，故圆的面积为. 故选：B. 6．若直线始终平分圆的周长，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】依题意直线经过圆的圆心，列出等式即得. 【详解】由题意知圆心在直线上， ∴，整理得， 故选：D 7．直线 与圆 交于 两点，若 是直角三角形，则 （    ） A．1 B．±1 C．2 D． 【答案】D 【分析】求出圆的圆心及半径，再求出圆心到直线距离，利用直角三角形特征列式求解. 【详解】依题意，圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离，由是直角三角形，得， 因此，所以. 故选：D 8．已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1，则的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心到直线的距离为1可求的值. 【详解】因为圆的方程为，故圆的圆心为原点，半径为2， 直线的一般方程为， 因为圆上恰有三个点到直线的距离都等于1且圆的半径为2， 故圆心到直线的距离为1即，故， 故选：D. 9．若圆经过，圆心在直线上，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆的方程为：，结合条件列出方程组，求出半径即可求解. 【详解】设圆的方程为：， 所以，解得：， 所以圆的面积为； 故选：B 10．若点在圆外，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为方程表示圆， 所以，解得， 因为点在圆外， 所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 11．若过圆内不同于圆心的点恰好可以作5条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点构成的区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据过圆内一点的最长弦长和最短弦长得到过点的最短弦长的取值范围，从而得到点与圆心之间距离的取值范围，得到符合条件的点的区域，进而得到面积. 【详解】由得，所以圆的圆心为，半径， 因为直径是最长的弦，所以点在圆内，过点的弦中，直径是最长的弦，长度为， 以下分析过点的最短的弦，    由垂径定理知，，其中为圆心到弦的距离， 要使得最短，则最大， 由图可知，，当弦时取到等号，所以当弦时，最大，弦长最短， 根据圆的对称性，这条长度为正整数的弦长度分别是， 要使得有两条长度为的弦，则最短弦长小于，要使得没有长度为的弦，则最短弦长大于， 因此，过点的最短的弦长，    因为弦长最短时弦，所以，，， 所以点落在以为圆心，半径分别为和的圆所夹的圆环内， 所以该区域的面积为， 故选：B. 12．直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，求出直线过的定点，证明定点在圆内，根据当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大即可求解. 【详解】原圆方程配方得， 所以圆心为，半径， 因为直线， 所以直线过定点，因为定点和圆心的距离， 所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大为， 所以弦长最短为. 故选：C. 13．当直线被圆所截得的弦长最短时，实数 ． 【答案】0 【分析】确定直线过定点，由时，弦长取最小值，即可求解. 【详解】直线的方程变形为， 则由得， 所以直线过定点． 圆，因为， 所以点在圆内． 设直线与圆交于，两点， 则当时，取最小值， 由，得， 解得． 故答案为：0． 14．已知点在圆上运动，点到直线的距离的最大值为 . 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置结合图象即可确定距离的最大值. 【详解】将圆的方程化简为，因为圆心到直线的距离为 ，所以该直线与圆相离， 由题意根据直线与圆的关系，画出图象得 由图可以看出，当点位于图中位置时，点到直线的距离最大， 最大值为. 故答案为：. 15．记点，点在圆上，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由圆外一点到圆上一点的距离，即可解出答案. 【详解】因为，故点在圆外， 因为圆的半径，设圆心， 圆心与点的连线长， 故， 即， 故答案为：. 16．圆关于直线对称，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，圆心在直线上，代入计算得，再检验即可. 【详解】解：由题知圆的圆心为， 因为圆关于直线对称， 所以在直线上，即，解得， 当时，，即为，满足题意. 故答案为： 17．已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆经过点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点且被圆截得的弦长为.求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两直线相交可得圆心，再根据点在圆上，即可确定圆的半径，进而可得圆的标准方程； （2）分直线斜率存在与不存在两种情况设直线方程，根据垂径定理列方程，解方程即可. 【详解】（1）由已知点满足，解得，即， 又点在圆上，则， 所以圆的方程为； （2）当直线斜率存在时，设直线，即， 则圆心到直线的距离， 又弦长为， 解得，此时直线，即； 当直线斜率不存在时，由过点，则直线， 所以圆心到直线的距离，此时满足弦长为； 综上所述，直线的方程为或. 18．矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，所在直线的方程为. (1)求边所在直线的方程； (2)求经过三点的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立两条直线得点，由C与A关于点M对称得，由与垂直，得边所在直线的方程； （2）经过三点的圆即为矩形的外接圆，计算即可求解. 【详解】（1）由，得，则， 因为矩形两条对角线相交于，所以C与A关于点M对称， 设，所以，得，则， 因为边所在直线的方程为，斜率为， 因为与垂直，所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，即； （2）经过三点的圆即为矩形的外接圆， 所以圆心为，半径为 所以圆方程为. 19．已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1)； (2)，轨迹形状为以为圆心，为半径的圆. 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据条件联立方程求解圆心和半径； （2）通过向量关系设点和的坐标，利用代入法求点的轨迹方程. 【详解】（1）设圆的圆心为，半径为，其标准方程为， 因为圆心在直线上，因此，即，圆心可表示为， 因为圆经过和，则圆心到、的距离相等，由距离公式得： 解得，代入，得，即圆心为， 半径， 因此，圆的方程为； （2）设，则， 由，其中，则向量关系为：， 即， 解此方程组，用表示：， 代入圆的方程，得：， 化简得：. 所以点的轨迹方程为， 其轨迹为以为圆心，为半径的圆. 20．在中，已知，边的中点在轴上，边的中线所在直线的方程 (1)求顶点的坐标； (2)求边上的高所在直线方程； (3)求外接圆的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，利用边的中点在轴上，求得，利用边的中线所在直线的方程，求得； （2）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （3）利用待定系数法求得外接圆的方程． 【详解】（1）设，则的中点坐标为， 又因为边的中点在轴上，所以，解得， 又的中点是，即， 因为边的中线所在直线的方程，解得， 所以点C的坐标为； （2）因为，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即； （3）设外接圆的方程为， 可得，化简得， 解得，所以外接圆的方程为， 化为标准方程为. 21．根据下列条件分别写出直线方程或圆的方程. (1)求与直线的距离为的直线的方程 (2)已知圆经过，，三点，求圆的方程： 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）设所求直线为，应用平行线的距离公式列方程求参数值，即可得； （2）设，应用待定系数求参数值，即可得. 【详解】（1）令与直线的距离为的直线的方程为， 所以，可得或， 所求直线为或； （2）令圆过，，三点， 所以，可得， 所以所求圆为. 3 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $