四川省德阳市中江县2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年四川省德阳市中江县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列长度的三条线段能组成三角形的是(    ) A. 2，3，6 B. 5，8，13 C. 4，4，7 D. 3，4，8 2.下列计算中正确的是(    ) A. B. C. D. 3.二元一次方程的正整数解有(    ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4.2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现“径向对接”，对接过程的控制信息通过微波传递.微波理论上可以在秒内接收到相距约1千米的信息.将数字用科学记数法表示应为(    ) A. B. C. D. 5.若，，则的值是(    ) A. 1 B. C. 1或 D. 或3 6.如图，≌，D在BC边上，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.将分式中x与y的值同时扩大为原来的3倍，分式的值(    ) A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 无法确定 8.如图，等腰的底边BC长为6，面积是30，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为(    ) A. 6 B. 8 C. 13 D. 10 9.如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大3，面积为7，则的值为(    ) A. 10 B. 21 C. 9 D. 49 10.已知，则的值是(    ) A. B. C. D. 11.如图，在中，和的角平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为(    ) A. B. C. D. 12.如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线OA和射线OB上，且，下列结论：①是等边三角形；②四边形DEOF的面积是一个定值；③当时，的周长最小；①当时，，其中正确的个数是(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 13.若，，则______. 14.已知正n边形的每个内角为，则______. 15.若是一个完全平方式，则m的值为      . 16.若实数a、b、c满足，，，则的最大值为______. 17.若关于x的方程无解，则a的值为      . 18.对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，现对82进行如下操作： ，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行      次操作后变为 三、解答题：本题共7小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题12分 计算求值： 计算； 20.本小题18分 解方程、化简： 解方程：； 计算： ①； ② 21.本小题9分 如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为，，请解答下列问题. 在图中画出关于y轴对称的； 写出各顶点的坐标； 求出的面积. 22.本小题12分 某超市用5000元购进一批新品种葡萄进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金第二次购进该品种葡萄，但第二次的进货价比试销时每千克多了元，第二次购进葡萄数量是试销时的2倍. 求试销时该品种葡萄的进货价是每千克多少元？ 求两次共购进葡萄多少千克？ 23.本小题12分 下面是小林同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务. 在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替即“换元”，这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小林同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程. 解：设 原式 任务： 小林同学因式分解的结果彻底吗？若不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______. 请你用“换元法”对多项式进行因式分解 由平方的非负性可知有最小值，请求出最小值. 24.本小题12分 已知：如图，和都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD，CE相交于点 求证：； 是等边三角形． 25.本小题15分 阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试判断AB，AD，CD之间的等量关系. 解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证≌，得到，从而把AB，AD，CD转化在一个三角形中即可判断：AB，AD，CD之间的等量关系为______； 如图②，在中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长； 如图③，CB是的中线，CD是的中线，且，判断线段CE与线段CD的数量关系，并证明 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：， 不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； B.， 不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； C.， 满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意； D.， 不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意． 故选： 根据三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行判断即可． 本题考查三角形三边关系，掌握在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：，原计算错误，不符合题意； B.，原计算错误，不符合题意； C.，原计算正确，符合题意； D.，原计算错误，不符合题意； 故选： 利用同底数幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂的乘方法则逐项判定即可． 本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3.【答案】C  【解析】解：方程， 解得：， 当时，；时，；时，；时，， 则方程的正整数解个数有4个， 故选： 方程变形后，确定出正整数解即可． 此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 4.【答案】A  【解析】解： 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了平方根，立方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键，属于基础题． 根据题意，利用平方根，立方根的定义求出a与b的值，再代入计算即可求出的值． 【解答】 解：，， ，， ，时，； ，时， 故选： 6.【答案】D  【解析】解：≌，， ， ， ， 故选： 由全等三角形的性质求得，再根据三角形外角定理可得即可求得结论． 本题主要考查了全等三角形的性质和三角形外角定理，由全等三角形的性质求得是解决问题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：将分式中x与y的值同时扩大为原来的3倍得： ， 故选： 根据分式的基本性质即可求出答案． 本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变． 8.【答案】C  【解析】解：如图： 连接AD交EF于点M， 等腰的底边BC长为6， 点D为BC边的中点， ，， 是腰AC的垂直平分线，连接CM， ， 此时的周长为：， 的长为3固定， 根据两点之间线段最短，的周长最小． ， ， ， 故选： 根据对称性和等腰三角形的性质，连接AD交EF于点M，此时周长最小，进而可求解． 本题考查了轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用线段垂直平分线的性质． 9.【答案】B  【解析】解：由题意可得：，， 则 故选： 直接利用提取公因式法分解因式，进而得出把已知代入即可． 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键． 10.【答案】C  【解析】解：， ， ， ， ， 原式 ， 故选： 将两边同时平方并展开计算可得，再将原式分子，分母同除以后代入数值计算即可． 本题考查分式的化简求值，将原式进行正确地变形是解题的关键． 11.【答案】A  【解析】解：过O点作于D点，于E点，如图， 平分，，， ， ：：AB， ，，的面积为， 故选： 过O点作于D点，于E点，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积得出：：AB，代入数据即可求解． 本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 12.【答案】D  【解析】解：①过D作交于M，交于N， ， 由条件可知， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 是等边三角形； 故此项正确； ②由①得， ， 由条件可知， 是定值， 四边形DEOF的面积是一个定值； 故此项正确； ③如图， 当时， DE的值最小， 由条件可知的周长为3DE， 的周长最小； 故此项正确； ④如图， 由条件可知， 故此项正确； 故选： ①过D作交于M，交于N，由平行线的性质得，由ASA可判定≌，由全等三角形的性质得，由等边三角形的判定方法，即可判断；②由全等三角形的性质得，点D是的平分线上的一个定点得是定值，即可判断；③由垂线段最短得当时，DE的值最小，即可判断；④由平行线的性质即可判断． 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，垂线段的性质，平行线的性质等；掌握角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，垂线段的性质是解题的关键． 13.【答案】15  【解析】解：，， 故答案为：15 由，，又由，即可求得答案． 此题考查了同底数幂的乘法的应用．注意掌握公式的逆运算是关键． 14.【答案】10  【解析】本题主要考查多边形的内角和外角，求解多边形的外角的度数是解题的关键． 根据多边形内角和外角的关系可求解正n边形的外角的度数，再根据多边形的外角和定理可直接求解边数 解：由题意得正n边形的每一个外角为， 则 故答案为： 15.【答案】13或  【解析】解： ， 是一个完全平方式， ， 解得：或， 故答案为：13或 根据完全平方公式的结构特征，列出关于m的方程，解方程即可． 本题主要考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． 16.【答案】6  【解析】解：由得， 由得， 且， ， 的最大值 故答案为： 由得，与相加得，由且，可得a的最大值为3，从而得出的最大值． 本题考查了整数问题的综合运用．关键是由已知等式得出的表达式，再求最大值． 17.【答案】1或0  【解析】解：， 方程两边同时乘以得， 整解得， 原方程无解， ①， 解得：， ②当时，整式方程无解， 或 故答案为：1或 将分式方程化为整式方程得，由分式方程有增根的条件得，将其代入整式方程即可求解． 本题考查了分式方程无解问题，理解增根满足的条件：“①增根是化简后对应整式方程的根，②使最简公分母的值为零；”是解题的关键． 18.【答案】3  【解析】解：， 对121只需进行3次操作后变为 故答案为： 由题意，先明确每次操作的规则对当前数取算术平方根相除，再取整，重复此过程直至结果为1，统计操作次数即可． 本题考查了估算无理数的大小，理解新定义，掌握估算无理数的大小方法是解题的关键． 19.【答案】；     【解析】 ； 原式 先进行乘方、去绝对值、零次幂、负指数幂运算，再进行加减运算，即可求解； 式子化为，用平方差公式进行运算，即可求解． 本题考查了实数的混合运算，平方差公式的应用；掌握，，能熟练利用进行运算是解题的关键． 20.【答案】；   ①；②  【解析】去分母得：， 解得 检验：当时，， 所以是分式方程的解；  ①  ②   去分母，将方程转化为整式方程，求解后，检验即可； ①先进行完全平方公式，单项式乘以多项式的计算，再合并同类项即可； ②先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可． 本题考查解分式方程，整式的运算，分式的混合运算，掌握以上性质是解题的关键． 21.【答案】解：关于y轴对称的，如图即为所求． 根据图象可知：点，，； 的面积为：  【解析】根据轴对称的性质作图即可； 根据图形可得出各点坐标； 利用三角形的面积公式求解即可． 本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 22.【答案】解：设试销时该品种葡萄的进货价是每千克x元，则第二次购进该品种葡萄的进货价是每千克元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则两次共购进苹果千克， 答：试销时该品种葡萄的进货价是每千克5元； 由可知，千克， 千克， 答：两次共购进葡萄3000千克．  【解析】设试销时该品种葡萄的进货价是每千克x元，则第二次购进该品种葡萄的进货价是每千克元，根据第二次购进葡萄数量是试销时的2倍，列出分式方程，解方程即可； 根据数量=总价单价，即可求出两次购进葡萄的数量． 本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据数量关系，列式计算． 23.【答案】不彻底，；   ；   4  【解析】不彻底， 设 将继续用完全平方公式进行分解可得： 原式 ； 故答案为：； 设， 原式 ； 设， 原式 ， 最小值为 将继续用完全平方公式进行分解，即可求解； 设，由同理进行因式分解，即可求解； 设，进行配方，由平方的非负性，即可求解． 本题考查了因式分解及其应用；掌握因式分解的方法是解题的关键． 24.【答案】证明：和都是等边三角形， ，，， ，， ， 在和中， ≌， ，， 即， ， ； 证明：由知，≌， 则， ，， ， 在和中， ≌， ， ， 是等边三角形．  【解析】根据等边三角形的性质和题意，可以判定≌，根据全等三角形的性质、三角形内角和可以求得的度数； 根据中的结论和等边三角形的判定可以证明是等边三角形． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 25.【答案】； 如图2，延长ED，AB交于点F， ， ， ， 是中线， ， ， ≌， ，， ， ，， 是EF的垂直平分线， ； 证明：延长CD至F，使， 由得，， ， ，， 点B为AE的中点， ， ， ， ， ， 又， ≌， ，  【解析】解：延长AE交DC的延长线于点F， ， ，， 点E是BC的中点， ， ≌， ， 是的平分线， ， ， ， 故答案为：； 如图2，延长ED，AB交于点F， ， ， ， 是中线， ， ， ≌， ，， ， ，， 是EF的垂直平分线， ； 证明：延长CD至F，使， 由得，， ， ，， 点B为AE的中点， ， ， ， ， ， 又， ≌， ， 先判断出≌，得出，得出，进而得出，，即可得出结论； 由“ASA”可证≌，则，，可求，根据线段垂直平分线的性质可得AE的长； 延长CD至F，使，利用SAS证明≌，由全等三角形的性质即可得出结论． 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，中线的定义，等腰三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $