专题35 圆（5大考点+15大题型）讲义—— 2026届上海市高三数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题35 圆 知识点一：圆的四种方程 1.圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 2.圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 3.圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 4.圆的参数方程： ①的参数方程为（为参数）； ②的参数方程为（为参数）． 注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值． 5.二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： （1）当F＝0时，圆过原点． （2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． （3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． （4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 知识点二、点与圆的位置关系判断 1.点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 2.点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 知识点三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系及判断 （1）三种位置关系：相交、相切、相离． （2）两种判断方法： ① ② 2、圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： （1）几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. （2）代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 3、圆的切线与切线长 （1）过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. （2）过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. （3）切线长 ①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线， 切线长为 . ②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 知识点四、圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． 【方法技巧】 关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 考点一 圆的多种形式方程 题型01：圆的标准方程 【名师点拨】求圆的方程的两种方法 (1)直接法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【例1】（2024·上海长宁·一模）以为圆心，为半径的圆的标准方程是 . 【例2】（2022•全国甲卷）设点在直线上，点和均在上，则的方程为 　　． 【跟踪训练】 1．（24-25高三上·上海金山·期末）以为圆心且过点的圆的标准方程是 ． 2．（2023•黄浦区二模）以抛物线y2＝4x的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为 　　． 3．（2022•北京高考）若直线是圆的一条对称轴，则　　 A． B． C．1 D． 4.（2024上海普陀高三阶段练习）已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 题型02：圆的一般方程 【名师点拨】选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值. 【例3】（2025上海闵行高三阶段练习）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【例4】（2023•浦东新区校级一模）圆x2+y2﹣2x+4y＝0的圆心到直线3x+4y﹣5＝0的距离等于 　　． 【跟踪训练】 1．（2025奉贤高级中学高三阶段练习）已知圆过点，则的方程为 . 2．（2025·上海浦东新·二模）设圆方程为，则圆的半径为 ． 3．（2023·上海·模拟预测）已知圆的面积为，则 ． 4.（2024上海位育中学高三阶段练习）已知圆的圆心坐标为，则的半径为 . 题型03：二元二次方程表示圆的充要条件 【名师点拨】方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径 【例5】（2024上海大同中学高三阶段练习）方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是______________． 【跟踪训练】 1．若方程表示圆，则的取值范围为________． 2．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________． 3．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．方程表示的曲线为（       ） A．两条线段 B．一条线段和一个圆 C．一条线段和半个圆 D．一条射线和半个圆 考点二 点和圆的位置关系 题型04：点与圆的位置关系判断 【名师点拨】在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约． 【例6】（2025七宝中学高三练习）直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【例7】（2025复兴高级中学高三阶段练习）已知直线过点，则（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．(2023格致中学练习)已知点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为(　　) A．－6<k< B．k<－6或k> C．k>－6 D．k< 2．已知点在圆的内部，则（       ） A． B． C． D． 3．（23-24闵行中学高三开学考）若点在圆O：外，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点三 直线和圆的位置关系 题型05：直线与圆的位置关系的判断 【名师点拨】直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断； （2）代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. 【例8】（2025徐汇高三阶段练习）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　 B．相切 C．相离 D．不确定，与m的取值有关 【例9】（2025徐汇高三阶段练习）直线ax－by＝0与圆x2＋y2－ax＋by＝0的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　　　 B．相切 C．相离 D．不能确定 【跟踪训练】 1．（2024·四川南充·二模）已知圆，直线与圆C（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 2.直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为(　　) A．相交、相切或相离 B．相交或相切 C．相交 D．相切 3．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为(　　) 题型06：直线与圆位置关系求参数（范围） 【例10】直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是________． 【例11】若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　) A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1) C．(0，－1) D．(0，＋1) 【跟踪训练】 1.若直线x＋my＝2＋m与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0) C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) 2．（2022·全国·高二专题练习）若圆上至少有三个不同点到直线的距离为，则的取值范围__． 3．（2024·浙江宁波·二模）已知直线与圆相离，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山西·二模）已知是坐标原点，若圆上有且仅有2个点到直线的距离为2，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁沈阳·二模）已知，若平面内满足到直线的距离为1的点有且只有3个，则实数 ． 题型07：圆的弦长问题 【名师点拨】解决有关弦长问题的常用方法及结论 1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|， 【例12】（2025上海杨浦高三阶段练习）直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　) A．4 B．2 C. D. 【例13】（2024·湖北·二模）已知直线与圆相交于A，B两点当的面积最大时， ， 【例13】(2023·滁州模拟)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则当|AB|＝2时，直线l的方程为________． 【跟踪训练】 1．（2025·上海嘉定·二模）直线与圆相交所得的弦长为 ． 2.（2025徐汇高三阶段练习）已知圆x2＋y2＝4截直线y＝k(x－2)所得弦的长度为2，那么实数k的值为_____ 3.（2025上海青浦高三阶段练习）若a，b，c是△ABC三个内角的对边，且csin C＝3asin A＋3bsin B，则直线l：ax－by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截得的弦长为_______ 4.（2025上海嘉定区高三三模）设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________． 5．（2022·天津·高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则_____． 6．（23-24高三下·重庆九龙坡·月考）若直线与圆相交所得的弦长为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2024·湖南娄底·一模）已知圆，过点的动直线与圆相交于两点时，直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或. 8.（2025上海宝山区高三三模）直线l：x＋ay＝2被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为2，则直线l的斜率为____ 9.（2025上海复旦附中高三三模）已知直线为常数）与圆交于，，当变化时，若的最小值为2，则　　 A． B． C． D． 题型08：圆的切线问题 【名师点拨】1．求过圆上一点(x0，y0)的切线方程的方法 先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程． 2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的两种方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程． 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 【例14】（2025上海松江二中高三练习）已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过点P的圆C的切线方程； (2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长． 【例15】（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 . 【跟踪训练】 1.经过点M(3,0)作圆x2＋y2－2x－4y－3＝0的切线l，则l的方程为(　　) A．x＋y－3＝0 B．x＋y－3＝0或x＝3 C．x－y－3＝0 D．x－y－3＝0或x＝3 2．（2022·广东·高三开学考试）过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为_______． 3．（2025·天津·一模）已知圆的方程为．当圆的面积最小时，直线与圆相切，则的值为 ． 4．（2021•天津高考）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则　　． 5．（2020•新课标Ⅱ）若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为　　 A． B． C． D． 6．（2020•新课标Ⅲ）若直线与曲线和圆都相切，则的方程为　　 A． B． C． D． 考点四 圆和圆的位置关系 题型09：圆与圆的位置关系及其判定 【名师点拨】(1)判断两圆位置关系的方法 常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法． 1、判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围问题有以下几个步骤： （1）化成圆的标准方程，写出圆心和半径； （2）计算两圆圆心的距离； （3）通过，，的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合. 2、应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系. 【例16】(2023·齐齐哈尔模拟)已知圆M：x2＋y2－4y＝0与圆N：x2＋y2－2x－3＝0，则圆M与圆N的位置关系为(　　) A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【例17】（23-24高三下·上海浦东新·二模）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 . 【跟踪训练】 1．(2023·南京模拟)在平面直角坐标系中，圆O1：(x－1)2＋y2＝1和圆O2：x2＋(y－2)2＝4的位置关系是(　　) A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 2．（2022·广西桂林·模拟预测（文））圆与圆的位置关系为（       ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 3．（2025·上海黄浦·二模）已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 4．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 . 5．（23-24高三下·湖南岳阳·开学考试）若圆：与圆：外切，则的最大值为 ． 6．（2024·宁夏·一模）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为 ． 题型10：两圆的公共弦问题 【名师点拨】 1、求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 2、求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. 【提醒当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． 【例18】（2024·河北石家庄·二模）已知圆与圆交于A，B两点，则（     ） A． B． C． D． 【例19】（2024·新疆喀什·二模）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ． 【跟踪训练】 1．（2022·浙江省普陀中学高三阶段练习）圆与的公共弦长为（       ） A． B． C． D． 2．（2022·河南·二模（文））已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（       ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁·模拟预测）已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则（    ） A．0 B．±1 C．±2 D． 4.（2025·天津北辰·三模）已知圆与圆相交的两个公共点所在直线为，若与抛物线交于两点，则 . 5．已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0. (1)求证：圆C1和圆C2相交； (2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 题型11：两圆的公切线问题 【名师点拨】与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种 【例20】（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试（文））若圆与圆外切，则实数的值是（       ） A． B． C．24 D．16 【例21】（2022·全国·高三专题练习）圆与圆至少有三条公切线，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－6x－8y－m＝0相切，则m的值为________． 2．（2022·陕西·西安中学一模（理））在平面直角坐标系中，圆：与圆：，则两圆的公切线的条数是（       ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 3．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为_________. 考点五 综合提升 题型12：与圆有关的轨迹问题 【名师点拨】1．掌握“三方法” 2．明确“五步骤” 【例22】已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________． 【跟踪训练】 1．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（       ） A． B． C． D． 2．（2024·广东湛江·二模）若复数的实部为，则点的轨迹是（    ） A．直径为2的圆 B．实轴长为2的双曲线 C．直径为1的圆 D．虚轴长为2的双曲线 3．（2024·山东泰安·一模）在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．圆 4．（23-24高三上·山东烟台·月考）已知定点B（3,0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是 ． 5．（2024·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，若为平面上的一个动点且，则点运动所形成的曲线的方程为 ． 6.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 7.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 8．在平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴的交点都在圆上． （1）求圆的方程； （2）已知为坐标原点，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 题型13：数形结合思想的应用 【例23】（2022·全国·高三专题练习（文））已知曲线y=与直线kx−y+k−1=0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是_____． 【例24】【2016年上海市高考数学（理科）第12题】在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y上一个动点，则•的取值范围是　　　　． 【跟踪训练】 1【2014年上海市高考数学（理科）第14题】已知曲线C：x，直线l：x＝6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得，则m的取值范围为　　　　． 2．直线与曲线有且仅有一个公共点．则b的取值范围是__________． 3．若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是________． 4．已知函数的图像上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数k的取值范围是__________． 题型14：与圆有关的最值问题 .与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题． (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值． (3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 【例25】(2022·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： (1)的最大值和最小值； (2)y－x的最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． 【跟踪训练】 1，　(2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则·的最大值为________． 2.设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(　　) A．6 B．25 C．26 D．36 3.若点P(x，y)在圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，则的最大值为________． 4．（2023·上海奉贤·一模）已知直线和直线，则曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 ． 5．（2024·上海·三模）已知圆，圆，点M，N分别是圆、圆上的动点，点为上的动点，则的最小值是 . 6．（23-24高三下·上海·七宝模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知P是圆C：上的动点，若，，，则的最小值为 ． 题型15：综合应用 【例26】如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3. (1)求圆C的方程； (2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN为定值． 【跟踪训练】 1．已知动圆E过定点，且y轴被圆E所截得的弦长恒为4． (1)求圆心E的轨迹方程． (2)过点P的直线l与E的轨迹交于A，B两点，，证明：点P到直线AM，BM的距离相等． 2．已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上． (1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； (2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围． 3．已知动圆M经过定点，且与圆相内切． (1)求动圆圆心M的轨迹C的方程； (2)设点T在上，过点T的两条直线分别交轨迹C于A，B和P，Q两点，且，求直线AB的斜率和直线PQ的斜率之和． 1．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 4．（2023•上海秋考）已知圆的面积为，则　　． 5．（2023•上海春考）已知圆的一般方程为，则圆的半径为 　　． 6．（2023•新高考Ⅱ）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 　　． 7．（2023•乙卷）已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于，两点，为的中点，若，则的最大值为　　 A． B． C． D． 8．（2023•全国）为原点，在圆上，与圆相切，则　　 A．2 B． C． D． 9．（2022•上海）设集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z} ①存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧； ②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；（　　） A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立 10.(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________． 11．【2021年上海市高考数学第3题】若x2+y2﹣2x﹣4y＝0，求圆心坐标为 　　　　． 12．（2021•全国）已知点在圆上，则到直线距离的最小值为　　 A． B． C． D． 13．（2020•浙江）已知直线与圆和圆均相切，则　　，　　． 14.（2019•全国）若直线与圆相切，则　　 A．13 B．5 C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题35 圆 知识点一：圆的四种方程 1.圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 2.圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 3.圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 4.圆的参数方程： ①的参数方程为（为参数）； ②的参数方程为（为参数）． 注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值． 5.二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： （1）当F＝0时，圆过原点． （2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． （3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． （4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 知识点二、点与圆的位置关系判断 1.点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 2.点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 知识点二、直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系及判断 （1）三种位置关系：相交、相切、相离． （2）两种判断方法： ① ② 2、圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： （1）几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. （2）代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 3、圆的切线与切线长 （1）过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. （2）过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. （3）切线长 ①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线， 切线长为 . ②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 知识点三、圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． 【方法技巧】 关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 考点一 圆的多种形式方程 题型01：圆的标准方程 【名师点拨】求圆的方程的两种方法 (1)直接法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【例1】（2024·上海长宁·一模）以为圆心，为半径的圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】直接根据已知写出圆的标准方程得解. 【详解】由题得圆的标准方程为. 故答案为：. 【例2】（2022•全国甲卷）设点在直线上，点和均在上，则的方程为 　　． 【解析】由点在直线上，可设， 由于点和均在上，圆的半径为， 求得，可得半径为，圆心， 故的方程为， 故答案为：． 【跟踪训练】 1．（24-25高三上·上海金山·期末）以为圆心且过点的圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】由圆心和圆上的点求出圆的半径，代入圆的标准方程即可. 【详解】圆心为，圆过点，则圆的半径， 所以圆的标准方程是. 故答案为：. 2．（2023•黄浦区二模）以抛物线y2＝4x的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为 　　． 【分析】先确定出圆的圆心及半径，进而可求圆的方程． 【解答】解：因为抛物线y2＝4x的焦点（1，0），准线x＝﹣1， 故所求圆的圆心（1，0），半径为2， 故圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4． 故答案为：（x﹣1）2+y2＝4． 【点评】本题主要考查了抛物线的性质，直线与圆相切的性质，圆方程的求解，属于基础题． 3．（2022•北京高考）若直线是圆的一条对称轴，则　　 A． B． C．1 D． 【解析】圆的圆心坐标为， 直线是圆的一条对称轴， 圆心在直线上，可得，即． 故选：． 4.（2024上海普陀高三阶段练习）已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求得圆心的坐标，利用两点间距离公式求得圆半径，由此可确定圆的方程. 【详解】根据题意，以为直径的圆的圆心为中点，半径为， 所以圆的方程为. 故选：B. 题型02：圆的一般方程 【名师点拨】选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值. 【例3】（2025上海闵行高三阶段练习）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设经过，，三个点的圆的方程为， 由题意可得，解得， 且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为，即为.故选：C. 【例4】（2023•浦东新区校级一模）圆x2+y2﹣2x+4y＝0的圆心到直线3x+4y﹣5＝0的距离等于 　　． 【分析】根据题意，由圆的方程求出圆的圆心，由点到直线的距离公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，圆x2+y2﹣2x+4y＝0的圆心为（1，﹣2）， 则点（1，﹣2）到直线3x+4y﹣5＝0的距离d＝＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查圆的一般方程和点到直线距离的计算，注意求出圆的圆心坐标，属于基础题． 【跟踪训练】 1．（2025奉贤高级中学高三阶段练习）已知圆过点，则的方程为 . 【答案】 【解析】设圆的一般式方程为：， 因为圆经过点, 所以,解得， 所以圆的一般式方程为：. 2．（2025·上海浦东新·二模）设圆方程为，则圆的半径为 ． 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得出圆的半径. 【详解】将圆的方程化为标准方程可得，故圆的半径为. 故答案为：. 3．（2023·上海·模拟预测）已知圆的面积为，则 ． 【答案】 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解. 【详解】圆化为标准方程为：， 圆的面积为，圆的半径为， ，解得． 故答案为： 4.（2024上海位育中学高三阶段练习）已知圆的圆心坐标为，则的半径为 . 【答案】 【分析】根据圆的一般方程配方得到圆的标准方程，求出圆心坐标的表达式 ，求出、，进而计算出半径即可. 【详解】由，有， 因为圆心坐标公式为，所以，， 所以的半径为. 故答案为： 题型03：二元二次方程表示圆的充要条件 【名师点拨】方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径 【例5】（2024上海大同中学高三阶段练习）方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是______________． 解析　方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 转化为2＋(y＋a)2＝－a2－a＋1， 所以若方程表示圆，则有－a2－a＋1>0， ∴3a2＋4a－4<0，∴－2<a<. 【跟踪训练】 1．若方程表示圆，则的取值范围为________． 【答案】或 【解析】由圆的一般方程写出标准方程， ， 即 由，可得或． 故答案为：或 2．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________． 答案　(－2，－4)　5 解析　由圆的一般方程的形式知，a＋2＝a2，解得a＝2或a＝－1. 当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0， ∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×＜0， ∴a＝2不符合题意； 当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， ∴圆心坐标为(－2，－4)。 3．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若方程表示圆，则，解得：； ∵，，，甲是乙的必要不充分条件． 故选：B． 4．方程表示的曲线为（       ） A．两条线段 B．一条线段和一个圆 C．一条线段和半个圆 D．一条射线和半个圆 【答案】C 【解析】， 则或， 又其表示线段 其表示半圆， 故选：C． 考点二 点和圆的位置关系 题型04：点与圆的位置关系判断 【名师点拨】在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约． 【例6】（2025七宝中学高三练习）直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 答案　A 解析　圆心到直线的距离为d＝＝1<4，所以直线与圆相交． 【例7】（2025复兴高级中学高三阶段练习）已知直线过点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得点在单位圆上， 所以直线和圆有公共点． 所以圆心到直线的距离，即得到． 故选：D 【跟踪训练】 1．(2023格致中学练习)已知点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为(　　) A．－6<k< B．k<－6或k> C．k>－6 D．k< 答案　A 解析　∵圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0， ∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k， ∴圆心坐标为(1，－2)，半径r＝. 若点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则满足>，且1－2k>0，即13>1－2k且k<，即－6<k<. 2．已知点在圆的内部，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点在圆的内部，则， 解得． 故选：D． 3．（23-24闵行中学高三开学考）若点在圆O：外，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆化成标准方程为， 点在圆O外，则有， 即，解得或.故选：D． 考点三 直线和圆的位置关系 题型05：直线与圆的位置关系的判断 【名师点拨】直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断； （2）代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. 【例8】（2025徐汇高三阶段练习）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　 B．相切 C．相离 D．不确定，与m的取值有关 【答案】　A 【解析】　法一：由消去y， 整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， 因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交． 法二：由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交． 法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交． 【例9】（2025徐汇高三阶段练习）直线ax－by＝0与圆x2＋y2－ax＋by＝0的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　　　 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】B. 【解析】：将圆的方程化为标准方程得＋＝，所以圆心坐标为，半径r＝.因为圆心到直线ax－by＝0的距离d＝＝＝r，所以直线与圆相切．故选B. 【跟踪训练】 1．（2024·四川南充·二模）已知圆，直线与圆C（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】D 【解析】根据题意，直线的方程为，恒过定点， 设为，又由圆，即， 其圆心为，半径， 由，则在圆上， 则直线与圆相交或相切.故选：D． 2.直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为(　　) A．相交、相切或相离 B．相交或相切 C．相交 D．相切 答案　C 解析　方法一　直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点(1,2)． 因为12＋22－2×1－8<0， 所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部， 所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交． 方法二　圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为＝≤2<3，所以直线与圆相交． 3．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】：.因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个． 题型06：直线与圆位置关系求参数（范围） 【例10】直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是________． 【答案】： 【解析】：当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d＝＝1，解得m＝(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点， 【例11】若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　) A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1) C．(0，－1) D．(0，＋1) 【答案】A 【解析】计算得圆心到直线l的距离为＝>1，如图 直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1.故选A. 【跟踪训练】 1.若直线x＋my＝2＋m与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0) C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) 【答案】D　 【解析】由x2＋y2－2x－2y＋1＝0得(x－1)2＋(y－1)2＝1，因为直线x＋my＝2＋m与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，所以<1，即1＋m2>1，所以m≠0，即m∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． 2．（2022·全国·高二专题练习）若圆上至少有三个不同点到直线的距离为，则的取值范围__． 【答案】 【解析】由圆的标准方程， 可得圆心坐标为，半径为， 圆上至少有三个不同的点到直线的距离为， 则圆心到直线的距离应不大于等于，即， 整理得，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（2024·浙江宁波·二模）已知直线与圆相离，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆即， 则圆圆心为，半径为， 因为直线与圆相离 所以，解得.故选：B. 4．（2024·山西·二模）已知是坐标原点，若圆上有且仅有2个点到直线的距离为2，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心，半径， 设与直线平行且距离为2的直线方程为， 则，解得，直 线，， 点到直线的距离， 到直线的距离， 由圆上有且仅有2个点到直线的距离为2， 得圆与直线相交，且与直线相离， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为.故选：A 5．（2024·辽宁沈阳·二模）已知，若平面内满足到直线的距离为1的点有且只有3个，则实数 ． 【答案】或 【解析】设点，由可得：， 两边平方整理得：，即点的轨迹是圆,圆心在原点，半径为2. 若该圆上有且只有3个点到直线的距离为1， 则圆心到直线的距离，解得． 题型07：圆的弦长问题 【名师点拨】解决有关弦长问题的常用方法及结论 1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|， 【例12】（2025上海杨浦高三阶段练习）直线m：x＋y－1＝0被圆M：＋－2x－4y＝0截得的弦长为(　　) A．4 B．2 C. D. 答案　B 解析　∵x2＋y2－2x－4y＝0， ∴(x－1)2＋(y－2)2＝5， ∴圆M的圆心坐标为(1,2)，半径为， 又点(1,2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝， ∴直线m被圆M截得的弦长等于2＝2. 【例13】（2024·湖北·二模）已知直线与圆相交于A，B两点当的面积最大时， ， 【答案】0或 【解析】由圆得：圆心，圆的半径， 因为， 所以当的面积最大时，，此时， 则为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得，解得或. 【例13】(2023·滁州模拟)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则当|AB|＝2时，直线l的方程为________． 答案　x＝0或3x＋4y－4＝0 解析　因为圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0可以化为(x＋1)2＋(y－3)2＝4， 所以圆心为(－1,3)，半径为r＝2， 因为|AB|＝2，所以圆心到直线的距离为d＝＝1， 当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝0， 此时圆心(－1,3)到直线x＝0的距离为1，满足条件； 当直线l斜率存在时，设斜率为k， 直线l的方程为y＝kx＋1， 则圆心(－1,3)到直线l的距离d＝＝1， 解得k＝－， 此时直线l的方程为3x＋4y－4＝0， 综上，所求直线的方程为3x＋4y－4＝0或x＝0. 【跟踪训练】 1．（2025·上海嘉定·二模）直线与圆相交所得的弦长为 ． 【答案】 【分析】首先确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，再利用几何法求相交弦长即可. 【详解】由，即， 所以圆心为，半径为， 所以到的距离， 综上，直线与圆的相交弦长为. 故答案为： 2.（2025徐汇高三阶段练习）已知圆x2＋y2＝4截直线y＝k(x－2)所得弦的长度为2，那么实数k的值为_____ 解析　圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径r＝2， 点(0,0)到直线y＝k(x－2)的距离d＝， 则弦长为2＝2，得2＝2， 解得k＝±. 3.（2025上海青浦高三阶段练习）若a，b，c是△ABC三个内角的对边，且csin C＝3asin A＋3bsin B，则直线l：ax－by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截得的弦长为_______ 【解析】　因为＝＝. 故由csin C＝3asin A＋3bsin B可得c2＝3(a2＋b2)． 圆O：x2＋y2＝12的圆心为O(0，0)，半径为r＝2，圆心O到直线l的距离d＝＝，所以直线l被圆O所截得的弦长为2＝2＝6，. 4.（2025上海嘉定区高三三模）设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________． 【答案】　4π 【解析】　圆C的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r＝，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为＝，所以＋()2＝()2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π. 5．（2022·天津·高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则_____． 【答案】 【解析】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，因为，解得. 故答案为：. 6．（23-24高三下·重庆九龙坡·月考）若直线与圆相交所得的弦长为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理得，，解得.故选：B. 7．（2024·湖南娄底·一模）已知圆，过点的动直线与圆相交于两点时，直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或. 【答案】C 【解析】当直线与轴垂直时，易知直线的方程为， 中令得，解得， 故此时，符合题意； 当直线与轴不垂直时，设直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，又， ，解得， 则直线的方程为，即， 综上可知直线的方程为或.故选：C. 8.（2025上海宝山区高三三模）直线l：x＋ay＝2被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为2，则直线l的斜率为____ 【解析】圆心(0,0)到直线l：x＋ay－2＝0的距离d＝，因为直线l被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以2＋2＝4，解得a＝±，所以直线l的斜率为－＝±. 9.（2025上海复旦附中高三三模）已知直线为常数）与圆交于，，当变化时，若的最小值为2，则　　 A． B． C． D． 【解析】圆，直线， 直线被圆所截的弦长的最小值为2，设弦长为， 则圆心到直线的距离， 当弦长取得最小值2时，则有最大值， 又，因为，则， 故的最大值为，解得． 故选：． 题型08：圆的切线问题 【名师点拨】1．求过圆上一点(x0，y0)的切线方程的方法 先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程． 2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的两种方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程． 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 【例14】（2025上海松江二中高三练习）已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过点P的圆C的切线方程； (2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长． 解　由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2. (1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4， ∴点P在圆C上． 又kPC＝＝－1， ∴过点P的切线的斜率为－＝1， ∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]， 即x－y＋1－2＝0. (2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4， ∴点M在圆C外． 当过点M的直线的斜率不存在时， 直线方程为x＝3，即x－3＝0. 又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r， ∴直线x＝3是圆的切线； 当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)， 即kx－y＋1－3k＝0， 由圆心C到切线的距离d′＝＝r＝2，解得k＝. ∴切线方程为y－1＝(x－3)， 即3x－4y－5＝0. 综上，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0. ∵|MC|＝＝， ∴过点M的圆C的切线长为＝＝1. 【例15】（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 . 【答案】/ 【分析】结合图象得到，问题转化成求最小值即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， ， 当最小时，最大. 的最小值为圆心到直线的距离， 根据点到直线距离公式， 所以. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.经过点M(3,0)作圆x2＋y2－2x－4y－3＝0的切线l，则l的方程为(　　) A．x＋y－3＝0 B．x＋y－3＝0或x＝3 C．x－y－3＝0 D．x－y－3＝0或x＝3 【答案】C 【解析】由x2＋y2－2x－4y－3＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝8，则圆心坐标为(1,2)，半径为2，当过点M(3,0)的切线存在斜率k时，则设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，∵圆心到它的距离为2，∴有＝2⇒k＝1；当过点M(3,0)的切线不存在斜率时，即x＝3，显然圆心到它的距离为2≠2，∴x＝3不是圆的切线．因此切线方程为x－y－3＝0. 2．（2022·广东·高三开学考试）过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为_______． 【答案】 【解析】方法1：由题知，圆的圆心为，半径为， 所以过点作圆的两条切线，切点分别为、， 所以， 所以直线的方程为，即； 方法2：设，，则由，可得， 同理可得， 所以直线的方程为. 故答案为： 3．（2025·天津·一模）已知圆的方程为．当圆的面积最小时，直线与圆相切，则的值为 ． 【答案】 【解析】依题意，圆的方程为， 所以，所以圆心为，半径为， 所以当时，半径最小，圆的面积最小，且半径的最小值为， 此时圆心到直线的距离为 或（舍去）. 故答案为： 4．（2021•天津高考）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则　　． 【解析】解假设在轴的上方，斜率为的直线与轴交于， 则可得，所以，如图所示，由圆的方程可得，圆的半径为， 由于为切点，所以，所以， 故答案为：． 5．（2020•新课标Ⅱ）若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为　　 A． B． C． D． 【解析】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为，则半径为，． 故圆的方程为，再把点代入，求得或1， 故要求的圆的方程为或． 故所求圆的圆心为或； 故圆心到直线的距离或； 故选：． 6．（2020•新课标Ⅲ）若直线与曲线和圆都相切，则的方程为　　 A． B． C． D． 【解析】设直线与曲线相切于，， 则由可知，曲线在点处的切线方程为，即， 该方程即为直线的方程， 直线与圆相切， ，解得， 故直线的方程为． 故选：． 考点四 圆和圆的位置关系 题型09：圆与圆的位置关系及其判定 【名师点拨】(1)判断两圆位置关系的方法 常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法． 1、判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围问题有以下几个步骤： （1）化成圆的标准方程，写出圆心和半径； （2）计算两圆圆心的距离； （3）通过，，的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合. 2、应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系. 【例16】(2023·齐齐哈尔模拟)已知圆M：x2＋y2－4y＝0与圆N：x2＋y2－2x－3＝0，则圆M与圆N的位置关系为(　　) A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 答案　B 解析　圆M：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径R＝2. 圆N：x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，圆心N(1,0)，半径r＝2， 则|MN|＝＝，故有|R－r|<|MN|<R＋r. 故两圆是相交关系． 【例17】（23-24高三下·上海浦东新·二模）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求出两圆得圆心及半径，再根据两圆相交，可得，解之即可. 【详解】圆化为标准方程得， 则圆心，半径， 圆化为标准方程得， 则，半径， 因为两圆相交， 所以， 即，解得（舍去）， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．(2023·南京模拟)在平面直角坐标系中，圆O1：(x－1)2＋y2＝1和圆O2：x2＋(y－2)2＝4的位置关系是(　　) A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 答案　B 解析　由题意知，圆O1：(x－1)2＋y2＝1，可得圆心坐标O1(1,0)，半径r1＝1， 圆O2：x2＋(y－2)2＝4，可得圆心坐标为O2(0,2)，半径r2＝2， 则两圆的圆心距|O1O2|＝＝， 则2－1<<2＋1，即|r2－r1|<|O1O2|<r1＋r2， 所以圆O1与圆O2相交． 2．（2022·广西桂林·模拟预测（文））圆与圆的位置关系为（       ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【解析】由与圆， 可得圆心，半径， 则，且， 所以，所以两圆相交. 故选：A. 3．（2025·上海黄浦·二模）已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，利用两圆有公共点的条件建立不等式求解. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为1， 由两圆有公共点，得， ，当且仅当时取等号， 当时，取得最小值，取得最小值，此时两圆外切，满足两圆有公共点， 所以当取到最小值时，的值为1. 故答案为：1 4．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】圆化为标准方程得，则圆心，半径， 圆化为标准方程得，则，半径， 因为两圆相交，所以， 即，解得（舍去）， 所以实数的取值范围为. 5．（23-24高三下·湖南岳阳·开学考试）若圆：与圆：外切，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】圆：的标准方程为，圆心，半径， 圆：的标准方程为，圆心，半径， 因为两圆外切，所以，即，所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以， 所以，所以的最大值为. 6．（2024·宁夏·一模）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为 ． 【答案】10 【解析】的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 两圆外切，则，即，故， 又，故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为10. 题型10：两圆的公共弦问题 【名师点拨】 1、求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 2、求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. 【提醒当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． 【例18】（2024·河北石家庄·二模）已知圆与圆交于A，B两点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆与圆交于A，B两点， 则直线的方程即为两圆相减，可得， 且圆，半径为， 到直线的距离， 所以.故选：C 【例19】（2024·新疆喀什·二模）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ． 【答案】 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 显然，因此圆相交， 所以两圆公共弦所在直线的方程为，即. 【跟踪训练】 1．（2022·浙江省普陀中学高三阶段练习）圆与的公共弦长为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知圆，圆， 两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：， 而圆心到直线的距离为， 圆的半径为，所以，所以. 故选：D. 2．（2022·河南·二模（文））已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 两式相减得公共弦所在直线方程为：， 分别取，得，解得，即 故选：A 3．（2024·辽宁·模拟预测）已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则（    ） A．0 B．±1 C．±2 D． 【答案】C 【解析】两圆的公共弦所在线的方程为：，圆心到直线的距离为， ，因为，所以， 所以，解得.故选：C 4.（2025·天津北辰·三模）已知圆与圆相交的两个公共点所在直线为，若与抛物线交于两点，则 . 【答案】20 【分析】先通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求出. 【详解】已知圆，圆，将两式相减消去二次项可得直线的方程：，即. 联立直线与抛物线方程联立，将代入可得： ，即， 设，，由韦达定理可得，. 根据弦长公式（其中为直线的斜率），直线的方程为，其斜率，则： 故答案为：20. 5．已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0. (1)求证：圆C1和圆C2相交； (2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 【答案】见解析 【解析】　(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝， 圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4， 两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－， ∴|r1－r2|<d<r1＋r2，∴圆C1和C2相交． (2)圆C1和圆C2的方程相减，得4x＋3y－23＝0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0. 圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离 d＝＝3， 故公共弦长为2＝2. 题型11：两圆的公切线问题 【名师点拨】与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种 【例20】（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试（文））若圆与圆外切，则实数的值是（       ） A． B． C．24 D．16 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为 两个圆的圆心距为.由于两个圆外切，所以，解得. 故选：D 【例21】（2022·全国·高三专题练习）圆与圆至少有三条公切线，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将化为标准方程得，即圆心为半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆至少有三条公切线， 所以两圆的位置关系为外切或相离， 所以，即，解得. 故选：D 【跟踪训练】 1.若圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－6x－8y－m＝0相切，则m的值为________． 【答案】　－9或11 【解析】因为x2＋y2－6x－8y－m＝0，所以(x－3)2＋(y－4)2＝25＋m，因为两圆相切，所以＝1＋或＝|1－|，解得m＝－9或11. 2．（2022·陕西·西安中学一模（理））在平面直角坐标系中，圆：与圆：，则两圆的公切线的条数是（       ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】A 【解析】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， ，显然，即圆与圆外离， 所以两圆的公切线的条数是4. 故选：A 3．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为_________. 【答案】 【解析】根据题意作出如下图形： AB为两圆的公切线，切点分别为A,B. 当公切线AB与直线平行时，公切线AB斜率不为7，即 不妨设 过作AB的平行线交于点E，则：，且 , 直线的斜率为：， 所以直线AB与直线的夹角正切为：. 在直角三角形中，，所以， 又,整理得：， 解得：，又，解得：，， 所以=. 考点五 综合提升 题型12：与圆有关的轨迹问题 【名师点拨】1．掌握“三方法” 2．明确“五步骤” 【例22】已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________． 【答案】 【解析】， ， 化简得：，所以，点P的轨迹为圆： 故答案为： 【跟踪训练】 1．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，即 设，则，整理得 故选：B． 2．（2024·广东湛江·二模）若复数的实部为，则点的轨迹是（    ） A．直径为2的圆 B．实轴长为2的双曲线 C．直径为1的圆 D．虚轴长为2的双曲线 【答案】A 【解析】因为，所以，即， 所以点的轨迹是直径为2的圆.故选：A. 3．（2024·山东泰安·一模）在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．圆 【答案】D 【解析】设点，点， 则，. 由可得：，即. 所以点的轨迹为圆.故选：D 4．（23-24高三上·山东烟台·月考）已知定点B（3,0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是 ． 【答案】． 【解析】设，则， 设，由为的角平分线， 可得，即有， 可得,，即，， 可得，， 则，即为． 5．（2024·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，若为平面上的一个动点且，则点运动所形成的曲线的方程为 ． 【答案】. 【解析】设，则由可得，化简得. 6.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 【答案】见解析 【解析】：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)． 因为P点在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|， 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 7.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 【答案】见解析 【解析】　(1)设AP的中点为M(x，y)， 由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)． 因为P点在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 8．在平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴的交点都在圆上． （1）求圆的方程； （2）已知为坐标原点，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【解析】（1）由， 令，解得或；令，得， 所以圆过． 设圆的方程为， ，解得， 所以圆的方程为． （2）设，则， 将的坐标代入圆的方程得， 即． 题型13：数形结合思想的应用 【例23】（2022·全国·高三专题练习（文））已知曲线y=与直线kx−y+k−1=0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】由曲线可得 为以为圆心，半径为1的上半圆 直线kx−y+k−1=0过点，如图 过和两点的直线斜率； 设过的直线与半圆相切，结合图像可知，显然斜率存在，故圆心到直线的距离等于半径，即 解得或（舍去，与下半圆相切） 结合图像，故要使曲线y=与直线kx−y+k−1=0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 故答案为： 【例24】【2016年上海市高考数学（理科）第12题】在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y上一个动点，则•的取值范围是　　　　． 【答案】[0，1] 【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1）， P是曲线y上一个动点， ∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]， ∴（1，1），（cosα，sinα+1）， cosα+sinα+1， ∴•的取值范围是[0，1]． 故答案为：[0，1]． 【跟踪训练】 1【2014年上海市高考数学（理科）第14题】已知曲线C：x，直线l：x＝6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得，则m的取值范围为　　　　． 【答案】[2，3] 【解答】解：曲线C：x，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且xP∈[﹣2，0]， 对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得， 说明A是PQ的中点，Q的横坐标x＝6， ∴m∈[2，3]． 故答案为：[2，3]． 2．直线与曲线有且仅有一个公共点．则b的取值范围是__________． 【答案】或． 【解析】由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为的右半圆， 是倾斜角为的直线与曲线有且只有一个公共点有两种情况： （1）直线与半圆相切，根据，所以，结合图像可得； （2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知． 故答案为：或． 3．若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是________． 【答案】或或 【解析】 设， 它表示圆心在原点的单位圆的上半圆，包括点． 设，它表示过定点，斜率为的直线， 由题得， 如图，当直线斜率为零时，直线和半圆只有一个交点，满足题意，此时； 当直线在和之间的区域运动时直线和半圆只有一个交点，满足题意，此时或． 故答案为：或或． 4．已知函数的图像上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数k的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 由，解得， 又关于直线的对称直线为， 则题设等价于函数的图像和的图象有两个交点． 易得等价于， 画出和的图象，设直线和相切， 由，解得或（舍）， 又当直线过点时，， 结合图象可知，当时， 函数的图像和的图象有两个交点． 故答案为：． 题型14：与圆有关的最值问题 .与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题． (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值． (3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 【例25】(2022·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： (1)的最大值和最小值； (2)y－x的最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． 解　(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，为半径的圆． 设＝k，即y＝kx，则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值． 由＝，解得k2＝3， ∴kmax＝，kmin＝－. ∴max＝，min＝－. (2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆相切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得＝，即b＝－2±， 故(y－x)min＝－2－. (3)x2＋y2是圆上点与原点的距离的平方，设圆与x轴相交于点B和C′(点B在点C′左侧)，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－)2＝7－4. 【跟踪训练】 1，　(2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则·的最大值为________． 答案　12 解析　由题意，得＝(2－x，－y)， ＝(－2－x，－y)， 所以·＝x2＋y2－4， 由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程 x2＋(y－3)2＝1， 故x2＝－(y－3)2＋1， 所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4 ＝6y－12. 易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12. 2.设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(　　) A．6 B．25 C．26 D．36 答案　D 解析　(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到(5，－4)的距离的平方， ∵P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点， ∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2,0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方， 即[(x－5)2＋(y＋4)2]max＝[＋1]2＝36. 3.若点P(x，y)在圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，则的最大值为________． 答案　 解析　圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1， 表示圆上的点(x，y)与点(－1,0)连线的斜率， 设过点(－1,0)的圆的切线斜率为k， 则圆的切线方程为y－0＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0， 由圆心到切线的距离等于半径， 可得＝1， 解得k＝0或k＝， 所以0≤k≤，即的最大值为. 4．（2023·上海奉贤·一模）已知直线和直线，则曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】先设出点的坐标，表示出点到直线和直线的距离之和；再利用几何意义求解得出答案. 【详解】 设点的坐标为 则动点到直线的距离为；动点直线的距离为. 所以曲线上一动点到直线和直线的距离之和为 令，即 则的几何意义是过点的直线在轴上的截距. 因为点在曲线上. 所以当直线与曲线相切时有最值. 因为曲线是以圆心，为半径的圆. 则，解得或 所以曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值为. 故答案为： 5．（2024·上海·三模）已知圆，圆，点M，N分别是圆、圆上的动点，点为上的动点，则的最小值是 . 【答案】 【分析】作出示意图，分别为的半径，圆可得，求得圆关于直线的对称圆的方程为，数形结合可求. 【详解】作出示意图如图所示： 由，可得圆心，半径， 由，可得圆心，半径， 由题意可得， 易得圆关于直线的对称圆的方程为， ， 当且仅当三点共线时等号成立， 所以. 故答案为：. 6．（23-24高三下·上海·七宝模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知P是圆C：上的动点，若，，，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】根据题意得到，再利用点到圆心距离减半径得最值，即可得到答案． 【详解】因为，． 所以的最小值为8． 故答案为：8 题型15：综合应用 【例26】如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3. (1)求圆C的方程； (2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN为定值． 【答案】见解析 【解析】：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0，2)，可设圆心的坐标为(m，2)(m>0)， 则圆C的半径为m， 又|MN|＝3， 所以m2＝4＋＝，解得m＝， 所以圆C的方程为＋(y－2)2＝. (2)证明：由(1)知M(1，0)，N(4，0)，当直线AB的斜率为0时，易知kAN＝kBN＝0， 即kAN＋kBN＝0. 当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1＋ty，将x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，并整理得(t2＋1)y2＋2ty－3＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以，则kAN＋kBN＝＋＝＋＝＝＝0. 综上可知，kAN＋kBN为定值． 【跟踪训练】 1．已知动圆E过定点，且y轴被圆E所截得的弦长恒为4． (1)求圆心E的轨迹方程． (2)过点P的直线l与E的轨迹交于A，B两点，，证明：点P到直线AM，BM的距离相等． 【解析】(1)设，圆E的半径，圆心E到y轴的距离， 由题意得， 化简得，经检验，符合题意． (2)当直线斜率存在时，设，与E的方程联立，消去y得，． 设，，则， ∵， ∴，则直线PM平分， 当直线l与x轴垂直时，显然直线PM平分． 综上，点P到直线AM， BM的距离相等． 2．已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上． (1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； (2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围． 【解析】(1)联立，解得，即圆心，所以，圆的方程为. 若切线的斜率不存在，则切线的方程为，此时直线与圆相离，不合乎题意； 所以，切线的斜率存在，设所求切线的方程为，即， 由题意可得，整理可得，解得或. 故所求切线方程为或，即或. (2)设圆心的坐标为，则圆的方程为， 设点，由可得， 整理可得， 由题意可知，圆与圆有公共点，所以，， 即，解得. 所以，圆心的横坐标的取值范围是. 3．已知动圆M经过定点，且与圆相内切． (1)求动圆圆心M的轨迹C的方程； (2)设点T在上，过点T的两条直线分别交轨迹C于A，B和P，Q两点，且，求直线AB的斜率和直线PQ的斜率之和． 【解析】(1)设动圆圆心，半径为r， 由题意得： 得． 所以圆心M的轨迹是以，为焦点的椭圆，且 故轨迹C方程为． (2)设，，，AB直线方程为， ，，PQ直线方程为， 联立相消得， 同理，又， ，又，． 1．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【答案】2 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 4．（2023•上海秋考）已知圆的面积为，则　　． 【解析】圆化为标准方程为：， 圆的面积为，圆的半径为1， ， ． 故答案为：． 5．（2023•上海春考）已知圆的一般方程为，则圆的半径为 　　． 【解析】根据圆的一般方程为，可得圆的标准方程为， 故圆的圆心为，半径为1， 故答案为：1． 6．（2023•新高考Ⅱ）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 　　． 【解析】由圆，可得圆心坐标为，半径为， 因为的面积为，可得， 解得，设所以， 可得，，或， 或， 圆心到直线的距离或， 或， 解得或． 故答案为：2（或或或． 7．（2023•乙卷）已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于，两点，为的中点，若，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【解析】如图，设，则， 根据题意可得：， ，又， 当，，时， 取得最大值． 故选：． 8．（2023•全国）为原点，在圆上，与圆相切，则　　 A．2 B． C． D． 【解析】为原点，在圆上，与圆相切， 则． 故选：． 9．（2022•上海）设集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z} ①存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧； ②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；（　　） A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立 【分析】分k＝0，k＞0，k＜0，求出动点的轨迹，即可判定． 【解答】解：当k＝0时，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}＝{（0，0）}， 当k＞0时，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}， 表示圆心为（k，k2），半径为r＝2的圆， 圆的圆心在直线y＝x2上，半径r＝f（k）＝2单调递增， 相邻两个圆的圆心距d＝＝，相邻两个圆的半径之和为l＝2+2， 因为d＞l有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离， 当k＜0时，同k＞0的情况，故存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧，故①正确， 若直线l斜率不存在，显然不成立， 设直线l：y＝mx+n，若考虑直线l与圆（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|的焦点个数， d＝，r＝， 给定m，n，当k足够大时，均有d＞r， 故直线l只与有限个圆相交，②错误． 故选：B． 【点评】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题． 10.(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________． 答案　x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可) 解析　如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3,4)，半径r2＝4， 所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况： ①易知公切线l1的方程为x＝－1. ②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称． 易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝x， 由得 由对称性可知公切线l2过点. 设公切线l2的方程为y＋＝k(x＋1)， 则点O(0,0)到l2的距离为1， 所以1＝，解得k＝， 所以公切线l2的方程为y＋＝(x＋1)， 即7x－24y－25＝0. ③还有一条公切线l3与直线l：y＝x垂直，设公切线l3的方程为y＝－x＋t， 易知t>0，则点O(0,0)到l3的距离为1， 所以1＝， 解得t＝或t＝－(舍去)， 所以公切线l3的方程为y＝－x＋， 即3x＋4y－5＝0. 综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0. 11．【2021年上海市高考数学第3题】若x2+y2﹣2x﹣4y＝0，求圆心坐标为 　　　　． 【答案】（1，2） 【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y＝0，可得圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5， 所以圆心坐标为（1，2）． 故答案为：（1，2）． 12．（2021•全国）已知点在圆上，则到直线距离的最小值为　　 A． B． C． D． 【解析】的圆心到直线的距离等于， 故圆上的动点到直线的距离的最小值为． 故选：． 13．（2020•浙江）已知直线与圆和圆均相切，则　　，　　． 【解析】由条件得，，，， 因为直线与，都相切， 故有，， 则有，故可得，整理得， 因为，所以，即， 代入，解得，则， 故答案为：；． 14.（2019•全国）若直线与圆相切，则　　 A．13 B．5 C． D． 【解析】根据题意，圆即， 其圆心为，半径， 若直线与圆相切，则圆的半径， 则有， 解可得：； 故选：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $