精品解析：云南省昆明市云南师范大学实验中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

云南省昆明市云南师范大学实验中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】由命题的否定的定义即可得到结果. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题的条件不变． 所以命题“，，”的否定是：“，，”． 故选：B． 3. 如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建系设，应用数量积的坐标运算得出，最后应用两角差的正切公式计算求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，则，． 设，则，，故，． 所以，当时，取得最大值， 此时． 故选：B． 4. 函数的最小正周期和最大值分别为（ ） A. 和3 B. 和2 C. 和3 D. 和2 【答案】A 【解析】 【分析】借助降幂公式可将原函数化为余弦型函数，再利用余弦型函数性质计算即可得解. 【详解】， 则最小正周期，最大值为3. 故选：A. 5. 在中，，，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据得出，再利用向量的线性运算得出，即可求出. 【详解】因为，所以， 即， 所以，即， 因为，则， 则， 所以. 故选：C. 6. 设双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，且，则的离心率为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的对称性得到，然后根据双曲线的定义列方程，得到，，最后利用余弦定理列等式，整理即可得到离心率. 【详解】 设双曲线的右焦点为， 根据双曲线的对称性得到，， 由双曲线的定义得，所以， 在中，由余弦定理得， 整理得，所以. 故选：D. 7. 已知为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 28 B. 32 C. 36 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】首先得，然后结合等差数列求和公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为，，故两式作差可得： ，即，，又，故. 故选：C. 8. 定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】构造研究其奇偶性、区间单调性，问题转化为求与的交点个数，数形结合判断交点个数，即可得. 【详解】令且定义域为R，则， 所以为偶函数，在上， 所以在上单调递减，结合偶函数的对称性知，其在上单调递增， 由，则，且，则， 由的零点个数等价于与的交点个数，函数大致图象如下， 其中，且该函数关于对称，在、上分别单调递减、单调递增， 显然时， 在上单调递增，则时恒成立， 在上单调递减，且， 所以使， 综上，与的交点横坐标有，即有3个零点. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据图象得到最小正周期，进而求出；B选项，由得到方程，求出；C选项，在AB基础上得到解析式，代入后，由诱导公式可得C正确；D选项，整体法得到，又在上单调递增，D正确. 【详解】对于A，由图可知的最小正周期，则，故A正确； 对于B，由，可得， 因为，所以，所以，所以，故B错误； 对于C，由对A、B的分析得， 则，故C正确； 对于D，当时，，又在上单调递增， 故在上单调递增，D正确． 故选：ACD 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则的最大值为－2 B. 若，则的最小值是 C. 若，且，则的最小值是9 D. 若正实数，满足，则的最小值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，负化正利用基本不等式求解判断；对B，利用的单调性求解判断；对C，利用基本不等式构造的二次不等式求解判断；对D，利用“1”的代换化简后利用基本不等式求解判断. 【详解】对于A：若，则， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：令，则， 由于在上单调递增，故，故B错误； 对于C：因为，，且， 令，则，解得，所以， 当且仅当时取等号，故选项C正确； 对于D，因为正实数，满足， 则， 当且仅当，即，时取等号，故D正确． 故选：ACD． 11. 若质点在以坐标原点为圆心，1为半径的圆上逆时针做匀速圆周运动，的角速度大小为2rad/s，起点为圆与轴非负半轴的交点，经过秒后到达点，设关于，的表达式分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数最小正周期为 B. 是函数的一个极值点 C. 函数的最大值为 D. 若函数在只有一个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，先得到，，利用三角恒等变换和最小正周期公式得到A正确；B选项，求导，得到，B错误；C选项，求出，不妨设，即，求导，得到的单调性，从而得到函数的最大值；D选项，转化为，求出，同一坐标系内画出，及的图象，数形结合得到答案. 【详解】A选项，由题意得，， ，故最小正周期为，A正确； B选项，，则， 不是函数的一个极值点，B错误； C选项，，不妨设，即， ， 由于恒成立，令得，， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 极大值，又， 因为,所以的最大值为，C正确； D选项，， 令得， 其中，则， 同一坐标系内画出，及的图象，如下： 要想函数在只有一个零点， 即，与只有1个交点， 则，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 学校举办运动会时，某班共有名同学参加田径或球类比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，则同时参加田径和球类比赛的有__________人. 【答案】 【解析】 【分析】设同时参加田径和球类比赛的人数为，用集合表示参加田径比赛的同学，集合表示参加球类比赛的同学，结合韦恩图法求解. 【详解】设同时参加田径和球类比赛的人数为， 用集合表示参加田径比赛的同学，集合表示参加球类比赛的同学，如下图所示： 由题意可得，解得， 故同时参加田径和球类比赛的同学人数为. 故答案为：. 13. 已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一动点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，，， 则，， 故 ， 当且仅当，时，等号成立， 故答案为：. 14. “四进制”是一种以为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以的相应次方（从开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；现将所有由，，组成的位（如：，）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被整除的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据四进制与十进制的转换规则，利用二项式定理将的高次方展开并求得除以之后的余数，令余数能被整除即可得出所有数字组合种类数，可求得概率. 【详解】设， 则位四进制数转换为十进制为 ， 若这个数能被3整除，则能被整除． 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数都由组成时，有个． 因为由，，组成的位四进制数共有个， 所以能被整除的概率． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将进制转化为进制之后，利用二项式定理来求解能否被整除的问题，得出所有可能的组合即可求得相应概率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求边的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可得，故可求的值. （2）根据面积可求，再根据余弦定理可求. 【小问1详解】 由正弦定理与，得. 所以即. 因为，所以，又，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，即，解得. 由余弦定理，得，所以. 16. 如图，在几何体中，四边形是正方形，是等边三角形，，平面平面，中边上的高为，且． （1）证明：平面； （2）求几何体的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 因为四边形是正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 且平面 ，所以平面 ， 因为，所以平面 . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面平面，证得平面 ，得到，因为，即可证得平面 ； （2）连接和 ，得到 ，由平面 ，取得，再证得平面，求得 ，即可求得几何体的体积； （3）以为 坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接和 ，则几何体的体积等于 , 因为平面，所以是三棱锥 的高， 所以， 因为 中边上的高为 ，且，所以， 又因为平面平面，且平面 平面，平面 ， 所以平面 ， 又因为，所以是四棱锥 的高， 所以， 所以几何体的体积等于. 【小问3详解】 解：以为 坐标原点，建立如图空间直角坐标系 ，如图所示， 则 ， ，所以 ． 因为 ，，， 可得 ， ， 设平面 的法向量为 ，则， 取，可得，所以 ， 所以 ， 设直线与平面所成角为，则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论在上的单调性； （3）若，求证：当时，． 【答案】（1） （2） 时，在上单调递增； 时，在上单调递减；在上单调递增 （3） 证明：设． ，由（2）可知 ①当时，在上单调递增，所以， 即在上单调递增，所以，满足题意； ②当时， 当时，单调递减； 当时，单调递增， ， ，，即， 在上单调递增，，满足题意， 综上可得，当且时，． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案； （2）利用导数与函数单调性的关系即可判断在上的单调性； （3）设，结合（2）分类讨论，可判断该函数的单调性，即可证明不等式. 【小问1详解】 当时，，则， 所以． 又，故所求切线方程为． 【小问2详解】 ，，， ①当时，，在上单调递增． ②当时，令，解得． 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 故时，在上单调递增； 时，在上单调递减；在上单调递增． 【小问3详解】 略 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率是，其上顶点与右顶点的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）若点为椭圆上的点，直线分别与直线交于两点，记的面积分别为． ①若，，求； ②若，求． 【答案】（1） （2）①4；② 【解析】 【分析】（1）由题意得到，求解即可； （2）①由，及点在椭圆上，求得坐标，即可求解； ②求得两点坐标，由两点间距离公式，再由，代入即可求解. 【小问1详解】 设椭圆 的焦距为 ，因为椭圆 的离心率是 ，所以 ， 所以 ，又因为 ，所以 因为椭圆 的上顶点与右顶点的距离为 ，所以 ，所以 ， 所以椭圆 的方程是 【小问2详解】 ①因为 ，且 ， 所以 由对称性不妨设 ，则直线 ，令 ，得 ． 所以 ② 由 得 由 得 因为 ， ， 所以 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，所以 19. 奥古斯丁・路易斯・柯西，法国著名数学家．柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．柯西不等式的一般形式为：，，，，，，，，且，，当且仅当时，等号成立． （1）根据柯西不等式求函数的最大值． （2）用向量证明二维柯西不等式：； （3）已知三维分式型柯西不等式： ，，均大于，，当且仅当时等号成立． 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，是内一点，过作，，的垂线，垂足分别为，，，求的最小值． 【答案】（1） （2）证明:设，， 由得， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给公式，代入数据，分析计算，即可得答案. （2）设，，，根据向量的坐标运算法则，代入计算，即可得答案. （3）由题意得，根据条件，结合三维分式型柯西不等式，可得，结合余弦定理，计算求解，即可得答案. 【小问1详解】 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 由，得，易得满足条件． 所以的最大值为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得， 即， 由三维分式型柯西不等式有， 当且仅当，即时等号成立， 由余弦定理得，即， 所以，即， 则， 此时有最小值，当且仅当成立时取等号． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省昆明市云南师范大学实验中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （　　） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 4. 函数的最小正周期和最大值分别为（ ） A. 和3 B. 和2 C. 和3 D. 和2 5. 在中，，，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 设双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，且，则的离心率为（　　） A. B. 2 C. D. 7. 已知为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 28 B. 32 C. 36 D. 40 8. 定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 在区间上单调递增 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则的最大值为－2 B. 若，则的最小值是 C. 若，且，则的最小值是9 D. 若正实数，满足，则的最小值为3 11. 若质点在以坐标原点为圆心，1为半径的圆上逆时针做匀速圆周运动，的角速度大小为2rad/s，起点为圆与轴非负半轴的交点，经过秒后到达点，设关于，的表达式分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数最小正周期为 B. 是函数的一个极值点 C. 函数的最大值为 D. 若函数在只有一个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 学校举办运动会时，某班共有名同学参加田径或球类比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，则同时参加田径和球类比赛的有__________人. 13. 已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一动点，则的最小值为__________. 14. “四进制”是一种以为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以的相应次方（从开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；现将所有由，，组成的位（如：，）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被整除的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求边的大小. 16. 如图，在几何体中，四边形是正方形，是等边三角形，，平面平面，中边上的高为，且． （1）证明：平面； （2）求几何体的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论在上的单调性； （3）若，求证：当时，． 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率是，其上顶点与右顶点的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）若点为椭圆上的点，直线分别与直线交于两点，记的面积分别为． ①若，，求； ②若，求． 19. 奥古斯丁・路易斯・柯西，法国著名数学家．柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．柯西不等式的一般形式为：，，，，，，，，且，，当且仅当时，等号成立． （1）根据柯西不等式求函数的最大值． （2）用向量证明二维柯西不等式：； （3）已知三维分式型柯西不等式： ，，均大于，，当且仅当时等号成立． 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，是内一点，过作，，的垂线，垂足分别为，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $