专题06 一元一次方程实际应用十二问（重难点培优：知识点总结+十二大考点题型+能力提升练习）2025-2026学年人教版数学七年级上册

专题06 一元一次方程实际应用十二问目录 A · 重难点题型分类 题型1：工程问题…………………………………………………………… 1 题型2：行程问题…………………………………………………………… 4 题型3：配套问题…………………………………………………………… 9 题型4：销售盈亏问题……………………………………………………… 13 题型5：比赛积分问题……………………………………………………… 19 题型6：方案选择问题……………………………………………………… 23 题型7：数字问题…………………………………………………………… 29 题型8：和差倍和比例问题………………………………………………… 32 题型9：电费与水费问题…………………………………………………… 34 题型10：日历问题…………………………………………………………… 38 题型11：古代问题…………………………………………………………… 42 题型12：几何问题…………………………………………………………… 44 B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 49 重难点题型分类 【题型1：工程问题】 【例1】某制衣厂计划若干天完成一批服装的订货任务．每天生产20套服装，就比订货任务少生产100套；每天生产23套服装，就可以超过订货任务20套．问这批服装的订货任务是多少套？原计划多少天完成？ 【答案】这批服装的订货任务是900套，原计划40天完成 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设原计划天完成，根据两种生产方式下，这批服装的订货任务相等建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：设原计划天完成， 由题意得：， 解得， 则（套）， 答：这批服装的订货任务是900套，原计划40天完成． 【变式1-1】甲、乙、丙三人在A，B两块地植树， A地要植树900棵， B地要植树1250棵，已知  甲、乙、丙每天分别植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地 植树，然后转到B 地植树，两块地同时开始，同时结束，乙应该开始后第几天从A地转到B地？ 【答案】11 【分析】本题考查了对工程问题的解答方法的掌握情况，解题关键在于熟练掌握一元一次方程和工程问题的等量关系. 甲、乙、丙三人在植树过程中都没有停，设都干了天，则共植了2150棵树，由此可得出都干了25天．乙在开始后第11天从A地转到B地． 【详解】解：设共干了天， 解得： （棵） （天） 即第11天从A地转到B地． 答：两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第11天从A地转到B地. 【变式1-2】完成一项工程，原计划甲、乙、丙三人合作13天完成．开工前，丙说：我需要完成另一项工程，中途要请假2天．乙说：那样的话我多做4天就可以了．甲说：那我和乙一起多做1天就行了．照这样计算，如果这项工程由甲单独做需要多少天？ 【答案】26 【详解】解：丙2天的工作量，相当于乙4天的工作量，丙的工作效率是乙的工作效率的（倍）， 甲、乙合作1天，与乙做4天一样，也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍， 乙做13天，甲只要天，丙做13天，乙要26天，而甲只要天，他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要天． 【变式1-3】整理一批图书，如果由一个人单独做要用30小时完成， (1)学校现要求6小时完成，假设每个人的工作效率相同，需安排多少人员整理？ (2)现先安排一部分人用1小时整理，随后又增加6人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排多少人员整理？ 【答案】(1)5人 (2)6人 【分析】（1）设需要安排x人，根据题意，得，解方程即可． （2）设现先安排m人用1小时整理，随后又增加6人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作．根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用之工程问题，正确表示工作量，工作效率，工作时间的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设需要安排x人， 根据题意，得， 解得． 答：需要安排5人． （2）解：设现先安排m人用1小时整理，随后又增加6人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作． 根据题意，得， 解得． 答：现先安排6人用1小时整理． 【变式1-4】修一段公路，如果甲、乙两个工程队合修24天可以完成．如果甲队先工作9天，乙队再单独做18天，还剩下全长的没有完成，已知后来有一天因停电甲队少修100米，这一天甲修的米数只占乙一天修的米数的，问：这一段公路全长多少米？ 【答案】8400 【分析】设乙每天可修米，甲每天可修米，这一段公路全长为米，根据“甲队先工作9天，乙队再单独做18天，还剩下全长的没有完成”可列出方程，解方程即可得x，从而完成计算． 本题考查了用一元一次方程解应用题，合理的设未知数并找到等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设乙每天可修米，则甲每天可修米，这一段公路全长为米， 根据题意得， 解得， 则甲每天可修（米）， 这一段公路全长为米． 答：这一段公路全长为8400米． 【题型2：行程问题】 【例1】甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行，经过小时相遇，甲车再行驶小时就能到达地，已知甲车每小时比乙车多行驶．求两地的距离． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设乙车的速度为，则甲车的速度为，根据题意列出方程求出进而即可求解． 【详解】解：设乙车的速度为，则甲车的速度为， 由题意得，， 解得， ∴甲车的速度为， ∴两地的距离为， 答：两地的距离为． 【变式1-1】一个人从县城骑车去乡办厂．他从县城骑车出发，用30分钟时间行完了一半路程，这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米．又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，必须再骑2千米才能赶到乡办厂，求县城到乡办厂之间的总路程． 【答案】县城到乡办厂之间的总路程为米 【分析】本题考查行程问题，设总路程为米，求出原来的速度，进而求出加速后的速度，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】解：2千米米， 设县城到乡办厂之间的总路程为米，由题意，得： ， 解得：； 答：县城到乡办厂之间的总路程为米． 【变式1-2】周末小明和爸爸来到了一处马场体验骑马．马场有一个如图所示的全长为的环形跑道，把跑道从A，B，C，D处分成长度相等的四段，小明和爸爸在骑师的引导下分别从A，D两处同时出发，沿箭头方向相向而行，小明骑小马和爸爸骑大马的平均速度分别为，． (1)多久后两人首次相遇？ (2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过多长时间两人相距？ 【答案】(1)60秒后两人首次相遇 (2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过8秒或72秒时，两人相距 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是看清是相遇问题以及找到两人两人相距，所走得路程． （1）两人分别，两处同时出发，沿箭头方向相向出发，从图上可知首次相遇是个相遇问题，找到路程，知道速度，根据路程等于速度乘以时间，可列方程求解； （2）在首次相遇后第二次相遇前，又经过y秒两人相距，依然是行程问题，找到路程，知道速度，根据路程等于速度乘以时间，可列方程求解； 【详解】（1）解：设秒后两人首次相遇， 依题意得到方程． 解得． 答：60秒后两人首次相遇． （2）解：设又经过秒后两人两人相距， 依题意得或 解得或． 答：在首次相遇后第二次相遇前，又经过8秒或72秒时，两人相距； 【变式1-3】梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名七年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是，人步行的速度是（上、下车时间忽略不计）． (1)若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场； (2)现在带队的老师和一位参赛同学分别设计一种运送方案： 老师方案：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场． 学生方案：8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到某处，然后这4个人步行前往考场，小汽车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场． 他们的各自的方案合理吗？请通过计算说明． 【答案】(1)不能在限定时间内到达考场 (2)他们的方案都合理；理由见解析 【分析】（1）计算出汽车将8人都送到考场所用的时间，然后再与42分钟进行比较即可； （2）算出按老师方案将8人送到考场需要的时间和按学生方案将8人送到考场需要的时间，然后与42分钟进行比较即可． 【详解】（1）解：（分钟）， ∵， ∴不能在限定时间内到达考场． （2）解：老师方案： 设汽车将第一批送到考场再返回与第二批学生相遇所用时间为x小时，根据题意得： ， 解得：， 则将所有学生都送到考场所用的总时间为： （分钟）， ∵ ∴这8个人能在截止进考场的时刻前赶到． 学生方案： ∵两批学生步行速度相等， ∴设第一批学生行驶的路程为，第二批学生行驶的路程为，汽车开始行驶到接上第二批学生则汽车在此过程中行驶的路程为： ， 根据题意得：， 解得：， 则将所有学生都送到考场所用的总时间为： （分钟）， ∴他们也能在截止进考场的时刻前到达考场． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算和一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系，列出方程，解方程． 【变式1-4】如图，水平跑道和的长度分别为米和米，斜坡跑道的长度为米．小明从点出发沿跑道慢跑到达点，小东同时从点出发沿跑道慢跑到达点．他们在水平跑道慢跑的速度都是米分，小明在上坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的一半，小东在下坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的倍． (1)小明在上坡跑道的慢跑速度是______米/分． (2)当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程． (3)当小明和小东相距米时，求小明慢跑的时间． 【答案】(1)50 (2)当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程为米； (3)当小明和小东相距米时，求小明慢跑的时间为分钟或分钟 【分析】（1）根据题意，小明在上坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的一半，即可求解； （2）根据题意，24秒后小东在上，相遇点在上，设相遇时，用时分，根据题意列出一元一次方程即可求解； （3）依题意，当小明和小东相距米时，设小明慢跑的时间为分，分相遇前后两种情况分别讨论，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：依题意，米分， 故答案为：． （2）解：∵（分），（分）， ∴24秒后小东在上，相遇点在上， 设相遇时，用时分，依题意得： 解得： ∴（米） 答：当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程为米； （3）解：由（2）可知相遇点距离点（米） 依题意，当小明和小东相距米时，设小明慢跑的时间为分， ①两人相遇前，小明在线段上，小东在线段上， 依题意：， 解得：， ②两人相遇后，则小明在线段上，小东在线段上， 依题意，， 解得：， 综上所述，当小明和小东相距米时，求小明慢跑的时间为分钟或分钟． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键． 【题型3：配套问题】 【例1】某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是新调入工人人数的3倍多4人． (1)求调整后车间共有多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产120个螺栓或200个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】(1)车间有工人22名； (2)10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人”得：，可解得答案； （2）设名工人生产螺栓，由“1个螺栓需要2个螺母”，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：设调入名工人，根据题意得：， 解得， 调入6名工人； 答：车间有工人（名． （2）解：设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， 每天生产的螺栓和螺母刚好配套， ， 解得， ， 答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 【变式1-1】为迎接新春蛇年的到来，重庆某工厂决定打造新春限定的2025蛇年布鲁克玩具盲盒系列．该工厂将这批新春限定盲盒分为A、B两种包装，工厂共有800名工人．请用一元一次方程解答下列问题： (1)若该工厂生产A种盲盒的人数比生产B种盲盒的人数的2倍少100人，分别求出该工厂生产A种盲盒和B种盲盒的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产新春限定盲盒大礼包，该大礼包由2个A种盲盒和3个B种盲盒组成．已知每个工人平均每天可以生产20种个A种盲盒或10个B种盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产A种盲盒，多少名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】(1)生产B种盲盒的工人300人，则生产A种盲盒500人 (2)工厂应该安排200名工人生产A种盲盒，则600名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）设生产B种盲盒的工人人，则生产A种盲盒人，根据工厂共有800名工人建立方程求解； （2）设工厂应该安排名工人生产A种盲盒，则名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套，由该大礼包由2个A种盲盒和3个B种盲盒组成．已知每个工人平均每天可以生产20种个A种盲盒或10个B种盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒，建立方程求解． 【详解】（1）解：设生产B种盲盒的工人人，则生产A种盲盒人， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：生产B种盲盒的工人300人，则生产A种盲盒500人； （2）解：设工厂应该安排名工人生产A种盲盒，则名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：工厂应该安排200名工人生产A种盲盒，600名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套． 【变式1-2】某手工编织厂名工人在编织一批手工花束．平均每人每天可编织束铃兰或束康乃馨．每束手捧花需要束铃兰和束康乃馨．该车间每天安排多少工人编织铃兰，才能使每天编织的铃兰和康乃馨刚好配套？ 【答案】该车间每天安排名工人编织铃兰，才能使每天编织的铃兰和康乃馨刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设安排名工人编织铃兰，则安排名工人编织康乃馨，根据每束手捧花需要束铃兰和束康乃馨且每天编织的铃兰和康乃馨刚好配套，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设安排名工人编织铃兰，则安排名工人编织康乃馨， 根据题意得：， 解得：， 答：该车间每天安排名工人编织铃兰，才能使每天编织的铃兰和康乃馨刚好配套． 【变式1-3】某工厂里用铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套．现在有36张铁皮，为使盒身与盒底正好配套，应用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底？ 【答案】应用16张铁皮制盒身，20张铁皮制盒底 【分析】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．可设用x张制盒身，则张制盒底，可使盒身与盒底正好配套，根据等量关系：一个盒身与两个盒底配成一套．列出方程求解即可． 【详解】解：设用x张制盒身，则张制盒底， 根据题意，得， 解得． ． 答：应用16张铁皮制盒身，20张铁皮制盒底． 【变式1-4】新冠肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳．一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，应安排多少名工人生产口罩面，多少名工人生产耳绳？ 【答案】10名生产口罩面，16人生产耳绳 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据题意，找出等式关系，列出方程． 设出安排名工人生产口罩面，则人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程． 【详解】解：设安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳， 由题意得， 解得∶， ∴人， 答：安排10名工人生产口罩面，16人生产耳绳． 【变式1-5】列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，而有着少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物盲盒颇受大众关注．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． (1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒B的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】(1)生产盲盒的工人人数为人． (2)该工厂应该安排名工人生产，名工人生产才能使每天生产的盲盒正好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （）设生产盲盒的工人人数为人，则生产盲盒的工人人数为人，根据该工厂共有名工人，列出一元一次方程，解方程即可； （）设安排人生产盲盒，则安排人生产盲盒，根据盲盒大礼包由个盲盒和个盲盒组成．列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产的人数为人，则生产的人数为人， 于是 解得： 答：生产盲盒的工人人数为人． （2）解：设安排人生产，则安排人生产， 于是 解得： （人） 答：该工厂应该安排名工人生产，名工人生产才能使每天生产的盲盒正好配套． 【题型4：销售盈亏问题】 【例1】某乡镇返乡创业青年采用线上方式售卖非遗手工绣花布鞋，已知，两款鞋子的售价均为120元/双，每双款鞋子的成本比款鞋子的成本贵25元．经核算，售出一双款鞋子亏损，那么售出这两款鞋子各一双共赚了或赔了多少钱？ 【答案】售出这两款鞋子各一双共赚了元 【分析】设款鞋子的成本为元/双，则款鞋子的成本为元/双，根据售出一双款鞋子亏损，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入求出的成本，最后求出两双鞋的利润即可求出结论． 【详解】解：设款鞋子的成本为元/双，则款鞋子的成本为元/双． 根据题意，得， 解得，则， （元）． 故售出这两款鞋子各一双共赚了元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【变式1-1】国庆节期间某商场对顾客实行优惠，规定如下：若一次购物不超过200元（含200元），按标价九折优惠，若一次购物超过200元，但不超过500元（含500元），所有商品按标价给予八折优惠，若一次购物超过500元，其中500元按八折优惠之外，超过500元的部分给予七折优惠．某人两次购物分别付款180元和456元，如果他合起来一次去购买同样的商品，他还可以节约多少钱？ 【答案】他合起来一次去购买同样的商品，他可以节约40或22.5元钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设付款180元和456元的标价分别为x元、y元，然后分①付款180元购物不超过200元，②付款180元购物超过200元两种情况，根据优惠方法分别列出方程求解，再根据优惠方法求出合起来一次去购买同样的商品时的付款，再求解即可． 【详解】解：设付款180元和456元的标价分别为x元、y元， ①由题意得，， 解得， ， 解得， 合起来一次去购买同样的商品标价为元， 应付款：元， 节约的钱数元； ②， 解得， 合起来一次去购买同样的商品标价为元， 应付款：元， 节约的钱数元； 答：他合起来一次去购买同样的商品，他可以节约40或22.5元钱． 【变式1-2】因教学需要，学校准备订购个排球和若干根跳绳，经过市场调查后发现排球元个，跳绳 元根． 某体育用品商店提供两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： 方案： 买一个排球送一根跳绳； 方案：排球和跳绳都按定价的付款． 假设订购跳绳根（）． (1)若按方案购买，一共需付款 元； 若按方案购买，一共需付款 元；(用含的式子表示) (2)购买多少根跳绳时，两种方案所省的钱数一样多？ 【答案】(1)，； (2)购买根跳绳时，两种方案所省的钱数一样多． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （）利用“总价单价数量”，结合商店给出的两种优惠方案，可求出选择各方案所需费用； （）根据选择两种方案所省的钱数一样多，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：按方案购买，一共需付款（元）， 按方案购买，一共需付款（元）， 故答案为：，； （2）解：由题意得， 解得：， 答：购买根跳绳时，两种方案所省的钱数一样多． 【变式1-3】服装厂要生产一批某型号套装，已知每5米长的布料可做上衣2件或裤子5条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用米长的这种布料生产套装． (1)请问用多少米的布料做上衣，用多少米的布料做裤子？ (2)某商场以每套元的价格购进了这批服装，定价为每套元，但在运输的过程中，由于司机的疏忽丢失了一包服装，共计套，商场想尽快卖完这批服装，计划打折出售，全部售出后利润率是，求商场计划打几折出售？ 【答案】(1) (2)九二折 【分析】本题考查一元一次方程的应用，打折销售，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设用x米的布料做上衣，米的布料做裤子，根据“一件上衣和一条裤子为一套”为等量关系列方程求解即可； （2）先计算出销售总额，再计算销售单价，然后求折扣率即可． 【详解】（1）解：设用x米的布料做上衣，米的布料做裤子， ， 解得， 米， 答：用400米的布料做上衣，160米的布料做裤子； （2）解：套， 成本：元， 销售额：元， 单价：元， ， 答：商场计划打九二折出售． 【变式1-4】今年元旦期间，晓风家装修．爸爸去买新家具，看到家具店促销活动的规定：根据家具标价，①一次性购物不超过6000元，不享受优惠：②一次性购物超过6000元但不超过10000元一律九折：③一次性购物超过10000元，一律八折．晓风的爸爸根据装修需要，元旦期间先后两次到该家具店购买家具． (1)根据家具标价，晓风爸爸第一次购物超过6000元，实际付费5580元，则晓风的爸爸购买了标价是多少元的家具？ (2)第二次购物晓风爸爸实际付费8640元，则晓风的爸爸本次购买了标价是多少元的家具？ (3)如果晓风爸爸一次性购买这些家具，实际付费超过了13000元，将这些家具运回家中需要支付用车费和人工费．已知人工费是用车费的3倍多，晓风爸爸通过计算发现这次所有费用的支出（购买家具实际费用、人工费和用车费）恰好是这批家具的标价，则运输这批家具的人工费是多少元？ 【答案】(1)晓风的爸爸购买了标价是6200元的家具 (2)晓风的爸爸本次购买了标价是9600元或10800元的家具 (3)运输这批家具的人工费是2600元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）求出标价为10000元的家具打九折后的价格，将其与5580比较后可得出爸爸第一次购买家具的标价低于10000元，利用标价=实际支付费用，即可求出爸爸第一次购买家具的标价； （2）求出标价为10000元的家具打八折后的价格，由8000元8640元9000元，可得出爸爸第二次购买家具的标价可能低于10000元也可能高于10000元，利用标价=实际支付费用或标价=实际支付费用，即可求出爸爸第二次购买家具的标价； （3）将前两次购买家具的标价相加，求出其打八折后的价格，结合晓风爸爸一次性购买这些家具实际付费超过13000元可得出爸爸两次购买家具的标价总和，设运输这批家具的用车费为元，则人工费用为元，根据晓风爸爸通过计算发现这次所有费用的支出（购买家具实际费用、人工费和用车费）恰好是这批家具的标价，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论. 【详解】（1）解：（元），5580元元； （元）， 答：晓风的爸爸购买了标价是6200元的家具． （2）解：（元），8640元元； （元）， （元）， 答：晓风的爸爸本次购买了标价是9600元或10800元的家具． （3）解：（元）， （元），12640元元，与题意不符； （元）, （元），13600元元，符合题意； 设车费为元，则人工费为元， 根据题意列方程得：， 解得，则（元）． 答：运输这批家具的人工费是2600元． 【变式1-5】平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件售价为 元，每件乙种商品利润率为 ； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)60， (2)购进甲商品40件，乙商品10件 (3)13或14件 【分析】（1）根据题意直接列式计算即可； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （3）设第一天购买乙种商品a件，设第二天购买甲种商品b件，然后分别列方程求得，最后求和即可． 【详解】（1）解：（元）， 所以甲种商品每件售价为60元，每件乙种商品利润率为． 故答案为：60，． （2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 由题意得，， 解得：，则． 答：购进甲商品40件，乙商品10件． （3）解：设第一天购买乙种商品a件， 依题意得，， 解得或4.5（舍去）， 所以第一天购买乙种商品5件． 设第二天购买甲种商品b件， 依题意得，， 解得或9， 所以第二天购买甲种商品8或9件， （件）或（件）． 答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共13或14件． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意、找准等量关系、正确列出方程是解答本题的关键． 【题型5：比赛积分问题】 【例1】开学初，张老师在七（2）班组织了一次“疫情防控”知识竞赛，共有30道题，答对一题得4分，不答或答错一题扣2分． (1)设小明同学参加了竞赛，共答对了x道题，则他的成绩是 (用含有x的字母表示) (2)小明同学参加了竞赛，竞赛成绩是84分，请问小明同学在竞赛中答对了多少道题？ 【答案】(1)分 (2)小明在竞赛中答对了24道题 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出正确的代数式为解题关键． （1）小明共答对了x道题，则不答或答错了道题，根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设小明共答对了x道题，则不答或答错了道题， 根据题意：他的成绩为：分， 故答案为：分； （2）根据题意：， 解得：， 答：小明在竞赛中答对了24道题． 【变式1-1】一份数学竞赛试卷有20道选择题，规定做对一题得5分，一题不做或做错■■■■（ 此处因印刷原因看不清楚）．文文做对了16道，但只得了74分，这是为什么？ 【答案】因为试卷规定做错或不做的题每题扣 1.5 分，文文做对 16 题本应得 80 分，但做错或不做 4 题被扣 6 分，所以实际得分是 74 分 【分析】本题主要是考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．文文做对了16道，做对一题得5分，按说应该得80分，但只得了74分，说明一题不做或做错要扣分．设一题不做或做错扣分，根据得分情况来列等量关系．得分扣分，即对的题数错的题数． 【详解】解：设一题不做或做错扣分， 则， 解得： ∴一题不做或做错扣分， 答：因为试卷规定做错或不做的题每题扣 1.5 分，文文做对 16 题本应得 80 分，但做错或不做 4 题被扣 6 分，所以实际得分是 74 分． 【变式1-2】在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 【答案】九（1）班获胜7场 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设九（1）班获胜x场，则平场，根据九（1）班开局11场共积25分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设九（1）班获胜x场，则平场， 根据题意得：， 解得：． 答：九（1）班获胜7场． 【变式1-3】表是某次篮球联赛积分的一部分 球队 比赛现场 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 备注：总积分=胜场积分+负场积分 (1)请问胜一场积多少分？负一场积多少分？（直接写出答案）； (2)某队的胜场总积分能否等于负场总积分的3倍？为什么？ (3)若某队的胜场总积分是负场总积分的n倍，n为正整数，试求n的值． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2)不能，理由见解析 (3)n的值为2，5，12或26 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找准等量关系列出一元一次方程求解即可． （1）根据表格中胜场与负场的次数结合总积分即可求解； （2）设该队胜了m场，则负了场，根据胜场总积分等于负场总积分的3倍，即可得出关于m的一元一次方程解之即可得出m的值，结合m为整数即可得出结论； （3）设该队胜了a场，则负了场，根据胜场总积分等于负场总积分的n倍，结合n为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：由表格中前进球队可知，胜场为10场，负场为4场，总积分为24分， 则有， 同理其他球队也满足，胜场负场总积分， ∴胜一场积2分，负一场积1分； （2）解：不能，理由如下： 设该队胜了m场，则负了场， 若某队的胜场总积分等于负场总积分的3倍， ∴， 解得， ∵m为整数， ∴某队的胜场总积分不能等于负场总积分的3倍； （3）解：设该队胜了a场，则负了场， 根据题意可得，， 解得， 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，分母为零，此时不存在n的值； 综上，n的值为2，5，12或26． 【题型6：方案选择问题】 【例1】又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表： 购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上 参观门票价格（元/人） 50 45 40 35 去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元． (1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？ (2)你能确定两班各有多少名学生吗？ (3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？ 【答案】(1)有，可以节约740元钱 (2)1班有58人，2班有45人 (3)购买151张，总票价为5285元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准确等量关系，要注意考虑全面，购票最省钱的办法就是团体购票． （1）最节约的办法就是团体购票，节省的钱团体票价； （2）分有两种情况：若1班和2班人数都在51～100之间；若1班人数是51～100，2班人数是1～50；分别计算，即可求解； （3）先计算出148人的团体票价，再计算出151人的团体票价，即可求解． 【详解】（1）解：有．可以节约（元）． （2）解：设1班有x人，则2班有人，根据题意，有两种情况： 若1班和2班人数都在51～100之间， （不符合题意，舍去）； 若1班人数是51～100，2班是1～50， ， 解得：， 则， 答：1班有58人，2班有45人； （3）解：若3班也去，则三个班团体购票最合理，三个班的总人数有148人，总票价元． 若买151张票，总票价为元， ∵， ∴最合理的方法是购买151张，总票价为5285元． 【变式1-1】小麦和父母去某火锅店吃火锅，点了270元的商品，其中包含一份50元的鸳鸯锅底．用餐完毕后，小麦去付款，发现店家有两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受． 优惠方式A 可使用“50元抵100元的全场通用代金券”（即面值100元的代金券实付50元就能获得）．店家规定代金券不兑现、不找零，最多可叠加使用3张． 优惠方式B 除锅底不打折外，其余菜品全部打□折． 小麦选择优惠方式B计算，发现自己需要付款182元． (1)请用一元一次方程的知识计算一下，优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打几折？ (2)小麦如何付款最省钱？ 【答案】(1)优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打6折 (2)小麦应买3张代金券最省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打x折，根据锅底费用+菜品的费用列方程，解方程即可求解； （2）计算选用优惠方式A的费用，与优惠方式B比较即可求解． 【详解】（1）优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打x折， 由题意得， 解得， 答：优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打6折； （2）优惠方式A：若买1张代金券，需要付款 (元）； 若买2张代金券，需要付款（元）； 若买3张代金券，需要付款（元）； 因为， 所以选择优惠方式A时，买3张代金券最省钱，需要付款150元； 优惠方式B：需付182元， 故小麦应买3张代金券最省钱． 【变式1-2】某市两超市分别推出如下促销方式：甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元打九折，超过500元的部分打八折．已知两家超市相同商品的标价都一样． (1)当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实际付款分别是多少元？ (2)某顾客在乙超市购物实际付款428元，试问该顾客的选择划算吗？请说明理由． 【答案】(1)甲超市实付款是352元、乙超市实付款是360元 (2)该顾客的选择不划算，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用. （1）根据甲乙两超市的促销方式代入计算即可； （2）根据计算可得该顾客原购物金额不超过500元，甲超市八八折,乙超市九折比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，一次性购物总额是400元时： 甲超市实付款：（元）， 乙超市实付款：（元）， 答：甲超市实付款是352元、乙超市实付款是360元． （2）解：∵（元），， ∴该顾客购物实际金额不多于500元， ∵甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：超过了200元而不超过500元一律打九折； ∴甲超市优惠， ∴该顾客的选择不划算. 【变式1-3】A城有化肥200吨，城有化肥300吨，现要把化肥运往两农村，如果从城运往两地，运费分别为20元/吨与25元/吨；从城运往两地，运费分别为15元/吨与22元/吨，现已知地需要220吨，地需要280吨． (1)设从A城运往农村吨，请用含的式子表示调运总费用； (2)若某种调运方案的总费用是10200元，求：具体的调运方案是怎样的？ 【答案】(1)调运总费用元． (2)A城运往C农村70吨，A城运往D农村130吨，B城运往C农村150吨，B城运往D农村150吨． 【分析】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用等知识点找到各城运往各村的化肥吨数是解题的关键． （1）设从A城运往农村吨，则运往D农村吨，从B城运往C农村，运往D农村吨，然后再根据“总调度费用=A城运往C农村运费+A城运往D农村运费+B城运往C农村运费+B城运往D农村运费”列出含的式子即可； （2）根据等量关系“总调度费用=A城运往C农村运费+A城运往D农村运费+B城运往C农村运费+B城运往D农村运费”列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设从A城运往农村吨，则运往D农村吨，从B城运往C农村，运往D农村吨， 则调运总费用 元． 答：调运总费用元． （2）解：由题意可得：． 解得：． 答：A城运往C农村70吨，A城运往D农村130吨，B城运往C农村150吨，B城运往D农村150吨． 【变式1-4】某校六年级（1）班学生举行春游，若租用45座客车，则有15人没有座位，若租用同样数目的60座客车，则一辆客车空车，已知45座客车租金220元，60座客车租金300元．问： (1)这个学校六年级（1）班学生多少人？（请用方程解） (2)如果你是班长，你认为应该怎样租车，最经济合算？ 【答案】(1)这个学校六年级（1）班有学生人． (2)租用45座客车辆，60座客车辆，最经济合算 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，以及方案问题，解题的关键在于根据题意找出等量关系． （1）设这个学校六年级（1）班有学生人，根据若租用45座客车，则有15人没有座位，若租用同样数目的60座客车，则一辆客车空车，建立方程求解，即可解题； （2）分别算出若全租用45座客车，需要车的辆数，若全租用60座客车，需要车的辆数，再结合45座客车租金220元，60座客车租金300元，讨论得到若两种类型的车都租用，应尽可能的多租用45座客车，费用才会较少，再结合人数分析列式求解，即可解题． 【详解】（1）解：设这个学校六年级（1）班有学生人， 根据题意得：， 解得， 答：这个学校六年级（1）班有学生人． （2）解：，即若全租用45座客车，需要辆， 费用为（元）， ，即若全租用60座客车，需要辆， 费用为（元）， 因为， 所以若两种类型的车都租用，应尽可能的多租用45座客车，费用才会较少， 可考虑租用45座客车辆，60座客车辆，且刚好装完， 费用为（元）， 因为， 所以租用45座客车辆，60座客车辆，最经济合算． 【变式1-5】下表是中国电信两种“套餐”计费方式．（月基本费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费） 月基本费/元 主叫通话/分钟 上网流量 接听 主叫超时部分（元/分/钟） 超出流量部分/（元/） 方式一 免费 方式二 免费 (1)若某月小萱主叫通话时间为分钟，上网流量为，则她按方式一计费需________元，按方式二计费需________元；若她按方式二计费需元，主叫通话时间为分钟，则上网流量为________． (2)若上网流量为，是否存在某主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)若上网流量为，直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱；当每月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式二省钱． 【答案】(1)，， ； (2)； (3)当时方式一比较划算，当方式二比较划算； 【分析】（1）根据方式一、二月基本费加超时费直接计算即可得答案，设上网流量为x，根据费用列方程求解即可得到答案； （2）假设存在根据费用相等列方程求解即可得到答案； （3）由（2）及单价对比可直接得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， ∵小萱主叫通话时间为分钟，上网流量为， ∴方式一收费为：（元）； 方式二收费为：（元）； 设上网流量为x，由题意可得， ， 解得， 故答案为：，，； （2）解：假设存在， ∵， ∴， ∴ 解得：， ∴假设成立，上网流量为当时，方式一和方式二的计费相等； （3）解：∵上网流量为当时，方式一和方式二的计费相等为元， ①当时，方式一费用为：， 方式二费用为：， ， ∴当方式二比较划算． ②当时， 方式一费用为：， 方式二费用为：， 当时，， ∴当时方式一比较划算，当方式二比较划算． 【点睛】本题考查利用一元一次方程解决阶梯收费问题，解题的关键是读懂收费方式找到等量关系式． 【题型7：数字问题】 【例1】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位上与个位上的数字之和是这个两位数的，求这个两位数． 【答案】这个两位数是45 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是找出合适的等量关系列出方程． 首先设十位数字为x，则个位数字为，根据题意可得十位上的数字与个位上的数字之和为，这个两位数是，再根据十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的，可得方程，解方程可得x的值，进而得到答案． 【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为，由题意得： ， 解得， 故十位数字为4，个位数字为5，这个两位数字是45， 答：这个两位数是45． 【变式1-1】观察下面三行数： 4 16 64 …① 2 14 62 ② 3 9 33 …③ (1)第①行第7个数是_____，第①行第n个数是_____； (2)第②行第n个数是_______，第③行第n个数是_______． (3)取每一行的第n个数得到三个数，若这三个数的和为1023，求n的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查代数式及一元一次方程的解法、乘方，熟练掌握代数式及一元一次方程的解法、乘方是解题的关键． （1）根据题意得到数字的规律，然后进行求解即可； （2）由题意易得第二行与第一行对应的数字之间相差2，第三行与第一行对应的数字之间的关系是第一行数字的相反数与1的和等于第三行的数，由此规律可进行求解； （3）根据题意及（2）直接列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 第①行的第7个数是， 由①行的前7个数可得规律为：第n个数是； 故答案为：；； （2）解：由题意得： 第②行的第n个数是第①行的第n个数减去2，故第②行的第n个数是：； 第③行的第n个数是第①行的第n个数的相反数与1的和，故第③行的第n个数是：； 故答案为：；； （3）解：设第①行的第n个数为x，第②行的第n个数是：，第③行的第n个数是：， 由题意得： ，解得：， ∵， ∴． 【变式1-2】爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将一些数字分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将一些数填入了圆圈，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，求代数式的值，正确理解题意是解题的关键．根据题意，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，可列方程，解方程得a，b的值，再代入计算，即得答案． 【详解】横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ， 解得， ． 【变式1-3】有一个六位数，个位数字是1，它除以3后仍是六位数，只是个位上的数字1移到了首位，其余的5个数字及排列顺序不变，求这个六位数． 【答案】428571 【分析】设这个六位数为，根据这个六位数除以3后仍是六位数，个位上的数字1移到了首位，其余的5个数字及排列顺序不变，得到新六位数为，，列方程计算即得． 本题主要考查了一元一次方程的应用——数字问题．熟练掌握列多位数表达式，列方程，是解决问题的关键． 【详解】设这个六位数为， 则， 解得． 答：这个六位数是428571． 【题型8：和差倍和比例问题】 【例1】红星机床厂，今年生产机床台，比去年产量的 倍还多台，去年生产机床多少台？ 【答案】去年生产机床台． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设去年生产机床台，由题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键 【详解】解：设去年生产机床台， 由题意得：， ， 答：去年生产机床台． 【变式1-1】某学校有小学部和初中部，在对口援助边远山区学校活动中，原计划共赠书册，由于学生的积极响应，实际赠书册，其中小学部比原计划多赠了，初中部比原计划多赠了，问该校初中部原计划赠书多少册？ 【答案】该校初中部原计划赠书册． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该校初中部原计划赠书册，则小学部赠书部，依题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该校初中部原计划赠书册，则小学部赠书册， 依题意得：， 解得：， 答：该校初中部原计划赠书册． 【变式1-2】甲、乙两个仓库存化肥的质量比是12∶11，后来乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少 ，乙仓库原来存化肥多少吨？ 【答案】吨 【分析】本题考查了一元一次房产的应用，根据比例设未知数，由乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少 ，列方程即可求解. 【详解】解：设甲仓库存化肥的质量为吨；乙仓库存化肥的质量为吨；依题意得： ， 解得：， 乙仓库存化肥的质量为吨， 答：乙仓库原来存化肥吨 【变式1-3】有一户人家，父亲和儿子同一天过生日．若父子两人的年龄加起来是100岁，则称为“百岁父子”．已知父亲38岁时，儿子10岁，现在父亲是儿子年龄的2倍，请解决如下问题： (1)现在父亲多少岁？ (2)再过几年，父子两人可以称为“百岁父子”？ 【答案】(1)父亲现在的年龄为56岁 (2)8年 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设现在儿子岁，根据父子年龄差始终不变列方程求解即可； （2）设再过年父子两人可以称为“百岁父子”，根据父子两人年龄和为100岁列方程求解即可． 【详解】（1）解：设现在儿子岁，则父亲岁． 根据题意，得， 解得， 答：父亲现在的年龄为56岁． （2）解：设再过年父子两人年龄和为100岁． 则 解得 答：再求再过8年成为“百岁父子”． 【题型9：电费与水费问题】 【例1】为鼓励居民节约用电，某市实行阶段电价收费制，具体执行方案如表： 阶段 每户每月用电（度） 执行电价（元/度） 第一段 小于等于 第二段 大于小于 第三段 大于等于 某户居民五六月份共用电度，缴电费元．已知该用户六月份用电量大于五月份．问该户居民五、六月份用电多少度？ 【答案】五月份用电度，六月份用电度 【分析】本题考查了利用分类讨论的方法，列出一元一次方程来解决实际问题，总价=单价×数量是解决本题的关键．根据两个月份用电量共是度，六月份用电量大于五月份用电量．分两种情况来讨论．①五月份用电量小于度；②五月份用电量大于度，分别列出方程求解即可． 【详解】解：设五月份用电量为，则六月份用电量为， ∴该用户六月份用电量大于五月份， ∴ 当五月份用电量时，六月份用电量一定大于． 当六月份电量小于时， 根据题意可列方程： 解得，不符合题意． 当六月份电量大于等于时， 根据题意可列方程： 解得： 六月份电量为： ②当五月份用电量且六月份用电量为． 根据题意可列方程： 方程无解，不符合题意． 答：五月份用电度，六月份用电度． 【变式1-1】某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12 吨但不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元／吨） a 2 某用户 12月份用水8吨，交水费 12元． (1)求a的值； (2)小明家 12月份交水费50元，求小明家 12月份用水量． 【答案】(1) (2)26吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题目意思，根据题意正确列出方程求解是解题的关键； （1）根据题意列方程求解即可； （2）先判断12月份用水量在哪个阶段，再根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：如果一个月用水12吨，则需水费为（元），， 如果一个月用水18吨，则需水费为（元），， 所以12月份用水量超出了18吨， 设小明家 12月份用水量为x吨， 由题意，得， 解得， 答：小明家 12月份用水量为26吨． 【变式1-2】某地用电收费标准规定：如果每月每户用电不超过150度，那么每度电0.5元；如果该月用电超过150度，那么超过部分每度电0.8元． (1)小张家一月份用电120度，那么这个月应缴电费 元； (2)若小张家一个月用电度（），那么这个月应缴电费多少元？（用含的式子表示） (3)若小张家十月份缴电费135元，请求出他十月份用电多少度？ 【答案】(1)60 (2)（）；（） (3)225 【分析】本题考查分段计费，熟练掌握阶梯电价，单价与单价和数量的关系，列代数式以及一元一次方程的应用，分类讨论缴费情况，代入求值，是解决问题的关键． （1）根据，结合电费=单价×度数，列式求值即可， （2）根据“如果每月每户用电不超过150度，那么每度电0.5元；如果该月用电超过150度，那么超过部分每度电0.8元”分别讨论和时，这个月应缴纳的电费，列出关于a的整式， （3）根据可得十月份电费超过150度，据此列方程计算即可 【详解】（1）解：∵， ∴用电收费标准为每度电0.5元， ∴（元）． 故答案为：60． （2）解：当时，应缴电费（元）； 当时，应缴电费（元）． （3）解：设小张家十月份用电x度， ∵， ∴小张家十月份用电超过150度， ∴， 解得． 答：小张家十月份用电225度． 【变式1-3】为鼓励居民节约用电，某市试行每户每月阶梯电价加收费制，具体执行方案如表： 每户每月用电数（度）阶段 阶段电价（元/度） 小于等于200 大于200小于等于300的部分 大于300的部分 例如：一户居民五月份用电260度，则需缴电费（元）． (1)若小莹家六月份用电310度，则需缴电费多少元？ (2)已知小悦家四、五月份共用电360度，其中四月份用电量大于五月份用电量，共缴电费199元，问小悦家四、五月份各用电多少度？ 【答案】(1)需缴电费183元； (2)小悦家四月份用电210度，五月份用电150度． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）先根据题意列式，然后运用有理数混合运算法则计算即可； （2）设小悦家四月份用电x度，则五月份用电度，分，及三种情况考虑，根据小悦家四、五月份共缴电费199元，可列出关于x的一元一次方程求解并取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （元）． 答：需缴电费183元． （2）解：设小悦家四月份用电x度，则五月份用电度， 当时，，不符合题意； 当时，， 解得：， ∴（度）； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：小悦家四月份用电210度，五月份用电150度． 【题型10：日历问题】 【例1】如图，在日历上任意框出6个数．如果框出的6个数的和是，框出的6个数分别是多少？ 【答案】，，，，， 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，用含的代数式表示其他5个数．从图中框出的6个数发现：是这6个数中最小的数，其它5个数分别与的关系分别是：，，，，；据此设框出的6个数中最小的数是，那么其它5个数分别是，，，，，它们的和等于，列出方程并求解． 【详解】解：设这6个数中最小的数是，则其它5个数分别是，，，，， ， 其它5个数是：，，，，， 答：框出的6个数分别是，，，，，． 【变式1-1】观察某月日历，回答下列问题： (1)观察图中的阴影部分的个数，你知道他们之间有什么关系吗？写出你认为正确的一个结论； (2)小强一家外出游玩了天，这天的日期之和是，小强一家几号外出的？ (3)像上面第（1）题那样现在要用一个方框去框该月历上的九个数，这九个数的和可能是吗？如果不能，请说明理由；如果能，请求出框出的这九个数． 【答案】(1)上下相差，左右相差 (2)小强一家是号外出 (3)能，这9个数分别为12，13，14，19，20，21，26，27，28 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是得出数字排列规律． （1）通过观察发现：上下相差；左右相差； （2）由已知直接表示出这个数和等于，即可求出； （3）分别表示出这个数，根据这个数的和是，得出方程，解出的值后判断即可． 【详解】（1）解：由图形可得：上下相差，左右相差； （2）解：设小强一家号外出， 由题意得：， 解得：， 答：小强一家是号外出； （3）解：设最中间的一个数为， 则这九个数可表示为：，，，，，，，，， 由题意得，， 解得：， 这个数的和可能是，这9个数分别为12，13，14，19，20，21，26，27，28． 【变式1-2】将连续的奇数1，3，5，7，9，…-排成如图所示的数表． (1)十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，若设中间数为x，请用含x的代数式表示十字框中五个数之和，写出解答过程； (3)十字框框住的五个数之和能为205吗？若能，分别写出框住的这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)十字框中的五个数之和是中间数15的5倍 (2) (3)十字框框住的五个数之和不能为205，理由见解析 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，整式的加减计算，一元一次方程的运用，理解数量关系，掌握整式的加减，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则计算即可； （2）运用代数式表示数或数量关系，运用整式的加减运算即可求解； （3）根据题意，运用一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴十字框中的五个数之和是中间数15的5倍； （2）解：设中间数为x， ∴中间上面的数为，中间下面的数为，中间左边的数为，中间右边的数为， ∴； （3）解：十字框框住的五个数之和不能为205，理由如下： 根据题意，， 解得，， ∵41在第一列，不可能是中间的数， ∴十字框框住的五个数之和不能为205. 【变式1-3】如图为2025年1月的日历，其中有一个“H”形框，希望我们在新的一年“Happy”（开心学习，热爱生活）．“H”形框内包含7个数． 2025年1月 一 二 三 四 五 六 日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)将“H”形框上下左右平移，但一定要框住2024年1月的日历中的7个数，若设“H”形框内的7个数中，从小到大排列第4个数为a，用含a的式子表示“H”形框内的7个数字的和为_____； (2)将“H”形框上下左右平移，设“H”形框内的7个数字之和为112．请求出此时“H”形框中的7个数中最小的数； (3)若某两次在不同位置框住的7数之和分别为m，n，且，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)8 (3)63 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式的加法计算，有理数的加法计算，正确理解题意列出式子和方程是解题的关键． （1）分别表示出其余6个数，然后根据整式的加法计算法则求解即可； （2）设“H”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a，由（1）的结论列方程求解可得到答案； （3）设“H”形框内的7个数中，从小到大排列第4个数分别为，，由可得，结合日历可得时，； 时，；时，，分别求出的值即可得解． 【详解】（1）解：设“H”形框内的7个数中，从小到大排列第4个数为a，则其余6个数依次为 、、、、、，则这7个数的和为： ， 故答案为：； （2）解：由（1）得，， 解得， 此时最小的数为； （3）解：设“H”形框内的7个数中，从小到大排列第4个数分别为，， ， ， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 的最大值为63. 【题型11：古代问题】 【例1】中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐人，则辆车无人乘坐；若每车乘坐人，则人无车可乘，问共有多少辆车，多少人？ 【答案】有辆车，个人． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设有辆车，若每车乘坐人，则辆车无人乘坐，则总人数可表示为；若每车乘坐人，则人无车可乘，则总人数可表示为，可列方程：，解方程求出车的数量，根据车的数量求出人数即可． 【详解】解：设有辆车， 根据题意可得：， 解得：， 人数为：(人)， 答：共有辆车，个人． 【变式1-1】《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”设大和尚有人，依题意列方程得（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设大和尚有人，则小和尚有人，根据“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个”列出一元一次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设大和尚有人，则小和尚有人， 由题意可得：， 故选：D． 【变式1-2】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”大意是：有一个人走了378里路，第一天健步行走，第二天因脚疼，每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．请计算此人第二天走的路程．(注：里，古代长度单位) 【答案】96里 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分数乘法的应用，根据题意每天行走的路程为前一天的，所以可以设第一天走的路程为x，那么第二天走的路程为，第三天走的路程为的是，以此类推，六天行走的路程是378里，根据这一等量关系列方程解答即可． 【详解】解：，，， ， 设此人第一天走了x里路，则第二天走了里路． 则， ， （里） 答：此人第二天走了96里． 【变式1-3】《九章算术》是我国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，此专著中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5文钱，则相差45文钱；若每人出7文钱，则仍然相差3文钱，求买羊的人数和这头羊的价格． 【答案】买羊的人数为21人，这头羊的价格是150文 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设有x人买羊，根据羊的价格不变，即可列出方程求解． 【详解】解：设有x人买羊，则这头羊的价格是文， 根据题意得：， 解得：， ， 答：买羊的人数为21人，这头羊的价格是150文． 【题型12：几何问题】 【例1】为践行劳动教育，学校特意划出一块长方形土地供学生劳作．如图，长方形土地一面靠墙，现将不靠墙的三面向内推进x米修建小路，在小路内侧用篱笆围出一块长方形菜地． (1)当时，篱笆的长度为 米． (2)用x的代数式表示篱笆的长度．（列式并化简） (3)若篱笆长度为36米，求小路的宽度． 【答案】(1)32 (2)米 (3)1米 【分析】（1）根据图形列式计算即可； （2）根据图形列出代数式即可； （3）根据篱笆长度为米列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（米）， 答：篱笆的长度为米； （2）解：米， 答：篱笆的长度为米； （3）解：当篱笆长度是米时，根据解析（2）可得： ， 解得：， 答：小路的宽度为米． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，数形结合，利用方程思想解决问题． 【变式1-1】小明和小慧两位同学在数学活动课上，把长为，宽为的若干张长方形白纸条粘合起来，小明按如图甲所示的方法粘合起来得到长方形，粘合部分的长度为，小慧按如图乙所示的方法粘合起来得到长方形，粘合部分的长度为． (1)求5张白纸条分别按图甲和图乙粘合后，总长度分别为多少厘米？ (2)用x张白纸条按甲粘合后，总长度为多少厘米？ (3)若长为，宽为的长方形白纸条共有100张，则应分给小明多少张长方形白纸条，才能使小明和小慧按各自要求粘合起来的长方形面积相等（要求100张长方形白纸条全部用完）． 【答案】(1)总长度分别为126厘米和34厘米 (2)总长度为厘米 (3)则应分给小明43张白纸条，才能使小明和小慧按各自要求粘合起来的长方形面积相等 【分析】本题考查了列代数式解决实际问题及一元一次方程的应用，解题的关键是明确“张纸条粘合时，重叠部分有个”，再根据甲、乙两种粘合方式的不变量（甲保持宽不变、乙保持长不变）分别计算总长度，最后结合面积相等关系列方程求解． （1）图甲：5张纸条总长度为，减去个粘合部分（每个），即；图乙：5张纸条总宽度为，减去个粘合部分（每个），即； （2）张纸条按甲粘合，总长度为，化简代数式； （3）设分给小明张，则小慧得张，分别表示甲、乙粘合后的长方形面积，根据面积相等列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：图甲粘合后总长度：， 图乙粘合后总长度：， 答：5张白纸条按图甲、图乙粘合后总长度分别为126厘米、34厘米． （2）解：张白纸条按甲粘合后总长度：， 答：用张白纸条按甲粘合后，总长度为厘米． （3）解：设分给小明张白纸条，则分给小慧张白纸条． 小明粘合后长方形面积：， 小慧粘合后总长度： 小慧粘合后长方形面积：， 由面积相等得：， 两边除以10：， 展开右边：， 移项：， 合并同类项：， 解得：． 答：应分给小明43张长方形白纸条． 【变式1-2】（1）如图，是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，求这个长方形色块图的面积？ （2）某工厂在此图案的基础上，加工制作出地毯，并按成本价提高40%后标价，又以八折出售可获得利润60元． ①求该商品的成本价为多少元？ ②若按七五折（即75%）出售则可获得利润多少元？ 【答案】（1）143 （2）①该商品的成本价为500元；②按七五折（即）出售则可获得利润25元 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，找出等量关系并列出方程是解题的关系． （1）设右下方两个相等的正方形的边长为x，用含x的代数式分别表示这些正方形的边长，再根据长方形的对边相等建立方程求解； （2）①根据营销问题的等量关系列方程求解；②根据利润=售价-成本求解即可． 【详解】解：（1）设右下方两个相等的正方形的边长为x， ， ， ， 则这个长方形色块图的面积为， 故答案为：143； （2）①设商品的成本价为x， ， ， 答：该商品的成本价为500元； ②． 答：按七五折（即）出售则可获得利润25元． 能力提升 一、单选题 1．（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款风扇每台的标价为元，根据按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为元，根据按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元可得风扇的进价为元，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这款风扇每台的标价为元， 由题意得，， 解得， ∴这款风扇每台的标价为350元， 故选：A． 2．（2025·四川资阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第2关收税金为此时所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，第5关收税金为此时所持金的五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（   ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设原本持金为斤，逐关计算税金并求和，根据已知列方程，然后解方程求得即可． 【详解】解：由题意，第1关收税：，剩余， 第2关收税：，剩余， 第3关收税：，剩余， 第4关收税：，剩余， 第5关收税：， 则五关税金之和为， 根据题意，总税金为1斤，得， 解得 故原本持金为斤， 故选：A． 二、填空题 3．（2025·四川宜宾·中考真题）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则 ． 【答案】58 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设，那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）且为这四个值分别是45、46、47、48；再说明，然后分四种情况解答即可． 【详解】解：设，那么去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为； ∵已知这五个和只有四个不同的值， ∴不妨设， 那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）． ∵这四个值分别是45、46、47、48， ∴，即， ∵ ∴， ∴，即； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 综上，，即． 故答案为：58． 三、解答题 4．（2025·安徽·模拟预测）2024年底，蚌埠市交通运输局发布消息：G36宁洛高速公路明光至蚌埠段改扩建工程已顺利通过交工验收．全线采用双向八车道高速公路标准改扩建．目前已交付使用，大大缓解了G36宁洛高速安徽段的交通压力．施工中，对路面沥青的要求极高．某天，化验室要检测4桶沥青，共重55千克．如果第一桶减少3千克，第二桶增加2千克，第三桶减少一半，第四桶增加一倍，那么4桶沥青重量相等．问原来每桶沥青各有多少千克？ 【答案】原来每桶沥青分别为15千克、10千克、24千克和6千克 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设四桶重量分别为a、b、c、d，四桶重量相等时为x．用含x的式子表示出a、b、c、d，再根据列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设四桶重量分别为a、b、c、d，四桶重量相等时为x． 由题意得：，， 则，，，， ∴， 解得： ∴，，，， 答：原来每桶沥青分别为15千克、10千克、24千克和6千克． 5．（2025·北京·模拟预测）年，为加力支持消费者购买绿色智能家电，增添绿色消费新动力，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，补贴期间，对在京个人消费者购买一级和二级能效(水效)的冰箱(含冰柜)、洗衣机(含洗烘一体机)、电视、空调、电脑(含学习机)、热水器(含壁挂炉)、家用灶具(含集成灶)、吸油烟机等类家电产品予以以旧换新补贴．补贴标准：一级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴；二级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴，每位消费者每类产品可补贴件，每件补贴不超过元． 已知在补贴期间，一位顾客购买了一台一级能效的电脑和一台二级能效的洗衣机，共花费元，比补贴前便宜了元，若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜多少元？ 【答案】若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该顾客购买的电脑补贴前售价为元，则他购买的洗衣机补贴前的售价为元，根据题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该顾客购买的电脑补贴前售价为元，则他购买的洗衣机补贴前的售价为元， 根据题意得， 解得：， ∴（元）， 答：若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜元． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）初一年级某班为学科节游园会准备制作一批益智玩具作为奖品，并为每一个玩具配备两个手绘学科节图标．如果该班有28名学生参与制作奖品，每人每天平均能组装玩具24个，或绘制图标16个．那么应分配多少名学生组装玩具，多少名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和绘制的图标刚好配套？ 【答案】应分配7名学生组装玩具，21名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和图标刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设应分配x名学生组装玩具，则分配名学生绘制图标，根据绘制图标的总数量是组装玩具总数量的2倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设应分配x名学生组装玩具，则分配名学生绘制图标，根据题意得： ， 解得：， 人 答：应分配7名学生组装玩具，21名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和绘制的图标刚好配套． 7．（2025·广西南宁·三模）综合与实践 【阅读材料】秋冬季节是流行性感冒的多发季节．针对这一情况，各中小学和幼儿园都制定了严格的消毒工作机制．据了解，消毒主要使用二氧化氯喷雾消毒溶液． 【问题背景】市场上销售的某品牌的二氧化氯（溶质）消毒片，可直接溶于水（溶剂），制得二氧化氯消毒溶液．如表是二氧化氯消毒片的相关信息： 产品名称 产品规格 有效成分 用途 二氧化氯消毒片 每片质量1克 二氧化氯含量 消毒杀菌 已知：溶液浓度．请解答下列问题： 【解决问题】 (1)消毒人员欲配制3千克浓度为的二氧化氯溶液用于物品的消毒，刚好需要用该消毒片3片，求的值． (2)教室使用的消毒液浓度要比物品使用的消毒液浓度低，消毒人员用6千克浓度为的二氧化氯溶液，可稀释成多少千克浓度为的消毒溶液？稀释过程中需加水多少千克？ 【答案】(1) (2)可稀释成12千克浓度为的消毒溶液，稀释过程中需加水6千克． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数乘除法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据3片消毒片中二氧化氯的含量与3千克浓度为的二氧化氯溶液中二氧化氯的含量相等建立方程求解即可； （2）求出6千克浓度为的二氧化氯溶液中二氧化氯的含量，再除以即可求出可稀释成的溶液质量，再减去原来溶液的质量即可求出加水的质量． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得． （2）解：千克， ∴可稀释成12千克浓度为的消毒溶液， 千克， ∴稀释过程中需加水6千克； 答：可稀释成12千克浓度为的消毒溶液，稀释过程中需加水6千克． 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某生物实验室推出了两种样本冷冻存储方案．若每月支付75元基础管理费，则每个样本存储费为3元/月；若每月不支付基础管理费，则每个样本存储费为6元/月．某科研团队6月份存储了若干生物样本，发现两种方案的总费用相同，求该科研团队6月份存储的样本数量． 【答案】该科研团队6月份存储的样本数量为25个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该科研团队6月份存储的样本数量为x个，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求出答案． 【详解】解：设该科研团队6月份存储的样本数量为x个， 依题意，得， 解得， 答：该科研团队6月份存储的样本数量为25个． 9．（2025·陕西咸阳·一模）月日是植树节，许多家庭积极参与植树活动，为建设美丽中国，共同谱写人与自然和谐共生的中国式现代化新篇章．在一次家庭植树活动中，甲组家庭植树的棵数比乙组家庭多，乙组家庭植树的棵数比甲组家庭的一半多棵，求甲、乙两组家庭共植树多少棵． 【答案】甲、乙两组家庭共植树棵． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设乙组家庭植树棵，则甲组家庭植树棵，根据题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设乙组家庭植树棵，则甲组家庭植树棵， 根据题意得：， 解得． ∴． 答：甲、乙两组家庭共植树棵． 10．（2025·河北唐山·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为． (1)请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； (2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意，整理出代数式进行分析即可； （2）根据题意，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 得到的新的两位数为， ，且为整数， 这个新的两位数能被9整除； （2）解：由题意， 得， 解得． 11．（2025·陕西西安·模拟预测）随着电影《哪吒2》的热映，其周边产品引起抢购热潮，多地出现断货现象，为了加快补货，某哪吒盲盒生产线采用新旧流水线同时工作的模式．已知1条新流水线和1条旧流水线同时工作1小时共加工100个哪吒盲盒，2条新流水线和5条旧流水线同时工作1小时共加工320个哪吒盲盒．求1条旧流水线每小时可加工多少个哪吒盲盒？ 【答案】1条旧流水线每小时可加工40个哪吒盲盒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设1条旧流水线每小时可加工x个哪吒盲盒，则1条新流水线每小时可加工个哪吒盲盒，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设1条旧流水线每小时可加工x个哪吒盲盒，则1条新流水线每小时可加工个哪吒盲盒， 根据题意得：，解得：． 答：1条旧流水线每小时可加工40个哪吒盲盒． 12．（2025·河北邯郸·二模）为推广垃圾分类，某社区设置智能回收箱，居民投放可回收物后，设备自动称重并计算积分．已知1千克塑料可兑换8积分，1千克废纸可兑换12积分．嘉嘉投放了千克塑料和千克废纸，淇淇的塑料投放量是嘉嘉的2倍，废纸投放量比嘉嘉少3千克． (1)用含的式子分别表示嘉嘉和淇淇的积分； (2)淇淇的积分能否是嘉嘉的2倍？请说明理由． 【答案】(1)嘉嘉：，淇淇： (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，正确读懂题意是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）若淇淇的积分是嘉嘉的2倍，则，整理求解出，不符合实际，即可说明． 【详解】（1）解：嘉嘉的积分为， 淇淇的积分为． （2）解：不能．理由如下： 若淇淇的积分是嘉嘉的2倍，则， 去括号，得， 整理，得， 解得，不符合实际， 淇淇的积分不能是嘉嘉的2倍． 13．（2025·安徽合肥·三模）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？ 【答案】人数为人，买鸡的钱为钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找等量关系是解题的关键．设人数为，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设人数为，根据题意得， 解得：， ∴买鸡的钱数为：， 答：人数为人，买鸡的钱为钱． 14．（2025·陕西延安·三模）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校手工兴趣小组组织了包粽子活动．包肉粽和蜜枣粽的学生共有50名．包的过程中，发现包肉粽的人手不足，因此从包蜜枣粽的学生中抽调3人去包肉粽，则此时包肉粽的人数比包蜜枣粽的人数少4人．请问原有多少人包蜜枣粽？ 【答案】30人 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设原有人包蜜枣粽，则包肉粽有人，根据“从包蜜枣粽的学生中抽调3人去包肉粽，则此时包肉粽的人数比包蜜枣粽的人数少4人”建立一元一次方程求解． 【详解】解：设原有人包蜜枣粽， 由题意得：， 解得：， 答：原有30人包蜜枣粽． 15．（2025·湖南长沙·三模）近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 1 B 4 C 7 D E 0 (1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分； (2)参赛者得分，他答对了几道题？ (3)参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明． 【答案】(1)4，1 (2)答对了道题 (3)参赛者不可能得分，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据参赛者E的得分情况可求出每答对一道题所得分值，据此即可求解； （2）设参赛者答对了道题，由题意得：据此即可求解； （3）假设他得了分，设他答对道题，根据题意得：，解得，据此即可判断； 【详解】（1）解：根据参赛者E的得分情况可知：每答对一道题得分； 根据参赛者A的得分情况可知：每答错一道题得分； 故答案为：4，1 （2）解：设参赛者答对了道题，由题意得： 解得：， 答：参赛者答对了道题 （3）解：参赛者不可能得分， 理由：假设他得了分，设他答对道题， 根据题意得：， 解得，不是正整数，所以假设不成立， 故参赛者不可能得分． 16．（2025·北京大兴·二模）列方程（组）解应用题： 五一期间，在“国家补贴+商场直降”双重优惠推动下，消费者家电换新需求得到充分激活．国家补贴政策是购买两款空调均可享受原价的国家补贴；商场促销规则是购买空调的原价不低于4000元时，享受国家补贴后商场再直降500元，购买空调原价低于4000元时，只享受国家补贴．已知款空调原价（高于4000元）比款空调原价（低于4000元）的2倍少300元．若按此销售规则购买一台款空调比一台款空调多花1500元，购买一台款空调和一台款空调与原价比共节省多少元？ 【答案】购买一台款空调和一台款空调与原价比共节省2120元 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设一台款空调的原价为元，则一台款空调的原价为元，再根据题意建立方程求出，再计算节省的费用． 【详解】解：设一台款空调的原价为元，则一台款空调的原价为元， 由题意可知， ． 解得：， ， 所以， 答：购买一台款空调和一台款空调与原价比共节省2120元． 17．（2025·陕西西安·模拟预测）2024年，我国快递业务量首次突破1700亿件，提高分拣效率、降低分拣成本对于物流公司越发迫切．某快递公司引进了具有分拣功能的智能机器人，经过调查发现，一台智能机器人每小时分拣快递的数量比一个分拣员每小时分拣快递的数量的5倍还多10件，若一个分拣员和一台智能机器人同时工作，1小时共分拣快递730件，则每台智能机器人每小时分拣快递多少件？ 【答案】每台智能机器人每小时分拣快递610件． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设1个分拣员每小时分拣快递x件，根据一台智能机器人每小时分拣快递的数量比一个分拣员每小时分拣快递的数量的5倍还多10件，若一个分拣员和一台智能机器人同时工作，1小时共分拣快递730件，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设1个分拣员每小时分拣快递x件，则1台智能机器人每小时分拣快递件，根据题意，可列方程为， 解得， （件）， 答：每台智能机器人每小时分拣快递610件． 18．（2025·安徽淮北·三模）我国古代《孙子算经》记载了“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”其意思是“每3人共乘一辆车，恰好空余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”求人和车的数量． 【答案】有39人，15辆车 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设有x个人，根据每3人共乘一辆车，恰好空余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，再建立方程求解即可． 【详解】解：设有x个人，则根据题意列方程，得， 解得． 车的数量为． 答：有39人，15辆车． 19．（2025·云南昆明·模拟预测）学校开展“生活中的数学问题”学习活动，某小组选择“汽车轮胎换位问题”为研究方向． 【问题背景】随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮的轮胎换位的建议． 【数据信息】 1、汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到6万公里时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到8万公里时报废． 2、轮胎的磨损量等于汽车行驶的单位路程的磨损量乘以汽车行驶的路程． 【问题解决】 (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为___________； (2)如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少万公里时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？（同时报废：两对轮胎的总磨损量均为1） 【答案】(1) (2)万公里 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出方程是解题的关键． （1）根据前轮在汽车行驶达到6万公里时报废，即可求得前轮在行驶1万公里时的磨损量； （2）前轮的磨损量为，后轮的磨损量为，设行驶x万公里时，前后轮交换后两对轮胎同时报废，前轮剩余的磨损量为，后轮剩余的磨损量为，根据两轮胎同时报废的时间相同，即可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由于前轮在汽车行驶达到6万公里时报废，则前轮在行驶1万公里时的磨损量为； 故答案为：． （2）解：设行驶x万公里时，前后轮交换后两对轮胎同时报废，前轮剩余的磨损量为，后轮剩余的磨损量为， 根据交换后两对轮胎报废的时间相同得：， 解得：（万公里）； 答：应在汽车行驶里程达到万公里时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废． 20．（2025·黑龙江佳木斯·二模）开放性问题 某校九年级共有300名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少30人． (1)设女生人数为x人，用含x的代数式表示全校学生人数； (2)若该校计划组织一次户外活动，要求男生和女生分别分组，且每组人数相同．已知男生每组不超过15人，女生每组不超过12人，求分组方案中每组人数最多是多少？此时男生、女生各分多少组？ 【答案】(1) (2)每组人数最多为人，男生分19组，女生分11组 【分析】本题考查一元一次方程，最大公约数，根据题意列方程求出男、女生人数是解题的关键． （1）用代数式表示男生人数，即可得到全校人数； （2）先求出男、女生人数，求出最大公约数即为每组最多人数，然后确定组数即可． 【详解】（1）解：设女生人数为x人，则男生人数为人， 全校人数为人； （2）解：∵， 解得， ∴男生人数为人， 设每组人数为m人， ∵和的最大公约数为， ∴每组人数最多为人， 此时男生分19组，女生分11组． 21．（2025·浙江温州·二模）数学应用：小光骑着某款变速自行车先沿平路，再沿斜坡向上骑行． 素材一：如图，该款自行车前链轮齿数为40齿，后链轮齿数可设定在齿之间（包含边界值），齿轮比． 素材二：记车速为（米/秒）、踩踏转速为（转/分钟）、齿轮比为，已知满足． 素材三：小光平路骑行时后链轮齿数为24齿，车速为6米/秒． (1)求小光平路骑行时的踩踏转速． (2)小光在上坡的骑行车速与在平路一样，上坡的踩踏转速比平路减少了15~30转/分钟（包含边界值）求上坡的后链轮齿数的设定范围． 【答案】(1)90转/分钟 (2)齿之间（包含边界值） 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据公式列出分式方程是解题的关键. （1）先求出，再根据公式列出分式方程求解即可； （2）上坡的踩踏转速为转/分钟，再根据公式 【详解】（1）解：∵， 又∵，米/秒， ∴， ∴（转/分钟）， 答：小光平路骑行时的踩踏转速为90转/分钟. （2）解：∵上坡的踩踏转速比平路减少了15~30转/分钟， ∴上坡的踩踏转速为转/分钟， ∵， 当时，， 解得：， ∴后链轮齿数， 当时，， 解得， ∴后链轮齿数， ∴上坡的后链轮齿数的设定范围为齿之间（包含边界值）. 22．（2025·安徽安庆·三模）根据下列材料解答相应问题： 材料1 A，C两地的铁路途经B地，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中动车列车从A站始发，经停B站后到达C站，高铁列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变． 材料2 列车运行时刻表 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 动车列车 8：00 9：00 9：10 10：50 高铁动车 8：30 途经B站，不停车 10：30 材料3 A，C两地的铁路是双轨，两辆列车可在某些时段同向而行． 问题1 动车列车从A站到B站行驶了______，从B站到C站行驶了______； 问题2 设动车列车的行驶速度为 ，高铁列车的行驶速度为 ，若，则______． 问题3 高铁列车在什么时刻追上动车列车？ 【答案】问题1：60，100；问题2：；问题3：高铁列车在9：30追上动车列车 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系． 问题1：直接根据表中数据解答即可； 问题2：分别求出动车列车和高铁列车从A站到C站行驶的时间，然后根据路等于速度乘以时间求解即可； 问题3：设动车列车开出被高铁列车追上，由题意得，，再将代入得关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：问题1：动车列车从A站到B站行驶了，从B站到C站行驶了， 故答案为：60，100； 问题2：根据题意得动车列车从A站到C站共需分钟，高铁动车从A站到C站共需， ∴， ∴， 故答案为：； 问题3：， 高铁列车在B，C之间追上动车列车， 设动车列车开出被高铁列车追上， 由题意得， ， ， 解得． 答：高铁列车在9：30追上动车列车． 23．（2025·河南信阳·二模）学科实践： 近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示． 名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度 充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电 充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电 问题解决： (1)若汽车充电的总电量为， ①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____； ②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式． (2)出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少． 【答案】(1)①；②； (2)他们此次的充电量是． 【分析】（1）①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为； ②当时，最高充电时间为（小时），此时； 当时，最高充电时间大于（小时）， 解答即可． （2）根据充电结束后两人所支付的费用相同．判定他们充电都超过了4小时，故得到一元一次方程，解答即可． 本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握列代数式，解方程是解题的关键. 【详解】（1）解：①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为； 故答案为：． ②解：当时，最高充电时间为（小时），此时； 当时，最高充电时间大于（小时），此时， 综上所述，． （2）解：由题意得，充电量大于， . 解得. 答：他们此次的充电量是. 24．（2025·北京·模拟预测）为了大力支持消费者购买绿色智能家电，满足人民美好生活需要，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，规定：活动期间，北京市居民购买电视、冰箱、洗衣机等8大类家电，给予以旧换新补贴．购置一级能效家电，按照新购电器售价的给予补贴；购置二级能效家电，按照新购电器售价的给予补贴．每位消费者每类产品可补贴1件，每件补贴金额不超过2000元． (1)活动期间，王先生购买了一台12000元的一级能效家电，可获得 元的补贴； (2)活动期间，王先生购买了一台二级能效的电视机和一台一级能效的冰箱，共获得以旧换新补贴3000元，已知电视机的售价比冰箱售价的2倍还多4000元．求电视机和冰箱的售价各是多少元？ 【答案】(1)2000 (2)冰箱的价格为5000元，则电视机的价格为14000元 【分析】本题考查了有理数乘法的实际应用，一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键： （1）根据一级能效家电的补贴百分比列式计算即可； （2）设冰箱的售价为元，则电视机的售价为元，根据购买了一台二级能效的电视机和一台一级能效的冰箱，共获得以旧换新补贴元列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意， 则可获得元的补贴； （2）解：设冰箱的价格为元，则电视机的价格为元． 由题意可得，冰箱可获得的补贴为或者2000元，电视机可获得的补贴为或2000元， 共获得以旧换新补贴3000元， 冰箱和电视机最多有一项补贴为2000元， ①两项的补贴均不超过2000元： 解得：，舍去； ②冰箱和电视机有一项补贴为2000元； ， 电视机补贴为2000元， 此时，， 解得：，符合题意； ，． 答：冰箱的价格为5000元，则电视机的价格为14000元． 25．（2025·贵州遵义·一模）今年春节期间，电影《哪吒2》特别火爆，小强一家去某电影院观看此部电影．到了影院后，看到有以下优惠活动方案： 优惠方案一 会员费200元，票价35元/人． 优惠方案二 原票价50元/人，成人原价，学生票价是原价的5折． (1)若小强一家6人（成人4人，学生2人），他选择哪种优惠方案划算？ (2)若成人人数是学生人数的2倍且两种优惠方案所付票价相等，求成人、学生各多少人？ 【答案】(1)优惠方案二更划算； (2)学生人数为人，则成人人数是人． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）根据两种收费方案分别计算，比较即可求解； （2）设学生人数为x人时，两种方案车费一样多，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：方案一：（元）； 方案二：（元）； 所以优惠方案二更划算； （2）解：设学生人数为人，则成人人数是人， 依题意得， 解得， 则， 答：学生人数为人，则成人人数是人． 26．（2025·湖南长沙·一模）如图，某小区进行项目改造：在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮，如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边； (1)求通道的宽是多少m? (2)如果通道造价为40元/，草坪造价为100元/，只考虑通道和草坪的造价，不考虑人工等其他费用的前提下，完成该项目需要多少钱? 【答案】(1)通道的宽是 (2)完成该项目需要20880元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设通道的宽为，由题意根据可列方程进行求解； （2）由（1）可得，然后得出通道和草坪面积，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设通道的宽为，由题意得： ， 解得：； 答：通道的宽是． （2）解：由（1）得：， ∴草坪的面积为，通道面积为， ∴（元）； 答：完成该项目需要20880元． 27．（2025·湖南张家界·一模）如图是2023年一月份的日历： (1)若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； (3)用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)140 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示其它六个数． （1）设“”形框中的七个数中最中间一个数是，则其它六个数是，，，，，，相加即可得到答案； （2）设“”形框中的七个数中最中间一个数是，得：，解得，最大的数是，而日历中没有32，故“”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168； （3）当，即时，框出的七个数的和的最大，最大为． 【详解】（1）解：设“”形框中的七个数中最中间一个数是，则其它六个数是，，，，，， 七个数的和是； （2）解：“”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168，理由如下： 设“”形框中的七个数中最中间一个数是， 根据题意得：， 解得， 此时最大的数是， 而日历中没有32， “”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168； （3）解：年二月份的日历中最大的数是28，且它在第3列， 当，即时，框出的七个数的和的最大，最大为， 故答案为：140． 28．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是岳麓山游览路线图，从岳麓书院到爱晚亭的路程是，从爱晚亭到祥云涧的路程是，从祥云涧到观光长廊的路程是．已知小华从岳麓书院到观光长廊游览的平均速度是，观光长廊原路返回岳麓书院的时间是． (1)用含的代数式表示： ①小华从观光长廊返回岳麓书院的平均速度是 ； ②小华从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的平均速度是 ． (2)小华从岳麓书院到观光长廊共花了，然后从观光长廊沿原路返回岳麓书院的平均速度比来时增加了，所用时间比来时快了，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了平均速度、代数式以及方程的求解： （1）根据题意列代数式； （2）根据题意列方程请求解． 【详解】（1）从岳麓书院到观光长廊的总路程： 从观光长廊返回岳麓书院的平均速度： 从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的总路程： 从岳麓书院到观光长廊的时间为： 从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的总时间： 从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的平均速度： 答案为：①；②． （2）根据题意，得，解得． 答：的值为． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一元一次方程实际应用十二问目录 A · 重难点题型分类 题型1：工程问题…………………………………………………………… 1 题型2：行程问题…………………………………………………………… 3 题型3：配套问题…………………………………………………………… 5 题型4：销售盈亏问题……………………………………………………… 8 题型5：比赛积分问题……………………………………………………… 10 题型6：方案选择问题……………………………………………………… 12 题型7：数字问题…………………………………………………………… 14 题型8：和差倍和比例问题………………………………………………… 16 题型9：电费与水费问题…………………………………………………… 17 题型10：日历问题…………………………………………………………… 19 题型11：古代问题…………………………………………………………… 21 题型12：几何问题…………………………………………………………… 22 B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 24 重难点题型分类 【题型1：工程问题】 【例1】某制衣厂计划若干天完成一批服装的订货任务．每天生产20套服装，就比订货任务少生产100套；每天生产23套服装，就可以超过订货任务20套．问这批服装的订货任务是多少套？原计划多少天完成？ 【变式1-1】甲、乙、丙三人在A，B两块地植树， A地要植树900棵， B地要植树1250棵，已知  甲、乙、丙每天分别植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地 植树，然后转到B 地植树，两块地同时开始，同时结束，乙应该开始后第几天从A地转到B地？ 【变式1-2】完成一项工程，原计划甲、乙、丙三人合作13天完成．开工前，丙说：我需要完成另一项工程，中途要请假2天．乙说：那样的话我多做4天就可以了．甲说：那我和乙一起多做1天就行了．照这样计算，如果这项工程由甲单独做需要多少天？ 【变式1-3】整理一批图书，如果由一个人单独做要用30小时完成， (1)学校现要求6小时完成，假设每个人的工作效率相同，需安排多少人员整理？ (2)现先安排一部分人用1小时整理，随后又增加6人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排多少人员整理？ 【变式1-4】修一段公路，如果甲、乙两个工程队合修24天可以完成．如果甲队先工作9天，乙队再单独做18天，还剩下全长的没有完成，已知后来有一天因停电甲队少修100米，这一天甲修的米数只占乙一天修的米数的，问：这一段公路全长多少米？ 【题型2：行程问题】 【例1】甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行，经过小时相遇，甲车再行驶小时就能到达地，已知甲车每小时比乙车多行驶．求两地的距离． 【变式1-1】一个人从县城骑车去乡办厂．他从县城骑车出发，用30分钟时间行完了一半路程，这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米．又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，必须再骑2千米才能赶到乡办厂，求县城到乡办厂之间的总路程． 【变式1-2】周末小明和爸爸来到了一处马场体验骑马．马场有一个如图所示的全长为的环形跑道，把跑道从A，B，C，D处分成长度相等的四段，小明和爸爸在骑师的引导下分别从A，D两处同时出发，沿箭头方向相向而行，小明骑小马和爸爸骑大马的平均速度分别为，． (1)多久后两人首次相遇？ (2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过多长时间两人相距？ 【变式1-3】梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名七年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是，人步行的速度是（上、下车时间忽略不计）． (1)若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场； (2)现在带队的老师和一位参赛同学分别设计一种运送方案： 老师方案：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场． 学生方案：8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到某处，然后这4个人步行前往考场，小汽车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场． 他们的各自的方案合理吗？请通过计算说明． 【变式1-4】如图，水平跑道和的长度分别为米和米，斜坡跑道的长度为米．小明从点出发沿跑道慢跑到达点，小东同时从点出发沿跑道慢跑到达点．他们在水平跑道慢跑的速度都是米分，小明在上坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的一半，小东在下坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的倍． (1)小明在上坡跑道的慢跑速度是______米/分． (2)当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程． (3)当小明和小东相距米时，求小明慢跑的时间． 【题型3：配套问题】 【例1】某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是新调入工人人数的3倍多4人． (1)求调整后车间共有多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产120个螺栓或200个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【变式1-1】为迎接新春蛇年的到来，重庆某工厂决定打造新春限定的2025蛇年布鲁克玩具盲盒系列．该工厂将这批新春限定盲盒分为A、B两种包装，工厂共有800名工人．请用一元一次方程解答下列问题： (1)若该工厂生产A种盲盒的人数比生产B种盲盒的人数的2倍少100人，分别求出该工厂生产A种盲盒和B种盲盒的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产新春限定盲盒大礼包，该大礼包由2个A种盲盒和3个B种盲盒组成．已知每个工人平均每天可以生产20种个A种盲盒或10个B种盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产A种盲盒，多少名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【变式1-2】某手工编织厂名工人在编织一批手工花束．平均每人每天可编织束铃兰或束康乃馨．每束手捧花需要束铃兰和束康乃馨．该车间每天安排多少工人编织铃兰，才能使每天编织的铃兰和康乃馨刚好配套？ 【变式1-3】某工厂里用铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套．现在有36张铁皮，为使盒身与盒底正好配套，应用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底？ 【变式1-4】新冠肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳．一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，应安排多少名工人生产口罩面，多少名工人生产耳绳？ 【变式1-5】列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，而有着少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物盲盒颇受大众关注．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． (1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒B的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【题型4：销售盈亏问题】 【例1】某乡镇返乡创业青年采用线上方式售卖非遗手工绣花布鞋，已知，两款鞋子的售价均为120元/双，每双款鞋子的成本比款鞋子的成本贵25元．经核算，售出一双款鞋子亏损，那么售出这两款鞋子各一双共赚了或赔了多少钱？ 【变式1-1】国庆节期间某商场对顾客实行优惠，规定如下：若一次购物不超过200元（含200元），按标价九折优惠，若一次购物超过200元，但不超过500元（含500元），所有商品按标价给予八折优惠，若一次购物超过500元，其中500元按八折优惠之外，超过500元的部分给予七折优惠．某人两次购物分别付款180元和456元，如果他合起来一次去购买同样的商品，他还可以节约多少钱？ 【变式1-2】因教学需要，学校准备订购个排球和若干根跳绳，经过市场调查后发现排球元个，跳绳 元根． 某体育用品商店提供两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： 方案： 买一个排球送一根跳绳； 方案：排球和跳绳都按定价的付款． 假设订购跳绳根（）． (1)若按方案购买，一共需付款 元； 若按方案购买，一共需付款 元；(用含的式子表示) (2)购买多少根跳绳时，两种方案所省的钱数一样多？ 【变式1-3】服装厂要生产一批某型号套装，已知每5米长的布料可做上衣2件或裤子5条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用米长的这种布料生产套装． (1)请问用多少米的布料做上衣，用多少米的布料做裤子？ (2)某商场以每套元的价格购进了这批服装，定价为每套元，但在运输的过程中，由于司机的疏忽丢失了一包服装，共计套，商场想尽快卖完这批服装，计划打折出售，全部售出后利润率是，求商场计划打几折出售？ 【变式1-4】今年元旦期间，晓风家装修．爸爸去买新家具，看到家具店促销活动的规定：根据家具标价，①一次性购物不超过6000元，不享受优惠：②一次性购物超过6000元但不超过10000元一律九折：③一次性购物超过10000元，一律八折．晓风的爸爸根据装修需要，元旦期间先后两次到该家具店购买家具． (1)根据家具标价，晓风爸爸第一次购物超过6000元，实际付费5580元，则晓风的爸爸购买了标价是多少元的家具？ (2)第二次购物晓风爸爸实际付费8640元，则晓风的爸爸本次购买了标价是多少元的家具？ (3)如果晓风爸爸一次性购买这些家具，实际付费超过了13000元，将这些家具运回家中需要支付用车费和人工费．已知人工费是用车费的3倍多，晓风爸爸通过计算发现这次所有费用的支出（购买家具实际费用、人工费和用车费）恰好是这批家具的标价，则运输这批家具的人工费是多少元？ 【变式1-5】平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件售价为 元，每件乙种商品利润率为 ； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【题型5：比赛积分问题】 【例1】开学初，张老师在七（2）班组织了一次“疫情防控”知识竞赛，共有30道题，答对一题得4分，不答或答错一题扣2分． (1)设小明同学参加了竞赛，共答对了x道题，则他的成绩是 (用含有x的字母表示) (2)小明同学参加了竞赛，竞赛成绩是84分，请问小明同学在竞赛中答对了多少道题？ 【变式1-1】一份数学竞赛试卷有20道选择题，规定做对一题得5分，一题不做或做错■■■■（ 此处因印刷原因看不清楚）．文文做对了16道，但只得了74分，这是为什么？ 【变式1-2】在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 【变式1-3】表是某次篮球联赛积分的一部分 球队 比赛现场 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 备注：总积分=胜场积分+负场积分 (1)请问胜一场积多少分？负一场积多少分？（直接写出答案）； (2)某队的胜场总积分能否等于负场总积分的3倍？为什么？ (3)若某队的胜场总积分是负场总积分的n倍，n为正整数，试求n的值． 【题型6：方案选择问题】 【例1】又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表： 购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上 参观门票价格（元/人） 50 45 40 35 去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元． (1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？ (2)你能确定两班各有多少名学生吗？ (3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？ 【变式1-1】小麦和父母去某火锅店吃火锅，点了270元的商品，其中包含一份50元的鸳鸯锅底．用餐完毕后，小麦去付款，发现店家有两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受． 优惠方式A 可使用“50元抵100元的全场通用代金券”（即面值100元的代金券实付50元就能获得）．店家规定代金券不兑现、不找零，最多可叠加使用3张． 优惠方式B 除锅底不打折外，其余菜品全部打□折． 小麦选择优惠方式B计算，发现自己需要付款182元． (1)请用一元一次方程的知识计算一下，优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打几折？ (2)小麦如何付款最省钱？ 【变式1-2】某市两超市分别推出如下促销方式：甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元打九折，超过500元的部分打八折．已知两家超市相同商品的标价都一样． (1)当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实际付款分别是多少元？ (2)某顾客在乙超市购物实际付款428元，试问该顾客的选择划算吗？请说明理由． 【变式1-3】A城有化肥200吨，城有化肥300吨，现要把化肥运往两农村，如果从城运往两地，运费分别为20元/吨与25元/吨；从城运往两地，运费分别为15元/吨与22元/吨，现已知地需要220吨，地需要280吨． (1)设从A城运往农村吨，请用含的式子表示调运总费用； (2)若某种调运方案的总费用是10200元，求：具体的调运方案是怎样的？ 【变式1-4】某校六年级（1）班学生举行春游，若租用45座客车，则有15人没有座位，若租用同样数目的60座客车，则一辆客车空车，已知45座客车租金220元，60座客车租金300元．问： (1)这个学校六年级（1）班学生多少人？（请用方程解） (2)如果你是班长，你认为应该怎样租车，最经济合算？ 【变式1-5】下表是中国电信两种“套餐”计费方式．（月基本费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费） 月基本费/元 主叫通话/分钟 上网流量 接听 主叫超时部分（元/分/钟） 超出流量部分/（元/） 方式一 免费 方式二 免费 (1)若某月小萱主叫通话时间为分钟，上网流量为，则她按方式一计费需________元，按方式二计费需________元；若她按方式二计费需元，主叫通话时间为分钟，则上网流量为________． (2)若上网流量为，是否存在某主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)若上网流量为，直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱；当每月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式二省钱． 【题型7：数字问题】 【例1】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位上与个位上的数字之和是这个两位数的，求这个两位数． 【变式1-1】观察下面三行数： 4 16 64 …① 2 14 62 ② 3 9 33 …③ (1)第①行第7个数是_____，第①行第n个数是_____； (2)第②行第n个数是_______，第③行第n个数是_______． (3)取每一行的第n个数得到三个数，若这三个数的和为1023，求n的值． 【变式1-2】爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将一些数字分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将一些数填入了圆圈，求的值． 【变式1-3】有一个六位数，个位数字是1，它除以3后仍是六位数，只是个位上的数字1移到了首位，其余的5个数字及排列顺序不变，求这个六位数． 【题型8：和差倍和比例问题】 【例1】红星机床厂，今年生产机床台，比去年产量的 倍还多台，去年生产机床多少台？ 【变式1-1】某学校有小学部和初中部，在对口援助边远山区学校活动中，原计划共赠书册，由于学生的积极响应，实际赠书册，其中小学部比原计划多赠了，初中部比原计划多赠了，问该校初中部原计划赠书多少册？ 【变式1-2】甲、乙两个仓库存化肥的质量比是12∶11，后来乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少 ，乙仓库原来存化肥多少吨？ 【变式1-3】有一户人家，父亲和儿子同一天过生日．若父子两人的年龄加起来是100岁，则称为“百岁父子”．已知父亲38岁时，儿子10岁，现在父亲是儿子年龄的2倍，请解决如下问题： (1)现在父亲多少岁？ (2)再过几年，父子两人可以称为“百岁父子”？ 【题型9：电费与水费问题】 【例1】为鼓励居民节约用电，某市实行阶段电价收费制，具体执行方案如表： 阶段 每户每月用电（度） 执行电价（元/度） 第一段 小于等于 第二段 大于小于 第三段 大于等于 某户居民五六月份共用电度，缴电费元．已知该用户六月份用电量大于五月份．问该户居民五、六月份用电多少度？ 【变式1-1】某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12 吨但不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元／吨） a 2 某用户 12月份用水8吨，交水费 12元． (1)求a的值； (2)小明家 12月份交水费50元，求小明家 12月份用水量． 【变式1-2】某地用电收费标准规定：如果每月每户用电不超过150度，那么每度电0.5元；如果该月用电超过150度，那么超过部分每度电0.8元． (1)小张家一月份用电120度，那么这个月应缴电费 元； (2)若小张家一个月用电度（），那么这个月应缴电费多少元？（用含的式子表示） (3)若小张家十月份缴电费135元，请求出他十月份用电多少度？ 【变式1-3】为鼓励居民节约用电，某市试行每户每月阶梯电价加收费制，具体执行方案如表： 每户每月用电数（度）阶段 阶段电价（元/度） 小于等于200 大于200小于等于300的部分 大于300的部分 例如：一户居民五月份用电260度，则需缴电费（元）． (1)若小莹家六月份用电310度，则需缴电费多少元？ (2)已知小悦家四、五月份共用电360度，其中四月份用电量大于五月份用电量，共缴电费199元，问小悦家四、五月份各用电多少度？ 【题型10：日历问题】 【例1】如图，在日历上任意框出6个数．如果框出的6个数的和是，框出的6个数分别是多少？ 【变式1-1】观察某月日历，回答下列问题： (1)观察图中的阴影部分的个数，你知道他们之间有什么关系吗？写出你认为正确的一个结论； (2)小强一家外出游玩了天，这天的日期之和是，小强一家几号外出的？ (3)像上面第（1）题那样现在要用一个方框去框该月历上的九个数，这九个数的和可能是吗？如果不能，请说明理由；如果能，请求出框出的这九个数． 【变式1-2】将连续的奇数1，3，5，7，9，…-排成如图所示的数表． (1)十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，若设中间数为x，请用含x的代数式表示十字框中五个数之和，写出解答过程； (3)十字框框住的五个数之和能为205吗？若能，分别写出框住的这五个数；若不能，请说明理由． 【变式1-3】如图为2025年1月的日历，其中有一个“H”形框，希望我们在新的一年“Happy”（开心学习，热爱生活）．“H”形框内包含7个数． 2025年1月 一 二 三 四 五 六 日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)将“H”形框上下左右平移，但一定要框住2024年1月的日历中的7个数，若设“H”形框内的7个数中，从小到大排列第4个数为a，用含a的式子表示“H”形框内的7个数字的和为_____； (2)将“H”形框上下左右平移，设“H”形框内的7个数字之和为112．请求出此时“H”形框中的7个数中最小的数； (3)若某两次在不同位置框住的7数之和分别为m，n，且，直接写出的最大值． 【题型11：古代问题】 【例1】中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐人，则辆车无人乘坐；若每车乘坐人，则人无车可乘，问共有多少辆车，多少人？ 【变式1-1】《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”设大和尚有人，依题意列方程得（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”大意是：有一个人走了378里路，第一天健步行走，第二天因脚疼，每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．请计算此人第二天走的路程．(注：里，古代长度单位) 【变式1-3】《九章算术》是我国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，此专著中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5文钱，则相差45文钱；若每人出7文钱，则仍然相差3文钱，求买羊的人数和这头羊的价格． 【题型12：几何问题】 【例1】为践行劳动教育，学校特意划出一块长方形土地供学生劳作．如图，长方形土地一面靠墙，现将不靠墙的三面向内推进x米修建小路，在小路内侧用篱笆围出一块长方形菜地． (1)当时，篱笆的长度为 米． (2)用x的代数式表示篱笆的长度．（列式并化简） (3)若篱笆长度为36米，求小路的宽度． 【变式1-1】小明和小慧两位同学在数学活动课上，把长为，宽为的若干张长方形白纸条粘合起来，小明按如图甲所示的方法粘合起来得到长方形，粘合部分的长度为，小慧按如图乙所示的方法粘合起来得到长方形，粘合部分的长度为． (1)求5张白纸条分别按图甲和图乙粘合后，总长度分别为多少厘米？ (2)用x张白纸条按甲粘合后，总长度为多少厘米？ (3)若长为，宽为的长方形白纸条共有100张，则应分给小明多少张长方形白纸条，才能使小明和小慧按各自要求粘合起来的长方形面积相等（要求100张长方形白纸条全部用完）． 【变式1-2】（1）如图，是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，求这个长方形色块图的面积？ （2）某工厂在此图案的基础上，加工制作出地毯，并按成本价提高40%后标价，又以八折出售可获得利润60元． ①求该商品的成本价为多少元？ ②若按七五折（即75%）出售则可获得利润多少元？ 能力提升 一、单选题 1．（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 2．（2025·四川资阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第2关收税金为此时所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，第5关收税金为此时所持金的五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（   ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 二、填空题 3．（2025·四川宜宾·中考真题）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则 ． 三、解答题 4．（2025·安徽·模拟预测）2024年底，蚌埠市交通运输局发布消息：G36宁洛高速公路明光至蚌埠段改扩建工程已顺利通过交工验收．全线采用双向八车道高速公路标准改扩建．目前已交付使用，大大缓解了G36宁洛高速安徽段的交通压力．施工中，对路面沥青的要求极高．某天，化验室要检测4桶沥青，共重55千克．如果第一桶减少3千克，第二桶增加2千克，第三桶减少一半，第四桶增加一倍，那么4桶沥青重量相等．问原来每桶沥青各有多少千克？ 5．（2025·北京·模拟预测）年，为加力支持消费者购买绿色智能家电，增添绿色消费新动力，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，补贴期间，对在京个人消费者购买一级和二级能效(水效)的冰箱(含冰柜)、洗衣机(含洗烘一体机)、电视、空调、电脑(含学习机)、热水器(含壁挂炉)、家用灶具(含集成灶)、吸油烟机等类家电产品予以以旧换新补贴．补贴标准：一级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴；二级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴，每位消费者每类产品可补贴件，每件补贴不超过元． 已知在补贴期间，一位顾客购买了一台一级能效的电脑和一台二级能效的洗衣机，共花费元，比补贴前便宜了元，若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜多少元？ 6．（2025·陕西西安·模拟预测）初一年级某班为学科节游园会准备制作一批益智玩具作为奖品，并为每一个玩具配备两个手绘学科节图标．如果该班有28名学生参与制作奖品，每人每天平均能组装玩具24个，或绘制图标16个．那么应分配多少名学生组装玩具，多少名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和绘制的图标刚好配套？ 7．（2025·广西南宁·三模）综合与实践 【阅读材料】秋冬季节是流行性感冒的多发季节．针对这一情况，各中小学和幼儿园都制定了严格的消毒工作机制．据了解，消毒主要使用二氧化氯喷雾消毒溶液． 【问题背景】市场上销售的某品牌的二氧化氯（溶质）消毒片，可直接溶于水（溶剂），制得二氧化氯消毒溶液．如表是二氧化氯消毒片的相关信息： 产品名称 产品规格 有效成分 用途 二氧化氯消毒片 每片质量1克 二氧化氯含量 消毒杀菌 已知：溶液浓度．请解答下列问题： 【解决问题】 (1)消毒人员欲配制3千克浓度为的二氧化氯溶液用于物品的消毒，刚好需要用该消毒片3片，求的值． (2)教室使用的消毒液浓度要比物品使用的消毒液浓度低，消毒人员用6千克浓度为的二氧化氯溶液，可稀释成多少千克浓度为的消毒溶液？稀释过程中需加水多少千克？ 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某生物实验室推出了两种样本冷冻存储方案．若每月支付75元基础管理费，则每个样本存储费为3元/月；若每月不支付基础管理费，则每个样本存储费为6元/月．某科研团队6月份存储了若干生物样本，发现两种方案的总费用相同，求该科研团队6月份存储的样本数量． 9．（2025·陕西咸阳·一模）月日是植树节，许多家庭积极参与植树活动，为建设美丽中国，共同谱写人与自然和谐共生的中国式现代化新篇章．在一次家庭植树活动中，甲组家庭植树的棵数比乙组家庭多，乙组家庭植树的棵数比甲组家庭的一半多棵，求甲、乙两组家庭共植树多少棵． 10．（2025·河北唐山·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为． (1)请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； (2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值． 11．（2025·陕西西安·模拟预测）随着电影《哪吒2》的热映，其周边产品引起抢购热潮，多地出现断货现象，为了加快补货，某哪吒盲盒生产线采用新旧流水线同时工作的模式．已知1条新流水线和1条旧流水线同时工作1小时共加工100个哪吒盲盒，2条新流水线和5条旧流水线同时工作1小时共加工320个哪吒盲盒．求1条旧流水线每小时可加工多少个哪吒盲盒？ 12．（2025·河北邯郸·二模）为推广垃圾分类，某社区设置智能回收箱，居民投放可回收物后，设备自动称重并计算积分．已知1千克塑料可兑换8积分，1千克废纸可兑换12积分．嘉嘉投放了千克塑料和千克废纸，淇淇的塑料投放量是嘉嘉的2倍，废纸投放量比嘉嘉少3千克． (1)用含的式子分别表示嘉嘉和淇淇的积分； (2)淇淇的积分能否是嘉嘉的2倍？请说明理由． 13．（2025·安徽合肥·三模）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？ 14．（2025·陕西延安·三模）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校手工兴趣小组组织了包粽子活动．包肉粽和蜜枣粽的学生共有50名．包的过程中，发现包肉粽的人手不足，因此从包蜜枣粽的学生中抽调3人去包肉粽，则此时包肉粽的人数比包蜜枣粽的人数少4人．请问原有多少人包蜜枣粽？ 15．（2025·湖南长沙·三模）近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 1 B 4 C 7 D E 0 (1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分； (2)参赛者得分，他答对了几道题？ (3)参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明． 16．（2025·北京大兴·二模）列方程（组）解应用题： 五一期间，在“国家补贴+商场直降”双重优惠推动下，消费者家电换新需求得到充分激活．国家补贴政策是购买两款空调均可享受原价的国家补贴；商场促销规则是购买空调的原价不低于4000元时，享受国家补贴后商场再直降500元，购买空调原价低于4000元时，只享受国家补贴．已知款空调原价（高于4000元）比款空调原价（低于4000元）的2倍少300元．若按此销售规则购买一台款空调比一台款空调多花1500元，购买一台款空调和一台款空调与原价比共节省多少元？ 17．（2025·陕西西安·模拟预测）2024年，我国快递业务量首次突破1700亿件，提高分拣效率、降低分拣成本对于物流公司越发迫切．某快递公司引进了具有分拣功能的智能机器人，经过调查发现，一台智能机器人每小时分拣快递的数量比一个分拣员每小时分拣快递的数量的5倍还多10件，若一个分拣员和一台智能机器人同时工作，1小时共分拣快递730件，则每台智能机器人每小时分拣快递多少件？ 18．（2025·安徽淮北·三模）我国古代《孙子算经》记载了“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”其意思是“每3人共乘一辆车，恰好空余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”求人和车的数量． 19．（2025·云南昆明·模拟预测）学校开展“生活中的数学问题”学习活动，某小组选择“汽车轮胎换位问题”为研究方向． 【问题背景】随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮的轮胎换位的建议． 【数据信息】 1、汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到6万公里时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到8万公里时报废． 2、轮胎的磨损量等于汽车行驶的单位路程的磨损量乘以汽车行驶的路程． 【问题解决】 (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为___________； (2)如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少万公里时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？（同时报废：两对轮胎的总磨损量均为1） 20．（2025·黑龙江佳木斯·二模）开放性问题 某校九年级共有300名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少30人． (1)设女生人数为x人，用含x的代数式表示全校学生人数； (2)若该校计划组织一次户外活动，要求男生和女生分别分组，且每组人数相同．已知男生每组不超过15人，女生每组不超过12人，求分组方案中每组人数最多是多少？此时男生、女生各分多少组？ 21．（2025·浙江温州·二模）数学应用：小光骑着某款变速自行车先沿平路，再沿斜坡向上骑行． 素材一：如图，该款自行车前链轮齿数为40齿，后链轮齿数可设定在齿之间（包含边界值），齿轮比． 素材二：记车速为（米/秒）、踩踏转速为（转/分钟）、齿轮比为，已知满足． 素材三：小光平路骑行时后链轮齿数为24齿，车速为6米/秒． (1)求小光平路骑行时的踩踏转速． (2)小光在上坡的骑行车速与在平路一样，上坡的踩踏转速比平路减少了15~30转/分钟（包含边界值）求上坡的后链轮齿数的设定范围． 22．（2025·安徽安庆·三模）根据下列材料解答相应问题： 材料1 A，C两地的铁路途经B地，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中动车列车从A站始发，经停B站后到达C站，高铁列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变． 材料2 列车运行时刻表 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 动车列车 8：00 9：00 9：10 10：50 高铁动车 8：30 途经B站，不停车 10：30 材料3 A，C两地的铁路是双轨，两辆列车可在某些时段同向而行． 问题1 动车列车从A站到B站行驶了______，从B站到C站行驶了______； 问题2 设动车列车的行驶速度为 ，高铁列车的行驶速度为 ，若，则______． 问题3 高铁列车在什么时刻追上动车列车？ 23．（2025·河南信阳·二模）学科实践： 近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示． 名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度 充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电 充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电 问题解决： (1)若汽车充电的总电量为， ①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____； ②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式． (2)出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少． 24．（2025·北京·模拟预测）为了大力支持消费者购买绿色智能家电，满足人民美好生活需要，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，规定：活动期间，北京市居民购买电视、冰箱、洗衣机等8大类家电，给予以旧换新补贴．购置一级能效家电，按照新购电器售价的给予补贴；购置二级能效家电，按照新购电器售价的给予补贴．每位消费者每类产品可补贴1件，每件补贴金额不超过2000元． (1)活动期间，王先生购买了一台12000元的一级能效家电，可获得 元的补贴； (2)活动期间，王先生购买了一台二级能效的电视机和一台一级能效的冰箱，共获得以旧换新补贴3000元，已知电视机的售价比冰箱售价的2倍还多4000元．求电视机和冰箱的售价各是多少元？ 25．（2025·贵州遵义·一模）今年春节期间，电影《哪吒2》特别火爆，小强一家去某电影院观看此部电影．到了影院后，看到有以下优惠活动方案： 优惠方案一 会员费200元，票价35元/人． 优惠方案二 原票价50元/人，成人原价，学生票价是原价的5折． (1)若小强一家6人（成人4人，学生2人），他选择哪种优惠方案划算？ (2)若成人人数是学生人数的2倍且两种优惠方案所付票价相等，求成人、学生各多少人？ 26．（2025·湖南长沙·一模）如图，某小区进行项目改造：在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮，如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边； (1)求通道的宽是多少m? (2)如果通道造价为40元/，草坪造价为100元/，只考虑通道和草坪的造价，不考虑人工等其他费用的前提下，完成该项目需要多少钱? 27．（2025·湖南张家界·一模）如图是2023年一月份的日历： (1)若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； (3)用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． 28．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是岳麓山游览路线图，从岳麓书院到爱晚亭的路程是，从爱晚亭到祥云涧的路程是，从祥云涧到观光长廊的路程是．已知小华从岳麓书院到观光长廊游览的平均速度是，观光长廊原路返回岳麓书院的时间是． (1)用含的代数式表示： ①小华从观光长廊返回岳麓书院的平均速度是 ； ②小华从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的平均速度是 ． (2)小华从岳麓书院到观光长廊共花了，然后从观光长廊沿原路返回岳麓书院的平均速度比来时增加了，所用时间比来时快了，求的值． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $