第27讲 导数的运算（七大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学秋季讲义（人教A版选择性必修第二册）

第27讲 导数的运算 【人教A版】 模块一 导数的运算 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【题型1 基本初等函数的导数】 【例1】（24-25高二下·全国·课后作业）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知函数，则的值为（    ） A．6 B．12 C．24 D．0 【变式1.2】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型2 导数的四则运算法则】 【例2】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知函数在上的导函数为，且满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 【变式2.2】（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二上·山西阳泉·期末）当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【题型3 简单复合函数的导数】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高三上·海南省直辖县级单位·月考）已知函数，的定义域为，是的导数，且，，若为偶函数，则（   ） A．80 B．75 C．70 D．65 【变式3.2】（25-26高二上·全国·单元测试）求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3.3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数与满足，，，.对于下列函数，求和. (1)； (2). 【题型4 求曲线的切线方程（斜率）】 【例4】（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数，则在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二上·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【变式4.3】（24-25高二下·福建泉州·月考）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 【题型5 已知切线（斜率）求参数】 【例5】（24-25高二下·广东潮州·月考）设直线是曲线的一条切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）函数与直线相切，则实数a的值为（    ） A．1 B．2 C．e D． 【变式5.2】（24-25高二下·广东揭阳·期末）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则的值为 ． 【变式5.3】（24-25高二下·湖北·期中）已知函数在点处的切线方程为，则 . 【题型6 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 【例6】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式6.2】（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 【变式6.3】（24-25高二下·江西·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 【题型7 导数运算的新定义问题】 【例7】（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（    ） A． B． C． D．2 【变式7.1】（24-25高二下·广东江门·月考）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记.若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高二下·甘肃武威·期中）对于三次函数．定义：①的导数为，的导数为，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称． (1)已知，求函数的“拐点”的坐标； (2)检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称. 【变式7.3】（2025·上海奉贤·三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”． (1)试问函数是否为函数的“导控函数”？ (2)若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”； (3)若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，则的值为（　） A．2 B．4 C． D．0 2．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 4．（24-25高二上·江苏常州·期中）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知为的导函数，则的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   6．（24-25高二下·青海西宁·月考）设函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·山东青岛·月考）已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 8．（24-25高二下·广东东莞·月考）定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列四个函数：①；②；③；④，则存在“自足点”的函数共有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（25-26高二上·浙江宁波·期中）下列导数计算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·河北·期末）过点与函数相切的直线为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·全国·单元测试）已知定义在上的函数和是的导函数且定义域为．若为偶函数，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二下·天津滨海新·月考）已知，则 ． 13．（24-25高三上·广西南宁·月考）已知曲线与的公切线为，则实数 . 14．（24-25高二上·全国·课后作业）曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，对于满足一定条件的函数，其在点处的曲率，其中表示在处的导数，表示在处的导数．已知，则函数曲率的最大值为 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·江苏淮安·月考）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)： 16．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)分别求出和的导数； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 17．（24-25高二上·上海·课后作业）已知，，计算下列函数在点处的导数值： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）已知函数与函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线与曲线在公共点处的公切线方程． 19．（2025·河南南阳·模拟预测）对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”.现已知.请解答下列问题： (1)求函数的“拐点”A的坐标； (2)求证：的图像关于“拐点”A对称，并求的值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27讲 导数的运算 【人教A版】 模块一 导数的运算 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【题型1 基本初等函数的导数】 【例1】（24-25高二下·全国·课后作业）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由基本初等函数求导法则即可得解. 【解答过程】由题意，，，. 故选：C. 【变式1.1】（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知函数，则的值为（    ） A．6 B．12 C．24 D．0 【答案】B 【解题思路】求出导函数，代入即可； 【解答过程】∵，∴，∴． 故选：B. 【变式1.2】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据基本初等函数的求导公式即可解答. 【解答过程】对于选项A， 故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误； 故选：C. 【变式1.3】（24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出导函数，代入，即可得出答案. 【解答过程】由已知可得，， 则， 所以，. 故选：A. 【题型2 导数的四则运算法则】 【例2】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出的值，进而求出. 【解答过程】因为，所以，令， 则，，令， 则． 故选：A. 【变式2.1】（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知函数在上的导函数为，且满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解题思路】求导，通过赋值即可求解； 【解答过程】由， 求导可得：， 令，可得， 所以， 故选：A. 【变式2.2】（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】据函数乘法求导公式进行求导即可. 【解答过程】因为， 所以. 故选：C. 【变式2.3】（24-25高二上·山西阳泉·期末）当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解题思路】根据得是常数，再由得，即可得函数解析式，进而求函数值. 【解答过程】由，即，即， 所以是常数， 当时，，所以， 当时，，得. 故选：D. 【题型3 简单复合函数的导数】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】运用复合函数的求导规则计算即可. 【解答过程】． 故选：D. 【变式3.1】（24-25高三上·海南省直辖县级单位·月考）已知函数，的定义域为，是的导数，且，，若为偶函数，则（   ） A．80 B．75 C．70 D．65 【答案】B 【解题思路】根据偶函数的定义结合导数可得，结合题意可得，，进而可得，且，即可得结果. 【解答过程】因为为偶函数，则，求导可得， 因为，， 则，可得， 且，则，可得， 即，可得，可知8为的一个周期， 且， 对于，， 令，可得，，可得， 所以. 故选：B. 【变式3.2】（25-26高二上·全国·单元测试）求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) ． (4) 【解题思路】（1）根据导函数的基本公式和加法法则求解即可． （2）根据导函数的基本公式和复合函数求导法则求解即可. （3）方法一：根据乘法法则求解即可；方法二：先化简函数，再根据导数运算法则求解即可. （4）结合导数运算法则，根据复合函数求导法则求解即可. 【解答过程】（1）由得． （2） ． （3）方法一： ． 方法二：因为 ， 所以 ． （4）令， 则 ， 所以 ． 【变式3.3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数与满足，，，.对于下列函数，求和. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求赋值代入计算即可，求需要先求出的导数然后赋值代入计算即可. （2）求赋值代入计算即可，求需要先应用复合函数求导及分式求导求出的导数然后赋值代入计算即可. 【解答过程】（1）因为， 所以. 因为， 所以. （2）因为， 所以. 因为， 所以. 【题型4 求曲线的切线方程（斜率）】 【例4】（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数，则在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求导，利用导数的几何意义求切线方程即可. 【解答过程】，， 在处的切线方程为. 故选：D. 【变式4.1】（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先设置切点的坐标，然后对函数进行求导，求出该函数在该点的斜率，然后将点代入切线方程，求出参数，进而得到切线方程的表达式. 【解答过程】设切点为， 对函数求导可得， 则切点处的斜率为，所以切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程，可得， 整理得，则所求切线方程为. 故选：D. 【变式4.2】（24-25高二上·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程. 【解答过程】（1）解：由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 【变式4.3】（24-25高二下·福建泉州·月考）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)， (2)或 【解题思路】（1）求导结合曲线在点处的切线方程为，可得，结合，可求； （2）设曲线与过点的切线相切于点，求得切线方程为，利用点在切线上，可得，求解即可求切线方程. 【解答过程】（1），，由曲线在点处的切线方程为， 可得，即，且切点为， 所以，解得，即有，； （2）曲线即为，求导得， 设曲线与过点的切线相切于点， 则切线的斜率，所以切线方程为， 即，因为点在切线上，所以， 解得或，故所求的切线方程为或． 【题型5 已知切线（斜率）求参数】 【例5】（24-25高二下·广东潮州·月考）设直线是曲线的一条切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出切点，根据在切点处的导数即为切线的斜率以及切点既在切线上又在曲线上列等式，即可求的值. 【解答过程】设切点为，，直线的斜率. 则，得，. 故选：D. 【变式5.1】（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）函数与直线相切，则实数a的值为（    ） A．1 B．2 C．e D． 【答案】B 【解题思路】设切点，再根据导数的几何意义列式求解即可. 【解答过程】设函数与直线相切于，直线斜率为，， 故，则，故， 即，解得，故. 故选：B. 【变式5.2】（24-25高二下·广东揭阳·期末）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则的值为 ． 【答案】 【解题思路】由题意先求出切线方程，然后设曲线上的切点为，再由斜率及切线方程得出相应的方程组，从而可求解. 【解答过程】由题可得，所以在处的切线斜率， 所以切线方程为，即， 设曲线上的切点为， 则，在处的切线斜率为，且， 解得，所以，则，所以. 故答案为：. 【变式5.3】（24-25高二下·湖北·期中）已知函数在点处的切线方程为，则 . 【答案】3 【解题思路】根据题意，利用导数的几何意义，列出方程组，求得和的值，即可求解. 【解答过程】∵，∴，. ∵函数在点处的切线方程为， ∴，， 解得，，∴. 故答案：. 【题型6 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 【例6】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【解答过程】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 【变式6.1】（24-25高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】求导，与直线垂直，求出的值. 【解答过程】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故. 故选：D. 【变式6.2】（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）利用导数几何意义求过一点的切线方程； （2）利用导数几何意义，由切线平行列方程求参数值. 【解答过程】（1）由导数公式得， 设切点坐标为，设切线方程为： 由题意可得： ，       所以或，      从而切线方程为或. （2）由(1)可得：曲线在点处的切线方程为, 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，  从而，    此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为， 即，故符合题意，所以. 【变式6.3】（24-25高二下·江西·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【解题思路】（1）根据导数的几何意义，先求导数得到切线的斜率，利用点斜式可得方程； （2）先求两个函数的导数，利用公切线建立等量关系，求解方程可得答案. 【解答过程】（1）当时，，，. 曲线在处的切线方程为，即. （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，，. 曲线在点A处的切线为， 与曲线相切于点， 则且（*）， 由，则， 代入（*）得， 解得或. 当时，直线.当时，，直线. 故存在直线与曲线和都相切，直线的方程为或. 【题型7 导数运算的新定义问题】 【例7】（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】求出，，则，，代入曲率公式求解即可． 【解答过程】令，则，． 因为，， 所以曲线在点处的曲率为 ． 故选：B. 【变式7.1】（24-25高二下·广东江门·月考）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记.若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据凸函数的定义，分别对各选项求二阶导，然后判断是否小于0，从而得到符合题意选项． 【解答过程】对于A， 当时，恒成立，故A为凸函数； 对于B，对于，，， 当时，恒成立，故B为凸函数； 对于C，对于，，， 当时，恒成立，故C不是凸函数. 对于D，由，得，所以， 因为，所以恒成立，故D为凸函数； 故选：C. 【变式7.2】（24-25高二下·甘肃武威·期中）对于三次函数．定义：①的导数为，的导数为，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称． (1)已知，求函数的“拐点”的坐标； (2)检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称. 【答案】(1) (2)的图象关于“拐点”对称 【解题思路】（1）借助定义求出时的解即可得； （2）计算是否成立即可得. 【解答过程】（1）由，则，则， 当时，解得，又， 故其拐点为； （2）由（1）知“拐点”坐标是， 又 ， 由定义②知的图象关于“拐点”对称. 【变式7.3】（2025·上海奉贤·三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”． (1)试问函数是否为函数的“导控函数”？ (2)若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”； (3)若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 【答案】(1)是 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据“导控函数”得定义求解即可； （2）由题意可得，再根据“导控点”的定义可得，求出，进而可求出，进而可得出答案； （3）根据“导控函数”的定义结合充分条件和必要条件的定义求证即可. 【解答过程】（1）由，得，由，得， 因为，所以函数是函数的“导控函数”； （2）由，得， 由，得， 由，得， 由题意可得恒成立， 令，解得， 故，从而有，所以， 又恒成立，即恒成立， 所以，所以， 故且“导控点”为； （3）充分性：若存在常数使得恒成立， 则为偶函数， 因为函数为偶函数，所以， 则，即， 所以恒成立，所以； 必要性：若，则，所以函数为偶函数， 函数是函数的“导控函数”， 因此， 又， 因此函数是函数的“导控函数”， 所以，即恒成立， 用代换有， 综上可知，记， 则， 因此存在常数使得恒成立， 综上可得，“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，则的值为（　） A．2 B．4 C． D．0 【答案】B 【解题思路】求导，代入运算得解. 【解答过程】由，则. 故选：B. 2．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用求导公式，导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则对选项逐一检验即得. 【解答过程】对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，，错误； 对于D，，错误. 故选：A. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出曲线在点处的切线方程，再设直线与曲线相切于点，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【解答过程】由题，令，则，所以， 所以曲线在点处的切线方程为． 由，得， 设直线与曲线相切于点，则，得， 则，所以，所以． 故选：A. 4．（24-25高二上·江苏常州·期中）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据导数的运算法则及复合函数的导数计算即可判断. 【解答过程】，故错误； ，故错误； ，故正确； ，故错误. 故选：C. 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知为的导函数，则的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】先化简函数表达式，然后对函数进行求导，再分析其图象特征（如奇偶性、关键点、趋势等），结合选项判断正确图象. 【解答过程】因为， 所以， 又，      则为奇函数，排除B，D， 当时，，排除C. 故选:A． 6．（24-25高二下·青海西宁·月考）设函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先令，求出点坐标，再求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程. 【解答过程】函数的图象与轴相交于点， 令，解得，所以， 又，则， 所以在点处的切线方程为，即， 故选：B. 7．（24-25高二下·山东青岛·月考）已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】先根据求导公式求出函数的导数，进而得到函数在点处切线的斜率，再根据两直线垂直斜率之积为求出实数的值. 【解答过程】对求导可得：. 可得切线的斜率. 将直线转化为斜截式，可知直线斜率. 因为函数的图像在点处的切线与直线垂直， 根据两直线垂直斜率之积为，可得，即. 可得：， 故，即实数的值为. 故选：C. 8．（24-25高二下·广东东莞·月考）定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列四个函数：①；②；③；④，则存在“自足点”的函数共有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】求出各函数的导函数，判断每个选项中方程是否有解，由此可得合适的选项. 【解答过程】对于①，则，由， 即，，所以无实数根， 因此不存在“自足点”，故①错误； 对于②，，则，由， 可得，其中，令，显然在定义域上单调递增， 又，， 所以函数在上存在零点，即函数存在“自足点”，故②正确； 对于③，则，其中， 因为，故函数存在“自足点”，故③正确； 对于④，则， 由，可得， 因为，， 所以， 所以方程无实解，故④错误. 故存在“自足点”的函数共有个. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二上·浙江宁波·期中）下列导数计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】根据导数运算公式计算判断各个选项. 【解答过程】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确； 故选：AD. 10．（24-25高三上·河北·期末）过点与函数相切的直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解题思路】当为切点时，根据的值和直接求解出切线方程；当不是切点时，设出切点，然后根据斜率的表示求解出的坐标，则切线方程可求. 【解答过程】因为，所以； 若A点是切点，则， 则切线方程为，即，故C正确； 若A点不是切点，设切点，则B处切线斜率为， 又因为直线AB的斜率为， 则，， 化简可得，所以或（舍去，此时重合）， 所以点B为，故切线斜率为， 则切线方程为，即，故D正确． 故选：CD． 11．（25-26高二上·全国·单元测试）已知定义在上的函数和是的导函数且定义域为．若为偶函数，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】根据题意，先利用求导证明为奇函数，再证明其还为周期为4的函数，再通过合理赋值可一一核对各选项的对错. 【解答过程】对于A，因为为偶函数，所以，两边求导得， 所以为奇函数．因为，， 所以，则，所以， 即的周期，因为为定义域为的奇函数， 所以 ，则，故A正确． 对于B，在中，令， 可得 ，所以，故B正确． 对于C，在中，令，可得 ， 则；在 中，令， 可得，则，所以，故C错误． 对于D，在中，令，得 ①； 在中，令，得 ②； ①②两式相加得，即，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．（24-25高二下·天津滨海新·月考）已知，则 ． 【答案】 【解题思路】先对等式两边求导得导函数，注意为一常数，再令，解出即得导函数表达式，再令，即可得到. 【解答过程】对求导得导函数，令，得， 解得，所以，令，得， 故答案为：. 13．（24-25高三上·广西南宁·月考）已知曲线与的公切线为，则实数 . 【答案】 【解题思路】设切点坐标为，求得切线方程，根据题意，求得，得到切线方程为，再设切点为，结合切点在切线上和，列出方程组，即可求解. 【解答过程】由函数，可得， 设切点坐标为，可得，则切线方程为， 即，与公切线重合，可得， 可得，所以切线方程为， 对于函数，可得，设切点为，则 则 ，解得. 故答案为：. 14．（24-25高二上·全国·课后作业）曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，对于满足一定条件的函数，其在点处的曲率，其中表示在处的导数，表示在处的导数．已知，则函数曲率的最大值为 ． 【答案】2 【解题思路】求导，即可根据曲率的定义，结合不等式的性质即可求解. 【解答过程】由题可得，则函数在点处的曲率为， 由于，故， 当时，且． 故答案为：2. 四、解答题 15．（24-25高二上·江苏淮安·月考）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)： 【答案】(1) (2)； (3) 【解题思路】（1）根据初等函数求导法则求解即可； （2）根据两函数积的求导法则求解即可； （3）根据两函数商的求导法则求解即可； 【解答过程】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以； （3）解：因为， 所以. 16．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)分别求出和的导数； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）应用导数运算律及复合函数求导即可； （2）先分别求出切线斜率再根据平行线斜率相等求参. 【解答过程】（1）由导数公式得， 由复合函数求导法则得； （2）由可得曲线在点处的切线的斜率 ， 从而切线方程为，即. 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得， 从而， 此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为， 即，故符合题意. 17．（24-25高二上·上海·课后作业）已知，，计算下列函数在点处的导数值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)不存在 (4) 【解题思路】（1）利用导数的运算法则求解； （2）利用导数的运算法则求解； （3）利用导数的运算法则结合定义域求解； （4）利用复合函数的导数运算法则求解. 【解答过程】（1）因为， 所以，所以. （2）因为， 所以，所以. （3）因为，定义域为， 所以函数在点处的导数值不存在. （4）因为， 所以，所以. 18．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）已知函数与函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线与曲线在公共点处的公切线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求导，然后根据导数的几何意义结合条件即得； （2）设曲线与曲线的公切点为，然后根据导数的几何意义可得切点，进而即得. 【解答过程】（1），，. 在点处的切线方程为：； （2）设曲线与曲线的公切点为， ，， 令，即， 或（舍）， ， ∴所求公切线方程：，即. 19．（2025·河南南阳·模拟预测）对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”.现已知.请解答下列问题： (1)求函数的“拐点”A的坐标； (2)求证：的图像关于“拐点”A对称，并求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【解题思路】（1）根据“拐点”的定义求出的根，然后代入函数解析式可求出“拐点” 的坐标． （2）设出点的坐标，根据中心对称的定义即可证明，利用对称性可得结果. 【解答过程】（1）∵，，∴令， 得. 有，∴“拐点”A为. （2）证明：设，是图像上任意一点，则. ，是关于“拐点”的对称点为. 把点坐标代入得左边， 右边，∴左边＝右边. ∴点在的图像上. ∴关于“拐点”A对称. 由对称性可得 . 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $