回顾与思考(二) 二次函数（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 辽宁专用）

回顾与思考(二)　二次函数 第二章 二次函数 数学 九年级下册 北师版 四清导航 D 2 B 　 A　　 　 B　　 　 C　　　 D 3 D 4 2 四 5 6 7 D C 8 9．有一条抛物线，三位同学分别说出了它的一个性质： 甲：对称轴是直线x＝2； 乙：与x轴的两个交点之间的距离为6； 丙：顶点与x轴的交点围成的三角形的面积为9. 请你写出满足上述全部条件的一条抛物线的表达式： 9 A 10 y＝2x－3或y＝－x2＋4x－4_ 11 1＜m＜5 12 13 14 15 B B 16 A 17 销售单价x/(元/台) … 50 60 70 … 月销量y/台 … 90 80 70 … 18 19 20 21 22 23 核心考点1　二次函数的图象与性质 1．(阜新中考)下列关于二次函数y＝3(x＋1)·(2－x)的图象和性质的叙述中，正确的是 ( ) A．点(0，2)在函数图象上 B．开口方向向上 C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点 2．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则二次函数y＝a(x－b)2＋c的图象可能是 ( ) 3．若二次函数y＝a2x2－bx－c的图象过不同的六点A(－1，n)，B(5，n－1)，C(6，n＋1)，D( eq \r(2) ，y1)，E(2，y2)，F(4，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是 ( ) A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3 4.(沈阳于洪区二模)如图，点A在抛物线y＝x2－2x＋3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD长度的最小值为 ______． 5．若二次函数y＝x2－2x－k与x轴没有交点，则二次函数y＝x2＋(k＋1)x＋k的图象的顶点在第 _______ 象限． 6．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B两点，与y轴交于点C，且经过点D(－2，－3). (1)求该抛物线的表达式； (2)若该抛物线上有一点P使△ABP的面积为6， 求点P的坐标． 解：(1)根据题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(0＝9－3b＋c，,－3＝4－2b＋c，))) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝－3，))) ∴该抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3 (2)当y＝x2＋2x－3＝0时，解得x1＝－3，x2＝1，∴点B(1，0)，∴AB＝1－(－3)＝4，∴S△ABP＝ eq \f(1,2) AB·|yP|＝ eq \f(1,2) ·4|yP|＝6，∴yP＝±3.当yP＝xP2＋2xP－3＝3时，解得xP＝－1± eq \r(7) ；当yP＝xP2＋2xP－3＝－3时，解得xP＝0或xP＝－2，∴点P的坐标为(－1＋ eq \r(7) ，3)或(－1－ eq \r(7) ，3)或(0，－3)或(－2，－3) 核心考点2　求二次函数的表达式 7．已知一抛物线与二次函数y＝－5x2的图象的形状和开口方向相同，且顶点坐标为(－1，3)，则它对应的函数表达式为 ( ) A．y＝－5(x－1)2＋3 B．y＝5(x－1)2＋3 C．y＝5(x＋1)2＋3 D．y＝－5(x＋1)2＋3 8．将抛物线y＝2(x－3)2＋2向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度后得到的抛物线的表达式是 ( ) A．y＝2(x－6)2 B．y＝2(x－6)2＋4 C．y＝2x2＋4x－2 D．y＝2x2＋4 y＝－ eq \f(1,3) (x－2)2＋3或y＝ eq \f(1,3) (x－2)2－3 核心考点3　二次函数与一元二次方程 10．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，下列结论正确的个数是 ( ) ①对称轴为直线x＝－1； ②b2－4ac＞0； ③方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝－3，x2＝1； ④不等式ax2＋bx＋c＞3的解集为－2＜x＜0. A．4 B．3 C．2 D．1 11. 规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2＋2(k－1)x＋k－3(k为常数)的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的表达式为 ________________________________． 核心考点4　二次函数的实际应用 12．如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线，摇绳的两位同学拿绳的手的间距为6 m，到地面的距离AC与BD均为0.9 m，绳子甩到最高点E处时距地面的高度为1.8 m．身高为1.4 m的小吉站在距点C水平距离为m m处，若他能够正常跳大绳(绳子甩到最高时超过他的头顶)，则m的取值范围是 _____________． 13．某建筑工程队借助一段废弃的墙体CD(CD的长为18 m)，用76 m长的铁栅栏围成两个相连的长方形仓库．为了方便取物，在两个仓库之间留出了1 m宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1 m宽的缺口作小门．现有如图所示的两份图纸(图纸1的点A在线段DC的延长线上，图纸2的点A在线段DC上)，设AB＝x m，图纸1和图纸2的仓库总面积分别为y1m2，y2m2. (1)分别写出y1，y2与x之间的函数关系式； (2)小红说：“y1的最大值为384，y2的最大 值为507.”你同意吗？请说明理由． 解：(1)在图纸1中，AD＝ eq \f(76＋18＋1－（3x－1）,2) ＝(48－ eq \f(3,2) x)(m)，∴y1＝x(48－ eq \f(3,2) x)＝－ eq \f(3,2) x2＋48x， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x>1，,48－\f(3,2)x>18，))) 解得1＜x＜20，∴y1与x之间的函数关系式为y1＝－ eq \f(3,2) x2＋48x(1＜x＜20)；在图纸2中，AD＝76＋1－(3x－1)＝(78－3x)(m)，∴y2＝x(78－3x)＝－3x2＋78x， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＞1，,78－3x＞1，,78－3x≤18，))) 解得20≤x＜ eq \f(77,3) ，∴y2与x之间的函数关系式为y2＝－3x2＋78x(20≤x＜ eq \f(77,3) ) (2)不同意，理由如下：∵y1＝－ eq \f(3,2) x2＋48x＝－ eq \f(3,2) (x－16)2＋384，1＜x＜20，∴当x＝16时，y1有最大值384；∵y2＝－3x2＋78x＝－3(x－13)2＋507，20≤x＜ eq \f(77,3) ，∴当x＝20时，y2有最大值－3×(20－13)2＋507＝360≠507，∴不同意小红的说法 14．(2023·沈阳)二次函数y＝－(x＋1)2＋2图象的顶点所在的象限是 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．(葫芦岛、铁岭中考)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc>0；②2a＋b＝0；③4a＋b2<4ac；④3a＋c<0.正确的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 16．(2023·铁岭、葫芦岛)如图，∠MAN＝60°，在射线AM，AN上分别截取AC＝AB＝6，连接BC，∠MAN的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM于点F，作EG∥AM交射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是 ( ) 17．(2023·本溪、铁岭、辽阳)商店出售某品牌的护眼灯，每台的进价为40元．在销售过程中发现，月销量y(台)与销售单价x(元/台)之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当护眼灯销售单价定为多少时商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润是多少元？ 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将(50，90)，(60，80)分别代入，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(90＝50k＋b，,80＝60k＋b，))) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝140，))) ∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋140(40≤x≤80) (2)设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元，根据题意，得w＝(x－40)y＝(x－40)(－x＋140)＝－x2＋180x－5 600＝－(x－90)2＋2 500.∵40≤x≤80，∴当x＝80时，w最大值＝－(80－90)2＋2 500＝2 400，∴当护眼灯销售单价定为80元/台时商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2 400元 18．(2023·本溪、铁岭、辽阳)如图，抛物线y＝－ eq \f(1,2) x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B(4，0)，与y轴交于点C(0，4)，点E在抛物线上． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF，EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长； (3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形 OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标． 解：(1)根据题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(0＝－\f(1,2)×42＋4b＋c，,4＝c，))) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(b＝1，,c＝4，))) ∴该抛物线的函数表达式为y＝－ eq \f(1,2) x2＋x＋4 (2)∵点B(4，0)，点C(0，4)，∴直线BC的函数表达式为y＝－x＋4.易得抛物线的对称轴为直线x＝－ eq \f(1,2×（－\f(1,2)）) ＝1，设点E(m，－ eq \f(1,2) m2＋m＋4)，则0＜m＜4，点F(m，－m＋4)，点H(2－m，－ eq \f(1,2) m2＋m＋4)，∴GH＝EF＝－ eq \f(1,2) m2＋m＋4－(－m＋4)＝－ eq \f(1,2) m2＋2m，GF＝EH＝m－(2－m)＝2m－2，∴C矩形EFGH＝EF＋GF＋GH＋EH＝2(－ eq \f(1,2) m2＋2m＋2m－2)＝11，解得m1＝5(舍去)，m2＝3，∴EH＝4 (3)令y＝－ eq \f(1,2) x2＋x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝4，∴点A(－2，0)，∴易得直线AC的函数表达式为y＝2x＋4.设点M(t，2t＋4).∵四边形OENM是正方形，∴OE＝MO，∠EOM＝90°，∴OE可由OM绕点O旋转90°得到．分如下两种情况讨论：①当OE由OM绕点O顺时针旋转90°得到时，则点E(2t＋4，－t).将点E的坐标代入y＝－ eq \f(1,2) x2＋x＋4，得－t＝－ eq \f(1,2) (2t＋4)2＋2t＋4＋4，解得t1＝0，t2＝－ eq \f(5,2) ，∴当t＝－ eq \f(5,2) 时，点M(－ eq \f(5,2) ，－1)，点E(－1， eq \f(5,2) ).又∵ON与ME互相平分，∴xN＝xM＋xE＝(－ eq \f(5,2) )＋(－1)＝－ eq \f(7,2) ，yN＝yM＋yE＝(－1)＋ eq \f(5,2) ＝ eq \f(3,2) ，∴此时点N(－ eq \f(7,2) ， eq \f(3,2) )；当t＝0时，易得点N(4，4)；②当OE由OM绕点O逆时针旋转90°得到时， 则点E(－2t－4，t).将点E的坐标代入y＝－ eq \f(1,2) x2＋x＋4，得－ eq \f(1,2) (－2t－4)2－2t－4＋4＝t，解得t＝ eq \f(－11±\r(57),4) ，∴点M( eq \f(－11－\r(57),4) ， eq \f(－3－\r(57),2) )，点E( eq \f(3＋\r(57),2) ， eq \f(－11－\r(57),4) )或点M( eq \f(－11＋\r(57),4) ， eq \f(－3＋\r(57),2) )，点E( eq \f(3－\r(57),2) ， eq \f(－11＋\r(57),4) )，∴同①可得点N( eq \f(－5＋\r(57),4) ， eq \f(－17－3\r(57),4) )或( eq \f(－5－\r(57),4) ， eq \f(－17＋3\r(57),4) ).综上所述，点N的坐标为(4，4)或(－ eq \f(7,2) ， eq \f(3,2) )或( eq \f(－5＋\r(57),4) ， eq \f(－17－3\r(57),4) )或( eq \f(－5－\r(57),4) ， eq \f(－17＋3\r(57),4) ) $$