专题1.2 两直线的位置关系（高效培优讲义）数学沪教版2020选择性必修第一册

本讲义聚焦两直线位置关系核心知识点，系统梳理直线平行垂直的判定条件，两直线相交的交点求解方法，以及两点间距离、点到直线距离、平行直线间距离公式的推导与应用，最后延伸至轴对称问题，形成从基础判定到综合应用的学习支架。 资料通过知识点分层递进设计，配合即学即练巩固基础，八大题型分类讲解典例与变式，助力学生在推理运算中培养数学思维，在对称问题探究中发展空间观念。课中便于教师系统授课，课后学生可通过综合练习查漏补缺，提升知识应用能力。

专题1.2 两直线的位置关系 教学目标 1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标． 2.探索并掌握两点间的距离公式. 3.探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 4.利用距离公式和直线的位置关系解决几何问题 教学重难点 1.重点 （1）距离公式； （2）直线的位置关系 2.难点 （1）含参数的直线位置关系判断； （2）利用距离公式和直线位置关系解决对称问题 知识点01 直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行. (2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 【即学即练】 1．直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 【答案】B 【分析】先求出两直线斜率，根据两直线的斜率不相等，这两条直线一定相交，即得解. 【详解】由题意，直线的斜率为， 直线的斜率为， 两直线斜率一定不相等，故两直线相交. 故选：B 2．已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A 3．已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】根据直线的斜率来进行判断. 【详解】， 由图可知不共线，所以． 故选：B    4．直线，那么与 . 【答案】平行 【分析】根据两条直线斜率关系即可判断. 【详解】由题可得，且与不重合，所以与平行； 故答案为：平行 知识点02 两直线相交 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点（即交点）的坐标与方程组的解一一对应. 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解. 【即学即练】 1．点为直线和直线的交点，为坐标原点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两条直线的交点后，与原点相连求出该正比例函数的斜率即可. 【详解】联立方程,可得点的坐标为,可得直线的方程为. 故选：B. 2．直线：与直线：的交点坐标为 . 【答案】 【分析】利用方程组求解交点即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以交点坐标为， 故答案为： 3．已知直线方程为，若直线在轴上的截距为，且. (1)求直线和直线的交点坐标； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程. 【答案】(1). (2)或. 【分析】根据和直线在轴上的截距为，可求出直线的方程，将直线和直线联立即可求出交点坐标. 由直线在轴上截距是在轴上的截距的2倍，分过原点和不过原点两种情况，结合直线经过直线与直线的交点，即可求解. 【详解】（1）设直线和直线的斜率分别为.由题可知，所以. 因为直线方程为，.所以. 因为直线在轴上的截距为，所以直线经过，所以直线方程为：，即. 联立方程，解得，即交点为. （2）设直线经过原点，且经过直线与直线的交点，所以直线的方程为：. 设直线不经过原点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，设其在轴上的截距为，则在轴上截距为. 所以设直线的方程为：，又因为直线经过直线与直线的交点，所以将代入得：. 所以直线的方程为：. 综上所述，直线的方程为：或. 4．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. (1)求顶点的坐标； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据直线与垂直，求直线的方程，再与直线方程联立，解方程组可得点坐标. （2）根据点在直线上，设出点坐标，利用为中点，表示点坐标，再根据点在直线上，可求的值，可确定点坐标，进而得直线的方程. 【详解】（1）如图：    因为边上的高所在直线方程为， ，且， 的顶点， 直线的方程：，即. 联立方程 ，解得. 顶点的坐标为. （2）因为所在直线方程为， 故设点的坐标为， 是的中点，， . 在所在直线上， ，解得， 点坐标为， 由知点的坐标为， 故直线的方程为，即. 知识点03 三种距离公式 (1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离： |AB|＝ . (2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离： d＝ . (3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0 (C1≠C2)间的距离为d＝. 【即学即练】 1．若点到直线：的距离为，则（   ） A．1 B． C．或9 D．1或 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式列式计算即可. 【详解】由点到直线：的距离为，得， 所以或. 故选：D 2．若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 【答案】C 【分析】分直线l的斜率不存在、存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 由题意可得， 所以当直线的斜率不存在时可得； 当直线的斜率为零时可得或， 故选：C. 3．已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【详解】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 4．点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知当时，点到直线的距离取最大值，且最大值为，结合平面内两点间的距离公式求解即可. 【详解】直线过定点， 当时，即当时，即当时， 点到直线的距离取最大值，且最大值为. 故选：D. 5．若直线与直线间的距离为1，则 . 【答案】6或 【分析】由平行线间距离公式即可求解. 【详解】直线化为， 根据平行线间的距离公式： ， 解得：或. 故答案为：6或-14 6．两平行直线与的距离为则等于 . 【答案】10或30 【分析】根据两平行线之间的距离公式建立关于c的方程，解之即可求解. 【详解】由，知两平行线之间的距离为， 解得或30. 故答案为：10或30 知识点04 轴对称问题 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A≠0，x1≠x2)． 【即学即练】 1．点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点关于直线的对称点，求出的中点，然后利用的中点在直线上且直线与垂直，列出方程组求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 由中点坐标公式得的中点为， 则的中点在直线上且直线与垂直， 所以，化简得，则， 所以点关于直线的对称点为. 故选：B 2．一条光线从点出发，与x轴相交于点P，经过x轴反射后，反射光线经过点，则（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】先求点关于x轴的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】由题意得关于x轴的对称点为， 所以. 故选：D. 3．已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好经过，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，由两点式写出反射光线所在的直线方程. 【详解】由点，得出其关于轴的对称点为， 又点在反射光线所在的直线上，且经轴反射后经过点， 所以反射光线所在的直线为，化简得. 故选：A 4．已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求点关于直线的对称点为的坐标，再求的距离即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则有，解得，即 因为光线从A到的路程即的长，而. 所以光线从A到的路程为. 故选：D. 题型01 直线平行的判定和应用 【典例1】直线：，：平行，则a为（   ） A．1或 B．或2 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据平行的关系求出，再注意检验即可得解. 【详解】由直线平行可知，， 解得或， 当时，平行， 当时，平行. 故选：A 1．判定两直线平行的方法： (1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1＝k2，且b1≠b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合． (2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：[来源:Zxxk.Com] 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0. 2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，这是经常采用的解题技巧． 【变式1】过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过直线方程联立求出交点坐标，再根据平行待定系数设直线方程，最后代入点坐标求解. 【详解】由，得，∴交点坐标为． 设与直线平行的直线方程为， 把点的坐标代入，得，解得， ∴所求直线方程为， 故选：A. 【变式2】直线：，：，若，则 . 【答案】 【分析】利用两条直线平行系数间的关系 ，且列式子求解. 【详解】直线：，：，且， 所以，且 ，所以 . 故答案为：. 【变式3】两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解． 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， 因为，所以不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 因为两直线与轴相交且能构成三角形， 所以，直线不能经过原点，∴； 直线与轴不能平行，∴，即； 直线与直线不能平行，∴，即， 综上得满足的条件是：且． 故答案为：且． 【变式4】已知直线与直线，． (1)若，求m的值； (2)当时，过点的直线被直线，所截得的线段的中点恰好在直线上，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一般式下两直线平行的条件得到方程，解得的值，再代入检验； （2）求出与的交点，与的交点，从而求出的中点，即可得到为的中点，从而求出直线方程； 【详解】（1）因为直线与直线且， 所以，解得或， 当时直线，直线，符合题意； 当时直线，直线，两直线重合，故舍去； 综上可得. （2）当时直线，直线， 由，解得，即与的交点为； 又，解得，即与的交点为； 又与的中点为， 不妨设在直线上，在直线上，则，即，故为的中点， 所以直线过点，又直线过点， 所以直线的方程为；    题型02 直线垂直的判定和应用 【典例1】已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直关系得到直线的斜率，进而得到倾斜角． 【详解】由题意，直线的斜率为1， 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为-1. 结合斜率与倾斜角的关系，得直线的倾斜角为. 故选：C 1．判定两直线垂直的方法： (1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1·k2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两直线也垂直． (2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0. 2．与Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0，这是经常采用的解题技巧． 【变式1】已知直线l：，当点到直线l的距离最大时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过的定点，再结合条件即可求出方程. 【详解】直线l：过定点，显然点不在直线l上， 则当且仅当时，点到直线l的距离最大，而直线斜率， 因此直线的斜率，直线l的方程为. 故选：C 【变式2】经过点，且与垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由垂直关系，求出所求直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可得出结果. 【详解】所给直线的斜率为， 因为所求直线与直线垂直， 所以所求直线斜率为 又所求直线过点， 因此，所求直线方程为，即. 故选：D. 【变式3】已知直线与互相垂直，则实数的值为 . 【答案】或/或 【分析】利用两直线垂直的充要条件来求解参数即可. 【详解】由题意得，解得或， 故答案为：或 【变式4】如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； （注意：最后结果统一用一般式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求的中点，再根据两点式方程求解即可； （2）先根据直线垂直的斜率关系得，再根据点斜式方程求解即可. 【详解】（1）解：由已知得的中点，即， 边上的中线的两点式方程为，即； 所以，边上的中线所在直线的方程为. （2）解：因为， 又，则，所以， 所以直线的方程为，即. 所以边上的高所在直线的方程为. 题型03 直线围成的图形面积问题 【典例1】过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知方程求得点A，点B的坐标，求得直线的方程；用m表示出点P的坐标，利用点到直线的距离公式求得点P到直线的距离，并求得其取值范围，从而得到面积的最大值.或根据方程得两直线垂直，从而得到面积为，根据不等式得到其最大值. 【详解】由，得; 由，得. 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 由，得，且. 所以，所以点P到直线的距离为. 因为且，所以且，所以且， 即且. 所以面积为，当且仅当时，等号成立. 所以当时，面积取得最大值，最大值为2. 故选：D. 方法二：由，得; 由，得.所以. 易知直线与直线垂直. 所以. 所以面积为. 所以时，面积取得最大值，最大值为2. 故选：D. 【变式1】已知的顶点为，直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得出，可求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出点到直线的距离，并求出，利用平行四边形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）因为四边形为平行四边形，所以，所以， 又因为点，所以直线的方程为，即. （2）点到直线的距离为，且， 故平行四边形的面积为． 【变式2】已知直线方程为，其中. (1)当m变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)4. 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，可得定点坐标，点到直线的距离最大时，一定有与该直线垂直，可得结论． （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值． 【详解】（1）直线方程为即为， 由可得则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. （2）设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以的面积的最小值是4. 【变式3】已知的顶点坐标为． (1)在中，求边上的高所在直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1)． (2)4. 【分析】（1）运用直线垂直得到高线直线的斜率，再用点斜式计算即可； （2）运用两点间距离计算底长，再用点到直线距离公式计算高线，再计算面积即可. 【详解】（1）直线AB的斜率，边上的高线所在直线的斜率为 故中，边上的高线所在直线的方程为，即为． （2），， 直线的方程为，即为， 点C到直线的距离为， ． 的面积为4. 【变式4】已知点，，是以为底边的等腰三角形，点C在直线上. (1)求边上的高所在直线的方程：（结果写成直线方程的一般式） (2)求的面积. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由题意可知，为的中点，，利用斜率计算公式、点斜式即可得出． （2）由 得，利用两点之间的距离公式、三角形面积计算公式即可得出． 【详解】（1）由题意可知，为的中点，因为，， 所以，，所以， 所以所在直线方程为，即．    （2）由 解得，所以， 所以平行于轴，平行于轴，即， ， ． 题型04 到两点距离相等的直线 【典例1】已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 【答案】D 【分析】 利用点到直线的距离公式列方程即可得出． 【详解】由题意可得，即， 解得或 故选：D. 【变式1】直线经过点，且点到它的距离相等，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】借助点到直线的距离公式，分直线斜率存在于不存在进行讨论即可得. 【详解】若直线斜率不存在，则， 此时点到的距离为，点到的距离为，符合要求； 若直线斜率存在，设，即， 则有，化简得， 即，解得，即； 故的方程为或. 故选：D. 【变式2】已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分别研究位于直线同侧以及位于直线两侧时的情况，即可得出答案. 【详解】当位于直线同侧时，只有时，且两平行线之间的距离为时，满足条件，这样的直线有2条； 又， 所以位于直线两侧时，只有当直线恰为直线的中垂线时，满足条件，此时的直线有1条. 综上所述，满足条件的直线共有3条. 故选：C． 【变式3】点，，则经过原点且与、两点距离相等的直线方程是 . 【答案】或. 【分析】由条件可知直线平行于直线或经过线段的中点，求出所求直线的斜率，即可由点斜式得到所求直线的方程. 【详解】设所求直线为，由条件知，直线平行于或经过线段的中点. ① 时，因直线的斜率为，故此时直线的方程为； ②当直线经过线段的中点时，直线的斜率为，故此时直线的方程为. 综上，可得所求直线的方程为或. 故答案为：或. 【变式4】求下列直线方程： (1)已知直线过点，且与点，点的距离相等，求直线的方程． (2)已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用距离相等得出直线与直线平行或经过的中点，分别求解方程即可； （2）设出直线方程，表示出三角形的面积，根据面积可得答案. 【详解】（1）由题意可知，直线与直线平行时或者经过线段的中点时符合题意； 直线的斜率为：，当直线与直线平行时，可设直线方程为， 故，，直线方程为； 线段的中点为，当经过线段的中点时，方程为，即. 综上，求直线的方程为或. （2）显然直线的斜率存在，设方程为， 令，得，令，得， 因为与坐标轴围成的三角形面积为2，所以， 解得或，即直线的方程为或. 题型05 求点关于直线的对称点 【典例1】点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】假设所求点为，根据斜率关系和两点连线中点在对称轴上可构造方程组求得结果. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得：， 点关于直线的对称点为. 故选：B. 【变式1】在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】求出点关于直线的对称点，利用轴对称性质及两点间线段最短求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即点， 因此，当且仅当为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是4. 故选：D 【变式2】台球是一项在球桌上用球杆击打主球以撞击目标球的体育运动，假设主球（体积忽略不计，看作一个点）在球桌上均做直线运动，碰撞到球桌壁后反弹时满足反射角等于入射角.如图，现击打主球在球桌壁点反弹后，经过点，再在球桌壁点反弹后，击中目标球.以球桌壁所在直线分别为，轴，建立如图所示的直角坐标系，发现点的坐标为，目标球的坐标为，则在该坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别求得点关于轴的对称点为和点关于轴的对称点为，以及关于轴的对称点为，得到的方程，进而求得的坐标， 【详解】由点关于轴的对称点为，则点在直线上， 点关于轴的对称点为，则关于轴的对称点为， 所以点在直线上，则， 所以直线的方程为， 令，解得，则点的坐标为. 故选：D. 【变式3】点关于轴的对称点为，则点到直线的距离为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】确定Q的坐标，利用点到直线的距离公式，即可得答案. 【详解】由题意知点关于轴的对称点为，则， 故点到直线的距离为， 故选：C 【变式4】将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出图纸的折痕所在直线方程，再利用轴对称的性质确定直线经过的点列式求解. 【详解】依题意，直线的斜率，点的中点， 则图纸的折痕所在直线方程为，即，令，得，即， 由轴与直线正好重合，得点在直线上，即， 又直线与轴的交点在直线上，则，从而， 所以. 故答案为： 题型06 求两点对称轴 【典例1】将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知点对称，应用点斜式写出对称轴方程，并求出其与轴的交点，再由轴与直线关于对称轴对称，确定相关点在直线上求参数值. 【详解】由点与点重合，则的中点为，， 所以的对称轴所在的直线的斜率为，则对称轴为，即， 由，即对称轴与轴的交点为， 而折叠后，轴与直线也正好重合，即轴与直线关于直线对称， 由在轴上，所以点、都在上，则. 故选：A 【变式1】已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 【变式2】已知点与点关于直线对称，则直线的方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，求出，设直线方程为，然后求出中点坐标，代入直线方程，解出即可. 【详解】因为直线的斜率为,所以直线的斜率为1,设其方程为, 因为线段的中点坐标为, 所以,解得， 所以直线的方程是. 故选：D. 【变式3】若点与点关于直线对称，则直线的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】利用直线的位置关系结合点斜式计算两点中垂线即可. 【详解】易知的中点坐标为，两点连线斜率为， 所以直线的斜率为2，由点斜式可知其方程为：， 整理得. 故答案为： 【变式4】将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】利用折痕所在直线与两点连线垂直可得所求直线斜率，利用中点在折痕所在直线上可得所求直线方程. 【详解】点与点连线斜率，折痕所在直线斜率， 又点与点的中点为， 折痕所在直线方程为：，即. 故答案为：. 题型07 直线关于直线对称问题 【典例1】如图，在直角中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意建立直角坐标系，结合光的反射原理，依次求出点关于直线，轴的对称点，并由四点共线，即可得到直线的方程，进而解出点的坐标并求得线段的长度，再运用点到直线的距离公式求得点到直线的距离，最后代入三角形的面积公式即可得解. 【详解】根据题意，以点为原点，以，分别为轴，轴建立直角坐标系， 则，所以直线的方程为，的重心为.    设点，其中，则点关于直线的对称点， 满足，解得，即， 易得点关于轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率，所以直线的方程为， 由于直线经过的重心，代入得， 化简得或（舍去），故点，点，点， 直线的方程为，即， 联立，解得，即点， 联立，解得，即点， 所以， 又点到直线的距离为， 所以. 故选：A. 【变式1】下列说法错误的是（   ） A．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．已知一条光线从点射向轴，经过x轴上的点P反射后经过点，则点P的坐标为 D．已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围是 【答案】B 【分析】应用直线平行求出参数再应用平行线间距离计算判断A，根据垂直得出参数再结合充分不必要条件定义判断B，求出关于轴对称点的坐标，即可求出反射光线，从而判断C，数形结合得出有交点时的斜率范围，从而得到倾斜角的范围判断D. 【详解】对于A：直线与直线平行，则，解得， 直线，即， 则与的距离为，故A正确； 对于B：由两直线互相垂直得，，解得或， 可知“”是两直线垂直的充分不必要条件，故B错误； 对于C：点关于轴对称的点为，则， 所以反射光线所在直线方程为，即，令，解得， 所以的坐标为，故C正确； 对于D：因为，，，则，，    由图可知，当直线的斜率时，直线与线段有交点， 则直线的倾斜角的取值范围是，故D正确. 故选：B 【变式2】一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】由反射光线所在直线与入射光线所在直线关于轴对称，可知反射光线所在直线经过点关于轴对称的点，由此求出反射光线所在直线的方程. 【详解】由入射光线和反射光线的对称性可知，反射光线所在直线经过点关于轴对称的点， 由和确定反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式3】一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】先设点B的对称点，应用对称性得出对称点，再应用点斜式得出直线方程. 【详解】设关于直线的对称点， 所以，所以， 所以， 由题意知：入射光线所在的直线经过和，而斜率， 所以入射光线所在的直线方程为． 故答案为：． 【变式4】已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. 【详解】（1）直线的斜率为， 设，又，依题意可得， 解得，所以. （2）在直线上取一点，则关于直线的对称点必在直线上，设对称点， 则，解得，故. 设直线与直线的交点为，则由，解得，即. 所以直线经过点， 则，所以直线的方程为，即.    题型08 由距离求已知直线的平行线 【典例1】已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，由平行线间距离公式即可求解. 【详解】设直线的方程为， 则间的距离， 解得，或， 所以直线的方程为或. 故选：B. 【变式1】已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线平行可设直线的方程为，结合两平行线间距离公式运算求解即可. 【详解】因为，且直线的方程为， 设直线的方程为，， 根据题意得，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：C． 【变式2】若直线与直线间的距离为1，则 . 【答案】6或 【分析】由平行线间距离公式即可求解. 【详解】直线化为， 根据平行线间的距离公式： ， 解得：或. 故答案为：6或-14 【变式3】直线关于直线对称的直线的方程为 ．（用一般式表示） 【答案】 【分析】根据已知直线平行，并求出它们的距离，再设所求直线为，根据对称性及平行线的距离公式求参数，即可得. 【详解】由、，显然两条直线平行，且它们的距离， 可设所求直线为，则或（舍）， 所以，所求直线为. 故答案为： 【变式4】已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. (1)求的值； (2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； (3)求与平行且到，距离相等的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将方程化为，利用两平行线距离公式列式求解即可； （2）先联立方程求得直线与的交点，然后利用垂直关系设所求直线方程为，将点的坐标代入计算即可； （3）由题可设所求直线方程为，利用平行线距离列式求得，即可得解. 【详解】（1）因为：，：， 所以与间的距离为， 即，因为，所以，解得； （2）由直线与的方程联立方程组，解得. 即两直线的交点坐标为， 设所求直线方程为，代入得 解得， 故所求的直线方程为，即. （3）直线：，：， 由题可设所求直线方程为，则有， 所以，所以，解得， 故所求的直线方程为，即. 1．若直线与平行，则实数的值为（    ） A．3 B． C．或3 D．0 【答案】B 【分析】根据直线一般方程平行的关系得，进而解方程并检验即可. 【详解】直线与平行， 则，解得或， 经检验，当时，，，重合，舍去， 当，，，满足题意. 所以实数的值为 故选：B. 2．已知直线与直线平行，则实数的值为（    ） A．-1 B．2 C．-1或2 D．1或-2 【答案】A 【分析】利用直线平行的判定方法求解即可. 【详解】由直线与直线平行, 可得，解得或， 由于还要满足，所以舍去， 故选：A 3．已知两条直线和，若，则实数的值为（    ） A．或1 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】应用直线垂直的系数关系列式计算求解. 【详解】两条直线和， 因为，所以，则实数. 故选：D. 4．直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行直线间的距离公式进行求解即可. 【详解】 将直线化简得， 故两直线平行，它们之间的距离． 故选：C. 5．已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直的充要条件列式求解. 【详解】由题可得，，解得. 故选：A. 6．已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（　　） A．2 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】求得直线所过的定点，再利用两点间的距离公式进行计算. 【详解】直线， 即， 由解得， 所以直线过定点， 所以的最大值为． 故选： 7．点到直线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式可直接求出答案. 【详解】点到直线的距离为， 故选：C. 8．已知直线与直线平行，则直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再由两平行线间的距离公式计算可得. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线，即，直线， 所以直线与直线间的距离为. 故选：D. 9．已知直线：，：，当时，的值为 ． 【答案】1或 【分析】利用两直线平行的公式结合已知直线方程求解． 【详解】直线，，， ，解得或，且， 得或． 故答案为：1或． 10．已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直.则直线的方程为 . 【答案】 【分析】联立，求出两条直线的交点坐标，设出与直线垂直的直线方程，将交点代入，求解. 【详解】联立，解得， 所以直线和的交点为， 设与直线垂直的直线为， 将代入得，解得， 所以直线的方程为， 故答案为： 11．三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为 . 【答案】且且 【分析】根据题意，分类讨论三条直线交于一点和三条直线有两条直线平行，即可得到答案. 【详解】当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形． 若三条直线交于一点，由，得直线，交点坐标为， 把代入到直线，得； 若直线平行，则可得， 若直线平行，可得， 所以或． 综上，且且时，直线与能围成三角形, 故答案为：且且 12．直线与直线的夹角的大小为 ．（用反三角表示） 【答案】 【分析】设直线与直线的夹角为，根据题意结合向量夹角公式可得，进而可得结果. 【详解】设直线与直线的夹角为， 由题意可知：直线的斜率，其方向向量可以为， 直线的斜率，其方向向量可以为， 则， 所以直线与直线的夹角为. 故答案为：. 13．求出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与直线垂直； (3)经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）设直线的斜率为，根据题意，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设直线的斜率为，根据题意，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解； （3）解：设直线在轴截距为，在轴截距为，分和，两种情况讨论，分别求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：由直线的斜率， 设所求直线的斜率为，因为所求直线与直线平行，所以， 又因为所求直线经过，所以， 即所求直线方程为. （2）解：由直线的斜率， 因为两条直线垂直且斜率均存在，所以斜率之积为， 设所求直线的斜率为，可得，解得， 又因为所求直线经过点，可得，即直线方程为. （3）解：设直线在轴截距为，在轴截距为， ①当时，直线过原点，设方程为， 因为直线过点，可得，此时在坐标轴截距都是0，绝对值相等，满足条件， 此时直线方程为； ②当时，则直线方程为且． 又所求直线过点，可得， （i）若，代入得，解得，所以直线方程为； （ii）若，代入得，解得，所以直线方程为. 综上所述，所求直线方程为或或. 14．已知直线经过、两点． (1)求直线的方程； (2)设直线，若，求实数的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程； （2）根据直线垂直满足的关系式得到方程，求出实数的值. 【详解】（1）直线经过、两点， ， 直线，即：． （2）由，直线，， 得，解得， 即实数的值为． 15．已知两直线，.求过两直线的交点，且平行于直线的直线方程. 【答案】 【分析】先求得交点坐标，再设直线方程为，代入交点坐标，即求解. 【详解】联立，得，即两条直线的交点坐标为， 设与直线平行的直线方程为， 将代入得，即， 所以所求直线方程为. 16．已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）首先求出中点坐标，再由两点斜率公式即可求解； （2）首先由两点斜率公式求出直线的斜率，然后根据垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，最后根据点斜式方程即可求解. 【详解】（1）由，，得的中点. 则边上的中线的斜率为. （2）由，，可得直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为， 化为斜截式方程为. 17．已知直线的倾斜角为，且经过点． (1)求的方程； (2)若直线经过、两点，求与的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程； （2）求出直线的方程，将直线与的方程联立，即可得出这两条直线交点的坐标. 【详解】（1）由题意知，的斜率， 又经过点，所以的方程为，即． （2）由题可知的方程为，即． 将与的方程联立可得，解得， 所以与的交点坐标为． 18．已知直线，直线，设直线与的交点为P，点Q的坐标为． (1)求经过点Q且与直线平行的直线方程； (2)求线段的中垂线方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由平行关系设出直线方程，利用待定系数法求解. （2）求出交点坐标，再求出线段的中垂线方程. 【详解】（1）设经过点Q且与直线平行的直线方程为，而点， 则，解得，所以所求直线方程为. （2）由，解得，则点，线段的中点为， 直线的斜率，线段的中垂线斜率， 所以线段的中垂线方程为，即. 19．已知三条直线，且与间的距离是. (1)求的值； (2)若点，求点到的距离与点到的距离之比. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先化简直线，利用两平行线间的距离公式，列出方程，即可求解； （2）根据题意，利用点到直线的距离公式，分别求得点到和的距离，即可求解. 【详解】（1）解：由直线，可得， 因为与间的距离为，可得，即， 又因为，可得，解得. （2）解：由点，且， 可得点到的距离为， 点到的距离为， 所以点到的距离与点到的距离之比是. 20．已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设，根据高线过点及中线列式求解； （2）先求出交点，再应用两点间距离及点到直线距离计算面积即可. 【详解】（1）设，则的中点， 则解得即. 故点的坐标为. （2）由边上的高线所在的直线方程为， 可设直线的方程为， 将代入可得，即，所以直线的方程为 因为为直线与的交点， 所以联立解得即. 则. 点到直线的距离为. 所以. 故的面积为20. 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 两直线的位置关系 教学目标 1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标． 2.探索并掌握两点间的距离公式. 3.探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 4.利用距离公式和直线的位置关系解决几何问题 教学重难点 1.重点 （1）距离公式； （2）直线的位置关系 2.难点 （1）含参数的直线位置关系判断； （2）利用距离公式和直线位置关系解决对称问题 知识点01 直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行. (2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 【即学即练】 1．直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 2．已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 3．已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 4．直线，那么与 . 知识点02 两直线相交 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点（即交点）的坐标与方程组的解一一对应. 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解. 【即学即练】 1．点为直线和直线的交点，为坐标原点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．直线：与直线：的交点坐标为 . 3．已知直线方程为，若直线在轴上的截距为，且. (1)求直线和直线的交点坐标； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程. 4．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. (1)求顶点的坐标； (2)求直线的方程. 知识点03 三种距离公式 (1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离： |AB|＝ . (2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离： d＝ . (3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0 (C1≠C2)间的距离为d＝. 【即学即练】 1．若点到直线：的距离为，则（   ） A．1 B． C．或9 D．1或 2．若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 3．已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 4．点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．若直线与直线间的距离为1，则 . 6．两平行直线与的距离为则等于 . 知识点04 轴对称问题 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A≠0，x1≠x2)． 【即学即练】 1．点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 2．一条光线从点出发，与x轴相交于点P，经过x轴反射后，反射光线经过点，则（    ） A．4 B．5 C． D． 3．已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好经过，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（    ） A． B． C． D． 题型01 直线平行的判定和应用 【典例1】直线：，：平行，则a为（   ） A．1或 B．或2 C．2 D．1 1．判定两直线平行的方法： (1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1＝k2，且b1≠b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合． (2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：[来源:Zxxk.Com] 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0. 2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，这是经常采用的解题技巧． 【变式1】过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】直线：，：，若，则 . 【变式3】两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是 ． 【变式4】已知直线与直线，． (1)若，求m的值； (2)当时，过点的直线被直线，所截得的线段的中点恰好在直线上，求直线的方程． 题型02 直线垂直的判定和应用 【典例1】已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 1．判定两直线垂直的方法： (1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1·k2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两直线也垂直． (2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0. 2．与Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0，这是经常采用的解题技巧． 【变式1】已知直线l：，当点到直线l的距离最大时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】经过点，且与垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知直线与互相垂直，则实数的值为 . 【变式4】如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； （注意：最后结果统一用一般式表示） 题型03 直线围成的图形面积问题 【典例1】过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知的顶点为，直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若为，求的面积． 【变式2】已知直线方程为，其中. (1)当m变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求面积的最小值. 【变式3】已知的顶点坐标为． (1)在中，求边上的高所在直线的方程； (2)求的面积. 【变式4】已知点，，是以为底边的等腰三角形，点C在直线上. (1)求边上的高所在直线的方程：（结果写成直线方程的一般式） (2)求的面积. 题型04 到两点距离相等的直线 【典例1】已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 【变式1】直线经过点，且点到它的距离相等，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式3】点，，则经过原点且与、两点距离相等的直线方程是 . 【变式4】求下列直线方程： (1)已知直线过点，且与点，点的距离相等，求直线的方程． (2)已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，求直线的方程． 题型05 求点关于直线的对称点 【典例1】点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 【变式2】台球是一项在球桌上用球杆击打主球以撞击目标球的体育运动，假设主球（体积忽略不计，看作一个点）在球桌上均做直线运动，碰撞到球桌壁后反弹时满足反射角等于入射角.如图，现击打主球在球桌壁点反弹后，经过点，再在球桌壁点反弹后，击中目标球.以球桌壁所在直线分别为，轴，建立如图所示的直角坐标系，发现点的坐标为，目标球的坐标为，则在该坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】点关于轴的对称点为，则点到直线的距离为（   ） A． B．3 C． D． 【变式4】将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则 . 题型06 求两点对称轴 【典例1】将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知点与点关于直线对称，则直线的方程是(　　) A． B． C． D． 【变式3】若点与点关于直线对称，则直线的一般式方程为 ． 【变式4】将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为 . 题型07 直线关于直线对称问题 【典例1】如图，在直角中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【变式1】下列说法错误的是（   ） A．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．已知一条光线从点射向轴，经过x轴上的点P反射后经过点，则点P的坐标为 D．已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围是 【变式2】一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【变式3】一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为 ． 【变式4】已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 题型08 由距离求已知直线的平行线 【典例1】已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若直线与直线间的距离为1，则 . 【变式3】直线关于直线对称的直线的方程为 ．（用一般式表示） 【变式4】已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. (1)求的值； (2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； (3)求与平行且到，距离相等的直线的方程. 1．若直线与平行，则实数的值为（    ） A．3 B． C．或3 D．0 2．已知直线与直线平行，则实数的值为（    ） A．-1 B．2 C．-1或2 D．1或-2 3．已知两条直线和，若，则实数的值为（    ） A．或1 B． C．1 D． 4．直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 6．已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（　　） A．2 B．2 C． D． 7．点到直线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 8．已知直线与直线平行，则直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 9．已知直线：，：，当时，的值为 ． 10．已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直.则直线的方程为 . 11．三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为 . 12．直线与直线的夹角的大小为 ．（用反三角表示） 13．求出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与直线垂直； (3)经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． 14．已知直线经过、两点． (1)求直线的方程； (2)设直线，若，求实数的值． 15．已知两直线，.求过两直线的交点，且平行于直线的直线方程. 16．已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程. 17．已知直线的倾斜角为，且经过点． (1)求的方程； (2)若直线经过、两点，求与的交点坐标． 18．已知直线，直线，设直线与的交点为P，点Q的坐标为． (1)求经过点Q且与直线平行的直线方程； (2)求线段的中垂线方程． 19．已知三条直线，且与间的距离是. (1)求的值； (2)若点，求点到的距离与点到的距离之比. 20．已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $