5.2.2 导数的四则运算法则-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦导数的四则运算法则，通过课前自主落实基础公式，课堂梯度进阶研究从简单函数求导到切线问题、实际应用，构建从概念理解到综合运用的学习支架，衔接前期导数概念与后续复杂函数求导。 其亮点是采用梯度进阶式教学，结合“数学思维”的推理与运算能力，如切线问题中导数几何意义的应用，“数学语言”表达实际问题（如净化费用瞬时变化率）。思维建模总结解题策略，帮助学生形成结构化思路，提升应用能力，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

5.2.2 导数的四则运算法则 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 理解和、差、积、商的求导法则，能利用导数的四则运算法则，求简单函数的导数.进一步理解导数的运算与几何意义. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 设两个函数f(x)，g(x)可导，则 (1)和(或差)的导数 符号表示：[f(x)±g(x)]'=____________. (2)积的导数 符号表示：[f(x)g(x)]'=________________. 特别地，当g(x)=c(c为常数)时，[cf(x)]'=______. (3)商的导数 符号表示：'=(g(x)≠0). f'(x)±g'(x) f'(x)g(x)+f(x)g'(x) cf'(x) |微|点|助|解| 1.公式推广 函数和、差的导数可以推广到n个函数.设f1(x)，f2(x)，…，fn(x)在x处可导，则[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x). 2.结构特征 积的导数公式，中间用“加号”，前导后不导+前不导后导；商的导数公式，分母平方，分子用“减号”. 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)'=ex. (　　) (2)函数f(x)=xex的导数f'(x)=ex(x+1). (　　) (3)当g(x)≠0时，'=. (　　) 基础落实训练 × √ √ 2.设y=-2exsin x，则y'等于 (　　) A.-2excos x B.-2exsin x C.2exsin x D.-2ex(sin x+cos x) √ 解析：∵y=-2exsin x，∴y'=-2exsin x-2excos x=-2ex(sin x+cos x). 3.函数y=的导数是(　　) A.- B.-sin x C.- D.- √ 解析： y'='===-. 4.已知f(x)=ax3+3x2+2，若f'(-1)=4，则实数a=________.  解析：∵f'(x)=3ax2+6x，∴f'(-1)=3a-6=4，∴a=. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　利用导数四则运算法则求导数 [例1]　求下列函数的导数： (1)y=+； 解：y=+=2x-2+3x-3，y'=-4x-3-9x-4. (2)y=x3·10x； 解：y'=(x3)'·10x+x3·(10x)'=3x2·10x+x3·10xln 10. (3)y=cos x·ln x； 解：y'=(cos x)'·ln x+cos x·(ln x)'=-sin xln x+. (4)y=. 解：y'= = == =. |思|维|建|模| 求函数导数的策略 (1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数运算法则求导数. (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算. 针对训练 1.若函数f(x)=在x=a处的导数值与函数值互为相反数，则a的值为____.  解析： ∵f(x)=，∴f(a)=，又∵f'(x)='=，∴f'(a)=. 由题意知f(a)+f'(a)=0，∴+=0，∴2a-1=0，∴a=. 2.求下列函数的导数： (1)y=3x+lg x； 解：y'=(3x+lg x)'=(3x)'+(lg x)'=3xln 3+. (2)y=3x2+xcos x； 解：y'=(3x2+xcos x)'=(3x2)'+(xcos x)'=6x+cos x-xsin x. (3)y=； 解：y'='===. (4)y=xtan x. 解：因为y=xtan x=，所以y'=' ===. 题型(二)　导数四则运算法则在切线问题中的应用 [例2]　已知函数f(x)=ax3-x2-x+b(a，b∈R，a≠0)，g(x)=ex，f(x)的图象在x=-处的切线方程为y=x+. (1)求a，b的值； 解：f'(x)=3ax2-2x-1.∵f(x)的图象在x=-处的切线方程为y=x+， ∴f'=，即3a·+1-1=，解得a=1， 又f(x)的图象过点，∴--+b=， 解得b=.综上，a=1，b=. (2)直线y=x+是否与函数g(x)的图象相切?若相切，求出切点的坐标；若不相切，请说明理由. 解：设直线y=x+与函数g(x)的图象相切于点A(x0，y0). ∵g'(x)=ex，∴g'(x0)==，解得x0=-， 将x0=-代入g(x)=ex，得点A的坐标是， ∴切线方程为y-=，化简得y=x+， 故直线y=x+与函数g(x)的图象相切，切点坐标是. |思|维|建|模| 解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确. (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点. 针对训练 3.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=，则曲线y=f(x)在(0，1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. √ 解析： f'(x)=， 则f'(0)==3， 即该切线方程为y-1=3x，即y=3x+1.令x=0，则y=1，令y=0，则x=-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=×1×=. 4.点P是曲线f(x)=2x2-3ln x上任意一点，则点P到直线y=x-4的最短距离 为_________.  解析：f'(x)=4x-(x>0)，令f'(x)=4x-=1，解得x=1，又f(1)=2，可得与直线y=x-4平行且与曲线y=f(x)相切的直线的切点为(1，2)，所以点P到直线y=x-4的最短距离为=. 题型(三)　导数四则运算法则在实际问题中的应用 [例3]　日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加，已知将1 t水净化到纯净度为x%所需费用(单位：元)为c(x)=(80<x<100). 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： (1)90%； 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数c'(x)=' ===. 因为c'(90)==52.84， 所以净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/t. (2)98%. 解：因为c'(98)==1 321， 所以净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1 321元/t. |思|维|建|模| 　　明确自变量及相应函数值的实际意义，是解释导数实际意义的前提，审题时要先在这方面下功夫. 针对训练 5.已知某产品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为p=25-q. (1)求q从1变到3时，利润L关于产量q的平均变化率； 解：收入R=qp=q=25q-q2，利润L=R-C=-(100+4q)=-q2+21q-100(0<q<200).= ==20.5.所以q从1变到3时，利润L关于产量q的平均变化率为20.5. (2)求L'(2)并解释它的实际意义. 解：L'=-q+21，L'(2)=21-=20.5. L'(2)表示产量为2时，产量每增加一个单位，利润增加20.5元. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.[多选]下列求导运算错误的是 (　　) A.'=1+ B.(log2x)'= C.(3x)'=3x D.(x2cos x)'=-2xsin x √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.一质点运动的位移方程为s=60t-gt2(g=10 m/s2)，当t=5 s时，该质点的瞬时速度为(　　) A.20 m/s B.25 m/s C.10 m/s D.15 m/s √ 解析：因为s'=60-gt，所以当t=5 s时，s'=60-5g=10 m/s.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.曲线f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)在原点处的切线方程为 (　　) A.y=-6x B.y=-3x C.y=3x D.y=6x √ 解析：因为f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，所以f'(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+x·[(x-1)(x-2)(x-3)]'，所以f'(0)=(-1)×(-2)×(-3)+0=-6，所以切线方程为y=-6x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知曲线y=在点(0，a)处的切线方程为y=x+b，则a+b=(　　) A.2 B.e C.3 D.2e √ 解析：根据导数的运算公式y'==，当x=0时，y'=2-a，∴2-a=1，即a=1.∵(0，1)在切线y=x+b上，即b=1，∴a+b=2.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞，-2] B.(-∞，2) C.(2，+∞) D.(0，+∞) √ 解析：函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线，即f'(x)=2在(0，+∞)上有解.所以f'(x)=+a=2在(0，+∞)上有解，则a=2-.因为x>0，所以2-<2，所以a的取值范围是(-∞，2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.设对于曲线f(x)=-ex-x上任一点处的切线l1，总存在曲线g(x)=3ax+ 2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由f'(x)=-ex-1，得曲线y=f(x)在x=m处的切线斜率为f'(m)=-em-1<-1.由g'(x)=3a-2sin x，得曲线y=g(x)在x=n处的切线斜率为g'(n)=3a-2sin n.又曲线g(x)上总存在切线l2满足l1⊥l2，且∈(0，1)，而sin n∈[-1，1]，则3a-2sin n∈[3a-2，3a+2]，故(0，1)⊆[3a-2，3a+2]，所以解得-≤a≤，即a∈.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(5分)已知函数f(x)=(x-98)(x-99)，则f'(99)=______.  1 解析：由函数f(x)=(x-98)(x-99)，可得f'(x)=2x-197， 所以f'(99)=2×99-197=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知函数f(x)的导函数是f'(x)，且满足f(x)=f'cos x+2x，则f'=______.  1 解析：∵f(x)=f'cos x+2x，∴f'(x)=-f'sin x+2， ∴f'=-f'sin+2，∴f'=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)(2025·新课标Ⅰ卷)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线，则a=______.  4 解析：y'=ex+1，令y'=ex+1=2⇒x=0， 代入y=2x+5⇒切点为(0，5)， 再将(0，5)代入y=ex+x+a⇒a=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知函数f(x)=ln x+x，过原点作曲线y=f(x)的切线l，则切线l的斜率为_______.  +1 解析：由题意得，f'(x)=+1，设切点为P(x0，ln x0+x0)，则切线方程为y=(x-x0)+ln x0+x0，因为切线过原点，所以0=·(-x0)+ln x0+x0=ln x0-1，解得x0=e，所以f'(x0)=f'(e)=+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=_______.  ln 2 解析：由y=ex+x得y'=ex+1，y'|x=0=e0+1=2，故曲线y=ex+x在(0，1)处的切线方程为y=2x+1.由y=ln(x+1)+a得y'=， 设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0，ln(x0+1)+a)， 由两曲线有公切线得y'==2，解得x0=-，则切点为， 切线方程为y=2+a+ln=2x+1+a-ln 2， 根据两切线重合，所以a-ln 2=0，解得a=ln 2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)求下列函数的导数： (1)y=-ln x；(2分) 解：y'=(-ln x)'=()'-(ln x)'=-. (2)y=(x2+1)(x-1)；(2分) 解：y'=[(x2+1)(x-1)]'=(x3-x2+x-1)'=(x3)'-(x2)'+(x)'-(1)'=3x2-2x+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)y=；(3分) 解：y'==. (4)y=.(3分) 解：y'==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知函数f(x)=ln x+ax2+x(a∈R)，且f'(1)=4. (1)求a的值；(4分) 解：由f(x)=ln x+ax2+x，得f'(x)=+2ax+1，又f'(1)=4， 所以1+2a+1=4，解得a=1. (2)求函数f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程.(6分) 解：由a=1，得f(x)=ln x+x2+x，所以f(2)=ln 2+6，即切点为(2，ln 2+6)， 又切线的斜率为k=f'(2)=，所以函数f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程为y-(ln 2+6)=(x-2)，即11x-2y+2ln 2-10=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，定义：设f″(x)是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的导数，若f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”. 现已知f(x)=x3-3x2+2x-2. 请解答下列问题： (1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标；(4分) 解：∵f'(x)=3x2-6x+2，f″(x)=6x-6，∴令f″(x)=6x-6=0，得x=1. 有f(1)=1-3+2-2=-2，∴“拐点”A为(1，-2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求证：f(x)的图象关于“拐点”A对称.(6分) 解：证明：设P(x0，y0)是y=f(x)图象上任意一点，则y0=-3+2x0-2.P(x0，y0)关于“拐点”A(1，-2)的对称点为P'(2-x0，-4-y0). 把点P'坐标代入y=f(x)得左边=-4-y0=-+3-2x0-2，右边=(2-x0)3-3(2-x0)2+2(2-x0)-2=-+3-2x0-2， ∴左边=右边，∴点P'(2-x0，-4-y0)在y=f(x)的图象上.∴y=f(x)关于“拐点”A对称. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $