精品解析：新疆乌鲁木齐新潮学校2025-2026学年高二上学期期中数学试题

2025-2026学年度第一学期高二年级 期中考试·数学问卷 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 若向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得的坐标，然后根据空间向量模的坐标运算求得结果. 【详解】由于向量，，所以， 所以， 故选：D. 2. 过点（-1，2）且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线垂直的性质，可得可设与直线垂直的直线方程为：，代入点，可得的值，可得直线方程. 【详解】解：设与直线垂直的直线方程为：， 代入点，可得， 故可得直线方程为：， 故选：D. 【点睛】本题主要考查相互垂直的直线的性质，灵活运用其性质是解题的关键. 3. 若方程表示椭圆，则的值可以为（   ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆方程的特征列出不等式组求出的范围即可. 【详解】由方程表示椭圆，得，解得或， 所以的值可以为3. 故选：B 4. 若直线与直线相互平行，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线平行的条件即得. 【详解】两条直线平行，所以， 可得. 故选：C 5. 圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（　 　） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系即可. 【详解】圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为，半径 圆心到直线2x+y+1＝0的距离 由，可得圆与直线的位置关系为相交. 故选：C 6. 已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，应用向量法求点到平面的距离即可. 【详解】由题意得，所以点到平面的距离. 故选：B 7. 若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A. ±2 B. C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由直线和圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 又因为截得弦长为， 所以， 化简得，解得. 故选：A. 8. 已知圆，圆，则这两个圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的方程表示出圆心与半径，求得圆心距以及半径的和差，并进行比较，可得答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的方程可化为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距， 因为，，， 所以两个圆的位置关系是相交，公切线共有2条. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为 D. 两个不同的平面的法向量分别是，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用向量共线即可判断；对于B，利用向量垂直判断直线与平面的两种位置关系排除；对于C和D，利用空间向量夹角的坐标公式计算结果即可判断. 【详解】对于A，由，可得， 又是两条不重合直线，故，即A正确； 对于B，因，可得，即或，故B错误； 对于C，设直线与平面所成角为，则， 因，故有，故C错误； 对于D，由，可得， 则，故，即D正确. 故选：AD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 方程表示圆 C. 圆与圆公共弦所在直线的方程为 D. 圆上有且只有三点到直线的距离等于2 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：依题意可得，令，解得即可求出直线过定点坐标，对于B，将方程化为，再分、、三种情况讨论，对于C，根据相交弦直线方程的方法求解即可；对于D，求出圆心到直线的距离，结合圆的半径，即可判断． 【详解】解：对于A：直线，即， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B：方程，即， 当，即时方程表示圆， 当，即时方程表示点， 当，即时方程不表示任何图形，故B错误； 对于C：圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 又，即，所以两圆相交， 相交弦直线方程为， 整理得：，故C正确； 对于D：圆心到直线的距离， 又圆的半径，所以圆上有且只有三点到直线的距离等于，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点使 B. 的周长为16 C. 的最大面积为12 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由可得点的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点的轨迹与椭圆没有交点，由此得以判断；对于B，利用椭圆的定义可得的周长，由此判断即可；对于C，根据椭圆的几何性质，当为椭圆短轴顶点时，可得的面积最大，从而得以判断；对于D，利用椭圆的定义，结合三角形边长的不等式可得，从而得以判断. 【详解】由，得. 对于A：假设存在点使得，则， 所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则， 因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即， 由可知，圆与椭圆有交点， 所以假设成立，即存在点使得，故A正确； 对于B：的周长为，故B错误； 对于C：当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大， 所以，故C正确； 对于D： ，又，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若直线与平行，则与的距离为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再计算两平行线间的距离. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得，所以，又， 所以与的距离. 故答案为： 13. 过点作圆：的切线，则切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】易得点在圆上，则切线必垂直于切点与圆心连线，进而求解即可. 【详解】因为，所以点在圆上， 故切线必垂直于切点与圆心的连线， 由，则圆心为， 则切点与圆心连线的斜率为，即切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 14. 设椭圆的焦距为，且，则该椭圆的离心率 _____. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意得出，等式两边同时除以，可得出关于的方程，结合可求出的值. 【详解】因为椭圆的焦距为，且，即， 等式同时除以可得，即， 因为，解得. 故答案为： 四、解答题 15. 已知． （1）若，求实数k的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知向量垂直有，应用空间向量数量积的坐标表示列方程，求的值. （2）由题设得，应用空间向量夹角的坐标表示求即可 【小问1详解】 ， ， 由，即， ∴，解得:； 【小问2详解】 由已知得：，， . 16. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解. 【小问1详解】 由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； 【小问2详解】 联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 17. 已知三点，记的外接圆为圆. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程为，将三点代入得到方程组，求出，即可得到圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理求出弦长，即可求出的面积. 【小问1详解】 设圆的一般方程为， 将三点代入上式可得，， 解得， 所以圆的一般方程为 将其化为标准方程为； 【小问2详解】 由（1）可知，圆心，半径. 则圆心到直线的距离为， 所以， 故的面积为. 18. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）只需证明，然后结合线面平行的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，由公式即可求解； （3）容易知道是平面的一个法向量，由公式结合二面角是钝角即可求解. 【小问1详解】 连接，设，连接. 因为在三棱柱中，四边形是平行四边形， 所以为的中点. 因为为的中点， 所以. 又因为平面，平面，所以平面. 小问2详解】 因为，，平面， 所以平面，平面，所以. 又，所以，，两两相互垂直. 如图建立空间直角坐标系. 则，，，，. 所以，. 设平面的法向量为，则即 令，则，.于是. 因 所以. 直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 因平面， 所以是平面的一个法向量. 所以. 由题设，二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 19. 已知椭圆的右顶点为，上顶点为B，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率k不为0的直线l，直线l交椭圆E于C、D两点（点C、D与点B不重合），设直线BC、BD的斜率分别为，若，求的值. 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）由题意列方程求解，即可求得答案； （2）设直线l方程为，联立椭圆方程，即可表示出的坐标，求出B点坐标，即可得的表达式，化简即可推出结论. 【小问1详解】 由为椭圆的右顶点，离心率为， 可得，解得，所以， 故椭圆方程为； 【小问2详解】 直线l的斜率存在不为0，设， 设方程为，联立，则， 即，则，， 因为 ，故， 故 ， 由于，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高二年级 期中考试·数学问卷 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1 若向量，，则（ ） A B. C. D. 2. 过点（-1，2）且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若方程表示椭圆，则的值可以为（   ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 10 4. 若直线与直线相互平行，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（　 　） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 以上都有可能 6. 已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A. ±2 B. C. 2 D. 2 8. 已知圆，圆，则这两个圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为 D. 两个不同的平面的法向量分别是，，则 10. 下列说法正确有（ ） A. 直线恒过定点 B. 方程表示圆 C. 圆与圆公共弦所在直线的方程为 D. 圆上有且只有三点到直线的距离等于2 11. 已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点使 B. 的周长为16 C. 的最大面积为12 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若直线与平行，则与的距离为_____. 13. 过点作圆：的切线，则切线方程为______． 14. 设椭圆的焦距为，且，则该椭圆的离心率 _____. 四、解答题 15. 已知． （1）若，求实数k的值； （2）若，求值． 16. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 17. 已知三点，记的外接圆为圆. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于两点，求面积. 18. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值. 19. 已知椭圆的右顶点为，上顶点为B，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率k不为0的直线l，直线l交椭圆E于C、D两点（点C、D与点B不重合），设直线BC、BD的斜率分别为，若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $