专题15：解三角形 （5大考点+16大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题15 解三角形 知识点一：正余弦定理： 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； . 常见变形 (1)，，； (2)，，； ； ； . 知识点二：三角形内角和及三角形常见重要关系 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，. ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列. 知识点三、面积公式： (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高). (2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA. (3)（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） (4)S＝，即海伦公式，其中p＝(a＋b＋c)为△ABC的半周长. (5)其中 知识点四：实际应用 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． (1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)． (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)． (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比． 【重要结论】 1.方法技巧：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2.在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 考点一、利用正弦、余弦定理解三角形 题型01：三角形个数问题 【例1】（杨浦2023二模） 内角、、的对边是、、，若，，，则______ 【例2】（2022·建平中学高三阶段练习）中，已知下列条件：①；②；③；④，其中满足上述条件的三角形有两解的是（     ） A．①④ B．①② C．①②③ D．③④ 【跟踪训练】 1．(2025延安中学高三阶段练习)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 2．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（    ） A． B． C． D． 3.（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）若满足，，的恰有一个，则实数k的取值范围是______． 题型02：利用正弦定理解三角形 【例3】（2024·上海静安·一模）在中，已知，则的值为 . 【跟踪训练】 1．（24-25高三上·上海浦东新·期末）在中，，，，则 ． 2．（2023上·上海松江·高三统考期末）在中，设角及所对边的边长分别为及，若，，，则边长 ． 题型03：利用余弦定理解三角形 【例4】（2024·上海嘉定·一模）在中，若，则 . 【例5】（2021·上海·模拟预测）已知的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若，则内角A的大小是___________ 【跟踪训练】 1．（2024·上海黄浦·二模）在中，，，，则 . 2．（2025·上海青浦·模拟预测）已知的角对应边长分别为，则 . 3．（2018·上海中学高三阶段练习）在中，分别为边所对的角，若成等差数列，则的取值范围是________． 题型04：利用正余弦定理综合解三角形 【例6】（2025上海·华师大二附中高三开学考试）在中，，，其面积为，则_______． 【例7】（2024·上海杨浦·一模）已知的内角所对边的长度分别为. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 【跟踪训练】 1．（2023·四川巴中·统考一模）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·河南南阳·高三统考期末）在 中，角 的对边分别为 ，且．角A等于（    ） A． B． C． D． 考点二、正余弦定理的综合应用 题型05：判断三角形形状 【名师点拨】 (1)判断三角形形状的方法 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系． ②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 【例8】在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【例9】（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（       ） A．等腰非等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 2．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，且，则形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 题型06：利用正、余弦定理边角互化 【名师点拨】1．应用正、余弦定理转化边角关系的技巧 技巧 解读 边化角 将表达式中的边利用公式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC化为角的关系． 角化边 将表达式中的角利用公式转化为边，出现角的正弦值用正弦定理转化，出现角的余弦值用余弦定理转化． 和积 互化 a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)．可联系已知条件，利用方程思想进行求解三角形的边 【例10】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－，则＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 【例11】(2020·黄冈模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足2acosA＝ccosB＋bcosC. (1)求角A； (2)若a＝，·＝6，求△ABC的周长． 【例12】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C. ①求A； ②若a＋b＝2c，求sin C. 【跟踪训练】 1.（2021·上海奉贤区致远高级中学高三期中）在中，内角所对的边分别为，且，则____________． 2．（2021·上海市川沙中学高三阶段练习）在中，若，且三边所对的角依次为，则的值为___________. 3．（2024·上海静安·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知，，． (1)求角的大小； (2)求的值． 题型07：与角度、边长有关的最值问题 【例13】（2023·全国·高三专题练习）已知在锐角三角形中，角所对的边分别为，，，若.则角A的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例14】（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求角，并计算的值； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 【跟踪训练】 1.（2023·河南·开封高中校考模拟预测）若的内角A，B，C满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海宝山·一模）在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 3．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 考点三、三角形面积的计算及应用 题型08：求三角形的面积 【名师点拨】(1)若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值)及该角的两边长度，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，或直接代入海伦公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 【例15】（2024·上海青浦·一模）在中，已知，若，则的面积为 . 【跟踪训练】 1．（2023·上海奉贤·统考一模）在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)当，时，求边长和的面积. 2．（2023上·上海浦东新·高三上海中学东校校考期中）在中，角所对应的边分别为，且，，．求： (1)a的值； (2)和的面积． 3．（2024·上海奉贤·一模）申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为． 已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为 ．（用含的表达式表示） 题型09：已知三角形面积求边、角 【名师点拨】(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．　 【例16】（2024·上海长宁·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若的面积为，请判断的形状，并说明理由． 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，，，则（    ） A．4 B． C．8 D． 2．（2023·青海·校联考模拟预测）在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（    ） A． B． C． D． 题型10：三角形面积的最值问题 【名师点拨】解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性，单调性再结合角的范围确定最值或范围． 【例17】（2023·四川宜宾·统考三模）在中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若，，则面积的最大值是（    ） A． B．2 C． D． 【例18】（2023春·山西·高三校联考阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsin A. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． 2 （静安2023二模）已知△ABC中，sinA=3sinCcosB，且AB=2，则△ABC面积的最大值为___________. 3.【杨浦2023一模17】在中，内角所对的边分别为，满足. （1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值. 考点四、三角形周长的计算及应用 题型11：求三角形的周长 【例19】（2023春·广西·高三校联考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，的面积为，则的周长是（    ） A．4 B．6 C．8 D．18 题型12：三角形周长的最值问题 【例20】（2023·上海青浦·统考一模）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【跟踪训练】 1．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且△ABC的面积为，则△ABC周长的最小值为（    ） A． B．6 C． D． 2．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点五、解三角形的实际应用 题型13：测量距离问题 【名师点拨】(1)确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另外三角形中求解； (2) 确定选用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．　 【例21】（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 【跟踪训练】 1．（2025·上海徐汇·二模）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为 米. 题型14：测量高度问题 【名师点拨】高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度． (1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 【例22】（24-25高三上·上海金山·期末）某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为 米．（结果精确到1米） 【跟踪训练】 1．（2025·上海浦东新·二模）如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为 米．（保留一位小数） 2．（2024·上海静安·一模）如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离 . 题型15：测量角度问题 【名师点拨】测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．解决角度问题的注意事项 【例23】（2023·全国·高三专题练习）如图，足球门框的长为，设足球为一点，足球与，连线所成的角为. (1)若队员射门训练时，射门角度，求足球所在弧线的方程； (2)已知点到直线的距离为，到直线的垂直平分线的距离为，若教练员要求队员，当足球运至距离点为处的一点时射门，问射门角度最大可为多少？ 【跟踪训练】 1．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 题型16：其他实际问题 【例24】．（24-25高三上·上海松江·期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余区域种植花卉．设，．    (1)当时，求的面积； (2)求三角形区域面积的最大值． 【跟踪训练】 1．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为（    ） 太阳高度角 时间 太阳高度角 时间 43.13° 08:30 68.53° 10:30 49.53° 09:00 74.49° 11:00 55.93° 09:30 79.60° 11:30 62.29° 10:00 82.00° 12:00 A． B． C． D． 1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 2. （2025上海秋季高考）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角_________．（结果用角度制表示，精确到） 3．【2024年上海市高考数学第11题】已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 4．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 5．【2023年上海市高考数学第8题】已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sinA＝　　　　． 6．（2023上海春考）在△ABC 中，角 A ，B ， C 对应边为 a ， b， c，其中 b ＝2 . （1）若 A+C＝120°,且 a ＝2c，求边长 c； （2）若 A﹣C＝15°, a ＝csinA，求△ABC 的面积 S△ABC. 7．【2023年上海市高考数学第11题】某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为（1.025﹣cosθ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ＝　　　　． 8．（2022·上海数学春考））在△ABC中， ， ， ，则△ABC的外接圆半径为　 　 9．（2021·上海·高考真题）已知A、B、C为的三个内角，a、b、c是其三条边，﹒ (1)若，求b、c； (2)若，求c． 10．【2022年上海市高考数学第19题】如图，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q关于OM对称，MO⊥AB； （1）若点P与点C重合，求∠POB的大小； （2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值． 11．（2021·全国甲卷·高考真题）在中，已知，，，则（    ） A．1 B． C． D．3 12．【2021年上海市高考数学第18题】在△ABC中，已知a＝3，b＝2c． （1）若A，求S△ABC． （2）若2sinB﹣sinC＝1，求C△ABC． 13．【2019年上海市高考数学第19题】如图，A﹣B﹣C为海岸线，AB为线段，为四分之一圆弧，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝68°，∠BDA＝58°． （1）求的长度； （2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（精确到0.001km） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题15 解三角形 知识点一：正余弦定理： 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； . 常见变形 (1)，，； (2)，，； ； ； . 知识点二：三角形内角和及三角形常见重要关系 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，. ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列. 知识点三、面积公式： (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高). (2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA. (3)（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） (4)S＝，即海伦公式，其中p＝(a＋b＋c)为△ABC的半周长. (5)其中 知识点四：实际应用 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． (1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)． (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)． (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比． 【重要结论】 1.方法技巧：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2.在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 考点一、利用正弦、余弦定理解三角形 题型01：三角形个数问题 【例1】（杨浦2023二模） 内角、、的对边是、、，若，，，则______ 【答案】 【分析】利用正弦定理及大边对大角即可求解. 【详解】因为，，， 由正弦定理得， 所以或. 由，得, 所以， 所以. 故答案为：. 【例2】（2022·建平中学高三阶段练习）中，已知下列条件：①；②；③；④，其中满足上述条件的三角形有两解的是（     ） A．①④ B．①② C．①②③ D．③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据判断三角形解的个数的公式，即可判断选项. 【详解】 ①，三角形有两解；②，三角形有两解；③，三角形有一解；④，三角形无解. 故选：B. 【跟踪训练】 1．(2025延安中学高三阶段练习)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 答案　C 解析　由正弦定理得＝， ∴sin B＝＝＝>1. ∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在． 2．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件和正弦定理即可求解. 【详解】对于A：由正弦定理可知， ∵，∴，故三角形有一解； 对于B：由正弦定理可知，， ∵，∴，故三角形有两解； 对于C：由正弦定理可知， ∵为钝角，∴B一定为锐角，故三角形有一解； 对于D：由正弦定理可知，，故故三角形无解. 故选：B. 3.（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）若满足，，的恰有一个，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据条件由正弦定理表示，判断唯一解时的范围 【详解】已知，则由正弦定理，则， 又，当时，有两解； 当或时，有唯一解，故． 故答案为： 题型02：利用正弦定理解三角形 【例3】（2024·上海静安·一模）在中，已知，则的值为 . 【答案】/0.625 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求解即得. 【详解】在中，由正弦定理得，而， 因此，即，所以. 故答案为： 【跟踪训练】 1．（24-25高三上·上海浦东新·期末）在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算即得. 【详解】在中，由，，得， 由正弦定理得，. 故答案为： 2．（2023上·上海松江·高三统考期末）在中，设角及所对边的边长分别为及，若，，，则边长 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换求得，再次利用正弦定理求得. 【详解】由正弦定理得，即， ， 由于，所以为锐角，, 所以， 由正弦定理得， 则. 故答案为： 题型03：利用余弦定理解三角形 【例4】（2024·上海嘉定·一模）在中，若，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，所以. 故答案为： 【例5】（2021·上海·模拟预测）已知的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若，则内角A的大小是___________ 【答案】或或 【分析】利用余弦定理以及二倍角的正弦公式即可求解. 【解析】因为， 所以由余弦定理可得，， 从而，即或， 又因为，所以或或. 故答案为：或或. 【跟踪训练】 1．（2024·上海黄浦·二模）在中，，，，则 . 【答案】 【分析】根据余弦定理建立方程，可得答案. 【详解】在中，根据余弦定理可得：， 设，则，整理可得，解得， 故. 故答案为：. 2．（2025·上海青浦·模拟预测）已知的角对应边长分别为，则 . 【答案】 【分析】由余弦定理求解，再由反三角函数求得角. 【详解】根据余弦定理得， 把代入可得， 因为，所以. 故答案为：. 3．（2018·上海中学高三阶段练习）在中，分别为边所对的角，若成等差数列，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】将代入余弦定理整理，结合基本不等式可求得，由此确定的范围. 【解析】成等差数列，， 由余弦定理得：（当且仅当时取等号）． 又，． 故答案为：． 题型04：利用正余弦定理综合解三角形 【例6】（2025上海·华师大二附中高三开学考试）在中，，，其面积为，则_______． 【答案】 【分析】利用三角形的面积公式求得，利用余弦定理求得，结合正弦定理求得正确答案. 【解析】依题意，， 由余弦定理得，， 由正弦定理得. 故答案为： 【例7】（2024·上海杨浦·一模）已知的内角所对边的长度分别为. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题设及余弦定理可得，进而结合三角形面积公式求解即可； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得，进而结合平方关系求解即可. 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得，即， 所以，即， 所以的面积为. （2）由，由正弦定理得， 可得， 则， 因为，所以， 则，又， 所以. 【跟踪训练】 1．（2023·四川巴中·统考一模）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换及余弦定理即可处理. 【详解】原式= 化简得： 由正弦定理角化边得：， 由余弦定理得： 故选：B. 2．（2023秋·河南南阳·高三统考期末）在 中，角 的对边分别为 ，且．角A等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理角化边化简，可得，再根据余弦定理即可求得答案. 【详解】在 中, ,则, 即，即， 故 ，而 , 故， 故选：B 考点二、正余弦定理的综合应用 题型05：判断三角形形状 【名师点拨】 (1)判断三角形形状的方法 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系． ②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 【例8】在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 答案　B 解析　∵cos2＝，cos2＝， ∴(1＋cos B)·c＝a＋c，∴a＝cos B·c＝， ∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形． 【例9】（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（       ） A．等腰非等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】 由条件可得，由正弦定理结合三角形中有，利用正弦的和角公式可得，从而可得出答案. 【详解】 由，可得，所以， 所以. 在中，，故， 因为，所以，因为，所以， 故为直角三角形. 故选：B 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状. 【详解】由，得， 整理得，则， 因为，所以， 又由及正弦定理，得，化简得， 所以为等边三角形， 故选：B 2．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，且，则形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】使用正弦定理和两角和的正弦公式花间即可求解. 【详解】， 所以由正弦定理可得 所以， 所以， 所以， 所以， 在三角形中， 所以， 所以为钝角， 故选：C. 题型06：利用正、余弦定理边角互化 【名师点拨】1．应用正、余弦定理转化边角关系的技巧 技巧 解读 边化角 将表达式中的边利用公式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC化为角的关系． 角化边 将表达式中的角利用公式转化为边，出现角的正弦值用正弦定理转化，出现角的余弦值用余弦定理转化． 和积 互化 a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)．可联系已知条件，利用方程思想进行求解三角形的边 【例10】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－，则＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【解析】∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝＝＝＝－，∴＝6.故选A. 【例11】(2020·黄冈模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足2acosA＝ccosB＋bcosC. (1)求角A； (2)若a＝，·＝6，求△ABC的周长． 【答案】（1）A＝（2）7＋ 【解析】(1)因为2acosA＝bcosC＋ccosB， 在△ABC中，由正弦定理＝＝＝2R， 得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC， 所以2sinAcosA＝sinBcosC＋cosBsinC， 即2sinAcosA＝sin(B＋C)＝sinA， 因为0<A<π，所以sinA≠0， 所以2cosA＝1，即cosA＝，所以A＝. (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cosA， 得13＝b2＋c2－2bc·. 得(b＋c)2－3bc＝13，由·＝6，得bccosA＝6，所以bc＝12. 所以(b＋c)2－36＝13，得b＋c＝7，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝7＋. 【例12】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C. ①求A； ②若a＋b＝2c，求sin C. 【答案】①A＝60°② 【解析】①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得cos A＝＝. 因为0°＜A＜180°，所以A＝60°. ②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－. 由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝， 故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝. 【跟踪训练】 1.（2021·上海奉贤区致远高级中学高三期中）在中，内角所对的边分别为，且，则____________． 【答案】 【分析】由正弦定理边角关系、和角正弦公式可将题设条件转化为，再由三角形内角的性质易知，进而得出结果. 【解析】因为， 所以，又， ∴， 即， 又且为三角形内角，， 故答案为： 2．（2021·上海市川沙中学高三阶段练习）在中，若，且三边所对的角依次为，则的值为___________. 【答案】1 【分析】由题意结合正弦定理和余弦定理得出，然后利用基本不等式求出，从而得出，从而求出的值和关系式，然后即可求出答案. 【解析】由正弦定理，得， 由余弦定理，得，即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 所以只能，且当，即时等式成立， 所以当，时等式成立， 又因为，所以， 所以. 故答案为：1. 3．（2024·上海静安·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知，，． (1)求角的大小； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 根据已知条件，结合余弦定理即可求解. （2）解，利用正弦定理先求，再由即可求解；解，先利用正弦定理求出，再利用两角和的正弦公式即可求解；解，先利用余弦定理求出，再利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理，有，所以 （2）解1：由正弦定理，有，即 所以 解2：由正弦定理，有，即 所以 故， 解3：由余弦定理，有，所以 故， 题型07：与角度、边长有关的最值问题 【例13】（2023·全国·高三专题练习）已知在锐角三角形中，角所对的边分别为，，，若.则角A的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，在根据锐角三角形的性质分析运算. 【详解】∵，由正弦定理可得， 则， 在锐角三角形中，，则， ∴，即， 可得，解得. 故选：C. 【例14】（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求角，并计算的值； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 【答案】(1)或；当时，；当时， (2) 【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系可得，求出B，进而求出即可； （2）由题意可得，求出C的范围，根据正弦定理可得，利用三角恒等变换化简计算得（），结合的范围和正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）由，得，则， 又，所以或. 当时，； 当时，. （2）若为锐角三角形，则， 有，解得. 由正弦定理，得，则， 所以 ， 其中，又，所以， 则，故当时，取到最大值1， 所以的最大值为. 【跟踪训练】 1.（2023·河南·开封高中校考模拟预测）若的内角A，B，C满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切化弦后，再由正余弦定理化为边的关系，由余弦定理求出，再由均值不等式求最值即可. 【详解】，, ， 由正弦和余弦定理可得，， 化简得，， ， 当且仅当时等号成立， 的最小值为， 故选：C 2．（2024·上海宝山·一模）在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理和面积公式即可求解； （2）结合基本不等式求最值和三角形边的关系即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得，又，从而，         由得，            从而，                               所以的面积. （2）由，            又，当且仅当时取等号，       从而，所以，                        又因为中，，从而，                       所以的范围是. 3．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理,将角化边,即可得到三边关系,进而转化成余弦定理形式求解. （2）用二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式合并，根据角的范围求解. 【详解】（1）及， ，化简得， ，又，. （2）由（1）可得 为锐角三角形， 且，， . ，， 故的取值范围为. 考点三、三角形面积的计算及应用 题型08：求三角形的面积 【名师点拨】(1)若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值)及该角的两边长度，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，或直接代入海伦公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 【例15】（2024·上海青浦·一模）在中，已知，若，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】在中，，， 由余弦定理得， 解得， 所以的面积为. 故答案为： 【跟踪训练】 1．（2023·上海奉贤·统考一模）在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)当，时，求边长和的面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合及两角和的正弦公式计算化简即可得； （2）根据正弦定理即可计算出，结合可求出，再试用正弦定理即可得到，再使用面积公式即可得到面积. 【详解】（1）由正弦定理得， 由于，则， 展开得， 化简得， 则， 所以； （2）由正弦定理，得，即有， 因为，所以是锐角，即， 因为， 所以， ， 所以 . 2．（2023上·上海浦东新·高三上海中学东校校考期中）在中，角所对应的边分别为，且，，．求： (1)a的值； (2)和的面积． 【答案】(1) (2)故，的面积为 【分析】（1）应用余弦定理列方程求值即可； （2）由同角三角函数平方关系求，应用正弦定理求，三角形面积公式求的面积. 【详解】（1）因为，，， 所以，由余弦定理得：，解得． 故. （2）由，则， 由正弦定理得， 又，得， ． 故，的面积为. 3．（2024·上海奉贤·一模）申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为． 已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为 ．（用含的表达式表示） 【答案】 【分析】连接，求出，可得答案. 【详解】连接，则，， ， ， ， 所以该图形的面积为. 故答案为：. 题型09：已知三角形面积求边、角 【名师点拨】(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．　 【例16】（2024·上海长宁·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若的面积为，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据正弦定理边角互化化简得出正切，结合范围求角； （2）应用面积公式计算得出，再结合余弦定理得出边长即可判断. 【详解】（1）由正弦定理可得, 因为，所以，,所以. （2）, 所以, 由余弦定理，得, 即，解得, 所以是等边三角形. 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，，，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】由已知利用三角形面积公式可求，结合利用余弦定理求出边. 【详解】解：，的面积为，∴， 又，由余弦定理， ，可得： . 故选：B 2．（2023·青海·校联考模拟预测）在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正余弦定理及面积公式化简计算即可. 【详解】由余弦定理可得： 由条件及正弦定理可得： ， 所以，则． 故选：A 题型10：三角形面积的最值问题 【名师点拨】解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性，单调性再结合角的范围确定最值或范围． 【例17】（2023·四川宜宾·统考三模）在中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若，，则面积的最大值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理及同角三角函数的基本关系可求与，故，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】由余弦定理可得， 所以. 因为，，所以，即，解得. 所以 ， 当时，. 故选：C. 【例18】（2023春·山西·高三校联考阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得，进而可得，根据面积公式可得，根据二次函数的最值可得面积的最大值. 【详解】由题意可得， 所以由正弦定理得， 由余弦定理得， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 则当时，取最大值为. 故选：B. 【跟踪训练】 1.(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsin A. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． 【答案】（1）B＝60°（2） 【解析】(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A. 因为sin A≠0，所以sin＝sin B. 由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos. 因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a. 由正弦定理得a＝＝＝＋. 由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由(1)知A＋C＝120°，所以30°＜C<90°，故＜a＜2，从而＜S△ABC＜. 因此，△ABC面积的取值范围是 2 （静安2023二模）已知△ABC中，sinA=3sinCcosB，且AB=2，则△ABC面积的最大值为___________. 答案：3 3.【杨浦2023一模17】在中，内角所对的边分别为，满足. （1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）因为，由余弦定理得， ....4分 ；........................2分 （2）因为，由（1）得，当且仅当时取等号......2分 所以，........................2分 面积，所以三角形面积的最大值为..........................4 考点四、三角形周长的计算及应用 题型11：求三角形的周长 【例19】（2023春·广西·高三校联考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件及三角形的面积公式，利用余弦定理及三角形的周长公式即可求解. 【详解】因为，的面积为， 所以，解得. 所以. 由余弦定理得，解得， 所以的周长为. 故选：D. 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，的面积为，则的周长是（    ） A．4 B．6 C．8 D．18 【答案】B 【分析】由正弦定理和和角公式得到，得到，由三角形面积公式得到，再利用余弦定理求出，得到答案. 【详解】，由正弦定理得，， 又， 所以， 因为，所以，故， 因为，所以， 由三角形面积公式可得，故， 由余弦定理得， 解得或（舍去）， 故三角形周长为. 故选：B 题型12：三角形周长的最值问题 【例20】（2023·上海青浦·统考一模）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理可得的大小； （2）边角互化，可得，结合三角函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，可得， 所以， 又，所以. （2）由（1）得，所以， 则由正弦定理可得， 即，， 所以的周长， 又在中，， 则， 又在中，，所以， 所以当时，周长取最大值为. 【跟踪训练】 1．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且△ABC的面积为，则△ABC周长的最小值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】首先利用正弦定理及诱导公式，二倍角公式对原式化简得，即求出的大小，再利用三角形面积公式得，从而求出的最小值，最后得到，利用函数单调性即可求出其最小值. 【详解】由题设及三角形内角和性质：， 根据正弦定理及诱导公式得， ，，，即， ，则，则，解得,则， 所以，则， 又仅当时等号成立， 根据余弦定理得，即， 设的周长为，则， 设，则， 根据复合函数单调性：增函数加增函数为增函数得：在上为单调增函数， 故，故，当且仅当时取等. 故选：B 2．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用正弦定理及诱导公式，二倍角公式对原式化简得，即求出的大小，再利用三角形面积公式得，从而求出的最小值，最后得到，利用函数单调性即可求出其最小值. 【详解】因为， 根据正弦定理及诱导公式得， ，，， 即，，则，则 解得,所以， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 根据余弦定理得，即， 设的周长为， 所以， 设，则， 根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得： 在上为单调增函数，故， 故， 当且仅当时取等. 故选：C. 考点五、解三角形的实际应用 题型13：测量距离问题 【名师点拨】(1)确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另外三角形中求解； (2) 确定选用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．　 【例21】（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 【答案】 【分析】先在中求出AC，再利用正弦定理，在中求出，进而转化到中求解即可. 【详解】解：作交于E，由题意可得如图： ， 所以， ， 在中，由正弦定理可得： ， 所以， 所以， ， 在直角中，， 故答案为：475. 【跟踪训练】 1．（2025·上海徐汇·二模）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为 米. 【答案】 【分析】过点作，设,，根据正弦定理求得，求得阴影的面积为，令，求得，得出函数的单调性，得到时， 取得最小值，结合为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】过点作垂足为，可得，， 设,，在中，由正弦定理得， 因为，所以， 又由阴影部分的面积： ，其中， 令， 可得， 令，可得，解得 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值，则，所以为等腰直角三角形， 因为，所以. 故答案为：     题型14：测量高度问题 【名师点拨】高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度． (1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 【例22】（24-25高三上·上海金山·期末）某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为 米．（结果精确到1米） 【答案】 【分析】令，，在中应用余弦定理及基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得答案. 【详解】令，，且， 在中，， 当且仅当米时，取最小值，此时最大. 故答案为： 【跟踪训练】 1．（2025·上海浦东新·二模）如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为 米．（保留一位小数） 【答案】66.4 【分析】先在和中，根据仰角分别用建筑物高度表示出和，然后在中利用余弦定理建立关于的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】在中，已知从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，即.因为，所以. 在中，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，即.因为，且，所以. 在中，已知米，.根据余弦定理，将，代入可得： ，即 可得. 则. 故答案为：66.4. 2．（2024·上海静安·一模）如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离 . 【答案】 【分析】根据正切函数的定义得到方程，解出即可. 【详解】分别过点作的垂线，垂足分别为， 则根据正切函数的定义得，， 则，解得. 故答案为：. 题型15：测量角度问题 【名师点拨】测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．解决角度问题的注意事项 (1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值． (3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点． 提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角． 【例23】（2023·全国·高三专题练习）如图，足球门框的长为，设足球为一点，足球与，连线所成的角为. (1)若队员射门训练时，射门角度，求足球所在弧线的方程； (2)已知点到直线的距离为，到直线的垂直平分线的距离为，若教练员要求队员，当足球运至距离点为处的一点时射门，问射门角度最大可为多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）建立平面直角坐标系，求出过两点的圆的方程，即得答案, （2）设过的圆的圆心为，根据题意可知该圆与以为圆心，半径为的圆外切时，射门角度最大，由此列出等式求得a，结合正弦定理即可求得答案. （2）以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图所示的坐标系， 设足球所在弧线所在圆即为的外接圆，则其圆心在x轴上，设半径为R， ，，，， 由于，设足球所在弧线的圆的圆心为，则， 圆心坐标为， 足球所在弧线的方程为； （2）由题意，设过的圆的圆心为，则半径为， 不妨设点,(该点在球门前面) 该圆与以为圆心，半径为的圆外切时，射门角度最大， 则， ,或（舍去）,足球所在弧线的半径为， ，，则或， 结合图象可知为锐角，应舍去， 射门角度最大可为. 【跟踪训练】 1．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 【答案】 【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案. 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得， 故答案为：. 题型16：其他实际问题 【例24】．（24-25高三上·上海松江·期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余区域种植花卉．设，．    (1)当时，求的面积； (2)求三角形区域面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数表达出的长，再由面积公式即可求解. （2）用的三角函数表达出三角形区域面积，利用换元法转化为二次函数，求出三角形区域面积的最大值. 【详解】（1）设与相交于点，则， 则，， 易知等于到的距离， 所以    （2）过点作于点，则， 而，    则三角形区域面积为 ， 设，因为，所以， 故，而， 则，故当时，取得最大值， 故三角形区域面积的最大值为 【跟踪训练】 1．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为（    ） 太阳高度角 时间 太阳高度角 时间 43.13° 08:30 68.53° 10:30 49.53° 09:00 74.49° 11:00 55.93° 09:30 79.60° 11:30 62.29° 10:00 82.00° 12:00 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出示意图形，在四边形中利用正弦定理与余弦定理，算出四边形的外接圆直径大小，然后在中利用锐角三角函数定义，算出的大小，即可得到本题的答案. 【详解】如图所示， 设两竖直墙面的交线为，点被太阳光照射在地面上的影子为点， 点分别是点在两条墙脚线上的射影，连接 ，，， 由题意可知就是太阳高度角. ∵四边形中，，， ∴ ， ∴中，， 可得， ∵四边形是圆内接四边形，是其外接圆直径， ∴设的外接圆半径为，则， 在中，， 所以， 对照题中表格，可知时刻时，太阳高度角为，与最接近. 故选：B. 1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 2. （2025上海秋季高考）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角_________．（结果用角度制表示，精确到） 【答案】 【解析】 【分析】先根据在处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合处的旗杆算出斜面角. 【详解】如图，在处，，在处满足， （其中水平面，是射过处杆子最高点的光线，光线交斜面于）， 故设，则， 由勾股定理，，解得， 于是 故答案为： 3．【2024年上海市高考数学第11题】已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 【答案】 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得， 故答案为：. 4．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理即可解出； （3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出． 【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：； （2）由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． （3）由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 5．【2023年上海市高考数学第8题】已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sinA＝　　　　． 【答案】． 【解答】解：a＝4，b＝5，c＝6， 由余弦定理得，cosA， 又∵A∈（0，π）， ∴sinA＞0， ∴sinA． 故答案为：． 6．（2023上海春考）在△ABC 中，角 A ，B ， C 对应边为 a ， b， c，其中 b ＝2 . （1）若 A+C＝120°,且 a ＝2c，求边长 c； （2）若 A﹣C＝15°, a ＝csinA，求△ABC 的面积 S△ABC. 7．【2023年上海市高考数学第11题】某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为（1.025﹣cosθ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ＝　　　　． 【答案】arccos． 【解答】解：斜坡的长度为l， 上坡所消耗的总体力y（1.025﹣cosθ）， 函数的导数y′， 由y′＝0，得4﹣4.1cosθ＝0，得cosθ，θ＝arccos， 由f′（x）＞0时cosθ，即arccosθ时，函数单调递增， 由f′（x）＜0时cosθ，即0＜θ＜arccos时，函数单调递减， 即θ＝arccos，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小． 故答案为：θ＝arccos． 8．（2022·上海数学春考））在△ABC中， ， ， ，则△ABC的外接圆半径为　 　 【答案】 【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用 【解析】【解答】解：设AB=c，AC=b，BC=a，则c=2，b=3， 则由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得 ∴ 则由正弦定理得， 则R= 故答案为： 【分析】根据余弦定理与正弦定理求解即可. 9．（2021·上海·高考真题）已知A、B、C为的三个内角，a、b、c是其三条边，﹒ (1)若，求b、c； (2)若，求c． 【答案】(1)1，； (2)﹒ 【分析】(1)由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值． (2)根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得、的值，进而根据正弦定理可得的值． 【详解】（1）∵，由正弦定理得， 又，可得， 由于，可得． （2）∵，0＜C＜π， ∴，C＞＞A， . ∵， ∴， 又， 可解得或(舍)， 由正弦定理，可得． 10．【2022年上海市高考数学第19题】如图，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q关于OM对称，MO⊥AB； （1）若点P与点C重合，求∠POB的大小； （2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值． 【答案】（1）∠POB的大小为arcsin； （2）P点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置时，S的最大值为28． 【解答】解：（1）点P与点C重合，由题意可得OB＝10，BC＝6，∠ABC＝120°， 由余弦定理可得OP2＝OB2+BC2﹣2OB•BCcos∠ABC＝36+100﹣2×6×10×（）＝196， 所以OP＝14，在△OBP中，由正弦定理得， 所以，解得sin∠POB， 所以∠POB的大小为arcsin； （2）如图，连结QA，PB，OQ，OP， ∵曲线CMD上任意一点到O距离相等， ∴OP＝OQ＝OM＝OC＝14， ∵P，Q关于OM对称， ∴P点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置，S△QOM＝S△POM＝α， 则∠AOQ＝∠BOP＝S△BOP， 则五边形面积S＝2（S△AOQ+S△QOM） ＝2[] ＝196sinα+140cosα ＝28sin（α+φ），其中tanφ， 当sin（α+φ）＝1时，S五边形MQABP取最大值28， ∴五边形MQABP面积S的最大值为28． 11．（2021·全国甲卷·高考真题）在中，已知，，，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设， 结合余弦定理：可得：， 即：，解得：（舍去）， 故. 故选：D. 【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型： (1)已知三角形的三条边求三个角； (2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角； (3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形． 12．【2021年上海市高考数学第18题】在△ABC中，已知a＝3，b＝2c． （1）若A，求S△ABC． （2）若2sinB﹣sinC＝1，求C△ABC． 【答案】(1)； (2)3+4． 【解答】解：（1）由余弦定理得cosA， 解得c2， ∴S△ABC； （2）∵b＝2c，∴由正弦定理得sinB＝2sinC，又∵2sinB﹣sinC＝1， ∴sinC，sinB，∴sinC＜sinB，∴C＜B，∴C为锐角， ∴cosC． 由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcosC，又∵a＝3，b＝2c， ∴c2＝9+4c2﹣8c，得：3c2﹣8c+9＝0，解得：c． 当c时，b时C△ABC＝3+4； 当c时，b时C△ABC＝3+4． 13．【2019年上海市高考数学第19题】如图，A﹣B﹣C为海岸线，AB为线段，为四分之一圆弧，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝68°，∠BDA＝58°． （1）求的长度； （2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（精确到0.001km） 【答案】(1)16.310km； (2)35.750km. 【解答】解：（1）由题意可得，BC＝BDsin22°，弧BC所在的圆的半径R＝BCsin， 弧BC的长度为16.310km； （2）根据正弦定理可得，， ∴sinA0.831，A＝56.2°， ∴∠ABD＝180°﹣56.2°﹣58°＝65.8°， ∴DH＝BD×sin∠ABD＝35.750km＜CD＝36.346km ∴D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离为35.750km 1 学科网（北京）股份有限公司 $$