5.3 一次函数的图像与性质（解答题）专项练习 2025--2026学年苏科版八年级数学上册

苏科版八年级数学上� 5.3一次函数的图像与性质（解答题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．已知与成正比例，且当时，． (1)写出y与x之间的函数关系式． (2)当时，求y的最大值． 2．已知一次函数． (1)若图象经过原点，求的值； (2)若随着的增大而减小，求的取值范围； (3)若，当时，求的最大值． 3．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在正比例函数的图象上，求的值； (2)若点的纵坐标比横坐标大3，求点的坐标． 4．已知（m为常数，且）是一次函数． (1)求的值； (2)若点，均在该一次函数的图象上，试比较，的大小关系，并说明理由； (3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线与轴的交点坐标． 5．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求此一次函数的表达式； (2)求此函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积． 6．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求该函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出n的取值范围： ． 7．已知一次函数． (1)在如图的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)直接写出直线与轴、轴的交点，的坐标； (3)求的面积． 8．如图，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求的值； (2)若点是直线上一点，且的面积为2，求点的坐标． 9．如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点，的坐标； (2)求的面积． 10．已知一次函数的图象如图所示： (1)求该一次函数的表达式； (2)将该一次函数的图象向下平移4个单位长度可得一个新函数，画出新函数的图象，并根据图象直接求，当时新函数y的取值范围． 11．如图所示的是一次函数的图象，与x轴，y轴分别交于A，B两点 (1)若，，用待定系数法求直线l的解析式； (2)若将直线l向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，发现图象回到l的位置，求k的值． 12．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)直接写出点关于轴的对称点的坐标：_____； (3)在轴上找一点，连接、，使得周长最小，则点的坐标为_____．（保留作图痕迹） 13．如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点． (1)点A的坐标为 ； (2)求直线的表达式； (3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度） (1)请画出关于原点对称的图形，并写出，，三点的坐标． (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的． (3)在轴上找一点，使得的值最小，请写出点的坐标． 15．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下： (1)自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中，m＝ ； (2)如图，在平面直角坐标系中，画出了该函数的图象，请根据图象回答以下问题： ①该函数图象的最低点的坐标是 ； ②当y随x的增大而减小时，x的取值范围是 ；（包括端点） ③关于x的方程的解是 ． 16．新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即． 定义理解 (1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点） (2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值； (3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版八年级数学上� 5.3一次函数的图像与性质（解答题）》参考答案 1．(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征和用待定系数法求函数的解析式等知识点，能求出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）设（为常数，），把，代入求出即可； （2）根据一次函数的增减性，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴可设（为常数，）， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：，即． （2）解：∵y与x之间的函数关系式为， ∵， ∴y随x的增大而减小， 当时，y取到最大值为：． 2．(1) (2) (3)14 【分析】本题考查了图象过原点，不等式的解法，一次函数的性质． （1）把原点坐标代入解析式解答即可． （2）根据y随着x的增大而减小，可得，进一步解答即可． （3）当时，确定，判定y随x的增大而增大，结合，当时，y取得最大值，结合解析式解答即可． 【详解】（1）解：把原点坐标代入解析式， 得， 解得． （2）解：y随着x的增大而减小， ， 解得． （3）解：当时，函数的解析式为， ， y随x的增大而增大， 当时，时，y取得最大值， 故y的最大值为． 3．(1) (2) 【分析】本题考查正比例函数图象上坐标的特征，平面直角坐标系中点的特点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据正比例函数图象上坐标的特征，将代入中，可得，即可求解； （2）根据题意列出关于的方程，解方程，即可求解 【详解】（1）解：点在正比例函数的图象上， 解得：； （2）解：点的纵坐标比横坐标大3， ， ， 将代入， ， 即：． 4．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的定义、一次函数的性质、轴对称、一次函数与x轴交点问题等知识点，熟练掌握一次函数的定义和性质是解题的关键． （1）根据一次函数的定义，x的指数必须为列绝对值方程，且结合的条件求解即可； （2）先确定函数解析式，再根据一次函数的增减性作答即可； （3）先求原函数关于y轴对称后的直线方程，再求该直线与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴，解得：或， 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴一次函数的解析式为， ∴y随x的增大而减小， ∵点，均在该一次函数的图象上且， ∴． （3）解：原函数关于y轴对称，将x替换为，可得直线l的解析式为， 令，得，解得， ∴直线l与x轴的交点坐标为． 5．(1) (2)6 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式以及一次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求出函数的解析式； （2）先求解函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】（1）一次函数的图象经过点及点， 把两点的坐标分别代入，得， 解得：， 即一次函数的表达式是； （2）如图， 当时，， ， 即， 因为， 所以， 故此函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是． 6．(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出不等式的解集，再根据题意可得满足不等式，可得n的取值范围；求出的取值范围，再根据题意可得满足不等式，可得n的取值范围，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点和， ∴， ∴， ∴该函数的解析式为； （2）解：当函数的值小于函数的值时，则， ∴， 又∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴， ∴； ∵函数的值大于0，即， ∴， 又∵当时，对于x的每一个值，函数的值都大于0， ∴， ∴， 综上所述，． 故答案为：． 7．(1)见解析 (2) (3)4 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，画一次函数的图象，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，画出函数图象即可； （2）将和分别代入计算即可； （3）结合，两点的面积进行计算即可． 【详解】（1）解：函数的图象，如图所示， ； （2）解：当时，，解得， ∴点坐标为； 当时，， ∴点坐标为； （3）解：∵，， ∴． 8．(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入计算，求出的值即可； （2）先求出点的坐标，再结合的面积为2，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得 （2）由（1）知，直线的函数表达式为 将代入，得，所以点的坐标为， 设点的坐标为 的面积为2， ，解得， ①将代入，得， 所以点的坐标为； ②将代入，得， 所以点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 9．(1)点的坐标为，点的坐标为 (2) 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． （1）根据、两点分别在、轴上，令求出的值；再令求出的值即可得出结论； （2）直接根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得，对于直线， 当时，，解得，则点的坐标为， 当时，，则点的坐标为． （2）点的坐标为，点的坐标为， ，． ． 10．(1) (2)见解析， 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答． （1）根据一次函数（k，b是常数，）的图象过，两点，运用待定系数法可以求得该函数的表达式； （2）根据一次函数的平移解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数（k，b是常数，）的图象过，两点， ∴， 解得， 即该一次函数的表达式是； （2）解：把向下平移4个单位后可得：， 图象如图： 当时，；当时，， 所以，当时新函数y的取值范围为． 11．(1) (2)2 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换及一次函数图象与系数的关系，掌握平移规律是解题的关键． （1）把，代入解析式解答即可． （2）根据平移规律列出关于k的方程，求出k的值即可． 【详解】（1）解：把，代入解析式得， ， 解得， ∴； （2）解：将直线l先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到的直线解析式为． 所以， 解得． 12．(1)图见解析 (2) (3)，图见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题和一次函数的应用，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点A，B，C关于y轴的对称点，，，再顺次连接即可； （2）由（1）即可解答； （3）连接交y轴于点P，则点P即为所求，再设的解析式为，将点和点C代入求出解析式，进而即可得到点P坐标． 【详解】（1）解：，，关于y轴对称对应点分别为，，， 连接如下图所示： （2）解：由（1）可知， 故答案为：； （3）解：如图，∵点A和点关于y轴对称， ∴连接交y轴于点P，则点P即为所求： 由对称可知，， ∴的周长为， ∵两点之间线段最短， ∴当点P为与y轴的交点时，的周长最小， 设的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴此时点P的坐标为． 故答案为：． 13．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与面积的综合问题，用待定系数法求一次函数的解析式，求一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握一次函数与面积的综合问题是解题的关键． （1）令，得到方程，求解方程即得答案； （2）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （3）设点，当点P在射线上时，根据，得到，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案；当点P在射线上时，可得，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为． 故答案为：． （2）解：设直线的表达式为， 将，的坐标代入，得， 解得， 直线的表达式为； （3）解：设点， 当点P在射线上时，即点在处， ， ， ， 解得， ， 解得， ； 当点P在射线上时，即点在处， ， ， ， 解得， ， 解得， ； 综上所述，存在动点P，使得的面积等于面积的倍，点P的坐标为或． 14．(1)作图见解析，，， (2)作图见解析 (3)作图见解析， 【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接，再结合直角坐标系写出，，三点的坐标即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点． 【详解】（1）解：如图所示，即为所作，且，，； （2）如图所示，即为所求． （3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴， 此时， ∴此时的值最小，最小值为的长，则点即为所作； ∵，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，得：， ∴． 【点睛】本题考查轴对称性质，作中心对称图形，作旋转图形，待定系数法确定函数解析式等知识点，掌握中心对称图形、旋转图形及轴对称的性质是解题的关键． 15．(1)3 (2)①；②；③， 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入函数计算求解即可； （2）①由图象可知，当时，是函数图象的最低点，令代入计算求解即可； ②函数可以改写成，当y随x的增大而减小时，满足函数解析式，则x的取值范围是； ③根据题意得，令或，解方程即可． 【详解】（1）解：令，则，即 故答案为：； （2）①解：在平面直角坐标系中，函数的图象为两段直线组成， 由图象可知，令，则 因此，该函数图象的最低点的坐标是 故答案为：； ②根据题意得， 观察图象可知，当y随x的增大而减小时，满足函数解析式， 则x的取值范围是， 故答案为：； ③根据题意得，， 则或 解得或 故答案为：，． 16．(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握求一次函数与坐标轴交点的方法以及讨论等腰三角形的存在性． （1）求出点A和点B的坐标，即可解答； （2）求出点C和点D的坐标，根据，列出方程，即可解答； （3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：当点Q在y轴上时，分3种情况进行讨论，结合“L路径”的定义，即可解答． 【详解】（1）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ； （2）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ， ， 解得：； （3）， 、， 根据勾股定理可得：， 点Q在y轴上，共分为三种情况： 第一种情况，当时， 或， 点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符合题意， 即只有符合题意； 第二种情况，当时， ， ， ； 第三种情况，当时， 设， ， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：， ； 综上所述，存在，点的坐标为或或． 17．(1) (2)12 (3)的坐标为或． 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）解：由直线可知：令，则， ∴； （2）解：， ∴点与轴的距离是4， ∵， 的面积； （3）解：存在； ∵直线， ∴，， ， ， ， 当点在延长线上时设， ，   ， ， 的横坐标为或10(舍去）， 代入直线得，， 的坐标为， 当点在线段延长线上时，设， ， ， ， 的横坐标为（舍去）或2， 代入直线得，， 的坐标为． 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $