精品解析：四川省内江市内江市第三中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题

2025-2026学年高二上学期期中数学试题 （试卷共150分，限时120分钟） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若平面平面，直线，则直线与平面的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 在内 D. 无法判定 2. 已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点关于平面对称的点是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是不同的直线，，，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 平行六面体中，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知三棱锥中，两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为 A. B. C. D. 6. 如图所示为一个平面图形采用斜二测画法得到的直观图，其直观图是一个边长为2的菱形，则该平面图形的面积为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 7. 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球）.则蛋黄的半径的最大值为（ ）. A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分，少选按比例得分，错选不得分） 9. 设有下列四个命题正确的是（ ） A. 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B. 过空间中任意三点有且仅有一个平面 C. 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 D. 若直线平行平面，则平面内有无数条直线与平行 10. 已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 如图甲，在中，，为的中点，为上一点，且满足，将沿翻折得到直二面角，连接是的中点，连接（如图乙所示），则下列结论正确的是（ ） A. B. ∥平面 C. 与平面所成角的正切值是 D. 三棱锥的体积为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数的值是____. 13. 若一个圆锥的底面直径和高都与一个球的半径相等，那么这个圆锥的体积与球的体积之比为_____. 14. 如图，在直三棱柱中，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的最大值为_____. 四、解答题（第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分） 15. 如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，，． （1）求圆锥的表面积； （2）经过圆锥的高PO的中点作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积． 16. 如图，在平行六面体中，，， （1）求的长度； （2）求与所成角的余弦值. 17. 如图，在三棱锥中，，底面ABC （1）证明：平面平面PAC （2）若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 18. 如图，四边形是矩形，平面，平面，，，点在棱上. （1）求证：平面； （2）若点到平面的距离为，求线段的长. 19. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期中数学试题 （试卷共150分，限时120分钟） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若平面平面，直线，则直线与平面的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 在内 D. 无法判定 【答案】B 【解析】 【分析】由面面平行可直接得到结果. 【详解】由面面平行的性质可知：当平面平面，直线时，. 故选：B. 2. 已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点关于平面对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点关于平面对称的点应该满足不变，变为相反数确定即可 【详解】空间直角坐标系中，点关于平面对称的点应该满足不变，变为相反数， 故点关于平面对称的点是. 故选：D 3. 已知，是不同的直线，，，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，逐一核对四个选项得答案． 【详解】对于A，若，，则可以平行、相交、异面,故A错误； 对于B，若，，和可以相交，也可以平行，故B错误； 对于C，若，，则或，故C错误； 对D，若，设与的交线为m，与的交线为n， 在平面内取，在平面内取，与l不重合， 由面面垂直的性质可得，所以， 又，所以，由线面平行的性质定理得， 所以有，故D正确.    故选：D. 4. 平行六面体中，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，根据结合向量的坐标运算可求得点的坐标. 【详解】，设，则， 所以，解得，故. 故选：A. 5. 已知三棱锥中，两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将三棱锥扩展为正方体，体对角线为直径，根据表面积公式得到答案. 【详解】三棱锥中，两两垂直，则 答案为D 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，把三棱锥扩展为长方体是解题的关键. 6. 如图所示为一个平面图形采用斜二测画法得到的直观图，其直观图是一个边长为2的菱形，则该平面图形的面积为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用斜二测画法的规则，得到原平面图形，结合长方形的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，根据斜二测画法的规则，可得直观图中的菱形对应长方形， 且长方形的底边，高，面积为. 故选：C 7. 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据几何关系可知异面直线与所成角为或其补角，然后利用余弦定理求解出结果. 【详解】连接， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，所以异面直线与所成角为或其补角， 又因为且四棱柱为底面是正方形的直四棱柱， 所以， 所以， 故选：A. 8. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球）.则蛋黄的半径的最大值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三棱锥放入长方体中，三棱锥的各边为长方体的面对角线，计算出三棱锥的体积与表面积，结合等体积法可求出其内切球的半径. 【详解】如图所示，对折叠之前的平面图形中各点进行标记，同时将折叠后的几何体置于长方体中. 设长方体的长宽高分别为、、， 则，解得， 四面体体积为， 在中，，同理可得， 由余弦定理可得， 所以， 所以， 四面体的表面积为, 设内切球半径，则，所以， 所以蛋黄半径的最大值为. 故选：B. 二、多选题（每小题6分，共18分，少选按比例得分，错选不得分） 9. 设有下列四个命题正确的是（ ） A. 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B. 过空间中任意三点有且仅有一个平面 C. 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 D. 若直线平行平面，则平面内有无数条直线与平行 【答案】AD 【解析】 【分析】根据平面的有关知识，线线平行、线面平行的有关知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A选项，两两相交且不过同一点的三条直线，共有个不在一条直线上的个交点，确定一个平面，A选项正确. B选项，空间中任意三点，若三点共线，则过空间中的这三点有无数个平面，B选项错误. C选项，空间两条直线不相交，可能异面，C选项错误. D选项，直线平行平面，则过直线l的平面与平面的交线都与平行，而这样的交线有无数条，所以D选项正确. 故选：AD 10. 已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用空间向量垂直的坐标表示即可判断；对于B，利用空间向量平行的性质即可判断；对于C，根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算，从而得以判断；对于D，利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可判断. 【详解】A选项：当时，；故A正确 B选项：当时，；故B 错误； C选项：当时，，；故C正确； D选项：当时，； 故D正确； 故选：ACD. 11. 如图甲，在中，，为的中点，为上一点，且满足，将沿翻折得到直二面角，连接是的中点，连接（如图乙所示），则下列结论正确的是（ ） A. B. ∥平面 C. 与平面所成角的正切值是 D. 三棱锥的体积为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据垂直关系可知平面，进而可求与平面所成角，即可判断C；根据面面垂直的性质可证平面，结合体积公式判断D；对于B：假设∥平面，可证平面∥平面，结合面面平行的性质分析判断；对于A：根据垂直关系求，利用勾股定理分析判断. 【详解】对于图甲，取的中点，连接， 因为， 则， 可知，即与不垂直， 由，可知，且与不平行， 对于图乙：可得，且，平面， 所以平面， 对于选项C：可知与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正切值是，故C正确； 因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 且是 的中点，可知三棱锥的高为， 所以三棱锥的体积为，故D正确； 对于选项B：在图乙中，连接， 因为分别为的中点，则∥， 且平面，平面，所以∥平面， 假设∥平面，则，平面， 可得平面∥平面， 又因为平面平面，平面平面， 可得∥，这与与不平行相矛盾， 即假设不成立，所以与平面不平行，故B错误； 对于选项A：因为平面，平面，则， 可得，则， 所以不相互垂直，故A错误； 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：对于选项B：直接说明线面平行不成立比较困难，可以假设成立，利用平行关系推出矛盾，即可说明结论. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数的值是____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用线面平行的向量性质，将几何问题转化为向量的数量积运算问题，通过解方程求解实数即可. 【详解】因为直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 当，可得，所以， 即，所以，解得. 故答案为：. 13. 若一个圆锥的底面直径和高都与一个球的半径相等，那么这个圆锥的体积与球的体积之比为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥及球的体积公式计算求解. 【详解】设圆锥底面圆的半径为， ，，. 故答案为： 14. 如图，在直三棱柱中，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用平面求出点坐标，再利用模长公式结合函数的性质即可求出. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设，，， 由题意得，，，， ，，， 平面， ，解得，， ，，，， 线段的长的最大值为：. 故答案为：. 四、解答题（第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分） 15. 如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，，． （1）求圆锥的表面积； （2）经过圆锥的高PO的中点作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，该圆锥的底面半径，母线，从而可求出锥的表面积， （2）先求出大圆锥的高，从而可求出小圆锥的高，进而可得圆台的体积等于大圆锥的体积减去小圆锥的体积 【详解】解：（1）由题意可知，该圆锥的底面半径，母线． ∴该圆锥的表面积． （2）在中，， ∵是PO的中点，∴． ∴小圆锥的高，小圆锥的底面半径， ∴截得的圆台的体积． 16. 如图，在平行六面体中，，， （1）求的长度； （2）求与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算可得，由向量数量积的定义和运算律可求得的长度； （2）可知，由数量积的运算律结合向量的夹角公式求异面直线夹角. 【小问1详解】 因，， 则， . 【小问2详解】 设与所成角为，则， 所以与所成角的余弦值为. 17. 如图，在三棱锥中，，底面ABC （1）证明：平面平面PAC （2）若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 【答案】（1） 因为， 所以，又底面ABC， 所以，又， 所以平面PAC， 因为平面PBC， 所以平面平面PAC； （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，再根据底面ABC，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明； （2）作，连接OM，由平面平面PAC，得到平面PBC， 则即为AM与平面PBC所成的角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示： 作，连接OM， 因为平面平面PAC，平面平面PAC=PC， 所以平面PBC， 则即为AM与平面PBC所成的角， 设，则， 所以，又， 所以， 所以AM与平面PBC所成角的正切值为. 18. 如图，四边形是矩形，平面，平面，，，点在棱上. （1）求证：平面； （2）若点到平面的距离为，求线段的长. 【答案】（1） 在矩形中，， ∵平面，平面，∴AB//平面. ∵平面，平面，∴， ∵平面，平面CDE，∴平面CDE. 又∵平面，平面PAB，， ∴平面平面CDE， ∵平面PAB，∴平面CDE； （2） 【解析】 【分析】（1）根据几何性质可得，从而得AB//平面，由线面垂直可得，从而得平面CDE，由面面平行判定定理得平面平面CDE，面面平行即可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，，利用点到平面的距离为求解线段的长即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD， ∴，又∵ABCD是矩形，， 所以AD、AB、AP两两垂直，以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则、、， 所以，， 设平面PCE的一个法向量为，则， 取，可得， 设，则，，所以， 因为点F到平面PCE的距离， 因为，解得，故. 19. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得； （2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $