专题08 二次函数14考点（期末真题汇编，陕西专用）九年级数学上学期北师大版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08二次函数 ☆14大高频考点概览 考点01二次函数的概念 考点02二次函数的性质 考点03二次函数的平移 考点04二次函数图像与系数的关系 考点05二次函数和一次函数、反比例函数的的综合判断 考点06二次函数与方程和不等式 考点07二次函数与解析式和线段最值 考点08二次函数与面积问题 考点09特殊三角形和特殊四边形存在性问题 考点10二次函数实际问题-销售问题 考点11二次函数实际问题-图形狗题 考点12二次函数实际问题-拱桥问题 考点13二次函数实际问题-投球问题 考点14二次函数实际问题-喷水问题 目目 考点01 二次函数的概念 1.(24-25九上陕西西安碑林区期末)若关于x的函数y=(m+2)x-2+x-3是二次函数，则m的值为() A.0 B.2 C.-2或2 D.-2 2.(23-24九上陕西咸阳礼泉县期末)若y关于x的函数y=3xm-1-x+1是二次函数，则m的值为() A.2 B.3 C.0 D.-1 3.(23-24九上陕西榆林定边县期末)下列函数中，是二次函数的是() A.y=2x+3B.y=-3x C.y=x2-2x+1 D.y=3 x / 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 二次函数的性质 1.(24-25九上陕西西安临潼区期末)二次函数y=-(x-12+1的图象顶点坐标是() A.（-1,1 B.(1,-1) C.(1,1) D.（-1,-1 2.(23-24九上陕西延安富县期末)已知抛物线y=-(x-1)+3,若点(0，y),(1,y2),(3,)都在该抛 物线上，则片，2，⅓的大小关系是（) A.y2<y<y3 B.y3<y2<y C.<y2<y3 D.3<y<y2 3.(24-25九上陕西西安碑林区·期末)已知顶点为(-3，-6)的抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1，-4)，有下列结 论：①6a-b=0;②若点M(-2,m)与点W(-5,n)为抛物线上的两点，则m>n;③ax2+bx+c≥-6；④关 于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根分别为-5和-1.其中正确结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(24-25九上陕西延安延长县期末)如表中列出的是一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几 组对应值： 2 0 4 6 下列各选项中，正确的是() A.这个函数的图象开口向下 B.当x>1,y的值随x值的增大而增大 C.这个函数的最小值是3 D.一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根 5.(24-25九上陕西西安蓝田县期末)二次函数y=-x2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表所示， 根据表中的数据可知，下列说法中正确的是() -2 -1 1 2 0 6 A.这个函数的图象与x轴没有交点 B.这个函数的图象与y轴的交点坐标为(0，-2) 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 C.这个函数的最大值为 5 D.当x<2时，y的值随值的增大而减小 6.(24-25九上陕西榆林榆阳区·期末)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示，下列结论错误的是() AY (1,2) A.abc<0 B.a+c<b C.2a+b>0 D.b2+8a>4ac 7.(24-25九上陕西西安临潼区期末)已知二次函数y=ax2+2(a+1)x+a+2,当x=1时，y<0,则该二次 函数图象的顶点位于() A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 8.(24-25九上·陕西咸阳乾县吴店九年制学校期末)抛物线y=ax2+bx+ca≠0)上部分点的坐标如下表： -3 -2 -1 0 -3 -2 -3 -6 -11 下列说法错误的是() A.对称轴是直线x=-2 B.当x>-1时，y随x的增大而减小 C.当x=-5时，y=-6 D.抛物线开口向下 9.(24-25九上陕西咸阳·期末)已知抛物线C如图所示，它与x轴的一个交点为-1,0)，其对称轴为直线 x=1,将抛物线C向右平移2个单位长度后得到抛物线C2:y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)， 下列结论：①6a-b=0;②abc>0;③9a+3b+c>0;④b2-4ac>0.其中正确的结论有()· 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.(24-25九上陕西咸阳期末)0.将二次函数y=x2-4x-7化为顶点式，下列结果正确的是(). A.y=(x-22-11 B.y=(x-42-11 C.y=(x+2)2-11 D.y=（x+4)2-11 11.(24-25九上陕西西安交通大学附属中学期末)1.己知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a<0) 的顶点为（①，3），小颖同学得出以下结论，其中一定正确的是() A.abe<0 B.当x>1时，y随x的增大而增大 C.若ar2+br+c=0的-个根为3，则a=-3 4 D.抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到 的 12.(24-25九上·陕西咸阳渭城区第二初级中学期末)2.二次函数y=-x2+5图象的顶点坐标是() A.（-1,5 B.(1,5 C.(0,5 D.(0,-5 13.(24-25九上陕西西安碑林区·期末)已知抛物线y=ax2-2ax+b,（a<0)的图象上三个点的坐标分别 为Ax,乃)，B(1,y2),C(x3,),若x<1<x3,x+x3<2,则，，的大小关系为() A.y2>y1>y3B.y1>3>y2 C.2>3>y D.y3>y2> 14.(2425九上陕西渭南韩城期末)4.在平面直角坐标系中，将抛物线y=(x+1)2+3向右平移2个单位长 度，再向下平移1个单位长度得到新抛物线，下列关于这两条抛物线的描述正确的是() A.对称轴相同 B.顶点的横坐标相同 C.顶点的纵坐标相同 D.开口方向相同 15.(2425九上·陕西西安临潼区部分学校期末)5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的自变量x与函数值y 的部分对应值如下表： 0 16 0 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 则下列关于这个二次函数的结论正确的是() A.图象的开口向下 B.图象的对称轴为直线x=1 C.当x>2时，y随x的增大而增大 D.若点(-1.5，)，(6，y2)都在抛物线上，则y>y2 16.(24-25九上·陕西延安志丹县期末)二次函数y=-x2-2x+m的部分图象如图所示，若图象过点(-3,0)， 对称轴为直线x=-1,则关于x的一元二次方程-x2-2x+m=0的一个正根为一· 17.(2425九上陕西安康旬阳县期末)若方程ax2+bx+c=0的两个根是-5和3，则二次函数y=ax2+bx+c 的图象的对称轴是直线， 17.(23-24九上·陕西延安富县期末)若点(m,n)在二次函数y=-x2+1的图象上，则m+n的最大值 为」 18.(24-25九上陕西延安志丹县期末)8.二次函数y=-x2-2x+m的部分图象如图所示，若图象过点 (-3,0),对称轴为直线x=-1,则关于x的一元二次方程-x2-2x+m=0的一个正根为 19.(24-25九上陕西安康旬阳县期末)9.若方程ax2+bx+c=0的两个根是-5和3，则二次函数 y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线一， 20.(23-24九上陕西延安富县·期末)0.若点(m,n)在二次函数y=-x2+1的图象上，则m+n的最大值 为 / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21.(24-25九上·陕西榆林子洲县·期末)已知抛物线y=ax2+4x+2(a为常数，且a≠0)的图象经过点 A3-4)· (1)求a的值； (2)求此抛物线的对称轴： (3)当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？（直接写出答案) 22.(24-25九上陕西西安碑林区期末)如图，抛物线y=-x2+mx+3经过点M(-1,3). M (1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)当-3≤x≤0时，y的取值范围是 23.(24-25九上陕西延安延长县期末)如图，二次函数y=ax2+bx+12的图象与x轴交于点A,B(点B在 点A右侧)，A点坐标为(-6,0)，对称轴为直线x=-2,顶点为C,连接AC,BC. (1)求点B,C的坐标； (2)求ABC的面积. 目目 考点03 二次函数的平移 1.(24-25九上·陕西西安高陵四中教育集团期末)将抛物线y=x2-2向左平移2个单位长度，再向上平移3 个单位长度，所得抛物线的解析式为() A.y=(x+3)2-2 B.y=(x+22+1 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 C.y=(x+2)2-5 D.y=(x-2)2-5 2.(24-25九上·陕西汉中勉县期末)把抛物线y=4x2向下平移3个单位长度，所得到的新抛物线的表达式 为一 3.(24-25九上陕西延安延长县·期末)函数y=7x2-14x-105与x轴的交点如图所示，则方程 7x2-14x-105=0的实数根x=一，x3=一 -3 4.(22-23九上陕西西安雁塔区曲江一中期末)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分x,y对应值如表： -3 0 2 若n>0,下列正确的有 (填序号即可)· ①ac<0;②-a+c>1;③n<16a;④n=10时，(ax-1)x+b+c=1-xb-1的解为x=-1,x,=4. b 5.23-24九上陕西成阳杨陵区部分学校期未利如图，抛物线)-4Cx+2+2的顶点为P,与)轴交于点4，若 平移该抛物线，平移后的抛物线的顶点为(L,-),此时抛物线与y轴交于点A,则AA'=一 6.(24-25九上·陕西汉中勉县·期末)把抛物线y=4x2向下平移3个单位长度，所得到的新抛物线的表达式 为一 51.(2425九上陕西安康旬阳县期末)已知二次函数y=ax2-4x的图象经过点(-1,6). (1)求a的值和该二次函数图象的顶点坐标. / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若将该二次函数的图象向右平移2个单位长度，求新抛物线与y轴交点的坐标. 7.(24-25九上陕西榆林子洲县·期末)己知抛物线C的顶点坐标为(-2,0)，且过点(1，-3)，将抛物线C向下 平移3个单位得到抛物线CG.求抛物线C的表达式. 8.(24-25九上·陕西延安延长县期末)已知二次函数y=2x2-4x+5,若将该二次函数图象向上平移m个单 位长度(m>0),平移后的抛物线经过点P(3,15),求m的值 9.(24-25九上陕西西安交通大学附属中学·期末)己知抛物线L:y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A-2,0) ,点B(4,0),与y轴交于点C(0,4). 5 3 2 1 方4321012345元 2 3 -5 (1)求拋物线L的表达式； (②)若点P是直线y=x+2上第一象限内的一个动点，将抛物线L进行平移得到拋物线L',点B的对应点为 点Q,是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在， 请说明理由， 目目 考点04 二次函数根与系数的关系 1.(24-25九上·陕西咸阳杨陵区·期末)如图为一次函数y=ax+b的图象，则二次函数y=ax2+bx在平面直角 坐标系中的图象大致为() 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 D 2.(24-25九上陕西西安阎良区·期末)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的部分图象如 图所示，图象过点(-1,0)，对称轴为直线x=2.下列结论：①abc>0;②9a+c>3b;③4a+b=0;④图 象过点(5,0)，其中正确的结论有() 21 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(24-25九上陕西安康期末)若点M(-2,y),N(-1,y2,P(5,)在抛物线y=x2-2x+c上，则y,, ⅓的大小关系是() A.y<y2<y3 B.y<y3<y2 C.y3<y<y2 D.y2<y<y3 4.(24-25九上陕西安康旬阳部分学校期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的图 象如图所示，有下列4个结论：①abc>0;②a+2b=0;③a-b+c<0;④a+b≥m(am+b).其中正确的 结论有() c=1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(23-24九上·陕西渭南潼关县·期末)二次函数y=ax2-2ax+1a≠0)的图象可能是() D 6.(23-24九上陕西榆林定边县·期末)已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，对称轴为直线x=1, 有下列结论： ①4a-2b+c<0;②a+c>0;③2a+b+c>0;④当-1<x<2时，y随x的增大而增大.其中正确的有() A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 7.(23-24九上河南周口西华县期末)抛物线y=ax+b.x+ca≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点 坐标为4,0)，抛物线的对称轴是直线x=1.下列结论： ①abc>0；②2a+b=0;③4a-2b+e=0; ④方程ax+bx+c=2有两个不相等的实数根； ⑤若点Am,n在该抛物线上，则am☐+bm+c≤a+b+c.其中正确的个数有() y个x=1 3 2 1 01 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 / 专题08 二次函数 14大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数的性质 考点03 二次函数的平移 考点04 二次函数图像与系数的关系 考点05 二次函数和一次函数、反比例函数的的综合判断 考点06 二次函数与方程和不等式 考点07 二次函数与解析式和线段最值 考点08 二次函数与面积问题 考点09 特殊三角形和特殊四边形存在性问题 考点10 二次函数实际问题-销售问题 考点11 二次函数实际问题-图形问题 考点12 二次函数实际问题-拱桥问题 考点13 二次函数实际问题-投球问题 考点14 二次函数实际问题-喷水问题 地 城 考点01 二次函数的概念 1．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，求出即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， 且， 解得：， 故选：B． 2．(23-24九上·陕西咸阳礼泉县·期末)若y关于x的函数是二次函数，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如是常数，的函数，叫做二次函数． 根据二次函数定义可得，再求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 3．(23-24九上·陕西榆林定边县·期末)下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐个判断即可，熟记二次函数的定义是解本题的关键． 【详解】A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．函数是正比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； C．函数是二次函数，故本选项符合题意； D．函数是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 地 城 考点02 二次函数的性质 1．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)二次函数的图象顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据二次函数，其顶点坐标为，即可获得答案． 【详解】解：对于二次函数， 其顶点坐标是． 故选：C． 2．(23-24九上·陕西延安富县·期末)已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线解析式得出抛物线开口向下，对称轴为直线，再根据点距离抛物线越远，函数值越小，即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：， ，抛物线开口向下，对称轴为直线， ，，，， ， 故选：D． 3．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)已知顶点为的抛物线经过点，有下列结论：①；②若点与点为抛物线上的两点，则；③；④关于的一元二次方程的两根分别为和．其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与一元二次方程的关系，解题的关键是明确题意，熟练掌握二次函数的性质． 由抛物线的顶点为，代入得，即可判断①；确定抛物线开口向上，则当，随着的增大而减小，可得点的对称点也在抛物线上，由增减性判断②；顶点为的抛物线，开口向上，则，即可判断③；由于抛物线经过点，对称轴为直线，则也经过，故关于的一元二次方程的两根分别为和，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的顶点为，且经过点， ∴抛物线开口向上， ∴当，随着的增大而减小， ∵点， ∴由对称性得也在抛物线上， ∵，都在对称轴左侧， ∴，故②错误； ∵顶点为的抛物线，开口向上， ∴，故③正确； ∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴也经过， ∴关于的一元二次方程的两根分别为和，故④正确， 故选：C． 4．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 4 … y … 18 6 3 6 … 下列各选项中，正确的是（   ） A．这个函数的图象开口向下 B．当，y的值随x值的增大而增大 C．这个函数的最小值是3 D．一元二次方程没有实数根 【答案】D 【分析】将，，代入，得，解方程组即可求出、、的值，进而得出二次函数解析式，然后由二次函数的图象与系数的关系即可判断选项；由的图象与性质即可判断选项；把化成顶点式，然后求其最值，即可判断选项；对于一元二次方程，先求出，然后根据一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系即可判断选项；综上，即可得出答案． 【详解】解：将，，代入，得： ，解得：， ， ， 该函数图象开口向上，故选项错误； 该抛物线的对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大，故选项错误； ， 该函数的最小值是，故选项错误； 对于一元二次方程， ， 一元二次方程没有实数根，故选项正确； 故选：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，把化成顶点式，二次函数的最值，抛物线与轴的交点问题，根据判别式判断一元二次方程根的情况，解三元一次方程组等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质及一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题的关键． 5．(24-25九上·陕西西安蓝田县·期末)二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表所示，根据表中的数据可知，下列说法中正确的是（    ） … 1 2 … … 0 4 6 4 … A．这个函数的图象与轴没有交点 B．这个函数的图象与轴的交点坐标为 C．这个函数的最大值为 D．当时，的值随值的增大而减小 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质．根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题． 【详解】解：由题意知：， 解得， ∴， ∵时，， ∴这个函数的图象与轴有交点，故选项A错误； 当时，， ∴这个函数的图象与轴的交点坐标为，故选项B错误； ∵， ∴函数的最大值是，故选项C正确； 当时，的值随值的增大而增大；当时，的值随值的增大而减小，故选项D错误； 故选：C． 6．(24-25九上·陕西榆林榆阳区·期末)抛物线图象如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，由抛物线的开口方向，对称轴直线的位置，与轴交点的位置得出，，，故；由图象可知：，，即，故；由对称轴，，则，故有；由图象可知：顶点的纵坐标大于，从而得出不等式，求解即可得出，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、由图象开口可知：， 由对称轴可知：， ∴， 又由抛物线与轴的交点可知：， ∴，故原选项正确，不符合题意； 、由图象可知：，， ∴， ∴，故原选项正确，不符合题意； 、∵对称轴，， ∴， ∴，故原选项错误，符合题意； 、由图象可知：顶点的纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故原选项正确，不符合题意； 故选：． 7．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)已知二次函数，当时，，则该二次函数图象的顶点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，由题意得，该二次函数图象的顶点坐标为，将代入，得，解得，即可得，，进而可得结论． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为， ∵当时，， ∴， 解得． ∴，， ∴该二次函数图象的顶点位于第二象限． 故选：C． 8．(24-25九上·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)抛物线上部分点的坐标如下表： … 0 1 … … … 下列说法错误的是（    ） A．对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．当时， D．抛物线开口向下 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性和二次函数图象的性质，根据对称性可求出对称轴为直线，再由当时的函数值大于时的函数值可得抛物线开口向下，则可得到抛物线的增减性，再由对称性求出当时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵当时和时的函数值相同， ∴对称轴为直线，故A说法正确，不符合题意； ∵当时的函数值大于时的函数值， ∴抛物线开口向下，故D说法正确，不符合题意 ∴当时，随的增大而减小，故B说法正确，不符合题意； 由对称性可知，时的函数值与时的函数值相同， ∴当时，，故C说法错误，符合题意； 故选：C． 9．(24-25九上·陕西咸阳·期末)已知抛物线如图所示，它与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，将抛物线向右平移2个单位长度后得到抛物线（a、b、c为常数，且），下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质等知识，先根据平移方向和距离求出抛物线的对称轴为直线，可得出，，即可判断①；得到抛物线与x轴的两个交点为，，抛物线与y轴的负半轴相交，即可判断②；当时，，即可判断③；抛物线与x轴有两个交点，即可判断④． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴，即， 故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，它与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线， ∴抛物线与x轴的两个交点为，， 又∵抛物线开口向下， ∴抛物线与y轴的负半轴相交， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线与x轴的两个交点为，，抛物线开口向下， ∴当时，， 故③正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 故④正确； 综上可知，正确的结论是②③④， 故选：C． 10．(24-25九上·陕西咸阳·期末)0．将二次函数化为顶点式，下列结果正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式；将已知的抛物线化为，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：A． 11．(24-25九上·陕西西安交通大学附属中学·期末)1．已知抛物线（是常数，）的顶点为，小颖同学得出以下结论，其中一定正确的是（   ） A． B．当时，随的增大而增大 C．若的一个根为3，则 D．抛物线是由拋物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，根据顶点坐标判断、的正负性，由此判断A；根据开口方向和对称轴判断B；用表示、，再解方程判断C；根据平移法则判断D． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的符号无法判断，故A错误； ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故B错误； ∵，， ∴， ∵的一个根为， ∴， ∴，故C正确； ∵抛物线的顶点为， ∴， ∴将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到，故D错误； 故选：C． 12．(24-25九上·陕西咸阳渭城区第二初级中学·期末)2．二次函数图象的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．在求二次函数图象的顶点坐标时，要熟记顶点坐标公式． 根据二次函数的顶点坐标公式解答即可． 【详解】解：的二次项系数，一次项系数，常数项， ，即，，即， 二次函数图象的顶点坐标是 故选：C． 13．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)已知抛物线，（）的图象上三个点的坐标分别为，，，若，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，由题意得抛物线的对称轴为，开口向下，时有最大值．再根据已知条件可得出，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴时有最大值． ∵，， ∴A，C在的两侧，且A离对称轴较远， ∴， ∴， 故选：C． 14．(24-25九上·陕西渭南韩城·期末)4．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新抛物线，下列关于这两条抛物线的描述正确的是（   ） A．对称轴相同 B．顶点的横坐标相同 C．顶点的纵坐标相同 D．开口方向相同 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移及性质，根据二次函数的平移及性质可进行求解． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新抛物线的解析式为 的对称轴为直线，顶点为，开口向上， 的对称轴为直线，顶点为，开口向上， 故选：D． 15．(24-25九上·陕西西安临潼区部分学校·期末)5．二次函数中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 4 … y … 16 7 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．若点，都在抛物线上，则 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据表中数据找出二次函数的对称轴，利用二次函数图象对称性、增减性和顶点坐标特点，即可解题，数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：A、当x逐渐增大时，y的值先变小再变大，所以，图象的开口向上，故不符合题意； B、根据，和，，可知二次函数的对称轴为，故不符合题意； C、∵图象的开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，故符合题意； D、∵，，，根据离对称轴越近，函数值越小， ∴，故不符合题意； 故选：C． 16．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)二次函数的部分图象如图所示，若图象过点，对称轴为直线，则关于的一元二次方程的一个正根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的对称性是解题的关键． 根据图象过点，对称轴为直线，结合二次函数对称性即可求解． 【详解】解：∵图象过点，对称轴为直线， ∴与点关于对称轴直线的对称点为， ∴当时的函数值与时的函数值相等， ∴关于的一元二次方程的一个正根为， 故答案为： ． 17．(24-25九上·陕西安康旬阳县·期末)若方程的两个根是和，则二次函数的图象的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系，求出二次函数图象的对称轴． 【详解】解：方程的两个根是和， 二次函数的图象的对称轴是直线， 故答案为：． 17．(23-24九上·陕西延安富县·期末)若点在二次函数的图象上，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将代入二次函数解析式可得，从而得出，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：点在二次函数的图象上， ， ， 当时，的值最大，最大为， 故答案为：． 18．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)8．二次函数的部分图象如图所示，若图象过点，对称轴为直线，则关于的一元二次方程的一个正根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的对称性是解题的关键． 根据图象过点，对称轴为直线，结合二次函数对称性即可求解． 【详解】解：∵图象过点，对称轴为直线， ∴与点关于对称轴直线的对称点为， ∴当时的函数值与时的函数值相等， ∴关于的一元二次方程的一个正根为， 故答案为： ． 19．(24-25九上·陕西安康旬阳县·期末)9．若方程的两个根是和，则二次函数的图象的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系，求出二次函数图象的对称轴． 【详解】解：方程的两个根是和， 二次函数的图象的对称轴是直线， 故答案为：． 20．(23-24九上·陕西延安富县·期末)0．若点在二次函数的图象上，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将代入二次函数解析式可得，从而得出，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：点在二次函数的图象上， ， ， 当时，的值最大，最大为， 故答案为：． 21．(24-25九上·陕西榆林子洲县·期末)已知抛物线（a为常数，且）的图象经过点． (1)求a的值； (2)求此抛物线的对称轴； (3)当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？（直接写出答案） 【答案】(1) (2)直线； (3)当时，y随x的增大而减小． 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由函数图象上的点的坐标满足函数解析式求得a的值是解题的关键． （1）把A点坐标代入抛物线解析式可得到关于a的方程，可求得a的值； （2）把二次函数解析式化为顶点式可求得其及对称轴； （3）利用二次函数的开口方向、增减性可求得答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴a的值为； （2）解：由（1）可知抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线； （3）解：∵，对称轴为， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小． 22．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)如图，抛物线经过点．    (1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围是解题的关键． （1）把代入，可求，则，进而可求顶点坐标； （2）由，可知抛物线开口向下，有最大值，当时，，当时，，进而可求y的取值范围． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∵当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 23．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点B在点A右侧），A点坐标为，对称轴为直线，顶点为C，连接． (1)求点B，C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1),． (2) 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与x轴交点，能根据点A坐标及抛物线的对称轴求出抛物线的函数解析式是解题的关键． （1）根据点A坐标和对称轴，可求出抛物线的函数解析式，进而可解决问题； （2）由，，得出，即可解决问题． 【详解】（1）解：将A点坐标代入函数解析式得，， 又因为抛物线的对称轴为直线， 所以②． 由①②解得，，． 所以抛物线的解析式为． 令得，， 解得，． 所以B点坐标为． 将代入函数解析式得，， 所以C点坐标为． （2）因为，， 所以， 又因为点C坐标为， 所以． 地 城 考点03 二次函数的平移 1．(24-25九上·陕西西安高陵四中教育集团·期末)将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数与几何变换．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：，即， 故选：B． 2．(24-25九上·陕西汉中勉县·期末)把抛物线向下平移3个单位长度，所得到的新抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律；根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可． 【详解】解：∵把抛物线向下平移3个单位长度， ∴所得到的新抛物线的表达式为， 故答案为：． 3．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)函数与x轴的交点如图所示，则方程的实数根 ， ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数图象与x轴的交点和一元二次方程的解的关系，根据函数与x轴的交点为即可求出答案． 【详解】解：∵函数与x轴的交点为， 即当或时，， ∴方程的实数根，， 故答案为：，， 4．(22-23九上·陕西西安雁塔区曲江一中·期末)二次函数的部分对应值如表： x 0 2 y n 若，下列正确的有 （填序号即可）． ①；②；③；④时，的解为． 【答案】①③④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质判断式子符号，二次函数坐标特点，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质，对称轴，二次函数坐标特点，等逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：①函数的对称轴为直线，即，则， ∵，故在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故抛物线开口向上，则， 而，故， 所以①正确； ②∵对称轴在y轴的右侧，， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴，故②错误； ③当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④当时，即：时，， ∵抛物线经过点，，， ∴， 解得， 可以变形为，即探讨一次函数与二次函数图象的交点情况， 当时，解得， ∴关于x的一元二次方程的解为， ④正确， 故答案为：①③④． 5．(23-24九上·陕西咸阳杨陵区部分学校·期末)如图，抛物线的顶点为，与轴交于点A．若平移该抛物线，平移后的抛物线的顶点为，此时抛物线与轴交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式的性质、抛物线的平移规律及坐标轴上点的坐标特征，解题的关键是根据顶点式分别求出原抛物线与平移后抛物线与y轴交点A、的坐标，再利用两点间距离公式（y轴上两点距离为纵坐标差的绝对值）计算的长度． 先根据原抛物线顶点式，令求出与y轴交点A的坐标；再根据抛物线平移时二次项系数不变，结合新顶点写出平移后抛物线的顶点式，令求出交点的坐标；最后计算A与纵坐标差的绝对值，得到的长度． 【详解】解：在原抛物线中， 令，则， ∴点A的坐标为． ∵抛物线平移时二次项系数不变，新顶点为， ∴平移后抛物线的解析式为． 令，则， ∴点的坐标为． ∵A、均在y轴上，横坐标均为0， ∴． 故答案为：． 6．(24-25九上·陕西汉中勉县·期末)把抛物线向下平移3个单位长度，所得到的新抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律；根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可． 【详解】解：∵把抛物线向下平移3个单位长度， ∴所得到的新抛物线的表达式为， 故答案为：． 51．(24-25九上·陕西安康旬阳县·期末)已知二次函数的图象经过点． (1)求的值和该二次函数图象的顶点坐标． (2)若将该二次函数的图象向右平移2个单位长度，求新抛物线与轴交点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数图象和几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）把点代入，即可求出，再把一般式化为顶点式，即可得到该函数图象的顶点坐标； （2）利用“左加右减”的平移规律得到平移后的抛物线解析式，令，则，得到新抛物线与轴交点的坐标为． 【详解】（1）解：将点代入二次函数得， 解得：， ， 该二次函数图象的顶点坐标为． （2）解：将二次函数的图象向右平移2个单位长度， 则新抛物线的函数表达式为． 令，则， 新抛物线与轴交点的坐标为． 7．(24-25九上·陕西榆林子洲县·期末)已知抛物线C的顶点坐标为，且过点，将抛物线C向下平移3个单位得到抛物线．求抛物线的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法确定函数解析式和二次函数的平移，掌握二次函数的图像性质是解题关键， 先根据顶点式求函数解析式，然后根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式； 【详解】解：由抛物线C的顶点坐标为，设抛物线C的解析式为， 把点代入可得，，解得， ∴抛物线C的解析式为， 将抛物线C向下平移3个单位得到抛物线，则抛物线的表达式为． 8．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)已知二次函数，若将该二次函数图象向上平移m个单位长度，平移后的抛物线经过点，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键：左加右减，上加下减． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可得出平移后的二次函数解析式，然后将点代入，得出关于的一元一次方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：二次函数的解析式为， 将该二次函数图象向上平移个单位长度后，所得抛物线的函数解析式为， 平移后的抛物线经过点， ， 解得：． 9．(24-25九上·陕西西安交通大学附属中学·期末)已知拋物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求拋物线的表达式； (2)若点是直线上第一象限内的一个动点，将抛物线进行平移得到拋物线，点的对应点为点，是否存在以四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；平移方式见解析 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据已知条件画出符合题意的图形，利用等腰直角三角形的性质和菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 抛物线L的表达式为； （2）解：存在以四个点为顶点的四边形是菱形．理由： 点，点， ， 如图，当四边形为菱形时， 过点P作轴于点C， 令，则， ， ， 令，则， ， ， ， ， ， 轴， ， 四边形为菱形， ， ， ，， ∵点的对应点为点， ∴抛物线的平移方式为：先将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位； 如图，当四边形为菱形时， ， ， 四边形为菱形， ， ， 四边形为正方形， ， ， 此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移3个单位，再向下平移3个单位； 如图，当四边形为菱形时， ， ， 四边形为菱形， ， ， 四边形为正方形， ，， 此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移6个单位，再向上平移6个单位． 综上所述：先将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位；或先将抛物线向左平移3个单位，再向下平移3个单位；或先将抛物线向左平移6个单位，再向上平移6个单位． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，抛物线的平移，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 地 城 考点04 二次函数根与系数的关系 1．(24-25九上·陕西咸阳杨陵区·期末)如图为一次函数的图象，则二次函数在平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像以及一次函数图像与系数的关系．根据一次函数通过的象限确定a、b的正负是解题的关键． 根据一次函数的位置确定出，再结合二次函数的图像与系数的关系逐选项去分析即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象经过一、二、三象限，可得， A． 由二次函数图象可知，，不符合题意； B． 由二次函数图象可知，，符合题意； C． 由二次函数图象可知，，不符合题意； D． 由二次函数图象可知，，不符合题意； 故答案为：B． 2．(24-25九上·陕西西安阎良区·期末)二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像的知识；由抛物线的对称轴性质，可对③进行判断；利用抛物线与y轴交点的位置，则可对①进行判断；结合当时，，可对②进行判断；最后根据抛物线的对称性计算，即可完成求解． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴，即③正确； ∵抛物线与x轴的交点在x轴上方， ∴ ∴，即①不正确； 根据图象，当时，， ∴当时， ∴，即②不正确； ∵抛物线图象过点，对称轴为直线 ∴抛物线和x轴的另一个交点为， ∴抛物线图象过点，即④正确； 故选：B． 3．(24-25九上·陕西安康·期末)若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求得抛物线的对称轴和开口方向，再根据所给点离对称轴的远近判断函数值的大小即可． 【详解】解：对于抛物线，由可得抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远的点函数值越大， ∵点，，在抛物线上，且， ∴， 故选：D． 4．(24-25九上·陕西安康旬阳部分学校·期末)已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，根据图象判断①，对称轴判断②，特殊点判断③，最值判断④即可。熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴ ，故①错误； ，故②正确； 由图象可知，当时，；故③正确； ∵抛物线的开口向下， ∴当时，函数值最大， ∴， ∴；故④正确； 故选：C． 5．(23-24九上·陕西渭南潼关县·期末)二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数法图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与系数的关系．根据题意得出该抛物线与y轴相交于，即与y轴交于正半轴，再求出该二次函数的对称轴，得出对称轴在y轴右侧，即可得出结论． 【详解】解：当时，， ∴该抛物线与y轴相交于， 即与y轴交于正半轴， ∵， ∴该二次函数对称轴为直线， 即对称轴在y轴右侧， 综上：A、C、D不符合题意；B符合题意； 故选：B． 6．(23-24九上·陕西榆林定边县·期末)已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，有下列结论： ①；②；③；④当时，随的增大而增大．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及利用二次函数图像与性质判断代数式符号、y与x的变化情况等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由题中条件及图像可知，（抛物线开口向下）；，且；；，且抛物线与轴的交点坐标为和； ①如图所示，在抛物线上取点，则当时，，①正确； ②如图所示，在抛物线上取点，则当时，， ， ，则，解得， ， ， ，②正确； ③， ，则， ， ，③正确； ④由于抛物线开口向下，对称轴为，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；④错误； 故选：A． 7．(23-24九上·河南周口西华县·期末)抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论： ①；②；③； ④方程有两个不相等的实数根； ⑤若点在该抛物线上，则其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由开口方向及与轴的交点可判断，，，再根据“左同右异”的方法可判断的符号，从而可判断①；由对称轴可判断②；由图象得和对称轴可求，可得抛物线与的另一个交点为，代入即可判断③；设，则图象为过且垂直于轴的一条直线，并且与抛物线有两个交点，可判断④；当时，，即可判断⑤． 【详解】解：由图得：，， 对称轴在轴右侧， ， ， 故①错误； 抛物线的对称轴是直线， ， ， 故②正确； 由图象得， 解得：， 抛物线与的另一个交点为， ， 即：， 故③正确； 设，则图象为过且垂直于轴的一条直线， 与抛物线有两个交点， 方程有两个不相等的实数根； 故④正确； 抛物线的对称轴是直线， 且， 当时， ， ， 故⑤正确； 综上所述：正确的有②③④⑤，共个； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握性质，能利用数形结合的思想解题是解题的关键． 地 城 考点05 二次函数和一次函反比例函数的综合判断 1．(22-23九上·陕西西安经开第一中学·期末)在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致，还要判断两个函数与x轴是否有公共点． 【详解】解：A、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，，得，由直线可知，，但一次函数的图象与x轴的交点为，二次函数的图象与x轴的交点为原点和点，两个图象交x轴同一点，C不可能，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，且一次函数的图象与x轴的交点为，二次函数的图象与x轴的交点为原点和点，两个图象交x轴同一点，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来判定这种数形结合题是一种很好的方法，解题的关键是一定要看这两个图像是否有交点． 2．(23-24九上·陕西西安西咸新区·期末)已知二次函数的图象有最小值，则反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象判断出a的符号情况是解题的关键． 根据二次函数图象开口方向判断出a的正负情况，再根据反比例函数图象与系数的关系，判断出图象的大致情况即可得解． 【详解】解：∵二次函数的图象有最小值， ， ∴反比例函数位于第一、三象限， ∴只有B选项符合题意． 故选：B． 地 城 考点06 二次函数与方程和不等式 1．(24-25九上·陕西咸阳渭城区第二初级中学·期末)如图，二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则关于的一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 先利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，则方程的解为，，由于关于的一元二次方程可看作关于的一元二次方程，所以或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：由二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为， 即抛物线与轴的一个交点坐标为， ∵抛物线对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 即方程的解为，， ∵关于的一元二次方程可看作关于的一元二次方程， ∴或， 解得，， 即关于的一元二次方程的解为，， 故选：D． 2．(20-21九上·陕西商洛镇安县·期末)顶点为P的抛物线与y轴相交于点A，把该抛物线绕顶点P旋转得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴交点的求法，和抛物线将一般式转化顶点式的能力．根据题目要求，求出A和B的坐标，再求出三角形的面积即可． 【详解】解：由题意知，所构成的大致图像如图所示： ∵抛物线与y轴相交于点A， ∴当时，， ∴点A的坐标为， 将抛物线一般式转化为顶点式得：， ∴顶点P的坐标为， 把它绕顶点P旋转得到一个新的抛物线是， ∴与y轴的交点B为，顶点P的坐标为， ∴． 故选：A． 3．(24-25九上·陕西咸阳杨陵区·期末)二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 有下列结论：抛物线的开口向下；抛物线的对称轴是直线；抛物线与x轴的交点坐标为；由抛物线可知的解集是．其中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质∶熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．也考查了待定系数法求抛物线解析式． 根据表格数据以及二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解∶当和时，， ∴抛物线对称轴为直线，故正确； 由表格数据可知，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 抛物线开口向上，故错误； 由表格数据可知，当时，， 则抛物线与y轴的交点坐标为，故错误； 当和时，， 抛物线与x轴的交点坐标为和，抛物线开口向上， ∴当时，， 抛物线的解集是，故正确． 故选∶C． 4．(24-25九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线：（为常数），则下面选项正确的是（   ） A．若点，在抛物线上，则 B．若点，在抛物线上，则 C．当时，抛物线只经过第一、二象限 D．当时，抛物线只经过第一、二象限 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，当时，，可判断；根据可判断，即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，，，则，故该选项错误； 、当时，，，则，故该选项错误； 、∵， ∵， ∴的值可能小于， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线此时经过第四象限，故该选项错误； 、∵，， ∴， ∴抛物线与轴无交点，即抛物线在轴上方， ∴当时，抛物线只经过第一、二象限，该选项正确； 故选：． 5．(24-25九上·陕西西安西安高新第一中学·期末)二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表：对于下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④的两个根为．其中正确结论的个数是（　　） ．．． 0 1 ．．． ．．． 3 2 ．．． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像和性质，由表格数据可知对称轴为直线，即可得出，a与b同正负，即可判断②，当时，，可得出，再结合a与b同正负即可得出，即可判断①，时，y可能先随x的增大而减小，再随x的增大而增大或先随x的增大而增大，再随x的增大而减小可判断③，将代入函数表达式可得，可得出是一个解，由二次函数的对称性可得出对称点，即可判断④ 【详解】解：根据表格可知：和时，y的值均为n， ∴该二次函数的对称轴为直线 ∴ ∴，a与b同正负， ∴， 故②错误 当时， ∴， 又∵a与b同正负， ∴， 故①正确， 时，y可能先随x的增大而减小，再随x的增大而增大或先随x的增大而增大，再随x的增大而减小， 故③错误 将代入函数表达式 可得，即， 显然是一个解，即点， ∵点关于对称轴在二次函数图像上点为： ∴的两个根为 故④正确， 综上所述，①④正确，共2个． 故选：B． 6．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)函数与x轴的交点如图所示，则方程的实数根 ， ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数图象与x轴的交点和一元二次方程的解的关系，根据函数与x轴的交点为即可求出答案． 【详解】解：∵函数与x轴的交点为， 即当或时，， ∴方程的实数根，， 故答案为：，， 7．(22-23九上·陕西西安雁塔区曲江一中·期末)二次函数的部分对应值如表： x 0 2 y n 若，下列正确的有 （填序号即可）． ①；②；③；④时，的解为． 【答案】①③④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质判断式子符号，二次函数坐标特点，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质，对称轴，二次函数坐标特点，等逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：①函数的对称轴为直线，即，则， ∵，故在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故抛物线开口向上，则， 而，故， 所以①正确； ②∵对称轴在y轴的右侧，， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴，故②错误； ③当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④当时，即：时，， ∵抛物线经过点，，， ∴， 解得， 可以变形为，即探讨一次函数与二次函数图象的交点情况， 当时，解得， ∴关于x的一元二次方程的解为， ④正确， 故答案为：①③④． 8．(23-24九上·陕西咸阳杨陵区部分学校·期末)如图，抛物线的顶点为，与轴交于点A．若平移该抛物线，平移后的抛物线的顶点为，此时抛物线与轴交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式的性质、抛物线的平移规律及坐标轴上点的坐标特征，解题的关键是根据顶点式分别求出原抛物线与平移后抛物线与y轴交点A、的坐标，再利用两点间距离公式（y轴上两点距离为纵坐标差的绝对值）计算的长度． 先根据原抛物线顶点式，令求出与y轴交点A的坐标；再根据抛物线平移时二次项系数不变，结合新顶点写出平移后抛物线的顶点式，令求出交点的坐标；最后计算A与纵坐标差的绝对值，得到的长度． 【详解】解：在原抛物线中， 令，则， ∴点A的坐标为． ∵抛物线平移时二次项系数不变，新顶点为， ∴平移后抛物线的解析式为． 令，则， ∴点的坐标为． ∵A、均在y轴上，横坐标均为0， ∴． 故答案为：． 9．(23-24九上·陕西榆林榆阳区·期末)抛物线与x轴只有一个公共点，则c的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，理解函数与方程的关系是解题的关键．根据二次函数与一元二次方程的关系列方程求解． 【详解】解：由题意得：关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．(23-24九上·陕西西安碑林区第二十六中学·期末)若二次函数的图象与轴交于,两点，则点的坐标是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质直接求解即可．本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【详解】解：∵二次函数为， ∴二次函数的对称轴直线为， ∵，关于对称轴直线为对称， ∴ 故答案为： 地 城 考点07 二次函数解析式、线段最值 1．(24-25九上·陕西西安西安理工大学附属中学·期末)一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 2 … … 5 0 … 下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．二次函数的图象开口向下 B．二次函数图象的对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，先利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，进而得到开口方向，增减性和对称轴，以及顶点坐标，再对所给选项依次进行判断，据此可得答案． 【详解】解：将点代入中， 得：， 解得， ∴二次函数解析式为， A、∵二次函数解析式为， 得：， ∴函数图象开口向上， 故不符合题意； B、∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故符合题意； C、∵二次函数解析式的对称轴为直线，函数图象开口向上， ∴当时，的值随值的增大而减小， 故不符合题意； D、当时， 二次函数解析式， 故项不符合题意； 故选：B． 2．(24-25九上·陕西西安曲江第一中学·期末)下表列出了二次函数（，，为常数）的自变量与的几组对应值： … 0 1 3 … … 8 … 则下列说法不正确的是（   ） A．二次函数开口向上 B．若点，都在抛物线上，则 C．方程有两个相等的实数根 D．二次函数有最小值，最小值小于 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，从而可判断选项A和D正确；求出和时，的值即可判断选项B正确；利用一元二次方程的根的判别式即可判断选项C不正确，由此即可出答案． 【详解】解：将点代入得：， 解得， 则二次函数的解析式为， ∵二次函数中的， ∴二次函数的开口向上，则选项A正确，不符合题意； 当时，， 当时，， ∴若点，都在抛物线上，则，选项B正确，不符合题意； 方程，即的根的判别式为， ∴方程有两个不相等的实数根，选项C不正确，符合题意； 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为，选项D正确，不符合题意； 故选：C． 3.已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为直线，与y轴的交点在y轴负半轴上，将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线，则下列关于抛物线的说法中，错误的是（   ） A．与x轴的一个交点为 B．经过坐标原点 C．对称轴为直线 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质及二次函数的平移，根据二次函数平移直接判断B、C；根据平移后二次函数性质判断A；求出平移后二次函数表达式根据性质判断D即可解决． 【详解】解：抛物线经过点，对称轴为直线，将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线， 抛物线必过点，对称轴为直线，故B、C正确； 抛物线与x轴的一个交点为，故A正确； 设抛物线表达式为， 把代入，， ， ， 抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上， ， 解得：， 抛物线表达式为， 当时，，故D错误； 故选：D． 4．(24-25九上·陕西西安第三中学·期末)已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … 0 3 5 … … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．当时，的值随的值增大而增大 C．方程的一个解的取值范围是 D．图象的对称轴是直线 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题，能用待定系数法求出二次函数解析式及熟知二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：把带入函数解析式， 可得， 解得， 二次函数的解析式为． ， 抛物线的开口向下． 故A选项不符合题意． ， 当时，随的增大而减小． 故B选项不符合题意． 令得，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为和． 方程的一个解的取值范围是． 故C选项符合题意． 二次函数解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 故D选项不符合题意． 故选：C． 5．(24-25九上·北京理工大学附属中学·期中)请写出一个开口向上，顶点坐标是的抛物线表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，直接设顶点坐标是的抛物线表达式为，再由开口向上得到即可解题． 【详解】解：根据图象开口向上，且顶点坐标为的二次函数解析式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 6．(24-25九上·陕西榆林榆阳区·期末)如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上异于点的动点，若的面积与的面积相等，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)点N的坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，与面积有关的二次函数综合，解一元二次方程等知识，掌握这些基础知识是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）设底边上的高为h，利用面积相等，可得，即，再解两个一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴， 解得：， 所以二次函数解析式为； （2）解：在中，令，则， 即， ∴； 设底边上的高为h， ∵的面积与的面积相等， ∴ 即， ∴， 当时，解得：， 此时点N的坐标为或； 当时，解得：（舍去）， 此时点N的坐标为； 综上，点N的坐标为或或． 7．(24-25九上·陕西西安蓝田县·期末)若二次函数的图象经过两点，求该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．把点代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：将点代入中，得： ， 解得， 该二次函数的表达式为． 8．(24-25九上·陕西西安莲湖区·期末)如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)Q是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求此时点Q的坐标及的面积． 【答案】(1) (2)点Q的坐标为，面积为 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值． （1）根据抛物线与x轴交于点，，可以求得该抛物线的解析式； （2）根据Q是位于第一象限内抛物线上的一个动点和（1）中的结果，先设出点Q的坐标，然后求出点C的坐标，从而可以得到直线的解析式，再作轴交于点D，然后即可求得当的面积最大时，此时点Q的坐标及的面积． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴， 解得， 即该抛物线的函数表达式为； （2）解：设点Q的坐标为， ∵抛物线， ∴当时，， ∴点C的坐标为， 设过点B和点C的直线解析式为， ， 解得，即直线的解析式为， 作轴交于点D，如图所示，则点D的坐标为， ∴， ∴当时，的面积取得最大值，此时， 即当的面积最大时，此时点Q的坐标为，面积为． 9．(24-25九上·陕西汉中勉县·期末)已知抛物线经过点，求的值及此抛物线的顶点坐标． 【答案】顶点坐标是 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，顶点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入，得出，则，即可作答． 【详解】解：抛物线经过点． 将代入，得， 则， 顶点坐标为． 10．(24-25九上·陕西安康汉阴县·期末)如图，开口向下的抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的横坐标为1． (1)求该拋物线所对应的函数解析式； (2)连接，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式． （1）设抛物线的解析式为，然后根据待定系数法求解即可； （2）如图，连接，首先求出点的坐标为，然后求出，，，然后利用代数求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ； （2）解：如图，连接， 将代入，得， 点的坐标为， 抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ，，， ， 四边形的面积为8． 11．(24-25九上·陕西汉中宁强县·期末)周末，小明跟父母去宁强网红打卡地玩耍，小明的爸爸在树荫下将吊床绑在距离为米的树与树之间（米），两边拴绳的地方、距地面的高度均为米（米），吊床形状近似呈抛物线形，此时吊床最低点离地面的高度为米．已知，，图中所有的点都在同一平面内．以树与地面的交点为原点，地面上所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当吊床上某处离地面高度为米时，求吊床上该处离右边树的距离． 【答案】(1) (2)米或米 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，根据函数值求自变量的值的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）将代入解得，，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：将代入得， 解得，， 当时，（米）， 当时，（米）， ∴吊床上该处离右边树的距离为米或米． 12．(24-25九上·陕西榆林横山区·期末)已知抛物线经过点，求该抛物线的顶点坐标． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、将二次函数解析式化为顶点式，利用待定系数法求出解析式，再化为顶点式即可得解． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：， ∴该抛物线的顶点坐标为． 13．(23-24九上·陕西安康岚皋县·期中)已知二次函数图像的顶点坐标为，与轴的交点坐标为，求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握求二次函数解析式的方法是解题关键．设该二次函数的解析式为，然后把点代入，求解即可获得答案． 【详解】解：由题意可知，二次函数图像的顶点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 把点代入， 可得， 解得， 故该二次函数的解析式为， 即． 14．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)已知抛物线交轴于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标． (2)如图，是抛物线上位于直线上方的动点，过点作轴的平行线，交直线于点，当的长度最大时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为 (2) 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式；（2）中用参数t表示抛物线上的点P、直线上点的坐标，再用t表示出的长是解题关键． （1）将点，坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论； （2）先求出直线的解析式，设出点坐标，表示出点坐标，建立，利用二次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． ， 抛物线的解析式为，顶点坐标为； （2）解：令，得， 点． 设直线的函数解析式为． 把点，代入，得， 解得， 直线的函数解析式为． 设点，则点， ． ， 当时，的长度最大， 此时点的坐标为． 地 城 考点08 二次函数面积和特殊图形的存在性问题 1．(24-25九上·陕西咸阳渭城区第二初级中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的抛物线的对称轴为，与直线交于点，连接求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，求出点坐标是解题的关键． 先求出一次函数解析式，得出点坐标，再求出抛物线的对称轴，进而求出点的坐标，最后根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：将代入，得， ∴点坐标为， 将点代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为， 令，则， 解得， ， ∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∴点的横坐标为， 将代入得，， ， ． 2．(23-24九上·陕西渭南大荔县城关初级中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于O、A两点，其中点O为坐标原点． (1)求二次函数的解析式； (2)在第四象限内的抛物线上有一点B，使的面积等于6，求点B的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与几何综合，正确求出二次函数解析式是解题的关键． （1）把原点坐标代入二次函数解析式中计算求解即可； （2）根据（1）所求求出点A坐标，进而得到的长，再根据三角形面积公式求出点B的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴相交于O，点O为坐标原点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴， ∴， ∵在第四象限内的抛物线上有一点B，使的面积等于6， ∴， ∴， 在中，当时， 解得或， ∴点B的坐标为． 3．(24-25九上·陕西渭南韩城·期末)如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P是抛物线上的点，且点P的横坐标是3，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数与几何问题，正确求出二次函数解析式是解题的关键． （1）把代入函数解析式即可； （2）把代入抛物线，求得点的坐标，把代入抛物线，求得点的坐标，即可解答． 【详解】（1）解：把代入函数解析式可得， ，解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，， ， 当时，可得， 解得， ， ， ． 4．(24-25九上·陕西铜川·期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求该二次函数的表达式； (2)点P是直线下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，的面积最大？求此时点P的坐标及面积的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为54，此时点P坐标为 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、坐标与图形等知识，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点C坐标，再求得直线的函数表达式为，过作y轴的平行线交于H，设，则，，利用坐标与图形性质得到，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将和分别代入中，得 ，解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：对于，当时，， ∴， 设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为， 过作y轴的平行线交于H，如图， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为54，此时点P坐标为． 5．(24-25九上·陕西西安某校·)如图，为两条定长的线段，，，，A，C分别为线段上的点（点C可与点P重合），，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】27.5 【分析】本题考查了二次函数的应用，平行线的性质，熟练掌握二次函数的最值是解题的关键．过点作，垂足为，根据垂直定义可得，再根据已知可得，从而可得四边形是矩形，进而可得，然后利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得，最后设，则，从而根据四边形面积的面积+矩形的面积，再根据二次函数的最值进行计算，即可解答． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为E， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴，即， ∴， 设． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴当时，随x的增大而增大． 当时，四边形的面积的最大值， ∴四边形面积的最大值为 6．(24-25九上·陕西安康旬阳部分学校·期末)如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为，分别连接，．求的面积． 【答案】8 【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴的交点问题，令，求解方程得到点，的横坐标，从而得到的长度，然后根据解析式求得点坐标，从而根据面积公式求解即可． 【详解】解：令，则得方程：， 解得：，， 即：点，的横坐标分别为：，1， 则， 将代入解析式得：， ∴点的坐标为， ∴． 7．(23-24九上·陕西榆林榆阳区·期末)如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点B在点A右侧），A点坐标为，对称轴为直线，顶点为C，连接．    (1)求点B，C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，； (2)8 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与x轴交点，能根据点A坐标及抛物线的对称轴求出抛物线的函数解析式是解题的关键． （1）根据点A坐标和对称轴，可求出抛物线的函数解析式，进而可解决问题． （2）由，，得出，即可解决问题． 【详解】（1）解：将A点坐标代入函数解析式得， ， 又因为抛物线的对称轴为直线， 所以②． 由①②解得， ，． 所以抛物线的解析式为． 令得，， 解得，． 所以B点坐标为． 将代入函数解析式得， ， 所以C点坐标为． （2）因为，， 所以， 又因为点C坐标为， 所以． 8．(23-24九上·陕西西安新城区·期末)如图，开口向下的抛物线与x轴交于点、，与轴交于点，点P是第一象限内抛物线上的一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，求四边形的面积，并求其最大值． 【答案】(1) (2)，8 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是能将四边形的面积表示出来． （1）设二次函数表达式为，再将点C代入，求出a值即可； （2）连接，设点P坐标为（m，），，利用得出S关于m的表达式，再求最值即可． 【详解】（1）解：∵、，， 设抛物线表达式为：， 将C代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：； （2）连接，设点P坐标为． ∵、，， 可得：，，， ∴ ， ∴当时，面积最大值为8， ∴四边形的面积最大值为8． 9．(23-24九上·陕西西安铁一中学·期末)已知抛物线（a，b，c为常数，），与x轴交于点、点B两点，与y轴交于点，对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)M是抛物线上的点且在第二象限，连接，，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的面积问题； （1）根据题意得出，设抛物线解析式为，将点代入，即可求解； （2）过点作轴交于点，求得直线的解析式为，设，则，表示出，进而根据三角形的面积公式求得，进而根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，对称轴为． ∴， 设抛物线解析式为，将点代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴交于点， ∵，， 设直线的解析式为，将代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值为． 10．(23-24九上·陕西渭南富平县·期末)【初步探究】 （）如图，在中，点分别在上，连接．已知四边形是平行四边形，． ①若，求线段的长； ②若的面积为，求平行四边形的面积． 【深入探究】 （）如图，某工厂有一块形如四边形的铁皮，其中，，，．为节约资源，现要从这块铁皮上截取矩形铁皮（阴影部分）备用，点分别在上．设矩形铁皮的边，矩形的面积为，求出与之间的函数关系式，并求矩形面积的最大值． 【答案】（）；；（），最大值为． 【分析】（）证明即可求解；利用相似三角形的性质分别求出和的面积，即可求解； （）过点作于点，交于点，设，证明，得到，根据矩形面积公式即可得到与之间的函数关系式，再根据函数的性质即可求出面积的最大值． 【详解】解：（）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴线段的长为； ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积为； （）过点作于点，交于点，则，，， ∴，， 设，则， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当时，矩形面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的性质，二次函数的最值等，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 地 城 考点09 特殊三角形和特殊四边形的存在性问题 1．(20-21九上·陕西商洛镇安县·期末)如图，已知抛物线（a、b为常数，且），与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D． (1)求抛物线的表达式； (2)连接、，当的面积最大时，求面积的最大值以及此时点P的坐标； (3)是否存在点P，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，求出P点的坐标．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点P (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点，则点，利用水平宽乘以铅垂高除以2的方法表示出的面积，根据二次函数的性质即可求解； （3）分、两种情况，利用等腰三角形性质分别求解即可． 【详解】解：（1）由题意得抛物线的表达式为， ∴，解得， 故抛物线的表达式为； （2）由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为， 则， 解得， 故直线的表达式为 设点，则点， ， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为，此时点； （3）存在，理由： 由（2）知，若设点， 则点，，且知点， ①当时，则点C在的中垂线上， ∴， ∴， 解得（舍去）或， 故点； ②当时，由，易得， ∴， ∴， 解得（舍去）或， 故点． 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，在第（3）问注意分类求解即可． 2．(24-25九上·陕西宝鸡陇县·期末)抛物线与轴相交于，两点（，分别在原点的左右两侧），与轴正半轴相交于点，且，的面积为（如图1）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线解析式为 (2)或 【分析】本题考查二次函数综合，一次函数，等腰直角三角形的判定，直角三角形的性质，一元二次方程，熟练掌握这些性质，并通过题意构造符合题意的图形是解题的关键． （1）先得出点，利用，得出，再利用，得出，，得出，的坐标，分别利用待定系数法即可求出抛物线和直线的解析式； （2）利用是以为直角边的直角三角形，分两种情况：①当以为直角顶点时；②当点为直角顶点时，过点作轴的垂线，构造等腰直角三角形，设，利用等腰直角三角形得出线段相等，列式求解即可． 【详解】（1）解：令得， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 把、两点坐标代入中， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 设直线解析式为， 将、两点坐标代入， 得：， 解得：， ∴直线解析式为； （2）解：存在，理由如下： ①当以为直角顶点时， 过点作，交抛物线于点．过点作轴于点，如图， ． 由，， 得， ∴， ， ， ， ， ， 设， 则， 解得：（舍），， ， 则； ②当点为直角顶点时， 过作交抛物线于点，过点作轴于点，设交轴于点， 如图， 轴， ， ， ，， ，， ， 设， 则， 解得：，（舍）， ， 即， 综上所述，的坐标是或． 3．(23-24九上·陕西西安西咸新区·期末)如图，已知在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过点A、C的拋物线（a、b为常数，且）与x轴的另一个交点为，抛物线的对称轴l与x轴交于点H． (1)求点A的坐标和抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据一次函数解析式可求出点A、C的坐标，设抛物线解析式为两点式，代入点C坐标即可； （2）设点，分情况讨论：①点A为直角顶点；②点C为直角顶点，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在直线中，当时，， 当时，，解得， ∴，， 设抛物线的解析式为， 代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴对称轴为， 设， ①点A为直角顶点，则， ∴， 解得， ∴P的坐标为； ②点C为直角顶点，则， ∴， 解得， ∴P的坐标为； 综上，P的坐标为或 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、勾股定理、一次函数的图像与性质、用待定系数法求函数表达式等知识与方法，解题过程中还应注意数形结合、分类讨论等数学思想的运用，求出所有符合条件的结果． 4．(22-23九上·山西晋城爱物学校·期末)如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q．    (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，设，则，则，由此即可求出答案； （3）先证明，则当为等腰三角形，只存在这一种情况，设，则，则，解方程即可． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把，代入中得， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵轴，轴， ∴， ∴当为等腰三角形，只存在这一种情况， 设，则， 同理可得， 又∵， ∴， 解得或， ∴存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 5．(22-23九上·陕西安康汉阴县·期末)如图，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点，点P在所在直线下方的抛物线上，过点P作轴，交于点D．                                     备用图 (1)求该抛物线的函数解析式； (2)连接，问是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式，代入即可求解； （2）由为锐角可知分两种情况：①当点P为直角顶点时，可得点与点B重合，求出点B坐标即可；②当点A为直角顶点时，证明、关于x轴对称，求出直线的解析式，设，则，根据关于x轴对称的点的坐标特征列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 可设该抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得， 抛物线的解析式为，即； （2）由题意可知，为锐角， 需分点P为直角顶点和点A为直角顶点两种情况进行分析： ①当点P为直角顶点时，如图，点P、D分别在点、的位置． ，轴， 轴， 点A在x轴上， 点也在x轴上， 此时点与点B重合， 令，得， 解得，， 点A在点B的右侧， ，， 此时点的坐标为； ②当点A为直角顶点时，如图，点P、D分别在点、的位置． ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 平分， 又轴， ， 、关于x轴对称， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， 解得，（舍）， 当时，， 此时点的坐标为． 综上可得，存在点P，使得是直角三角形，点P的坐标为或．    【点睛】本题考查了待定系数法的应用，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键． 6．(23-24九上·陕西咸阳高新一中·期末)如图，在坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴为． (1)求点，，的坐标及对称轴； (2)为上一动点，为抛物线上一动点，是否存在这样的点，，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，对称轴为直线：； (2)的坐标分别为：，或，或，． 【分析】（）对于，当时，；令，则 或，即可求解，再利用即可求出对称轴； （）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解； 当或为对角线时，同理可解； 本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式等，掌握知识点得应用及分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：由得，当时，， 令，解得或， ∴的坐标分别为，，， 由点的坐标得，对称轴为直线：； （2）解：存在，理由： 设点，点，且， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：且， 解得：， 则点的坐标分别为：，； 当或为对角线时，同理可得： 且或 且， 解得： 或， 即点的坐标分别为：，或，； 综上，的坐标分别为：，或，或，． 7．(22-23九上·山东济南历下区·期末)如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，抛物线的对称轴为直线； (2)，的最大值为 (3)存在，点M的坐标为或．理由见解析 【分析】（1）利用两点式写出函数解析式，再根据对称轴计算公式进行求解即可； （2）先求出直线的表达式，再设点，求出，最后利用二次函数的性质即可求出的最大值； （3）当四边形是菱形时，，设点，可列方程，求出m的值，即得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 因为抛物线与x轴交于点，， 所以，则抛物线的对称轴为直线． （2）解：由抛物线表达式得：C点坐标为， 设直线的表达式为，将点B的坐标代入上式得， 故直线的表达式为， 设点，则点， 则， ，故有最大值，当时，的最大值为． （3）解：存在，理由如下： 当时，点， 设点，而点； 四边形是菱形，则， 即，解得：， 即点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的交点式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、菱形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质及菱形的性质是解题的关键． 8．(23-24九上·陕西渭南韩城·期末)如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点. (1)求抛物线的解析式； (2)点D为x轴上一点，在抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，理由见解析，满足条件的点F的坐标为或或 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质， （1）将，代入，得，进行计算即可得； （2）在中，当时，，则点C的坐标为，设抛物线与y轴的交点为K，由题意，得，根据得轴，①当点F在x轴下方时，易知；②当点F在x轴上方时，令，得，进行计算即可得； 掌握二次函数的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）存在，理由如下： 解：在中，当时，， 点C的坐标为， 如图，设抛物线与y轴的交点为K， 由题意，得， ∵， 轴. ①当点F在x轴下方时，易知； ②当点F在x轴上方时，令，得， ， 解得， ，. 综上所述，满足条件的点F的坐标为或或． 9．(23-24九上·陕西西安交通大学附属中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将线段绕着点逆时针旋转，点的对应点为点． (1)求经过三点的抛物线的表达式； (2)将抛物线沿着轴平移到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形，若存在，求平移的方式．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，将抛物线沿着轴向右平移或者向左平移得到抛物线 【分析】本题考查二次函数综合，涉及到全等三角形的判定与性质，二次函数的平移，正方形的判定与性质等知识点； （1）先求出点坐标，再根据待定系数法求经过三点的抛物线的表达式； （2）由于是等腰直角三角形，所以以为顶点的四边形为正方形只有一个，求出点的坐标，再代入平移后的解析式计算即可． 【详解】（1）过作轴于，过作轴于，则， ∵将线段绕着点逆时针旋转，点的对应点为点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为， 设经过三点的抛物线的表达式为， 代入、可得 ， 解得， ∴经过三点的抛物线的表达式为； （2）∵是等腰直角三角形， ∴以为顶点的四边形为正方形只有一个， 设与交于点， ∵是等腰直角三角形， ∴当与互相平分时，四边形是正方形， ∵中点为，即， 中点为，即， ∴，解得， ∴， ∵将抛物线沿着轴平移到抛物线， ∴设抛物线解析式为， 把代入可得 ， 解得， ∴存在，将抛物线沿着轴向右平移或者向左平移得到抛物线． 10．(24-25九上·陕西西安碑林区西安工业大学附属中学·期末)0．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．点在线段上，轴，交于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式． (2)当与相似时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，相似三角形的性质等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可． （2）先根据已知条件得出，再利用平行线的性质得出， 再根据相似三角形的性质分或两种情况求解． 【详解】（1）解：设， 把点代入， 则 （2）解：，， 是等腰直角三角形， ∴， 轴， ， 若与相似，则或， 若，则轴， 点E的纵坐标为3， 当时， 或， ， 若， 设， 则， ， 的解析式为： 的解析式为：， 解方程组 或 综上∶或． 地 城 考点10 二次函数实际问题-销售问题 1．(24-25八下·陕西西安西安高新第一中学·期末)2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红．某实体店“巳升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件，经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】20元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设售价应降低元，根据利润等于单件利润乘以销售量，结合“售价每降价1元，每天可多售出2件”列方程求解即可． 【详解】解：设售价应降低元， 根据题意得：， 整理得：，解得：，， 又要尽量减少库存， ． 答：售价应降低20元． 2．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)由于猪肉市场的供不应求，近期猪肉价格居高不下，云腿猪肉店以每千克30元的成本购进猪肉销售，然后以每千克50元的价格售出，每天可售出100千克．在此基础上，若每千克猪肉每降价1元，则每天可多售出10千克．当每千克猪肉降价之后的售价为多少元时，每天销售猪肉获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】每千克猪肉降价之后的售价为元时，每天的猪肉的利润最大，最大为元 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握“每每问题”的解决方法是解题的关键． 设每千克猪肉的售价应降至元，每天的猪肉的利润为元，则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克，根据题意列出关于的函数关系式，再根据二次函数最值求解即可． 【详解】解：设每千克猪肉降价之后的售价为元，每天的猪肉的利润为元， 则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克， 则， 因为， 所以当时，取最大值， 答：当每千克猪肉降价之后的售价为元时，每天的猪肉的利润最大，最大为元． 3．(24-25九上·陕西西安高新区·期末)某种商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出40件．经市场调查发现如下信息： 信息一：每降价1元，每星期可多卖出10件； 信息二：由于货源紧缺，每星期最多能卖 90件． 设每件商品的售价为x元，每星期可获得的销售利润为y元． (1)求y与x的函数解析式； (2)每件商品的售价定为多少元时，每星期可获得的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)元，元 【分析】（1）根据“每星期可获得的销售利润每件的利润每星期的销售量”列出函数解析式，并根据“每星期最多能卖90件”求出自变量的取值范围即可； （2）先把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的图象与系数的关系、的图象与性质以及自变量的取值范围求二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 每星期最多能卖90件， ， 解得：， 的取值范围为， 与的函数解析式为； （2）解：， ，抛物线的对称轴为直线， 抛物线开口向下，且当时，随的增大而减小， ， 当时，有最大值，最大值为， 答：每件商品的售价定为元时，每星期可获得的销售利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用（销售问题），计算多项式乘多项式，一元一次不等式的应用，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，的图象与性质，二次函数的最值等知识点，根据题中的数量关系正确列出函数解析式是解题的关键． 4．(24-25九上·陕西延安延长县初级中学·期末)“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条，为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元，该网店每月销售这种裤子获得的利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，该网店每月销售这种裤子获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当销售单价降为元时，每月获得最大利润为元． 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）根据销售单价每降元，则每月可多销售条，求得每月的销售量，再每月获得的利润元等于每件的利润乘以销售量，由此列出函数关系式； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每条裤子的售价为x元，则每月的销售量：， 由题意得：； （2）解：∵， ，抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值为， 当销售单价降为元时，每月获得最大利润为元． 地 城 考点11 二次函数实际问题-图形问题 1．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)某建筑商计划依靠一面长18米的墙建造一个如图所示的矩形仓库，仓库的另外三面用36米长的建筑材料围成． (1)请写出仓库面积S（），与边的长（m）之间的函数关系式； (2)当边的长是多少米时，仓库的面积最大? 【答案】(1) (2)当边的长为9米时，仓库的面积最大 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设为米，则有为米，然后可得函数关系式； （2）根据（1）中函数关系式及二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设为米， ∴为米； ∴． （2）解：∵， ∵S与的二次函数图象开口向下， ∴当时，S可取最大值， 当时，边的长为（米），仓库依靠的墙长度为18米，符合实际情况． ∴当时，仓库的面积可取最大； 答：当边的长为9米时，仓库的面积最大． 2．(24-25九上·陕西西安临潼区部分学校·期末)某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长米，宽米，中心建设一个直径为米的圆形喷泉（空白部分），四周各角留一个矩形花坛（空白部分），且矩形花坛的长比宽多米． (1)若阴影部分铺设地砖的面积是平方米（取），求矩形花坛的长； (2)若在图中阴影部分铺绿色地砖，其余部分铺白色地砖，铺白色地面砖的费用为每平方米元，铺绿色地面砖的费用为每平方米元．矩形花坛的长是多少米时，铺设地砖的总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)米 (2)矩形花坛的长是米时，铺设地砖的总费用最少，最少费用是元 【分析】（）设矩形花坛的宽是米，则长是米，根据阴影铺设地砖的面积是平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得求解； （）设矩形花坛的长是米，则宽是米，总费用为元，根据题意列出与之间的二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确地理解题意列出方程和函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设矩形花坛的宽是米，则长是米， 依题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：矩形花坛的宽是米，长是米； （2）解：设矩形花坛的长是米，则宽是米，总费用为元， 根据题意得，， 即， ∴当时，取最小值，最小值为， 答：矩形花坛的长是米时，铺设地砖的总费用最少，最少费用是元． 3．(24-25九上·陕西铜川·期末)如图，要建一个矩形仓库，仓库的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入，现在围成仓库的木板长75米，设仓库的宽为x米，面积为y平方米． (1)求y与x的函数关系式； (2)若要建的矩形仓库的面积为690平方米，则仓库的宽为多少米？ 【答案】(1) (2)23米 【分析】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式组的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键． （1）先用x表示出仓库的长为米，然后利用矩形面积公式求得函数关系式； （2）由列方程求解即可． 【详解】（1）解：设仓库的宽为x米，则仓库的长为米， 根据题意，仓库的面积， ∵，解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：当时，由得， 解得，（舍去）， 答：若要建的矩形仓库的面积为690平方米，则仓库的宽为23米． 4. 问题提出 （1）如图1，在菱形中，，，是的中点，点在上且，求五边形的面积． 问题解决 （2）为了优化美化人居生态环境．如图2所示，某城市现规划建一个五边形公园，记为五边形．按设计要求，要在公园内挖一个四边形人工湖记为四边形，使点、、、分别在边、、、上，且满足，．已知五边形中，，，，，，为了安全起见，，．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．是否存在符合设计要求的面积最小的四边形？若存在，求出面积最小值及这时的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1） （2）存在，面积最小值为，此时 【分析】（1）过D作于M，过F作于N，根据含度角的直角三角形的性质求出，，然后根据即可求出五边形的面积； （2）延长，相交于F，过N作交于G，并反向延长交于H，过P作于K，并反向延长交于L，证明平行四边形是菱形，可得出，，设，则，，，，根据平行线的性质可得出，，根据含度角的直角三角形的性质可求出，，，，然后根据可求出，最后根据二次函数的性质即可得解． 【详解】解∶（1）如图，过D作于M，过F作于N， 在菱形中，，， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴五边形的面积为：； （2）存在，面积最小值为，此时，理由如下： 如图，延长，相交于F，过N作交于G，并反向延长交于H，过P作于K，并反向延长交于L， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， ∴，， 设，则，，，， ∵，， ∴， ∴，， 同理，，， ∴ ， ∵，， ∴，， 解得：， ∵， ∴函数图象开口向上， ∴当时，四边形的面积最小，最小值为，此时． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用（图形问题），菱形的判定与性质，含度角的直角三角形，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，的图象与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并运用数形结合思想是解题的关键． 5．(24-25九上·陕西商洛洛南县城关中学·期末)如图，某农户要建一个矩形菜地，菜地的一边靠墙（墙长度等于），另外三边用木栏围成，木栏总长为，设菜地边的长为，菜地面积为． (1)求出y与x的函数关系式； (2)当x为多少米时，围成的菜地的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当x为米时，围成的菜地的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用； （1）根据矩形的面积公式建立二次函数的解析式即可； （2）根据二次函数的解析式结合可得，再根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：， ∵墙长度等于， ∴， 解得， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：当x为米时，围成的菜地的面积最大，最大面积是． 地 城 考点12 二次函数实际问题-拱桥问题 1．(24-25九上·陕西西安西安理工大学附属中学·期末)如图，这是一个正在修建中的高速公路隧道，该高速公路隧道的横断面为抛物线，抛物线的最高点离地面的距离为米，宽度为米． (1)以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求该抛物线的表达式． (2)该隧道下方的公路是双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的车辆？请通过计算说明． 【答案】(1)该抛物线的表达式为，自变量的取值范围是； (2)其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆． 【分析】（1）根据题意得出，，，设该抛物线的表达式为，再用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线解析式求出，当时，自变量的值，即可得出在什么范围内能通过题中的车辆，根据题意得出车道需要的宽度，比较即可得解． 【详解】（1）解：依题得：，，， 设该抛物线的表达式为， 将代入得， 该抛物线的表达式为，其中自变量的取值范围是； （2）解：由（1）得，抛物线的表达式为， 则当时，， 解得， 其中，， 即在范围内，可通过高米的车辆， 要使双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带）其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆， 则能通过高米的车辆的宽度至少需为， ， 其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的实际应用，解题关键是熟练掌握二次函数的实际应用． 2．(24-25九上·陕西渭南韩城·期末)如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离． 【答案】(1) (2)摄像头到地面的竖直距离为 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式； （2）令，求出，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，该抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得： ∴该抛物线的函数解析式为 （2）解：依题意，当时， 答：摄像头到地面的竖直距离为 3．(24-25九上·陕西咸阳杨陵区·期末)公路隧道的修建在缩短运行距离、提高运输能力、减少事故等方面起到重要的作用．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，如图1，其最高点P距离地面的高度为4米，宽度为8米．现以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式； (2)在隧道修建过程中，施工队需要搭建矩形支架（由三段组成）对隧道进行装饰，如图2，其中A，D在抛物线上，B，C在地面上，请你帮施工队计算一下这个支架总长的最大值． 【答案】(1)这条抛物线的解析式为； (2)这个支架总长的最大值是10米． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并会利用数形结合思想解答． （1）先求出点，顶点即，然后用待定系数法求解即可； （2）设米、则米，根据周长公式列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵为8米，最高点P距离地面的高度为4米， ∴点，顶点即 设抛物线的解析式为，把点M的坐标代入，得， 解得． 这条抛物线的解析式为； （2）解：∵四边形是矩形， ． 设米、则米，米． 设支架总长为w， 则． ∵， ∴当时， ∴w有最大值，且最大值为， 答：这个支架总长的最大值是10米． 地 城 考点13 二次函数实际问题-投球问题 1．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)排球运动是一种全身性的体育活动，它能够有效提升心肺功能，改善柔韧性和协调性．一名排球运动员在原点O处训练发球，球网高，与原点O的水平距离为，且与地面垂直，球场的边界（点K）与原点O的水平距离为，排球（看作点）从点O的正上方点处发出，排球经过的路径可以看作抛物线的一部分，当排球在距离发出点水平距离时，与地面的垂直距离最大，为，落地点为点H，如图，以点O为原点，点O，M，H，K，所在的直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（图中所有的点均在同一平面内）． (1)求排球经过路径所在抛物线的函数表达式． (2)通过计算判断发出后的排球能否越过球网？是否会出界？ 【答案】(1) (2)能越过球网，不会出界 【分析】本题考查了实际问题与二次函数：投球问题(实际问题与二次函数)，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先依题意，得顶点坐标是，设函数表达式为，再代入进行计算，即可作答． （2）先把代入，得，再令代入，解得，因为，且，即，故不会出界． 【详解】（1）解：∵当排球在距离发出点水平距离时，与地面的垂直距离最大，为， ∴排球经过路径所在抛物线的顶点坐标是， 故设排球经过路径所在抛物线的函数表达式为， 依题意，把代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵球网高，与原点O的水平距离为，且与地面垂直， ∴把代入， 得， ∴发出后的排球能越过球网， 令代入， 得， 解得， 则， ∵，且， ∴， 故不会出界． 2．羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．某次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 8                竖直高度y/m (1)根据上述数据，求y与x之间的函数关系式； (2)已知羽毛球场的球网高度为，当发球点距离球网时，羽毛球能否越过球网？请说明理由． 【答案】(1) (2)羽毛球能越过球网，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意找出顶点坐标，再利用待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）由表格可知抛物线的顶点为，即得出抛物线解析式为，再将点代入，求出a的值即可； （2）令时，求出y的值，再与羽毛球场的球网高度比较即可． 【详解】（1）解：由表格得：抛物线的顶点为，且过点， ∴， ∴， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：羽毛球能越过球网， 理由：当时，， ∴羽毛球能越过球网． 地 城 考点14 二次函数实际问题-喷水问题 1．(24-25九上·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图，以水平方向为轴，喷水池中心为原点，过原点且垂直于轴的方向为轴建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式； (2)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，求扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键． （1）设水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，代入点，求出a值，此题得解； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，代入点可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论． 【详解】（1）解：设水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为， 将代入中得：， 解得：， ∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为． （2）解：当时， ． 设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为． ∵函数的图象过点， ∴， 解得：， ∴改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为， ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 2．(24-25九上·陕西西安西安高新第一中学·期末)为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． (1)求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否能到达点处，并说明理由． 【答案】(1)第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为 (2)水流能到达点处，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意得出第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为，且过，设抛物线的解析式为，用待定系数法解答即可求解； （2）利用平移求出第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，求出的值，即可判断求解． 【详解】（1）解：根据题意得出第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得， ， 第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为； （2）解：由题意得第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为， 令，得， 第二次灭火时水流所在抛物线过点， 水流能到达点处． 3．(24-25九上·陕西榆林高新区·期末)如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置，装置上点A处的喷头向外喷水，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处时达到最高，最高高度为，落点B距离喷水柱底端O处，以地面为x轴，柱形喷水装置所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)在保证水流形状不变的前提下，上下调整喷头A的高度（即上下平移抛物线），使水流的最终落点与点O的距离为，问喷头A应该向哪个方向调整多少？ 【答案】(1) (2)喷头A应该向上调整 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法； （1）由题意得抛物线的顶点为，，由待定系数法设顶点式，即可求解； （2）设向上调高，由抛物线的平移规律得，将代入计算，即可求解； 理解横纵坐标的实际意义，能熟练用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点为，， 设抛物线的表达式为， ， 解得：， 抛物线的表达式； （2）解：设向上调高，则有 ， 经过， ， 解得：， 故喷头A应该向上调整． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $