专题34：两条直线的位置关系与点的直线的距离 （6大考点+12大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题34 两条直线的位置关系与点的直线的距离 知识点一、两条直线的位置关系 平面内两条直线的位置关系有三种：平行、相交、重合。有四种判定方法： 1、方程组法：设直角坐标系平面上两条直线方程为： （1）方程组有唯一解时，此时直线相交于一点，坐标即方程组的解。 （2）方程组无解，此时直线没有公共点，即两直线平行。 （3）方程组无穷解，此时直线重合 2、斜率法：当直线不平行于坐标轴时，直线与直线的位置关系可斜率法，把直线方程都化为斜截式，利用直线的斜率与截距的关系判断； 3、向量法。 4、法向量法 知识点二、两直线平行 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定： 知识三、两直线垂直 1．特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定： ．； 知识点四、两直线的夹角 1、两条相交直线的夹角：我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角. 如果两条直线平行或重合，我们规定它们的夹角为0. 2、平面上两条直线夹角的范围：. 3、夹角公式：；. 注：公式应用前提是两直线的斜率均存在. 知识点五、点到直线的距离 1．点到直线的距离。是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值． 平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为． 知识点六、两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离。两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 【常用结论】 1．两个充要条件 (1)两直线平行或重合的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0. (2)两直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0. 2．六种常见对称 (1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)． (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)． (3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)． (4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)． (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)． (6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)． 3．三种直线系方程 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)． (3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 考点一 两条直线的位置关系 题型01：两直线位置关系的判定 【例1】（2024-25上海高三阶段练习）直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．不平行 C．平行或重合 D．既不平行也不重合 【例2】（2024-25上海高三阶段练习）已知，则直线：和直线：的位置关系为（       ） A．垂直或平行 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．垂直或重合 【例3】（2025上海闵行三模）直线与 (不同时为0)的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．与的值有关 【例4】若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；  ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则； 其中正确命题的个数是 ． 【例5】（2022·上海崇明·统考一模）已知方程组无解，则实数的值等于______. 题型02：两条直线平行及其应用 【例6】若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是(　　) A．1 B．－2 C．1或－2 D．－ 【例7】（23-24高三下·上海浦东新·二模）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【例8】（2022·上海徐汇·统考二模）已知，若直线与直线平行，则m＝__． 【例9】（2023•徐汇区校级三模）已知直线l1：（m﹣2）x﹣3y﹣1＝0与直线l2：mx+（m+2）y+1＝0相互平行，则实数m的值是 　　． 【例10】已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相平行，则实数 . 【例11】下面三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合是 . 题型03：两条直线垂直及其应用 【例12】（2024·上海奉贤·一模）若直线：与直线：互相垂直，则 ． 【例13】（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例14】（2023•奉贤区二模）“a＝2”是“直线y＝﹣ax+2与直线垂直”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【例15】（2023•黄浦区二模）若直线（a﹣1）x+y﹣1＝0与直线3x﹣ay+2＝0垂直，则实数a的值为（　　） A． B． C． D． 【例16】（2023•长宁区校级三模）已知直线l1：x+y＝0和l2：2x﹣ay+3＝0（a∈R），若l1⊥l2，则a＝　　． 题型04：直线的夹角及其应用 【例17】（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为 ． 【例18】（2023•嘉定区模拟）直线y＝2与直线3x﹣y+1＝0的夹角的正弦值为 　　． 【例19】若直线与直线的夹角为，则实数a的值为 . 考点二 点的直线的距离 题型05：点到直线距离 【例20】已知到直线的距离等于3，则a的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 【例21】点到直线的距离大于5，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例22】点P为直线上任意一个动点，则P到点的距离的最小值为 . 【例23】若直线的参数方程为为参数，则直线上到点的距离为的点的坐标为 A． B． C．或 D．或 题型06：两条平行直线间的距离公式的应用 【例24】（2023•上海模拟）平行直线与之间的距离为 　　． 【例25】（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 【例26】若直线与之间的距离为，则a的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．8或 【例27】若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________． 题型07：求两点距离相等的直线方程 【例28】（2021·福建·晋江市第一中学高二阶段练习）直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（       ） A． B． C．或 D．或 【例29】到两条直线与的距离相等的点必定满足方程（　　）. A．或 B．或 C．或 D．或 【例30】已知、，若A与B到直线l的距离都为2，则满足条件的直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【例31】已知直线过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型08：有关距离的最值问题 【例32】（2022·上海虹口·高二期末）已知点在直线上，则的最小值为________． 【例33】（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）点到直线的距离的最大值是________. 【例34】（2022·上海徐汇·统考一模）已知正实数满足，则的取最小值____. 【例35】已知点为直线上的动点，，则m的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【例36】（2020•新课标Ⅲ）点到直线距离的最大值为　　 A．1 B． C． D．2 【例37】已知直线l：3x－y－1＝0及点A（4，1），B（0，4），C（2，0）． （1）试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小； （2）试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大． 考点三 综合应用 题型09：点、直线的对称问题 【例38】已知直线与关于点对称，则 . 【例39】（2023•静安区二模）设直线l1：x﹣2y﹣2＝0与l2关于直线l：2x﹣y﹣4＝0对称，则直线l2的方程是（　　） A．11x+2y﹣22＝0 B．11x+y+22＝0 C．5x+y﹣11＝0 D．10x+y﹣22＝0 【例40】在平面直角坐标系中，点，分别是轴、轴上的两个动点，有一定点，则的最小值是（    ）． A．9 B．10 C．11 D．12 【例41】在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线反射后到达点B（3，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（    ） A． B． C．4 D．5 【例42】设A，B是y轴上的两点，点P的纵坐标为1，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程是（    ） A． B． C． D． 题型10：直线系方程 【例43】求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程． 【例44】求平行于直线，且与两坐标轴围成的直角三角形的面积为9的直线方程 【例45】（2023•青浦区二模）过点P（﹣1，3），与直线垂直的直线方程为 　　． 【例46】经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线的方程为________． 【例47】求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程． 【例48】直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程． 题型11：直线围成三角形问题 【例49】已知的顶点为、、，直线与平行，且将分成面积相等的两部分，则直线的方程为 ． 【例50】已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 【例51】已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程． 【例52】已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________． 【例53】已知直线l经过点P(4，3)，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点. （1）若点O到直线l的距离为4，求直线l的方程； （2）求△OAB面积的最小值. 【例54】过点作直线分别交轴、轴的正半轴于，两点． (1)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程； (2)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程． 【例55】直线l过点，且分别与轴正半轴交于、B两点，O为原点. (1)当面积最小时，求直线l的方程； (2)求的最小值及此时直线l的方程. 【例56】如图，设直线：，：点A的坐标为过点A的直线l的斜率为k，且与，分别交于点M，N的纵坐标均为正数 （1）设，求面积的最小值； （2）是否存在实数a，使得的值与k无关若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由． 题型12：距离新定义题 【例57】对于平面直角坐标系内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义它们之间的一种“新距离”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.给出下列三个命题: ①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||； ②在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2； ③在△ABC上，||AC||+||CB||>||AB||. 其中的真命题为（    ） A．①③ B．①② C．① D．③ 【例58】定义点到直线的有向距离.已知点到直线l的有向距离分别是，给出以下命题：①若，则直线与直线l平行；②若，则直线与直线l平行；③若，则直线与直线l垂直；④若，则直线与直线l相交.其中正确命题的个数是_______. 【例59】在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题: ①对任意三点，都有 ②已知点和直线则 ③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形； 其中真命题的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【例60】（2024•嘉定区模拟）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，，，则曼哈顿距离，余弦距离，，，其中为坐标原点）．已知点，，则的最大值为 　　． 【例61】（2023秋•宝山区期中）在平面直角坐标系中，两点，、，的“曼哈顿距离”定义为，记为．如，点、的“曼哈顿距离”为9，记为． （1）动点在直线上，点，若=1，求点的横坐标的取值范围； （2）动点在直线上，动点在函数图像上，求的最小值； （3）动点在函数的图像上，点，的最大值记为．如，当点的坐标为时，．求的最小值，并求此时点的坐标． 【例62】在平面直角坐标系xOy中，定义，两点间的“直角距离”为 . (1)填空：(直接写出结论) ①若， 则 ； ②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ； ③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图形的面积的值为 ； (2)设点A(1，0)， 点B是直线 上的动点，求ρ(A，B)的最小值及取得最小值时点B的坐标； (3)对平面上给定的两个不同的点，，是否存在点C(x，y)， 同时满足下列两个条件： ①； ② 若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由. 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2022•上海春考）若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为 　　． 3．（2021·上海·高考真题）求直线与直线的夹角为 . 4．（2020•上海）已知直线l1：x+ay＝1，l2：ax+y＝1，若l1∥l2，则l1与l2的距离为 　　． 5．（2020•上海春考）已知直线，，若，则与的距离为　　． 6．【2019年上海市高考数学第13题】已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（　　　　） A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，2） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题34 两条直线的位置关系与点的直线的距离 知识点一、两条直线的位置关系 平面内两条直线的位置关系有三种：平行、相交、重合。有四种判定方法： 1、方程组法：设直角坐标系平面上两条直线方程为： （1）方程组有唯一解时，此时直线相交于一点，坐标即方程组的解。 （2）方程组无解，此时直线没有公共点，即两直线平行。 （3）方程组无穷解，此时直线重合 2、斜率法：当直线不平行于坐标轴时，直线与直线的位置关系可斜率法，把直线方程都化为斜截式，利用直线的斜率与截距的关系判断； 3、向量法。 4、法向量法 知识点二、两直线平行 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定： 知识三、两直线垂直 1．特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定： ．； 知识点四、两直线的夹角 1、两条相交直线的夹角：我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角. 如果两条直线平行或重合，我们规定它们的夹角为0. 2、平面上两条直线夹角的范围：. 3、夹角公式：；. 注：公式应用前提是两直线的斜率均存在. 知识点五、点到直线的距离 1．点到直线的距离。是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值． 平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为． 知识点六、两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离。两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 【常用结论】 1．两个充要条件 (1)两直线平行或重合的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0. (2)两直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0. 2．六种常见对称 (1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)． (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)． (3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)． (4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)． (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)． (6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)． 3．三种直线系方程 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)． (3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 考点一 两条直线的位置关系 题型01：两直线位置关系的判定 【例1】（2024-25上海高三阶段练习）直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．不平行 C．平行或重合 D．既不平行也不重合 【答案】C 【详解】因为直线和， 当时，即，此时两直线重合， 当时，即，此时两直线平行， 所以直线和的位置关系是平行或重合. 故选：C 【例2】（2024-25上海高三阶段练习）已知，则直线：和直线：的位置关系为（       ） A．垂直或平行 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．垂直或重合 【答案】D 【解析】因为，所以或． 当时，：，：，， 所以，则两直线垂直； 当时，：，：，则两直线重合．故选：D 【例3】（2025上海闵行三模）直线与 (不同时为0)的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．与的值有关 【答案】B 【详解】与不能同时为0， ①当两者都不为0时，两条直线斜率的乘积为， 故两条直线垂直； ②当与中有一个为零时， 若时，则两直线分别为与，两直线垂直， 若时，则两直线分别为与，两直线垂直， 故两条直线垂直． 故选：B 【例4】若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；  ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则； 其中正确命题的个数是 ． 【答案】 【分析】根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可； 【解析】解：因为与为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，. ①由于斜率都存在，若，则，此命题正确； ②因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确； ③因为，根据两直线平行，得到，此命题正确； ④因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，此命题正确； 所以正确的命题个数是4． 故答案为：． 【例5】（2022·上海崇明·统考一模）已知方程组无解，则实数的值等于______. 【答案】 【分析】方程组无解，转化为直线与直线平行，即可解决. 【解析】由题知，方程组无解， 所以直线与直线平行， 所以，解得， 当时，两直线重合，方程组有无数解，不满足题意， 当时，两直线平行，方程组有无解，满足题意， 故答案为： 题型02：两条直线平行及其应用 【例6】若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是(　　) A．1 B．－2 C．1或－2 D．－ 【答案】A 【答案】①当m＝－1时，两直线方程分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不符合题意．②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由两直线平行可得解得m＝1.综上可得m＝1.故选A. 【例7】（23-24高三下·上海浦东新·二模）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据两直线平行的充要条件求值即可得. 【详解】设，， 直线方程可化为，且直线的斜率为， 若，则直线斜率存在，， 故直线方程可化为， 由，解得，故， 当时，直线的方程为，直线的方程为， 此时，即. 因此，是的充要条件. 故选：C. 【例8】（2022·上海徐汇·统考二模）已知，若直线与直线平行，则m＝__． 【答案】3 【分析】根据两直线平行，得到方程，计算求得m值． 【解析】由题意得：，且， 解得：m＝3， 故答案为：3． 【例9】（2023•徐汇区校级三模）已知直线l1：（m﹣2）x﹣3y﹣1＝0与直线l2：mx+（m+2）y+1＝0相互平行，则实数m的值是 　　． 【分析】根据两直线平行可得出关于实数m的等式与不等式，解之即可． 【解答】解：因为直线l1：（m﹣2）x﹣3y﹣1＝0与直线l2：mx+（m+2）y+1＝0相互平行， 则，即， 解得m＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题主要考查了两直线平行的斜率关系，属于基础题． 【例10】已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相平行，则实数 . 【答案】或1 【分析】讨论和两种情况求直线的斜率，根据两直线平行，得到斜率的关系，即可求解. 【解析】若，则直线的斜率为0，此时直线的斜率不存在，那么与不平行，不满足条件， 若，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以，即，解得：或. 故答案为：或 【例11】下面三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合是 . 【答案】 【分析】分三条直线交于一点、至少两条直线平行或重合，两种情况讨论即可 【解析】当三条直线交于一点时：由， 解得和的交点A的坐标， 由A在上可得2×－3m×＝4， 解得m＝或. 当至少两条直线平行或重合时：l1、l2、l3至少两条直线斜率相等， 当时，，即，当时，，解得：， 当时，，不成立， 综上， m＝－1，－，，4时，这三条直线不能组成三角形， ∴实数m的取值集合是. 故答案为：. 题型03：两条直线垂直及其应用 【例12】（2024·上海奉贤·一模）若直线：与直线：互相垂直，则 ． 【答案】0 【分析】根据直线互相垂直求出的值. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：0 【例13】（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用两直线垂直可求得的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【解析】若直线与直线垂直，则， 即，解得或， 因为，所以，“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件. 故选：A. 【例14】（2023•奉贤区二模）“a＝2”是“直线y＝﹣ax+2与直线垂直”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【分析】当a＝2时两直线的斜率都存在，故只要看是否满足k1•k2＝﹣1即可．利用直线垂直的性质求出a的值，然后判断充要条件即可． 【解答】解：当a＝2时直线y＝﹣ax+2的斜率是﹣2，直线y＝的斜率是2， 满足k1•k2＝﹣1， ∴a＝2时直线y＝﹣ax+2与y＝垂直， 直线y＝﹣ax+2与y＝垂直，则﹣a•a＝﹣1，解得a＝±2， “a＝2”是“直线y＝﹣ax+2与y＝垂直”的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题通过逻辑来考查两直线垂直的判定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的应用． 【例15】（2023•黄浦区二模）若直线（a﹣1）x+y﹣1＝0与直线3x﹣ay+2＝0垂直，则实数a的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用直线垂直的充要条件求出结果． 【解答】解：直线（a﹣1）x+y﹣1＝0与直线3x﹣ay+2＝0垂直， 则3（a﹣1）﹣a＝0，解得a＝． 故选：B． 【点评】本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题． 【例16】（2023•长宁区校级三模）已知直线l1：x+y＝0和l2：2x﹣ay+3＝0（a∈R），若l1⊥l2，则a＝　　． 【分析】根据题意，由直线垂直的判断方法可得关于a的方程，解可得答案． 【解答】解：根据题意，直线l1：x+y＝0和l2：2x﹣ay+3＝0（a∈R）， 若l1⊥l2，则有2﹣a＝0，解可得a＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查直线垂直的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题． 题型04：直线的夹角及其应用 【例17】（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为 ． 【答案】/ 【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果. 【详解】设直线与直线的倾斜角分别为， 则，且， 所以， 因为， 所以，即两条直线的夹角为， 故答案为：. 【例18】（2023•嘉定区模拟）直线y＝2与直线3x﹣y+1＝0的夹角的正弦值为 　　． 【分析】依题意得到两直线的倾斜角的正切值，设两直线夹角为θ，则tanθ＝3，再根据同角三角函数的基本关系，计算即可求解． 【解答】解：设y＝2的斜率为k1，由y＝2得k1＝tanθ1＝0， 设3x﹣y+1＝0的斜率为k2，由3x﹣y+1＝0得k2＝tanθ2＝3， 设两直线夹角为θ，，则tanθ＝tanθ2＝3， 又，且sin2θ+cos2θ＝1， ∴，又θ∈[0，]， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查直线与直线的夹角问题，方程思想，化归转化思想，属中档题． 【例19】若直线与直线的夹角为，则实数a的值为 . 【答案】/ 【分析】 分别求两直线的斜率，结合夹角公式运算求解. 【解析】由题意可知：直线，的斜率分别为， 设直线与直线的夹角为，则， 可得，所以， ∵，即，解得. 故答案为：. 考点二 点的直线的距离 题型05：有关距离的计算 【例20】已知到直线的距离等于3，则a的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】由距离公式，解方程得出a的值. 【解析】由距离公式可得，，即解得或. 故选：C 【例21】点到直线的距离大于5，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式列不等式即可求得. 【解析】因为点到直线的距离大于5， 所以，解得：或， 所以实数的取值范围为. 故选：B 【例22】点P为直线上任意一个动点，则P到点的距离的最小值为 . 【答案】3 【分析】先判断出当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，再由点到直线的距离求解即可. 【解析】由题意得当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，此时距离等于点到直线的 距离，故P到点的距离的最小值为3. 故答案为：3. 【例23】若直线的参数方程为为参数，则直线上到点的距离为的点的坐标为 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先求出直线的普通方程x+y-1=0,设直线上点的坐标为（x,1-x）,解方程即得x的值，即得点的坐标. 【解析】直线的普通方程x+y-1=0,设直线上点的坐标为（x,1-x）, 所以，解之得x=-3或x=-1， 所以所求点的坐标为(－3，4)或(－1，2). 故答案为C 【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 题型06：两条平行直线间的距离公式的应用 【例24】（2023•上海模拟）平行直线与之间的距离为 　　． 【分析】根据已知条件，结合两条平行直线间的距离公式，即可求解． 【解答】解：直线，即， 直线与之间的距离为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题． 【例25】（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】直线和直线互相平行， 故点与点之间距离的最小值即两条直线间的距离， 且两条直线间的距离：. 故答案为： 【例26】若直线与之间的距离为，则a的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．8或 【答案】C 【分析】将直线化为，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可. 【解析】将直线化为， 则直线与直线之间的距离， 根据题意可得：，即，解得或， 所以a的值为或. 故选：C 【例27】若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________． 【答案】2或－6 【解析】依题意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，又两平行线之间的距离为，所以＝，解得c＝2或－6. 题型07：求两点距离相等的直线方程 【例28】（2021·福建·晋江市第一中学高二阶段练习）直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】显然直线l的斜率存在，故设直线l为：，即， 则或或， ∴l方程为：， ． 故选：C． 【例29】到两条直线与的距离相等的点必定满足方程（　　）. A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式列方程即可求解. 【解析】由题意可得， 即， 化简得或， 故选：C 【例30】已知、，若A与B到直线l的距离都为2，则满足条件的直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】首先求出的斜率与中点坐标，再分两种情况讨论，直线过的中点与直线与平行，分别设出直线方程，利用距离公式得到方程，解得即可； 【解析】解：，，所以，且的中点为， 若直线过的中点，显然直线的斜率存在，设直线为， 即，则到直线的距离， 即，解得或； 所以直线为或； 若直线与平行，设直线为，则到直线的距离， 解得或，所以直线为或； 综上可得满足条件的直线有4条； 故选：D 【例31】已知直线过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】设出直线方程，根据点到直线距离公式建立关系可求解. 【解析】由题可知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即， 根据点，到直线的距离相等，得，解得或， 故直线的方程为或. 故选：A. 题型08：有关距离的最值问题 【例32】（2022·上海虹口·高二期末）已知点在直线上，则的最小值为________． 【答案】2 【解析】可以理解为点到点的距离， 又∵点在直线上， ∴的最小值等于点到直线的距离， 且． 故答案为：． 【例33】（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）点到直线的距离的最大值是________. 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式、再由三角函数的辅助角公式及三角函数的性质求得最值． 【解析】由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离 . 当时，. 故答案为： 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、及三角辅助角公式及三角函数的性质的综合应用，属于基础题． 【例34】（2022·上海徐汇·统考一模）已知正实数满足，则的取最小值___________. 【答案】 【分析】利用代数式和几何图形的关系，将问题转化为距离之和的最小值即可求解. 【解析】设直线，点在直线上，且在第一象限， 设点， 所以， 如图所示， 点A关于直线对称的点设为， 则有解得， 所以，由图可知，当在直线时， 最小，最小值为， 即的最小值为， 故答案为：. 【例35】已知点为直线上的动点，，则m的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】根据两点之间距离最小结合点关于直线的对称性即可根据两点间距离公式求解. 【解析】表示点到点和点的距离之和．因为点关于直线的对称点为，所以m的最小值为点与点之间的距离，即．此时点为与的交点. 故选：C 【例36】（2020•新课标Ⅲ）点到直线距离的最大值为　　 A．1 B． C． D．2 【解析】方法一：因为点到直线距离； 要求距离的最大值，故需； ，当且仅当时等号成立， 可得，当时等号成立． 方法二：由可知，直线过定点， 记，则点到直线距离． 故选：． 【例37】已知直线l：3x－y－1＝0及点A（4，1），B（0，4），C（2，0）． （1）试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小； （2）试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大． 【解析】（1）如图①，设点C关于l的对称点为C′（a，b）， 则，解得，所以C′（－1，1）． 所以直线AC′的方程为y＝1． 由，得直线AC′与直线l的交点为，此时|AP|＋|CP|取最小值． （2）如图②，设点B关于l的对称点为B′（m，n）， 则，解得，所以B′（3，3）． 所以直线AB′的方程为2x＋y－9＝0． 由，得直线AB′与直线l的交点为Q（2，5），此时|AQ|－|BQ|取最大值． 考点三 综合应用 题型09：点、直线的对称问题 【例38】已知直线与关于点对称，则 . 【答案】 【分析】在直线上取点，，则M，N关于点对称的点分别为，再将这两点坐标代入直线中可求出的值. 【解析】在直线上取点，，M，N关于点对称的点分别为. 点在直线上， ，解得， . 故答案为： 【点睛】此题考查直线的对称问题，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题 【例39】（2023•静安区二模）设直线l1：x﹣2y﹣2＝0与l2关于直线l：2x﹣y﹣4＝0对称，则直线l2的方程是（　　） A．11x+2y﹣22＝0 B．11x+y+22＝0 C．5x+y﹣11＝0 D．10x+y﹣22＝0 【分析】直接利用到角公式求出直线l2的斜率，进一步利用二元一次方程组求出交点的坐标，最后利用点斜式求出直线l2的方程． 【解答】解：直线l1：x﹣2y﹣2＝0的斜率，直线l2的斜率为k2，直线l：2x﹣y﹣4＝0的斜率k＝2， 由于直线l1与直线l2关于直线l对称， 利用到角公式：，解得k2＝， 由于，解得， 故直线l2的方程为，整理得11x+2y﹣22＝0． 故选：A． 【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，到角公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 【例40】在平面直角坐标系中，点，分别是轴、轴上的两个动点，有一定点，则的最小值是（    ）． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】依题意，作图，分两类讨论：①当与重合于坐标原点时；②当与不重合时，从而可求得答案． 【解析】依题意，作图如下： 设点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为， 则，， 当与重合于坐标原点时，； 当与不重合时，如图，； 当与重合于坐标原点时，取得最小值10． 故选：B． 【例41】在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线反射后到达点B（3，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】作出点A关于直线的对称点，连接，利用光线关于直线对称得到即为光线经过路程的最小值，再利用两点间的距离公式进行求解. 【解析】作出点A关于直线的对称点， 连接，交直线于点， 则即为光线经过路程的最小值， 且， 此即光线从A到B所经过的距离为. 故选：B． 【例42】设A，B是y轴上的两点，点P的纵坐标为1，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据A，B是y轴上的两点，且，得到，设直线PB的方程为，再求得点p的坐标，代入求解. 【解析】因为A，B是y轴上的两点，且， 所以， 因为直线PA的方程为， 所以直线PB的方程为， 因为点P的纵坐标为1， 由，解得 ， 所以 ， 因为点p在直线PB直线上， 所以， 所以直线PB的方程是， 故选：D 题型10：直线系方程 【例43】求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程． 【答案】3x＋4y－11＝0 【解析】依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋C1＝0(C1≠1)，因为直线过点(1，2)， 所以3×1＋4×2＋C1＝0，解得C1＝－11. 因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0. 【例44】求平行于直线，且与两坐标轴围成的直角三角形的面积为9的直线方程 【答案】 【例45】（2023•青浦区二模）过点P（﹣1，3），与直线垂直的直线方程为 　　． 【分析】设过点P（﹣1，3），与直线垂直的直线方程为x﹣y+c＝0．把P（﹣1，3）代入，能求出结果． 【解答】解：设过点P（﹣1，3），与直线垂直的直线方程为： x﹣y+c＝0， 把P（﹣1，3）代入，得：﹣﹣3+c＝0， 解得c＝， ∴过点P（﹣1，3），与直线垂直的直线方程为x﹣y+＝0． 故答案为：x﹣y+＝0． 【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【例46】经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线的方程为________． 【答案】　4x－3y＋9＝0 【解析】　法一：由方程组 解得即交点为， 因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直， 所以所求直线的斜率为k＝. 由点斜式得所求直线方程为y－＝， 即4x－3y＋9＝0. 法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0， 由方程组可解得交点为， 代入4x－3y＋m＝0得m＝9， 故所求直线方程为4x－3y＋9＝0. 法三：由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0， 即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，① 又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直， 所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0， 所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0. 【例47】求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程． 【解析】　法一：将直线l1，l2的方程联立，得 解得即直线l1，l2的交点为(－1，2)． 由题意得直线l3的斜率为，又直线l⊥l3，所以直线l的斜率为－， 则直线l的方程是y－2＝－(x＋1)， 即5x＋3y－1＝0. 法二：由于l⊥l3，所以可设直线l的方程是5x＋3y＋C＝0，将直线l1，l2的方程联立，得解得即直线l1，l2的交点为(－1，2)，则点(－1，2)在直线l上，所以5×(－1)＋3×2＋C＝0，解得C＝－1， 所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0. 法三：设直线l的方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0， 整理得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0. 由于l⊥l3，所以3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，解得λ＝， 所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0. 　 【例48】直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程． 【解析】设直线方程为， 化简得， 直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形， 直线的斜率为， 或，解得或． 代入并化简得直线的方程为或． 所以所求的直线方程为或． 题型11：直线围成三角形问题 【例49】已知的顶点为、、，直线与平行，且将分成面积相等的两部分，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【解析】设直线与 、分别交于两点，因为直线与平行， 所以∽，设点到直线与的距离分别为， 因为直线与平行，且将分成面积相等的两部分， 所以， 因为、， 所以直线的方程为：， 因为直线与平行，所以设直线的方程为， 于是有，， 因此有， 当时，直线的方程为，令，得， 此时显然点在直线与直线之间，不符合题意， 当时，直线的方程为，令，得， 此时显然直线与边 、分别相交，符合题意， 故答案为： 【例50】已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【分析】首先求得直线与直线的交点的坐标，利用到直线的距离相等列方程，解方程求得点的坐标.利用到直线的距离以及的长，求得三角形的面积. 【解析】直线的方程为，即. 由解得. 设，直线的方程分别为 ，即 ，.根据角平分线的性质可知，到直线的距离相等，所以 ， ，由于，所以上式可化为，两边平方并化简得 ，解得（），所以. 所以到直线的距离为，而，所以. 故选：C    【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查直线与直线交点坐标，考查点到直线距离公式、两点间的距离公式，考查角平分线的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 【例51】已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程． 【答案】2x＋3y－12＝0 【解析】法一：设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，将点P(3，2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.所以△ABO的面积的最小值为12，所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0. 法二：依题意知，直线l的斜率k存在且k<0， 可设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)， 则A，B(0，2－3k)， S△ABO＝(2－3k)＝≥＝×(12＋12)＝12， 当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立．此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0. 所以△ABO的面积的最小值为12，所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0. 【例52】已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________． 【答案】： 【解析】：直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2，0)，与y轴的交点为B(0，1)， 由动点P(a，b)在线段AB上， 可知0≤b≤1，且a＋2b＝2， 从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2＋， 由于0≤b≤1， 故当b＝时，ab取得最大值. 【例53】已知直线l经过点P(4，3)，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点. （1）若点O到直线l的距离为4，求直线l的方程； （2）求△OAB面积的最小值. 【解析】】（1）由题意可设直线的方程为，即， 则，解得． 故直线的方程为，即； （2）直线的方程为， ，，依题意，解得， 则的面积为． 则（当且仅当时，等号成立）． 故面积的最小值为． 【例54】过点作直线分别交轴、轴的正半轴于，两点． (1)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程； (2)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程． 【解析】(1)根据题意可设直线l的方程为,则, 直线l过点,, 又(当且仅当,即时取等号), ,即, 的最小值为8,此时直线l的截距式方程为. (2)由（1）可知,,则, (当且仅当,即时取等号). 的最小值为4,此时直线l的截距式方程为. 【例55】直线l过点，且分别与轴正半轴交于、B两点，O为原点. (1)当面积最小时，求直线l的方程； (2)求的最小值及此时直线l的方程. 【解析】(1)设直线，且 ∵直线过点 则 当且仅当即时取等号 所以的最小值为， 直线1即. (2)由 ∴， 当且仅当即时取等号， ∴此时直线, 故的最小值为9，此时直线l的方程. 【例56】如图，设直线：，：点A的坐标为过点A的直线l的斜率为k，且与，分别交于点M，N的纵坐标均为正数 （1）设，求面积的最小值； （2）是否存在实数a，使得的值与k无关若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在； 【分析】(1)利用直线的点斜式方程直线l的方程，再利用两条直线的交点坐标得和，再结合题目条件得，当时，得直线OA的方程为， 和，以及，再利用点到直线的距离公式得点M和N到直线OA的距离，从而得面积，令，则，从而得S ，再利用基本不等式求最值，计算得结论； (2)利用(1)的结论，结合两点间的距离公式得和，计算，由得结论． 【解析】(1)因为直线l过点，且斜率为k， 所以直线l的方程为 因为直线l与，分别交于点M，N，所以， 因此由得，即， 由得，即 又因为M，N的纵坐标均为正数， 所以，即 而，因此 又因为当时，直线OA的方程为， ，，且， 所以点M到直线OA的距离为， 点N到直线OA的距离为， 因此面积 令，则且， 因此 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以S的最小值为，即面积的最小值为 (2)存在实数，使得的值与k无关． 由(1)知：，，且 因此，， 所以 又因为，所以当时，为定值， 因此存在实数，使得的值与k无关． 题型12：距离新定义题 【例57】对于平面直角坐标系内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义它们之间的一种“新距离”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.给出下列三个命题: ①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||； ②在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2； ③在△ABC上，||AC||+||CB||>||AB||. 其中的真命题为（    ） A．①③ B．①② C．① D．③ 【答案】C 【分析】根据新定义，逐项分析判断即可得解. 【解析】对于①，若点C在线段AB上，设点C的坐标为(x0，y0)， 则x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间， 则||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||成立，故①正确； 对于②，在△ABC中，若∠C=90°， 则|AC|2+|CB|2=|AB|2是几何距离而非题目定义的“新距离”，所以②不正确； 对于③，在△ABC中， ||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|≥|(x0-x1)+(x2-x0)|+|(y0-y1)+(y2-y0)|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||. 当x0-x1与x2-x0同号，且y0-y1与y2-y0同号时，等号成立，故③不一定成立. 因此只有命题①成立， 故选：C. 【例58】定义点到直线的有向距离.已知点到直线l的有向距离分别是，给出以下命题：①若，则直线与直线l平行；②若，则直线与直线l平行；③若，则直线与直线l垂直；④若，则直线与直线l相交.其中正确命题的个数是_______. 【答案】1 【分析】 设点的坐标分别为，求出，可知当时，命题①②③均不正确，当时，在直线的两边，可以判断命题④正确. 【解析】 设点的坐标分别为，则，， 若，则，即， 所以，若， 即，则点都在直线l上， 此时直线与直线l重合，故命题①②③均不正确， 当时，在直线的两边，则直线与直线l相交，故命题④正确. 故答案为：1. 【点睛】 本题主要考查与直线距离有关的命题的判断，利用条件推出点与直线的位置关系是解决本题的关键，综合性较强. 【例59】在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题: ①对任意三点，都有 ②已知点和直线则 ③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形； 其中真命题的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①讨论，，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断； ②设点是直线上一点，且，可得，，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值； ③根据“切比雪夫距离”的定义可判断出命题的真假. 【解析】① 对任意三点、、，若它们共线，设，、，，，，如图，结合三角形的相似可得，，为，，，或，，，则； 若，或，对调，可得； 若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，    由矩形或矩形，； 则对任意的三点，，，都有，故①正确； ②设点是直线上一点，且， 可得，， 由，解得，即有， 当时，取得最小值； 由，解得或，即有， 的范围是，无最值； 综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为；故②正确； ③由题，到原点的“切比雪夫距离”的距离为1的点满足，即或，显然点的轨迹为正方形，故③正确； 故选：D 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题． 【例60】（2024•嘉定区模拟）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，，，则曼哈顿距离，余弦距离，，，其中为坐标原点）．已知点，，则的最大值为 　　． 【分析】根据题意作出示意图形，可得点在正方形的边上运动，结合题意分析，的最大值，即可求出本题的答案． 【解答】解：设，由题意得：，即， 而表示的图形是正方形，其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当，取到最小值时，，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得，； ②点在线段上运动时，此时与同向，取，则，． 因为，所以的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的方程及其应用、平面向量的夹角与数量积等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题． 【例61】（2023秋•宝山区期中）在平面直角坐标系中，两点，、，的“曼哈顿距离”定义为，记为．如，点、的“曼哈顿距离”为9，记为． （1）动点在直线上，点，若=1，求点的横坐标的取值范围； （2）动点在直线上，动点在函数图像上，求的最小值； （3）动点在函数的图像上，点，的最大值记为．如，当点的坐标为时，．求的最小值，并求此时点的坐标． 【分析】（1）利用“曼哈顿距离”定义，分类讨论去绝对值解不等式即可； （2）设出动点，，，，利用曼哈顿距离的定义列出二元函数，将它视为以为参数，为自变量的函数，分类讨论求其最值即可； （3）先取特值确定出最小值，再验证有实数，即可． 【解答】解：（1）由已知，则概率“曼哈顿”定义得， ，， 当时，成立，解得； 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述点的横坐标的取值范围为，． （2）设出动点，，，则， ， ， 当时，， 此时， 当时，， 此时， 当时，， 此时， ， ， 综合得，当，时取等号， 的最小值为． （3）设，则， 若存在实数，，使得，则对任意，成立， 取，得，取，则， ， 解得， 取，，是，上是偶函数， 当，时，若，， 若，， 当且仅当时，取等号， 存在实数，且，，使得最小值为，点． 【点评】本题考查新定义、两点间距离公式、函数的奇偶性等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 【例62】在平面直角坐标系xOy中，定义，两点间的“直角距离”为 . (1)填空：(直接写出结论) ①若， 则 ； ②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ； ③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图形的面积的值为 ； (2)设点A(1，0)， 点B是直线 上的动点，求ρ(A，B)的最小值及取得最小值时点B的坐标； (3)对平面上给定的两个不同的点，，是否存在点C(x，y)， 同时满足下列两个条件： ①； ② 若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)5；；6 (2)最小值为，点B的坐标为 (3) 【分析】（1）①代入定义即可得出答案；②设是轨迹上任意一点，根据定义列出式子，化简即可得出答案；③根据定义，化简得出.分情况去绝对值，作出函数的图象，进而得出答案； （2）设，则，得出.然后分情况讨论去掉绝对值，得出表达式，进而逐段求解，即可得出最小值； （3）分当，时，当，时，当，时等情况，分别讨论得出满足条件的点，即可得出答案. 【解析】（1）①根据定义可得，； ②设是轨迹上任意一点， 由已知可得， 根据定义可得，. 所以，到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是； ③设曲线G上任意一点， 由已知可得，， 所以有， 整理可得，. （ⅰ）当时，该式可化为， 即. 当且时，为； 当且时，为； （ⅱ）当时，该式可化为， 整理可得，即； （ⅲ）当时，该式可化为， 整理可得. 当且时，为； 当且时，为； 作出曲线满足的图象    所以，曲线G所围成的封闭图形的面积的值为. 故答案为：5；；6. （2）设，则，所以， 所以，. 当时，有； 当时，有； 当时，有. 综上所述，当时，有最小值，此时. 所以，的最小值为，取得最小值时点B的坐标为. （3）（ⅰ）当，时， 由条件②可得，， 即有. 因为，所以. 由条件①可得，， 所以有. 又， 所以有，所以. 因此，所求的点为； （ⅱ）当，时， 由（ⅰ）同理可得，所求的点为； （ⅲ）当，时，不妨设. ①若， ，，， 所以，. 当且仅当与同时成立， 所以有，且， 从而由条件②可得，， 此时所求的点的全体为； ②若， 由条件①可得，，且， 从而由条件②可得，， 此时所求的点的全体为. 综上所述，所有符合条件的点的集合为. 【点睛】关键点点睛：根据定义得出关系式后，根据未知量的范围，分类讨论，去掉绝对值，化简求解. 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 2．（2022•上海春考）若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为 　　． 【分析】根据题意，分析可得直线x+my＝2和mx+16y＝8平行，由此求出m的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，若关于x，y的方程组有无穷多解， 则直线x+my＝2和mx+16y＝8重合，则有1×16＝m×m，即m2＝16，解可得m＝±4， 当m＝4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意， 当m＝﹣4时，两直线平行，方程组无解，不符合题意， 故m＝4． 故答案为：4 【点评】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关系，属于基础题． 3．（2021·上海·高考真题）求直线与直线的夹角为 . 【答案】 【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角． 【详解】解：直线的斜率不存在，倾斜角为， 直线的斜率为，倾斜角为， 故直线与直线的夹角为， 故答案为：． 4．（2020•上海）已知直线l1：x+ay＝1，l2：ax+y＝1，若l1∥l2，则l1与l2的距离为 　　． 【分析】由l1∥l2求得a的值，再根据两平行线间的距离计算即可． 【解答】解：直线l1：x+ay＝1，l2：ax+y＝1， 当l1∥l2时，a2﹣1＝0，解得a＝±1； 当a＝1时l1与l2重合，不满足题意； 当a＝﹣1时l1∥l2，此时l1：x﹣y﹣1＝0，l2：x﹣y+1＝0； 则l1与l2的距离为d＝＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题． 5．（2020•上海春考）已知直线，，若，则与的距离为　　． 【解析】直线，， 当时，，解得； 当时与重合，不满足题意； 当时，此时，； 则与的距离为． 故答案为：． 6．【2019年上海市高考数学第13题】已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（　　　　） A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，2） 【答案】D 【解答】解：依题意，（2，﹣1）为直线的一个法向量，∴方向向量为（1，2）， 故选：D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $