第2章 二次函数 单元复习 课件 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学课件系统梳理二次函数核心知识，涵盖定义、三种形式、图象性质、系数关系、平移规律、表达式求法、与一元二次方程关系及应用，通过表格对比不同形式性质，搭建从基础定义到综合应用的学习支架，帮助学生逐步构建知识体系。 其亮点在于采用表格化呈现性质与系数关系，直观对比开口方向、对称轴等特征，培养几何直观与抽象能力。平移规律分步骤讲解结合配方，强化运算能力与推理意识。课堂小结结构化梳理知识脉络，助力模型意识形成。学生能系统掌握知识提升应用能力，教师可直接用于复习课提高教学效率。

单元复习(八)　二次函数 一、二次函数的定义 要点梳理 1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)， 那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝c＝0时， y＝ax2是二次函数的特殊形式． 2．二次函数的三种基本形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标． a＞0 开口向上 a ＜ 0 开口向下 x=h (h , k) y最小=k y最大=k 在对称轴左边,x↗ y↘;在对称轴右边, x↗ y↗ 在对称轴左边,x↗ y↗;在对称轴右边, x↗ y↘ y最小= y最大= 二、二次函数的图象和性质 三、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与系数a，b，c的关系 项目字母　　 字母的符号 图像的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b b＝0 对称轴为y轴 ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧 c c＝0 经过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2－4ac b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点) b2－4ac＞0 与x轴有两个交点 b2－4ac＜0 与x轴没有交点 四、二次函数图象的平移 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 五、二次函数表达式的求法 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0) 若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值． 2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式． 3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a的值，最后将解析式化为一般式． 六、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点 一元二次方程 ax2＋bx＋c=0的根 一元二次方程 ax2＋bx＋c=0根的判别式（b2-4ac） 有两个交点 有两个相异的实数根 b2-4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 七、二次函数的应用 2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义． 1．二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)； (2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根及一元二次不等式的解集． C C D (－1，0)，(6，0) (0，－6) －1<x<6 3 2 C B 二次函数 图象画法 抛物线 开口方向 抛物线的顶点坐标和对称轴 二次函数的性质 抛物线的平移 最值 确定 解析式 应用 课堂小结 知识点一：二次函数的图象与性质 1. (1)抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)用配方法把二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y＝a(x－h)2＋k； (3)二次函数图象的画法； (4)用公式法求对称轴为直线x＝－ eq \f(b,2a)，顶点坐标为(－ eq \f(b,2a)， eq \f(4ac－b2,4a))； (5)抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是(x1，0)，(x2，0)，则其对称轴为直线x＝ eq \f(x1＋x2,2). 2. (1)已知二次函数y＝－x2＋2x＋4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是( ) A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是(1，3) C．当x＜1时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有唯一交点 (2)已知二次函数y＝ax2＋bx－c，其中b>0，c>0，则该函数的图象可能为( ) 知识点二：抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k的关系 3. 4. 在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x－1)2＋1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的表达式为( ) A．y＝(x－2)2－1 B．y＝(x－2)2＋3 C．y＝x2＋1 D．y＝x2－1 知识点三：二次函数表达式的确定 5. (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2). 6. 若抛物线的顶点坐标为(1，－ eq \f(9,2))，且经过点(－2，0)，则该抛物线的函数表达式为____________________. y＝ eq \f(1,2)(x－1)2－ eq \f(9,2) 知识点四：二次函数与一元二次方程 7. (1)抛物线与x轴的交点个数的判别； (2)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (3)根据图象确定x取何值时，y>0或y＝0或y<0. 8. 已知抛物线y＝x2－5x－6，那么 (1)与x轴的交点坐标为_____________________； (2)与y轴的交点坐标为____________； (3)对称轴为______________； (4)当x满足____________时，y<0. 直线x＝ eq \f(5,2) 知识点五：二次函数的综合与实际问题 9. (1)二次函数图象与其他函数图象相结合问题； (2)二次函数与方程、几何知识的综合应用； (3)二次函数在实际生活中的应用． 10. 某件商品的销售利润y(元)与商品单价 x(元)之间满足y＝－x2＋6x－7，不考虑其他因素，该商品的单价定为____元时，销售一件该商品获得的利润最大，最大利润为____元． 11. 【例1】抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： 下列结论不正确的是( ) A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x＝ eq \f(1,2) C．抛物线与x轴的一个交点坐标为(2，0) D．函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为 eq \f(25,4) 12. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝－1，则下列结论中：① eq \f(b,c)>0；②am2＋bm≤a－b(m为任意实数)；③3a＋c＜1；④若M(x1，y)，N(x2，y)是抛物线上不同的两个点，则x1＋x2≤－3.其中正确的结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 $$