专题1.1正数和负数（知识点梳理+题型举一反三+同步练习）易错重难点同步备课　 2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

1.1正数和负数 【题型1】识别正数与负数 1. 知识点 正数定义：大于0的数，可省略前面的“+”，如3、2.5、； 负数定义：在正数前加“-”的数（“-”不可省略），如-2、-1.8、； 0的特殊性：0既不是正数，也不是负数，是正、负数的分界； 多个正负号的化简：遵循“奇负偶正”，即负号个数为奇数时结果为负，偶数时结果为正（如-(-3)=3，+(-4)=-4）。 2. 考点 判断给定数中正数、负数的个数； 区分正数、负数与0的归属。 3. 易错点 误将0归为正数或负数； 化简多个正负号时，忽略“奇负偶正”规则（如将-(-6)错算为-6）； 混淆正分数、负分数与整数（如将0.3错归为整数）。 4. 解题技巧 判断数的类型时，先看符号（除0外，带“-”为负数，否则为正数）； 化简多个符号时，数出负号个数，奇数个则结果为负，偶数个则结果为正； 列表分类：将给定数按“正数、负数、0”分类，避免遗漏。 【例题1】．（2024-2025•凉州区校级月考）在﹣3，﹣2，0，﹣1，4，5这6个数中，负数有几个（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据负数的定义即可解答，即小于0的数叫做负数． 【解答】解：根据负数的定义可得： 负数有﹣3、﹣2、﹣1共三个数， 故选：C． 【点评】此题考查了负数的定义，熟练掌握负数的定义是解题关键． 【变式题1-1】．（2024-2025•惠农区校级期中）下面各数中正数和负数各有几个：﹣5；；0； 0.56；﹣3；﹣25.8；﹣0.001，（　　） A．3，4 B．4，2 C．2，5 D．6，1 【答案】C 【分析】根据正数和负数的定义，找出其中的正数和负数即可解题． 【解答】解：﹣5＜0；0；0＝0； 0.56＞0；﹣3＜0；﹣25.8＜0；﹣0.001＜0，0， 其中小于0的有5个， 大于0的有2个． 故选：C． 【点评】本题考查了正数和负数的定义，本题中根据正数大于0和负数小于0求解是解题的关键． 【变式题1-2】．下列数中，哪些是正数？哪些是负数？ +3，﹣2，+1，0，6.9，8，． 正数有：{ 　+3，+1，6.9，8　 …}； 负数有：{ 　﹣2，　 …}． 【答案】+3，+1，6.9，8；﹣2，． 【分析】根据正数与负数的定义求解． 【解答】解：正数有：+3，+1，6.9，8； 负数有﹣2，． 故答案为：+3，+1，6.9，8；﹣2，． 【点评】本题考查了正数与负数．解题的关键是掌握正数与负数的定义． 【变式题1-3】．（1）下列各数，其中正数有 　1.5，2022　 ，负数有 　﹣3，，﹣18%　 ． （2）有下列各数．其中哪些是正数？哪些是负数？ 【答案】（1）1.5，2022；﹣3，，﹣18%； （2）24，+17，，π，20%；﹣3.14，﹣7，﹣0.101，﹣0.2，﹣2017． 【分析】（1）根据正数和负数的定义即可求得答案； （2）根据正数和负数的定义即可求得答案． 【解答】解：（1）正数有：1.5，2022；负数有：﹣3，，﹣18%； 故答案为：1.5，2022；﹣3，，﹣18%； （2）正数：24，+17，，π，20%； 负数：﹣3.14，﹣7，﹣0.101，﹣0.2，﹣2017． 【点评】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键． 【题型2】用正数、负数表示具有相反意义的量 1. 知识点 相反意义的量三要素：①具有相反意义；②具有具体数量；③属性相同（如“上升”与“下降”、“收入”与“支出”）； 表示方法：先规定其中一种意义的量为正，则另一种为负，0表示两种量的基准。 2. 考点 根据规定的正负方向，写出具体量的表示（如规定向东为正，向西走5米记作-5米）； 解读已知正负符号所表示的实际意义（如“-3℃”表示零下3℃）； 判断一组量是否为具有相反意义的量（如“身高增加2cm”与“体重减少2kg”不是）。 3. 易错点 混淆“属性不同的量”（如“盈利30元”与“浪费20元”，属性不同，非相反意义）； 未明确正负规定就写数（如未说明“收入为正”，直接将支出记作-50元）； 忽略“数量”要素（如只说“上升”与“下降”，无具体数量，不构成相反意义的量）。 4. 解题技巧 第一步：明确题目规定的“正方向”（如“收入为正”“向东为正”）； 第二步：判断所求量与正方向是否相反，相反则加“-”，相同则用正数（或省略“+”）； 验证：确保两个量属性相同、意义相反，且带有数量。 【例题2】．（2024-2025•蓬溪县校级期末）9月2日，“蛟龙号”载人潜水器完成2024西太平洋国际航次科考的第11次下潜作业，若“蛟龙号”上浮200m记作+200m，那么下潜500m可记作（　　） A．+200m B．﹣200m C．+500m D．﹣500m 【答案】D 【分析】根据正数和负数的定义，可得：上浮记作“+”，则下潜记作“﹣”，据此求解即可． 【解答】解：∵“蛟龙号”上浮200m记作+200m， ∴“蛟龙号”下潜500m可记作﹣500m． ∴只有选项D正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了正负数在实际生活中的应用，要熟练掌握“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【变式题2-1】．（2024-2025•隆阳区期末）若气温零上3℃记作+3℃，则气温零下2℃记作（　　） A．﹣2℃ B．+2℃ C．+3℃ D．﹣3℃ 【答案】A． 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若气温零上3℃记作+3℃，则气温零下2℃记作﹣2℃． 故选：A． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 【变式题2-2】．（2024-2025•长春模拟）如果一个物体向右移动2米记作移动+2米，那么这个物体又移动了﹣2米的意思是（　　） A．物体又向右移动了2米 B．物体又向右移动了4米 C．物体又向左移动了2米 D．物体又向左移动了4米 【答案】C 【分析】根据负数的意义，向右移动记作“+”，则向左移动记作“﹣”，所以这个物体又移动了﹣2米的意思是：物体又向左移动了2米． 【解答】解：如果一个物体向右移动2米记作移动+2米，那么这个物体又移动了﹣2米的意思是：物体又向左移动了2米． 故选：C． 【点评】此题主要考查了负数的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：向右移动记作“+”，则向左移动记作“﹣”． 【变式题2-3】．（2024-2025•文水县期末）《九章算术》是我国重要的数学典籍，也是世界上第一部完整介绍负数的古算书．书中记载：“今两算得失相反，要令正负以名之”．这句话的意思是今有两数若意义相反，则分别叫做正数和负数．如果盈利200元，记作+200元，那么亏损50元，记作（　　） A．+50元 B．﹣200元 C．﹣50元 D．+200元 【答案】C 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果盈利200元，记作+200元，那么亏损50元，记作﹣50元． 故选：C． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 【题型3】理解“0”的实际意义 1. 知识点 0是正数与负数的分界，不归属任何一方； 0的实际意义：①表示“基准”（如海平面海拔为0米、标准水位为0米）；②表示“特定状态”（如0℃表示标准大气压下冰水混合物的温度，非“没有温度”）；③部分场景表示“没有”（如库存为0件）。 2. 考点 判断关于“0”的表述是否正确（如“0℃表示没有温度”错误）； 结合具体场景解释“0”的含义（如营业额增长率为0，表示与去年同期持平）； 利用“0”的分界作用区分正、负数对应的实际状态。 3. 易错点 普遍认为“0表示没有”，忽略其“基准”作用（如误将0kg表示“没有重量”，实际可能是标准重量）； 在温度、海拔等场景中，将0归为“负数”（如认为0℃低于零下温度，实际0℃是分界）； 混淆“0的基准”与“正负方向”（如标准水位为0，高于为正，低于为负，误将0归为“低于”）。 4. 解题技巧 遇到“0”的问题，先分析场景：是“基准”“特定状态”还是“没有”； 对比正、负数的意义，反向推导0的含义（如“增长为正，下降为负”，则0表示不增不减）； 排除法：排除“0是正数/负数”“0一定表示没有”等错误表述。 【例题3】．（2024-2025•建阳区校级月考）下列叙述中，正确的是（　　） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【答案】A 【分析】根据0的意义逐项分析判断即可求解． 【解答】解：0既不是正数也不是负数，是整数，故选项A符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了正数和负数，掌握有理数的分类是解答本题的关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•玉山县期末）下列语句正确的是（　　） A．“+15米”表示向东走15米 B．0℃表示没有温度 C．﹣a可以表示正数 D．0既是正数也是负数 【答案】C 【分析】根据正负数的意义进行选择即可． 【解答】解：A、“+15米”不一定表示向东走15米，原说法错误，故这个选项不符合题意； B、0℃不是没有温度，而是表示零上温度和零下温度的分界点，原说法错误，故这个选项不符合题意； C、﹣a可以表示正数，也可以表示负数，原说法正确，故这个选项符合题意； D、0 既不是正数也不是负数，原说法错误，故这个选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了正数和负数，掌握正负数的意义、性质是解题的关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•高碑店市期中）对于“0”的说法：①0℃是一个确定的温度；②0为正数；③0不是负数；④0为最小的整数．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据0的意义，可得答案． 【解答】解：①0℃是一个确定的温度，故①正确； ②0不是正数，故②错误； ③0不是负数，故③正确； ④0不是最小的整数，故④错误； 所以，正确的是①③，共2个， 故选：B． 【点评】本题考查了正数和负数，正确认识0是解题关键，注意0既不是正数也不是负数． 【变式题3-3】．（2024-2025•南安市校级月考）以下对于0的描述，说法正确的是（　　） A．0是正数 B．0是负数 C．0既是正数也是负数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，可得答案． 【解答】解：∵0既不大于0也不小于0， ∴D正确， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数，0是正数和负数的分界． 【题型4】用正数、负数表示误差范围 1. 知识点 误差范围的表示形式：通常为“标准量±偏差量”（如“25±0.2kg”），表示实际量的范围是“标准量-偏差量”到“标准量+偏差量”（即24.8kg~25.2kg）； 合格判断：实际量在上述范围内则合格，超出则不合格。 2. 考点 根据“a±b”的形式，计算合格范围（如“Φ30±0.03mm”的合格范围是29.97mm~30.03mm）； 判断给定实际量是否合格（如零件直径29.96mm，判断是否符合“Φ30±0.03mm”）； 求误差范围内的最大/最小实际量（如“150±5g”的最大质量是155g，最小是145g）。 3. 易错点 误解“a±b”的范围：误将“a±b”理解为“a到a+b”或“a-b到a”，忽略双向范围； 单位换算错误：如将“200±3g”中的3g换算为kg，导致范围计算错误； 混淆“偏差量”与“实际量”：如将“+0.5kg”直接当作实际量，忽略需加标准量。 4. 解题技巧 第一步：拆分“a±b”为“下限=a-b，上限=a+b”，明确合格区间； 第二步：将实际量与区间对比，在区间内则合格； 求最值时，直接用“上限=a+b（最大），下限=a-b（最小）”，无需额外计算。 【例题4】．（2024-2025•盐城一模）铁观音，是中国十大名茶之一．铁观音最佳保存的温度为（3±2）℃，以下几个温度中，不适合储存铁观音的是（　　） A．﹣1℃ B．1℃ C．2℃ D．3℃ 【答案】A 【分析】利用正数和负数的意义解答． 【解答】解：∵3+2＝5（℃），3﹣2＝1（℃）， ∴铁观音最佳保存的温度为1℃——5℃， ∴只有﹣1℃不在范围内，A选项符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握正数和负数的意义． 【变式题4-1】．（2024-2025•西丰县校级二模）根据我国关于净含量的误差许可幅度要求，对于定量100克的食品包装，误差不得大于±2克，下列标准质量为100克的食品的实际克数不符合要求的是（　　） A．98 B．100 C．102 D．104 【答案】D 【分析】根据正数和负数的实际意义求得实际克数符合要求的范围后进行判断即可． 【解答】解：定量100克的食品包装，误差不得大于±2克， 则实际克数符合要求的范围为98克～102克， 则98克，100克，102克均符合要求，104克不符合要求， 故选：D． 【点评】本题考查正数和负数，理解其实际意义是解题的关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•渝北区期末）两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为4.5mm的零部件，其中（4.5±0.2）mm范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A．4.4mm B．4.5mm C．4.6mm D．4.8mm 【答案】D 【分析】根据正数和负数的实际意义求得合格尺寸的范围，然后进行判断即可． 【解答】解：由题意可得合格尺寸的范围为4.3mm～4.7mm， 则A，B，C不符合题意；D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查正数和负数，结合已知条件求得合格尺寸的范围是解题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•吉林一模）某厂加工了一批零件，质检员从中随机抽取10个零件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：9.97，9.98，9.99，9.99，10.00，10.00，10.00，10.00，10.01，10.02．当一个零件质量的范围满足10g±0.01g时，评定该零件为一等品．根据以上数据，这10个零件中一等品的个数是　7　 ． 【答案】7． 【分析】根据题意，写出10个数据中的一等品，即可得出答案． 【解答】解：∵满足10g±0.01g时，评定该零件为一等品， ∴质量在9.99g﹣10.01g的零件为一等品， ∴抽取10个零件的一等品有9.99，9.99，10.00，10.00，10.00，10.00，10.01，共计7个， 故答案为：7． 【点评】本题考查了正负数的实际应用，掌握此类知识是解题的关键． 【题型5】正数、负数的基准变化问题 1. 知识点 基准定义：作为参照的标准量（如“以90分为优秀基准”“以每袋10kg为标准重量”）； 实际量计算：实际量=基准量+偏差量（偏差量为正表示超出基准，为负表示不足基准）； 差距比较：比较不同量与基准的差距，差距越小（绝对值越小）越接近基准。 2. 考点 根据基准和偏差量求实际量（如基准100个成语，偏差+2，实际102个）； 比较多个量与基准的接近程度（如排球偏差-0.6g、+0.8g，判断哪个更接近标准）； 切换基准计算偏差（如先以A为基准，再切换为B为基准，重新计算偏差）。 3. 易错点 基准混淆：如先以“90分为基准”，后误以“80分为基准”计算实际分； 绝对值理解错误：比较接近程度时，误将偏差量的数值大小当作差距，忽略绝对值（如认为-3比+2离基准更远）； 实际量计算错误：如基准50kg，偏差-2，误算为50+2=52kg。 4. 解题技巧 明确基准：解题前先圈出题目中的基准量（如“以…为标准”“记作0”）； 公式记忆：实际量=基准+偏差，偏差=实际量-基准； 比较接近程度：计算各偏差量的绝对值，绝对值越小越接近基准。 【例题5】．（2024-2025•抚顺县期末）一个零件的标准长度是15cm，将15cm作为零件的基准“0”，高于基准用正数表示，低于基准用负数表示，如果实际生产中有一个零件的长度表示为﹣2cm，那么这个零件的实际长度为（　　） A．2cm B．﹣2cm C．13cm D．17cm 【答案】C 【分析】直接根据有理数的加法求解即可． 【解答】解：根据题意可知，一个零件的长度表示为﹣2cm，那么这个零件的实际长度为： 15cm+（﹣2cm）＝13cm， ∴该零件的实际长度为13cm． 故选：C． 【点评】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的意义是关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•宁津县期末）凝固点是晶体物质凝固时的温度，则在标准大气压下，下列物质中凝固点最低的是（　　） 物质 钨 水银 煤油 水 凝固点 3412℃ ﹣38.87℃ ﹣47℃ 0℃ A．钨 B．水银 C．煤油 D．水 【答案】C 【分析】绝对值越大的负数反而越小，据此即可作答． 【解答】解：根据题意可知，|﹣38.87℃|＝38.87℃，|﹣47℃|＝47℃， ∴0℃＜38.87℃＜47℃＜3412℃， ∴凝固点最低的是煤油． 故选：C． 【点评】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的意义是关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•碑林区模拟）如果以西安钟楼为中心，小李向东走5m，所在的位置记作+5，那么小红以西安钟楼为中心，向西走7m，所在的位置应记作（　　） A．﹣2 B．+2 C．+7 D．﹣7 【答案】D 【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解答】解：如果以西安钟楼为中心，小李向东走5m，所在的位置记作+5， 那么小红以西安钟楼为中心，向西走7m，所在的位置应记作﹣7， 故选：D． 【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•淅川县期末）一种袋装食品的标准净重是100克．质监部门工作人员为了解该食品每袋净重与标准净重的误差，把净重108克记为+8克，那么净重96克记为 　﹣4　 克． 【答案】见试题解答内容 【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解答】解：一种袋装食品的标准净重是100克，把净重108克记为+8克，那么净重96克记为﹣4克， 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 【题型6】正数、负数在收支中的实际应用 1. 知识点 收支/营业额的正负表示：通常收入/增长记为正，支出/下降记为负； 关键计算：①总收支/总营业额=基准总额+偏差总和；②增长率为正表示增长，为负表示下降，为0表示持平。 2. 考点 根据增长率判断增长/下降月份（如营业额增长率+0.3%为增长，-1.5%为下降）； 计算总营业额/总收支（如上半年每月增长率分别为-1.8%、0、0.2%，算总增长情况）； 3. 易错点 总额计算错误：忽略基准总额，直接将偏差量相加（如每月标准营业额10万，偏差+1、-0.5，总营业额应为10×2+(1-0.5)=20.5万，非1-0.5=0.5万）； 混淆“增长率”与“实际营业额”：如增长率+5%，误将5%当作实际营业额，忽略需乘基准额。 4. 解题技巧 先区分“基准量”（如每月标准营业额）和“偏差量”（增长率对应的实际偏差）； 计算总额时：先算偏差总和，再加上“基准量×次数”（如n个月则加n×基准）； 【例题6】．（2024-2025•苍溪县期末）小明同学的微信钱包账单如图所示，+5.20表示收入5.20元，下列说法正确的是（　　） A．﹣1.00表示收入1.00元 B．﹣1.00表示支出1.00元 C．﹣1.00表示支出﹣1.00元 D．+1.80表示支出1.80元 【答案】B 【分析】利用正数和负数的意义解答． 【解答】解：﹣1.00表示支出1.00元，+1.80表示收入1.80元， 选项ACD错误不符合题意，选项B正确，符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握正数和负数的意义． 【变式题6-1】．（2024-2025•樊城区模拟）手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（　　） 转账——来自天青色+18.00 微信红包——发给高原红﹣12.00 A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元 【答案】B 【分析】利用实数的运算法则进行计算即可． 【解答】解：∵+18﹣12＝+6（元）， ∴收入6元． 故选：B． 【点评】本题主要考查正数与负数，熟练掌握实数的运算是解题的关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•七台河期末）手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（　　） A．收入14元 B．支出3元 C．支出18元 D．支出10元 【答案】B 【分析】根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【解答】解：14﹣8﹣9＝﹣3（元）， 即王老师当天微信收支的最终结果是支出3元， 故选：B． 【点评】本题考查正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•东港区二模）手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（　　） A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元 【答案】B 【分析】根据有理数的加法法则进行计算即可求解． 【解答】解：+18+（﹣12）＝6（元）， 故选：B． 【点评】本题考查了正负数的意义，掌握有理数的加运算是解题的关键． 【题型7】正数、负数在位置中的实际应用 1. 知识点 位置变化的正负表示：通常规定一个方向为正（如向东、向北为正），相反方向为负； 关键计算：①最终位置=初始位置+各次位置变化量（初始位置为0时，直接累加变化量）；②最远距离=跟踪每次位置变化后的绝对值，取最大值。 2. 考点 求最终位置（如从原点出发，位置变化+3、-5、+2，最终位置为0）； 计算最远距离（如守门员位置变化+2、-3、+1，跟踪每次位置：2、-1、0，最远距离为2）； 判断是否回到初始位置（如累加位置变化量为0，则回到原点）。 3. 易错点 方向规定混淆：如题目规定“向东为正”，误将“向西走3米”记为+3米； 最远距离计算错误：只算最终位置的绝对值，忽略过程中的最大位置（如变化+4、-6，最终位置-2，绝对值2，但过程中最大位置是4）； 初始位置忽略：如初始位置为5，变化-3，误算为0+(-3)=-3，实际为5-3=2。 4. 解题技巧 第一步：明确方向规定（圈出“向东为正”“向前为正”等关键词）； 第二步：计算最终位置：初始位置+所有变化量（初始为0则直接累加）； 第三步：算最远距离：逐次计算每次变化后的位置，取各位置绝对值的最大值。 【例题7】．（2024-2025•东胜区一模）如图，小球左端固定在弹簧上，若小球从静止位置向右5cm，记作+5cm，则小球从静止位置向左3cm，记作（　　） A．+3cm B．﹣3cm C．﹣5cm D．﹣8cm 【答案】B 【分析】以静止位置为原点，向右为正方向（+），向左为负方向（﹣）． 【解答】解：根据题意可知，小球从静止位置向左3cm，记为﹣3cm． 故选：B． 【点评】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的意义是解题的关键． 【变式题7-1】．（2024-2025•西平县期中）如图，一名跳水运动员参加10m跳台的跳水比赛（10m跳台是指跳台离水面的高度为10m），这名运动员举高手臂时身长为2m，跳水池池深为 5.4m．若以跳台为基准，则这名运动员指尖的高度记作+2m，则池底的位置记作（　　） A．5.4m B．﹣5.4m C．﹣10m D．﹣15.4m 【答案】D 【分析】根据正数和负数的实际意义即可求得答案． 【解答】解：由题意可知，跳台到池底的距离为10+5.4＝15.4m， 如果以跳台为基准，这名运动员指尖的高度记作+2m，那么池底的位置应记作﹣15.4m． 故选：D． 【点评】本题考查了正数和负数，熟练掌握其实际意义是解题的关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•东莞市期中）在实际生活中，我们经常采用“角度+距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以O点为基准点，射线OA的方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度（0°～180°），顺时针方向旋转为负角度（0°～﹣180°），特别地，OA的反向延长线所在的方向记为180°．由于OB方向为OA方向绕O点逆时针旋转90°，点B与点O的距离为1km，因此点B可以用有序数对记为（90°，1），类似地，点C可以记为（﹣15°，4）．以下点的位置标记正确的是（　　） A．点D（4，150°） B．点E（45°，3） C．点F（﹣120°，3） D．点G（60°，2） 【答案】D 【分析】根据题干中的例子，分别判断每个选项即可． 【解答】解：由题意可得： A、点D可以记为（150°，4），故不合题意； B、点E（45°，3）表示从OA开始逆时针45°，与O相距3km，与图中位置不符，故不合题意； C、点F（﹣120°，3）表示从OA开始顺时针120°，与O相距3km，与图中位置不符，故不合题意； D、点G（60°，2）表示从OA开始逆时针60°，与O相距2km，与图中位置相符，故符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解“角度+距离”的方法是解题的关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•贵州期中）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：A→B（+1，+4），从D到C记为：D→C（﹣1，+2），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中A→C（ 　3　 ，　4　 ），B→C（ 　2　 ，　0　 ）， D→　A　 （﹣4，﹣2）； （2）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据规定及实例可知A→C记为（3，4）B→C记为（2，0）D→A记为（﹣4，﹣2）； （2）按题目所示平移规律分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个向下平移两个格点即可得到点P的坐标，在图中标出即可； （3）根据点的运动路径，表示出运动的距离，相加即可得到行走的总路径长． 【解答】解：（1）规定：向上向右走为正，向下向左走为负∴A→C记为（3，4）B→C记为（2，0）D→A记为（﹣4，﹣2）； （2）P点位置如图所示． （3）据已知条件可知：A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣2）； 该甲虫走过的路线长为1+4+2+1+2＝10． 故答案为：（3，4）；（2，0）；A； 【点评】本题主要考查了正数与负数，利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示． 【题型8】正数、负数在重量/产量中的实际应用 1. 知识点 重量/产量的正负表示：以标准重量/计划产量为基准，超出记为正，不足记为负； 关键计算：①总重量/总产量=标准量×数量+偏差总和；②平均重量/平均产量=总重量/总产量÷数量。 2. 考点 计算总重量/总产量（如10袋小麦，标准90kg，偏差+1、-1、+0.5，总重量=10×90+(1-1+0.5)=900.5kg）； 判断重量/产量是否达标（如标准500g，偏差-10g，实际490g，判断是否符合“500±8g”）； 计算平均重量/平均产量（如5天产量偏差+3、-2、0、+1、-1，平均偏差=0，平均产量=计划产量）。 3. 易错点 偏差累加错误：如正负偏差抵消时算错（如+2、-3、+1，误算为2-3+1=1，实际为0）； 标准量与数量混淆：如“20筐白菜，每筐标准25kg”，误将20当作标准量，25当作数量； 达标判断忽略范围：如“20±0.3kg”，误将偏差-0.4kg当作达标，实际20-0.4=19.6kg＜19.7kg，不达标。 4. 解题技巧 公式固定：总实际量=（标准量×总数量）+偏差总和； 达标判断：先算合格范围（标准量±偏差上限），再对比实际量； 平均量计算：先算总实际量，再除以总数量，或先算平均偏差，再加标准量。 【例题8】．（2024-2025•盐边县期末）在互联网技术的影响下，幸福新村的村民小刘在网上销售蜜柚，原计划每天卖150千克，但实际每天的销量与计划销量相比有出入，如表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +5 ﹣3 ﹣4 +12 ﹣6 +20 +5 （1）根据表中的数据可知前三天共卖出 　448　 千克； （2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ （3）若每千克按6元出售，每千克蜜柚的运费为1元，那么小刘本周一共收入多少元？ 【答案】（1）448； （2）销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售26千克； （3）小刘本周一共收入5395元． 【分析】（1）求出前三天卖出的斤数，相加即可； （2）找出卖出最多的与最少的斤数，相减即可； （3）把表格中的数据相加，再根据题意列出算式，计算即可求出值． 【解答】解：（1）450+5﹣3﹣4＝448（千克）． 故前三天共卖出448千克； （2）20﹣（﹣6）＝26（千克）． 故销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售26千克； （3）+5﹣3﹣4+12﹣6+20+5＝29＞0， 故本周实际销量达到了计划销量． （29+150×7）×（6﹣1） ＝1079×5 ＝5395（元）． 答：小刘本周一共收入5395元． 故答案为：448． 【点评】此题考查了正数与负数，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•东区期末）小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具150个，平均每天生产30个，但由于种种原因，实际每天生产与计划量相比有出入，下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为“+”、减产记为“﹣”，单位：个）． 星期 一 二 三 四 五 增减产值 +10 ﹣6 ﹣4 +8 ﹣1 （1）根据记录的数据可知，小明妈妈星期三生产玩具 　26　 个； （2）根据记录的数据，求小明妈妈本周实际生产玩具多少个？ （3）该厂实行每日计件工资制，每生产一个玩具可得工资8元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣2元，求小明妈妈这一周的工资总额是多少？ （4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，那么小明妈妈这一周的工资与原来相比 　减少了　 （填“增加了”、“减少了”或“不变”）． 【答案】（1）26； （2）小明妈妈本周实际生产玩具157个； （3）小明妈妈这一周的工资总额是1288元； （4）减少了． 【分析】（1）根据正负数的意义可知该天生产的玩具比30个少4个； （2）用计划完成的150个加上每天生产个数出入数字的和即可； （3）根据整周生产的玩具数所得钱数再加上总超出任务数所得钱数即可； （4）根据整周生产的玩具数所得钱数再加上每天将或罚所得钱数即可 【解答】解：（1）30+（﹣4）＝30﹣4＝26（个）， 故答案为：26； （2）150+（+10﹣6﹣4+8﹣1） ＝150+7 ＝157（个）， 答：小明妈妈本周实际生产玩具157个； （3）8×157+3×（10+8）﹣2×（|﹣6|+|﹣4|+|﹣1|） ＝1256+3×18﹣2×11 ＝1256+54﹣22 ＝1288（元）， 答：小明妈妈这一周的工资总额是1288元； （4）157×8+3×（157﹣150） ＝1256+3×7 ＝1256+21 ＝1277（元）， ∵1277＜1288， ∴明妈妈这一周的工资与原来相比减少了， 故答案为：减少了． 【点评】此题考查了运用正负数的概念和绝对值解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 【变式题8-2】．（2024-2025•天峨县期末）科技改变世界．快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） +6 0 ﹣4 +5 ﹣1 +7 ﹣6 （1）该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期 　六　 ；最少的一天是星期 　日　 ；最多的一天比最少的一天多分拣 　13　 万件包裹； （2）该仓库本周实际平均每天分拣多少万件包裹？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）依据超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负，可知周六最多，周日最少，用最多减去最少可得差值； （2）求出本周内的分拣总量，然后再求平均值即可． 【解答】解：（1）由表可知： 本周内分拣包裹数量最多的一天是星期六， 最少的一天是星期日， 最多的一天比最少的一天多分拣：7﹣（﹣6）＝13（万件）， 故答案为：六，日，13； （2）21（万件）． 答：该仓库本周实际平均每天分拣21万件包裹． 【点评】本题考查了正负数的实际应用、有理数的混合运算；理解正负数的实际意义并正确计算是解题的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•元阳县期末）科技促进农业现代化发展，某农业科技公司利用数字化种植技术种植樱桃番茄．技术员在某园区采摘了40箱樱桃番茄，若以每箱净重5千克为标准，通过称重，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如表： 与标准重量的差值/千克 ﹣0.2 ﹣0.1 0 0.1 0.15 0.2 箱数 1 8 15 10 4 2 （1）计算这批樱桃番茄的总重量． （2）若某经销商从农业科技公司以每千克10元的价格批发了这批樱桃番茄，再以每千克14元将这批樱桃番茄全部售出，则该经销商共能获得多少利润？ 【答案】（1）201千克； （2）804元． 【分析】（1）求出记录数据的代数和，再加上200千克即可； （2）利用公式：利润＝（售价﹣进价）×销售量，即可解答． 【解答】解：（1）40×5+[（﹣0.2）×1+（﹣0.1）×8+0×15+0.1×10+0.15×4+0.2×2] ＝40×5+1 ＝200+1 ＝201（千克）． 答：这批樱桃番茄的总重量是201千克． （2）（14﹣10）×201 ＝4×201 ＝804（元）． 答：该经销商共能获得利润804元． 【点评】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算，理解题意正确列出算式是解题的关键． 【题型9】正数、负数与时间差问题（培优） 1. 知识点 时差的正负表示：正数表示该城市时间比北京时间早（如东京+1小时，即北京10点时东京11点），负数表示比北京时间晚（如纽约-13小时，即北京10点时纽约前一天21点）； 时间换算：目标城市时间=北京时间+时差（结果＜0则减1天，加24小时；结果＞24则加1天，减24小时）。 2. 考点 根据北京时间计算目标城市时间（如北京2024年1月1日9点，纽约 时差-13，纽约时间=9-13=-4→2023年12月31日20点）； 根据目标城市时间反推北京时间（如伦敦时间2024年1月1日10点，时差-8，北京时间=10+8=18点）； 判断时间表述的正确性（如北京15点，巴黎时差-7，巴黎时间8点，判断选项是否正确）。 3. 易错点 时差正负理解反：将“+1小时”理解为晚1小时，“-13小时”理解为早13小时； 日期变化忽略：计算结果为负或超过24时，忘记调整日期（如北京9点+纽约时差-13，得-4，误记为当天-4点，实际为前一天20点）； 24小时制与12小时制混淆：如将20点误记为8点，未说明上午/下午。 4. 解题技巧 公式固定：目标时间=北京时+时差； 日期调整：①结果＜0：日期减1，时间加24；②结果＞24：日期加1，时间减24；③0≤结果≤24：日期不变； 验证：用简单时间验证（如北京12点，东京+1→13点，正确），再算复杂时间。 【例题9】．（2024-2025•淄川区期末）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，请根据下表给出的国外四个城市与北京的时差，分别在时钟下面表明五个城市的名称． 城市 纽约 悉尼 伦敦 罗马 时差/h ﹣13 +2 ﹣8 ﹣7 【答案】见解析． 【分析】根据题意列式计算确定北京时间，再通过计算确定其他四个城市的时间即可得到答案． 【解答】解：由图可得五个时钟显示的时间分别为：8：00，9：00，4：00，3：00，6：00， 当北京时间为8：00时，悉尼时间为8+2＝10，即当日10：00， 五个时钟显示的时间8：00，9：00，4：00，3：00，6：00， ∵图中没有10：00， ∴北京时间不是8：00； 当北京时间为9：00时，悉尼时间为9+2＝11，悉尼时间为当日11：00， 五个时钟显示的时间8：00，9：00，4：00，3：00，6：00， ∵图中没有11：00， ∴北京时间不是9：00； 当北京时间为4：00时，4+2＝6，悉尼时间为当日6：00，存在； ∵4+（﹣13）＝4﹣13＝﹣9，﹣9+24＝15， ∴纽约时间为前一天的15：00，时钟显示为3：00，存在； ∵4+（﹣8）＝4﹣8＝﹣4，24+（﹣4）＝24﹣4＝20， ∴伦敦时间为前一天20：00，时钟显示为8：00，存在； ∵4+（﹣7）＝4﹣7＝﹣3，24+（﹣3）＝24﹣3＝21， ∴罗马时间为前一天21：00，时钟显示为9：00，存在； 如图，即为所求． 【点评】本题主要考查了正数，负数，有理数的加减运算，根据题意正确列式计算是解题的关键． 【变式题9-1】．（2024-2025•锦江区校级期中）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据下表给出的国外四个城市与北京的时差，请你判断城市 　C　 代表北京（在A、B、C、D、E五个里面选一个填在横线上）． 城市 时差/h 纽约 ﹣13 悉尼 +2 伦敦 ﹣8 罗马 ﹣7 【答案】C． 【分析】根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【解答】解：若以24小时制计时间， 第一个表的时间为8点或20点，第二个表的时间为9点或21点，第三个表的时间为4点或16点，第四个表的时间为3点或15点，第五个表的时间为6点或18点，因为悉尼时间比北京时间多2个小时，所以北京的时间只可能是4点或16点，此时E是悉尼，A是伦敦，B是罗马，D是纽约． 故选：C． 【点评】本题考查正数与负数；能够结合时钟与时差确定北京时间是解题的关键． 【变式题9-2】．（2024-2025•沙坪坝区校级月考）如图，下面的4个时钟显示了同一时刻国外3个城市时间与北京时间，根据表给出的北京时间与国外3个城市的时差，下列关于同时刻北京时间的判断，正确的是（　　） 城市 时差/h 纽约 13 悉尼 ﹣2 伦敦 8 A．图1代表北京时间 B．图2代表北京时间 C．图3代表北京时间 D．图4代表北京时间 【答案】A 【分析】根据伦敦、悉尼、纽约与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【解答】解：由表格可得，悉尼与北京时差为﹣2，纽约与北京时差为13，伦敦与北京时差为8， ∴图4代表悉尼时间，图2代表伦敦时间，图3代表纽约时间， ∴图1代表北京时间，故选项A符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查正数与负数；能够结合时钟与时差确定北京时间是解题的关键． 【变式题9-3】．（2024-2025•沈河区校级月考）在表中，给出了国外四个城市与北京的时差： 城市 时差/h 悉尼 2 罗马 ﹣7 伦敦 ﹣8 纽约 ﹣13 下面的五个时钟显示了同一天同一时刻国外四个城市时间和北京时间． （1）若北京时间是11月12日上午9点10分，那么伦敦时间为 　11月12日上午1点10分　 ； （2）从左到右五个时钟对应的城市分别为： ①　悉尼　 ②　北京　 ③　纽约　 ④　伦敦　 ⑤　罗马　 ． 【答案】（1）11月12日上午1点10分； （2）悉尼；北京；纽约；伦敦；罗马． 【分析】（1）根据北京与伦敦的时差确定出伦敦时间即可； （2）根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可根据北京与伦敦的时差确定出伦敦时间即可． 【解答】解：（1）若北京时间是11月12日上午9点10分，那么伦敦时间为11月12日上午1点10分； 故答案为：11月12日上午1点10分； （2）①悉尼；②北京；③纽约；④伦敦；⑤罗马． 故答案为：悉尼；北京；纽约；伦敦；罗马． 【点评】此题考查了正数与负数，弄清各城市与北京的时差是解本题的关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 A． D C A B 一．选择题（共5小题） 1．若气温零上3℃记作+3℃，则气温零下2℃记作（　　） A．﹣2℃ B．+2℃ C．+3℃ D．﹣3℃ 【答案】A． 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若气温零上3℃记作+3℃，则气温零下2℃记作﹣2℃． 故选：A． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 2．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出1000元记作﹣1000元，那么+1080元表示（　　） A．支出80元 B．收入 80元 C．支出1080元 D．收入1080元 【答案】D 【分析】根据正负数是表示一对意义相反的量进行辨别． 【解答】解：∵支出1000元记作﹣1000元， ∴+1080元表示表示收入1080元， 故选：D． 【点评】此题考查了正数和负数，解题的关键是能准确问题间的数量关系和具有意义相反的量． 3．如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常以“××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“﹣0.50D”，近视100度记录为“﹣1.00D”等，通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼睛进行视力矫正．下列是4位同学的验光记录，需要持续佩戴眼镜的是（　　） A．﹣0.50D B．﹣1.25D C．﹣2.25D D．﹣0.75D 【答案】C 【分析】根据近视50度记录为“﹣0.50D”，近视100度记录为“﹣1.00D”，求出各位同学近视的度数即可作答． 【解答】解：﹣0.50D表示近视50度，﹣1.25D表示近视125度，﹣2.50D表示近视250度，﹣0.75D表示近视75度， ∵通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼睛进行视力矫正， ∴需要持续配戴眼镜的是﹣2.50D． 故选：C． 【点评】本题主要考查正数和负数，读懂题意是解题的关键． 4．规定：（←3）表示向左移动3．记作﹣3，则（→5）表示向右移动5，记作（　　） A．+5 B．﹣5 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向右记为正，则向左就记为负，直接得出结论即可． 【解答】解：规定：（←3）表示向左移动3．记作﹣3，则（→5）表示向右移动5，记作+5． 故选：A． 【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 5．凝固点是晶体物质凝固时的温度，则在标准大气压下，下列物质中凝固点最低的是（　　） 物质 钨 水银 煤油 水 凝固点 3410℃ ﹣38.87℃ ﹣30℃ 0℃ A．钨 B．水银 C．煤油 D．水 【答案】B 【分析】根据两个负数比较大小，绝对值越大的数反而越小，即可作答． 【解答】解：|﹣38.87|＝38.87，|﹣30|＝30，0℃＜3410℃， ∵38.87＞30， ∴﹣38.87＜﹣30， ∴在标准大气压下，凝固点最低的是水银． 故选：B． 【点评】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的意义是关键． 二．填空题（共5小题） 6．如图所示的是某古筝调音器软件的界面，已知古筝是标准音时，界面指针指向0，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．当古筝的音调低于标准音30时，该界面指针指向的数字是　﹣30　 ． 【答案】﹣30． 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，据此解答即可． 【解答】解：高于标准音和低于标准音是一对具有相反意义的量， 高于标准音记作正，则低于标准音记作负， 因此当古筝的音调低于标准音30时，该界面指针指向的数字是﹣30， 故答案为：﹣30． 【点评】本题考查相反意义的量，掌握正数和负数的意义是解答本题的关键． 7．若海平面以上2000米记做“+2000米”，那么海平面以下3000米记做“　﹣3000米　 ”． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据相反意义的量，海平面以上2000米记做“+2000米”，那么海平面以下3000米记做﹣3000米即可． 【解答】解：海平面以下3000米记做“﹣3000米”． 故答案为：﹣3000米． 【点评】本题考查了对正数和负数的理解和运用，关键是理解相反意义的量的记法． 8．时针逆时针旋转30°，记作+30°，那么时针顺时针旋转45°，记作 　﹣45°　 ． 【答案】﹣45°． 【分析】根据正数和负数的意义进行作答即可． 【解答】解：∵时针逆时针旋转30°，记作+30°， ∴时针顺时针旋转45°，记作﹣45°． 故答案为：﹣45°． 【点评】本题主要考查正数和负数，熟练掌握其意义是解题的关键． 9．一瓶可乐的净含量标注为500mL．根据《定量包装商品计量监督管理办法》规定，500mL的可乐净含量允许偏差范围为±2%．如果一瓶可乐的实际净含量是502mL，记为+2mL．则当一瓶可乐的实际净含量是496mL 时，则记为　﹣4　 mL，它　符合　 规定．（填“符合”或“不符合”．） 【答案】﹣4；符合． 【分析】500mL的可乐净含量允许偏差范围为±2%，则500×2%＝10（mL），表示在（500±10）mL都是合格的，据此判断即可． 【解答】解：根据题意可知，500×2%＝10（mL）， ∴500+10＝510（mL），500﹣10＝490（mL）， ∴500mL的可乐净含量在490mL～510mL之间都是合格的， ∴500﹣496＝4（mL）， 故当一瓶可乐的实际净含量是496mL时，则记为﹣4mL，它符合规定． 故答案为：﹣4；符合． 【点评】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数是一对具有相反意义的量是关键． 10．某项科学研究，以45分钟为一个时间单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正．例如9：15记为﹣1，10：45记为1等等，依此类推，上午7：45应记为　﹣3　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先计算出上午7：45到上午10时的时间有多少分钟，再计算出有多少个45分钟，即可计算出结果． 【解答】解：以10时为0，向前每45分钟为一个“﹣1”，因为7：45到10：00共135分钟，含3个45分钟，所以7：45应记为﹣3． 【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 三．解答题（共5小题） 11．教师节当天，出租车司机小王在东西向的街道上免费接送教师，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下（单位：千米）：+5，﹣4，﹣8，+10，+3，﹣6，+7，﹣11． （1）将最后一名老师送到目的地时，小王距出发地多少千米？ （2）若汽车耗油量为0.5升/千米，则当天耗油多少升？若汽油价格为6.70元/升，则小王共花费了多少元钱？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）求出各个数的和，依据结果即可判断； （2）求出汽车行驶的路程即可解决． 【解答】解：（1）+5﹣4﹣8+10+3﹣6+7﹣11＝﹣4，则距出发地西边4千米； （2）汽车的总路程是：5+4+8+10+3+6+7+11＝54千米， 则耗油是54×0.5＝27升，花费27×6.70＝180.9元， 答：（1）小王距出发地西边4千米； （2）耗油27升，花费180.9元． 【点评】主要考查正负数在实际生活中的应用．利用正负号可以分别表示向东和向西，就可以表示位置，在本题中注意不要用（1）中求得的数﹣4代替汽车的路程． 12．皇帝柑又名贡柑，是肇庆的著名土特产．每年11月、12月，是肇庆皇帝柑的成熟期，可以采摘．每框皇帝柑以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，求这4框皇帝柑的总质量． 【答案】这4框皇帝柑的总质量为20.1千克． 【分析】先根据有理数的加法运算法则求出称重记录的和，然后再加上4筐的标准质量计算即可得解． 【解答】解：（﹣0.1）+（﹣0.3）+（+0.2）+（+0.3）+5+5+5+5 ＝0.1+20 ＝20.1（千克） 故这4框皇帝柑的总质量为20.1千克． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 13．某服装厂计划平均每天生产400套运动服，下表是该厂某一周的生产情况（超出计划产量的记为“+”，不足计划产量的记为“﹣”）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 +10 ﹣15 +21 +13 +7 ﹣8 +20 （1）试求出表中被污染的数据； （2）该服装厂星期五生产了多少套运动服？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）用合计减去其他六天的情况即可求出； （2）根据第（1）问即可求出星期五的生产情况． 【解答】解：（1）星期五工厂多生产运动服为： 10+21+13+7＝51，15+8＝23， 20﹣51+23＝﹣8， ∴表中被污染的数据是﹣8； （2）解：由（1）得：该服装厂星期五生产的运动服比平均数量少8件， ∴400﹣8＝392套， ∴该服装厂星期五生产了392套运动服． 【点评】本题考查了正数和负数，利用了有理数的加减法运算，解题的关键是读懂题意． 14．2022年11月20日18：00（北京时间），卡塔尔世界杯开幕式在豪尔市的海湾球场举行．小明为方便各国球迷准时观看比赛，列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数）． 城市 纽约 东京 豪尔市 时差/时 ﹣13 +1 ﹣5 假设现在北京时间是2020年11月22日上午9：00． （1）现在纽约的时间是几点？东京时间是几点？ （2）如果小明在北京坐11月19日上午10：00的航班飞行约9小时到达豪尔市，那么达到豪尔市的时间是几点？ 【答案】（1）纽约时间是11月21日晚上20：00，东京时间是11月22日上午10：00； （2）11月19日下午14：00． 【分析】（1）利用纽约与北京的时差为﹣13小时得到纽约时间＝9﹣13＝﹣4，即纽约时间为前一天的 24+（﹣4）＝20时；利用东京与北京的时差为+1小时，可得东京时间是上午10：00． （2）利用纽约与北京的时差为﹣5小时解答即可． 【解答】解：（1）纽约：9+（﹣13）＝﹣4，24+（﹣4）＝20， 东京：9+1＝10， 所以纽约时间是11月21日晚上20：00，东京时间是11月22日上午10：00． （2）10+（﹣5）＝5， 所以在北京坐11月19日上午10：00的航班，是豪尔市11月19日凌晨5：00， 5+9＝14， 所以到达豪尔的时间是11月19日下午14：00． 【点评】本题考查了有理数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数，然后根据有理数的加法法则运算．也考查了正数与负数的运用． 15．某电脑公司三种型号的电脑今年的销售量与去年的相比，变化率如下：A型号增长3%，B型号减少1%，C型号减少2%． （1）写出今年这些型号的电脑销售量的增长率． （2）该公司a、b、c三种型号的键盘今年销售量的增长率是5%、﹣4%和0，这三个数各表示什么意思． 【答案】（1）三种型号的电脑今年销售量的增长率是：A型号3%，B型号﹣1%，C型号﹣2%； （2）5%表示a型号键盘今年销售量比去年的增长了5%；﹣4%表示b型号键盘今年销售量比去年的减少了4%；0表示c型号键盘今年销售量与去年的一样，没增也没减． 【分析】（1）根据正数和负数的意义，即可解答； （2）根据正数和负数的意义，即可解答． 【解答】解：（1）三种型号的电脑今年销售量的增长率是：A型号3%，B型号﹣1%，C型号﹣2%； （2）5%表示a型号键盘今年销售量比去年的增长了5%；﹣4%表示b型号键盘今年销售量比去年的减少了4%；0表示c型号键盘今年销售量与去年的一样，没增也没减． 【点评】本题考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数的意义是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1正数和负数 【题型1】识别正数与负数 1. 知识点 正数定义：大于0的数，可省略前面的“+”，如3、2.5、； 负数定义：在正数前加“-”的数（“-”不可省略），如-2、-1.8、； 0的特殊性：0既不是正数，也不是负数，是正、负数的分界； 多个正负号的化简：遵循“奇负偶正”，即负号个数为奇数时结果为负，偶数时结果为正（如-(-3)=3，+(-4)=-4）。 2. 考点 判断给定数中正数、负数的个数； 区分正数、负数与0的归属。 3. 易错点 误将0归为正数或负数； 化简多个正负号时，忽略“奇负偶正”规则（如将-(-6)错算为-6）； 混淆正分数、负分数与整数（如将0.3错归为整数）。 4. 解题技巧 判断数的类型时，先看符号（除0外，带“-”为负数，否则为正数）； 化简多个符号时，数出负号个数，奇数个则结果为负，偶数个则结果为正； 列表分类：将给定数按“正数、负数、0”分类，避免遗漏。 【例题1】．（2024-2025•凉州区校级月考）在﹣3，﹣2，0，﹣1，4，5这6个数中，负数有几个（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题1-1】．（2024-2025•惠农区校级期中）下面各数中正数和负数各有几个：﹣5；；0； 0.56；﹣3；﹣25.8；﹣0.001，（　　） A．3，4 B．4，2 C．2，5 D．6，1 【变式题1-2】．（2024-2025•隆阳区期末）下列数中，哪些是正数？哪些是负数？ +3，﹣2，+1，0，6.9，8，． 正数有：{ 　 　 …}； 负数有：{ 　 　 …}． 【变式题1-3】．（2024-2025•宁津县期末）（1）下列各数，其中正数有 　 　 ，负数有 　 　 ． （2）有下列各数．其中哪些是正数？哪些是负数？ 【题型2】用正数、负数表示具有相反意义的量 1. 知识点 相反意义的量三要素：①具有相反意义；②具有具体数量；③属性相同（如“上升”与“下降”、“收入”与“支出”）； 表示方法：先规定其中一种意义的量为正，则另一种为负，0表示两种量的基准。 2. 考点 根据规定的正负方向，写出具体量的表示（如规定向东为正，向西走5米记作-5米）； 解读已知正负符号所表示的实际意义（如“-3℃”表示零下3℃）； 判断一组量是否为具有相反意义的量（如“身高增加2cm”与“体重减少2kg”不是）。 3. 易错点 混淆“属性不同的量”（如“盈利30元”与“浪费20元”，属性不同，非相反意义）； 未明确正负规定就写数（如未说明“收入为正”，直接将支出记作-50元）； 忽略“数量”要素（如只说“上升”与“下降”，无具体数量，不构成相反意义的量）。 4. 解题技巧 第一步：明确题目规定的“正方向”（如“收入为正”“向东为正”）； 第二步：判断所求量与正方向是否相反，相反则加“-”，相同则用正数（或省略“+”）； 验证：确保两个量属性相同、意义相反，且带有数量。 【例题2】．（2024-2025•蓬溪县校级期末）9月2日，“蛟龙号”载人潜水器完成2024西太平洋国际航次科考的第11次下潜作业，若“蛟龙号”上浮200m记作+200m，那么下潜500m可记作（　　） A．+200m B．﹣200m C．+500m D．﹣500m 【变式题2-1】．（2024-2025•隆阳区期末）若气温零上3℃记作+3℃，则气温零下2℃记作（　　） A．﹣2℃ B．+2℃ C．+3℃ D．﹣3℃ 【变式题2-2】．（2024-2025•长春模拟）如果一个物体向右移动2米记作移动+2米，那么这个物体又移动了﹣2米的意思是（　　） A．物体又向右移动了2米 B．物体又向右移动了4米 C．物体又向左移动了2米 D．物体又向左移动了4米 【变式题2-3】．（2024-2025•文水县期末）《九章算术》是我国重要的数学典籍，也是世界上第一部完整介绍负数的古算书．书中记载：“今两算得失相反，要令正负以名之”．这句话的意思是今有两数若意义相反，则分别叫做正数和负数．如果盈利200元，记作+200元，那么亏损50元，记作（　　） A．+50元 B．﹣200元 C．﹣50元 D．+200元 【题型3】理解“0”的实际意义 1. 知识点 0是正数与负数的分界，不归属任何一方； 0的实际意义：①表示“基准”（如海平面海拔为0米、标准水位为0米）；②表示“特定状态”（如0℃表示标准大气压下冰水混合物的温度，非“没有温度”）；③部分场景表示“没有”（如库存为0件）。 2. 考点 判断关于“0”的表述是否正确（如“0℃表示没有温度”错误）； 结合具体场景解释“0”的含义（如营业额增长率为0，表示与去年同期持平）； 利用“0”的分界作用区分正、负数对应的实际状态。 3. 易错点 普遍认为“0表示没有”，忽略其“基准”作用（如误将0kg表示“没有重量”，实际可能是标准重量）； 在温度、海拔等场景中，将0归为“负数”（如认为0℃低于零下温度，实际0℃是分界）； 混淆“0的基准”与“正负方向”（如标准水位为0，高于为正，低于为负，误将0归为“低于”）。 4. 解题技巧 遇到“0”的问题，先分析场景：是“基准”“特定状态”还是“没有”； 对比正、负数的意义，反向推导0的含义（如“增长为正，下降为负”，则0表示不增不减）； 排除法：排除“0是正数/负数”“0一定表示没有”等错误表述。 【例题3】．（2024-2025•建阳区校级月考）下列叙述中，正确的是（　　） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【变式题3-1】．（2024-2025•玉山县期末）下列语句正确的是（　　） A．“+15米”表示向东走15米 B．0℃表示没有温度 C．﹣a可以表示正数 D．0既是正数也是负数 【变式题3-2】．（2024-2025•高碑店市期中）对于“0”的说法：①0℃是一个确定的温度；②0为正数；③0不是负数；④0为最小的整数．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题3-3】．（2024-2025•南安市校级月考）以下对于0的描述，说法正确的是（　　） A．0是正数 B．0是负数 C．0既是正数也是负数 D．0既不是正数也不是负数 【题型4】用正数、负数表示误差范围 1. 知识点 误差范围的表示形式：通常为“标准量±偏差量”（如“25±0.2kg”），表示实际量的范围是“标准量-偏差量”到“标准量+偏差量”（即24.8kg~25.2kg）； 合格判断：实际量在上述范围内则合格，超出则不合格。 2. 考点 根据“a±b”的形式，计算合格范围（如“Φ30±0.03mm”的合格范围是29.97mm~30.03mm）； 判断给定实际量是否合格（如零件直径29.96mm，判断是否符合“Φ30±0.03mm”）； 求误差范围内的最大/最小实际量（如“150±5g”的最大质量是155g，最小是145g）。 3. 易错点 误解“a±b”的范围：误将“a±b”理解为“a到a+b”或“a-b到a”，忽略双向范围； 单位换算错误：如将“200±3g”中的3g换算为kg，导致范围计算错误； 混淆“偏差量”与“实际量”：如将“+0.5kg”直接当作实际量，忽略需加标准量。 4. 解题技巧 第一步：拆分“a±b”为“下限=a-b，上限=a+b”，明确合格区间； 第二步：将实际量与区间对比，在区间内则合格； 求最值时，直接用“上限=a+b（最大），下限=a-b（最小）”，无需额外计算。 【例题4】．（2024-2025•盐城一模）铁观音，是中国十大名茶之一．铁观音最佳保存的温度为（3±2）℃，以下几个温度中，不适合储存铁观音的是（　　） A．﹣1℃ B．1℃ C．2℃ D．3℃ 【变式题4-1】．（2024-2025•西丰县校级二模）根据我国关于净含量的误差许可幅度要求，对于定量100克的食品包装，误差不得大于±2克，下列标准质量为100克的食品的实际克数不符合要求的是（　　） A．98 B．100 C．102 D．104 【变式题4-2】．（2024-2025•渝北区期末）两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为4.5mm的零部件，其中（4.5±0.2）mm范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A．4.4mm B．4.5mm C．4.6mm D．4.8mm 【变式题4-3】．（2024-2025•吉林一模）某厂加工了一批零件，质检员从中随机抽取10个零件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：9.97，9.98，9.99，9.99，10.00，10.00，10.00，10.00，10.01，10.02．当一个零件质量的范围满足10g±0.01g时，评定该零件为一等品．根据以上数据，这10个零件中一等品的个数是　 　 ． 【题型5】正数、负数的基准变化问题 1. 知识点 基准定义：作为参照的标准量（如“以90分为优秀基准”“以每袋10kg为标准重量”）； 实际量计算：实际量=基准量+偏差量（偏差量为正表示超出基准，为负表示不足基准）； 差距比较：比较不同量与基准的差距，差距越小（绝对值越小）越接近基准。 2. 考点 根据基准和偏差量求实际量（如基准100个成语，偏差+2，实际102个）； 比较多个量与基准的接近程度（如排球偏差-0.6g、+0.8g，判断哪个更接近标准）； 切换基准计算偏差（如先以A为基准，再切换为B为基准，重新计算偏差）。 3. 易错点 基准混淆：如先以“90分为基准”，后误以“80分为基准”计算实际分； 绝对值理解错误：比较接近程度时，误将偏差量的数值大小当作差距，忽略绝对值（如认为-3比+2离基准更远）； 实际量计算错误：如基准50kg，偏差-2，误算为50+2=52kg。 4. 解题技巧 明确基准：解题前先圈出题目中的基准量（如“以…为标准”“记作0”）； 公式记忆：实际量=基准+偏差，偏差=实际量-基准； 比较接近程度：计算各偏差量的绝对值，绝对值越小越接近基准。 【例题5】．（2024-2025•抚顺县期末）一个零件的标准长度是15cm，将15cm作为零件的基准“0”，高于基准用正数表示，低于基准用负数表示，如果实际生产中有一个零件的长度表示为﹣2cm，那么这个零件的实际长度为（　　） A．2cm B．﹣2cm C．13cm D．17cm 【变式题5-1】．（2024-2025•宁津县期末）凝固点是晶体物质凝固时的温度，则在标准大气压下，下列物质中凝固点最低的是（　　） 物质 钨 水银 煤油 水 凝固点 3412℃ ﹣38.87℃ ﹣47℃ 0℃ A．钨 B．水银 C．煤油 D．水 【变式题5-2】．（2024-2025•碑林区模拟）如果以西安钟楼为中心，小李向东走5m，所在的位置记作+5，那么小红以西安钟楼为中心，向西走7m，所在的位置应记作（　　） A．﹣2 B．+2 C．+7 D．﹣7 【变式题5-3】．（2024-2025•淅川县期末）一种袋装食品的标准净重是100克．质监部门工作人员为了解该食品每袋净重与标准净重的误差，把净重108克记为+8克，那么净重96克记为 　 　 克． 【题型6】正数、负数在收支中的实际应用 1. 知识点 收支/营业额的正负表示：通常收入/增长记为正，支出/下降记为负； 关键计算：①总收支/总营业额=基准总额+偏差总和；②增长率为正表示增长，为负表示下降，为0表示持平。 2. 考点 根据增长率判断增长/下降月份（如营业额增长率+0.3%为增长，-1.5%为下降）； 计算总营业额/总收支（如上半年每月增长率分别为-1.8%、0、0.2%，算总增长情况）； 3. 易错点 总额计算错误：忽略基准总额，直接将偏差量相加（如每月标准营业额10万，偏差+1、-0.5，总营业额应为10×2+(1-0.5)=20.5万，非1-0.5=0.5万）； 混淆“增长率”与“实际营业额”：如增长率+5%，误将5%当作实际营业额，忽略需乘基准额。 4. 解题技巧 先区分“基准量”（如每月标准营业额）和“偏差量”（增长率对应的实际偏差）； 计算总额时：先算偏差总和，再加上“基准量×次数”（如n个月则加n×基准）； 【例题6】．（2024-2025•苍溪县期末）小明同学的微信钱包账单如图所示，+5.20表示收入5.20元，下列说法正确的是（　　） A．﹣1.00表示收入1.00元 B．﹣1.00表示支出1.00元 C．﹣1.00表示支出﹣1.00元 D．+1.80表示支出1.80元 【变式题6-1】．（2024-2025•樊城区模拟）手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（　　） 转账——来自天青色+18.00 微信红包——发给高原红﹣12.00 A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元 【变式题6-2】．（2024-2025•七台河期末）手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（　　） A．收入14元 B．支出3元 C．支出18元 D．支出10元 【变式题6-3】．（2024-2025•东港区二模）手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（　　） A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元 【题型7】正数、负数在位置中的实际应用 1. 知识点 位置变化的正负表示：通常规定一个方向为正（如向东、向北为正），相反方向为负； 关键计算：①最终位置=初始位置+各次位置变化量（初始位置为0时，直接累加变化量）；②最远距离=跟踪每次位置变化后的绝对值，取最大值。 2. 考点 求最终位置（如从原点出发，位置变化+3、-5、+2，最终位置为0）； 计算最远距离（如守门员位置变化+2、-3、+1，跟踪每次位置：2、-1、0，最远距离为2）； 判断是否回到初始位置（如累加位置变化量为0，则回到原点）。 3. 易错点 方向规定混淆：如题目规定“向东为正”，误将“向西走3米”记为+3米； 最远距离计算错误：只算最终位置的绝对值，忽略过程中的最大位置（如变化+4、-6，最终位置-2，绝对值2，但过程中最大位置是4）； 初始位置忽略：如初始位置为5，变化-3，误算为0+(-3)=-3，实际为5-3=2。 4. 解题技巧 第一步：明确方向规定（圈出“向东为正”“向前为正”等关键词）； 第二步：计算最终位置：初始位置+所有变化量（初始为0则直接累加）； 第三步：算最远距离：逐次计算每次变化后的位置，取各位置绝对值的最大值。 【例题7】．（2024-2025•东胜区一模）如图，小球左端固定在弹簧上，若小球从静止位置向右5cm，记作+5cm，则小球从静止位置向左3cm，记作（　　） A．+3cm B．﹣3cm C．﹣5cm D．﹣8cm 【变式题7-1】．（2024-2025•西平县期中）如图，一名跳水运动员参加10m跳台的跳水比赛（10m跳台是指跳台离水面的高度为10m），这名运动员举高手臂时身长为2m，跳水池池深为 5.4m．若以跳台为基准，则这名运动员指尖的高度记作+2m，则池底的位置记作（　　） A．5.4m B．﹣5.4m C．﹣10m D．﹣15.4m 【变式题7-2】．（2024-2025•东莞市期中）在实际生活中，我们经常采用“角度+距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以O点为基准点，射线OA的方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度（0°～180°），顺时针方向旋转为负角度（0°～﹣180°），特别地，OA的反向延长线所在的方向记为180°．由于OB方向为OA方向绕O点逆时针旋转90°，点B与点O的距离为1km，因此点B可以用有序数对记为（90°，1），类似地，点C可以记为（﹣15°，4）．以下点的位置标记正确的是（　　） A．点D（4，150°） B．点E（45°，3） C．点F（﹣120°，3） D．点G（60°，2） 【变式题7-3】．（2024-2025•贵州期中）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：A→B（+1，+4），从D到C记为：D→C（﹣1，+2），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中A→C（ 　 　 ，　 　 ），B→C（ 　 　 ，　 　 ）， D→　 　 （﹣4，﹣2）； （2）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程． 【题型8】正数、负数在重量/产量中的实际应用 1. 知识点 重量/产量的正负表示：以标准重量/计划产量为基准，超出记为正，不足记为负； 关键计算：①总重量/总产量=标准量×数量+偏差总和；②平均重量/平均产量=总重量/总产量÷数量。 2. 考点 计算总重量/总产量（如10袋小麦，标准90kg，偏差+1、-1、+0.5，总重量=10×90+(1-1+0.5)=900.5kg）； 判断重量/产量是否达标（如标准500g，偏差-10g，实际490g，判断是否符合“500±8g”）； 计算平均重量/平均产量（如5天产量偏差+3、-2、0、+1、-1，平均偏差=0，平均产量=计划产量）。 3. 易错点 偏差累加错误：如正负偏差抵消时算错（如+2、-3、+1，误算为2-3+1=1，实际为0）； 标准量与数量混淆：如“20筐白菜，每筐标准25kg”，误将20当作标准量，25当作数量； 达标判断忽略范围：如“20±0.3kg”，误将偏差-0.4kg当作达标，实际20-0.4=19.6kg＜19.7kg，不达标。 4. 解题技巧 公式固定：总实际量=（标准量×总数量）+偏差总和； 达标判断：先算合格范围（标准量±偏差上限），再对比实际量； 平均量计算：先算总实际量，再除以总数量，或先算平均偏差，再加标准量。 【例题8】．（2024-2025•盐边县期末）在互联网技术的影响下，幸福新村的村民小刘在网上销售蜜柚，原计划每天卖150千克，但实际每天的销量与计划销量相比有出入，如表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +5 ﹣3 ﹣4 +12 ﹣6 +20 +5 （1）根据表中的数据可知前三天共卖出 　 　 千克； （2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ （3）若每千克按6元出售，每千克蜜柚的运费为1元，那么小刘本周一共收入多少元？ 【变式题8-1】．（2024-2025•东区期末）小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具150个，平均每天生产30个，但由于种种原因，实际每天生产与计划量相比有出入，下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为“+”、减产记为“﹣”，单位：个）． 星期 一 二 三 四 五 增减产值 +10 ﹣6 ﹣4 +8 ﹣1 （1）根据记录的数据可知，小明妈妈星期三生产玩具 　 　 个； （2）根据记录的数据，求小明妈妈本周实际生产玩具多少个？ （3）该厂实行每日计件工资制，每生产一个玩具可得工资8元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣2元，求小明妈妈这一周的工资总额是多少？ （4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，那么小明妈妈这一周的工资与原来相比 　 　 （填“增加了”、“减少了”或“不变”）． 【变式题8-2】．（2024-2025•天峨县期末）科技改变世界．快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） +6 0 ﹣4 +5 ﹣1 +7 ﹣6 （1）该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期 　 　 ；最少的一天是星期 　 　 ；最多的一天比最少的一天多分拣 　 　 万件包裹； （2）该仓库本周实际平均每天分拣多少万件包裹？ 【变式题8-3】．（2024-2025•元阳县期末）科技促进农业现代化发展，某农业科技公司利用数字化种植技术种植樱桃番茄．技术员在某园区采摘了40箱樱桃番茄，若以每箱净重5千克为标准，通过称重，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如表： 与标准重量的差值/千克 ﹣0.2 ﹣0.1 0 0.1 0.15 0.2 箱数 1 8 15 10 4 2 （1）计算这批樱桃番茄的总重量． （2）若某经销商从农业科技公司以每千克10元的价格批发了这批樱桃番茄，再以每千克14元将这批樱桃番茄全部售出，则该经销商共能获得多少利润？ 【题型9】正数、负数与时间差问题（培优） 1. 知识点 时差的正负表示：正数表示该城市时间比北京时间早（如东京+1小时，即北京10点时东京11点），负数表示比北京时间晚（如纽约-13小时，即北京10点时纽约前一天21点）； 时间换算：目标城市时间=北京时间+时差（结果＜0则减1天，加24小时；结果＞24则加1天，减24小时）。 2. 考点 根据北京时间计算目标城市时间（如北京2024年1月1日9点，纽约 时差-13，纽约时间=9-13=-4→2023年12月31日20点）； 根据目标城市时间反推北京时间（如伦敦时间2024年1月1日10点，时差-8，北京时间=10+8=18点）； 判断时间表述的正确性（如北京15点，巴黎时差-7，巴黎时间8点，判断选项是否正确）。 3. 易错点 时差正负理解反：将“+1小时”理解为晚1小时，“-13小时”理解为早13小时； 日期变化忽略：计算结果为负或超过24时，忘记调整日期（如北京9点+纽约时差-13，得-4，误记为当天-4点，实际为前一天20点）； 24小时制与12小时制混淆：如将20点误记为8点，未说明上午/下午。 4. 解题技巧 公式固定：目标时间=北京时+时差； 日期调整：①结果＜0：日期减1，时间加24；②结果＞24：日期加1，时间减24；③0≤结果≤24：日期不变； 验证：用简单时间验证（如北京12点，东京+1→13点，正确），再算复杂时间。 【例题9】．（2024-2025•淄川区期末）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，请根据下表给出的国外四个城市与北京的时差，分别在时钟下面表明五个城市的名称． 城市 纽约 悉尼 伦敦 罗马 时差/h ﹣13 +2 ﹣8 ﹣7 【变式题9-1】．（2024-2025•锦江区校级期中）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据下表给出的国外四个城市与北京的时差，请你判断城市 　 　 代表北京（在A、B、C、D、E五个里面选一个填在横线上）． 城市 时差/h 纽约 ﹣13 悉尼 +2 伦敦 ﹣8 罗马 ﹣7 【变式题9-2】．（2024-2025•沙坪坝区校级月考）如图，下面的4个时钟显示了同一时刻国外3个城市时间与北京时间，根据表给出的北京时间与国外3个城市的时差，下列关于同时刻北京时间的判断，正确的是（　　） 城市 时差/h 纽约 13 悉尼 ﹣2 伦敦 8 A．图1代表北京时间 B．图2代表北京时间 C．图3代表北京时间 D．图4代表北京时间 【变式题9-3】．（2024-2025•沈河区校级月考）在表中，给出了国外四个城市与北京的时差： 城市 时差/h 悉尼 2 罗马 ﹣7 伦敦 ﹣8 纽约 ﹣13 下面的五个时钟显示了同一天同一时刻国外四个城市时间和北京时间． （1）若北京时间是11月12日上午9点10分，那么伦敦时间为 　 　 ； （2）从左到右五个时钟对应的城市分别为： ①　 　 ②　 　 ③　 　 ④　 　 ⑤　 　 ． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．若气温零上3℃记作+3℃，则气温零下2℃记作（　　） A．﹣2℃ B．+2℃ C．+3℃ D．﹣3℃ 2．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出1000元记作﹣1000元，那么+1080元表示（　　） A．支出80元 B．收入 80元 C．支出1080元 D．收入1080元 3．如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常以“××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“﹣0.50D”，近视100度记录为“﹣1.00D”等，通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼睛进行视力矫正．下列是4位同学的验光记录，需要持续佩戴眼镜的是（　　） A．﹣0.50D B．﹣1.25D C．﹣2.25D D．﹣0.75D 4．规定：（←3）表示向左移动3．记作﹣3，则（→5）表示向右移动5，记作（　　） A．+5 B．﹣5 C． D． 5．凝固点是晶体物质凝固时的温度，则在标准大气压下，下列物质中凝固点最低的是（　　） 物质 钨 水银 煤油 水 凝固点 3410℃ ﹣38.87℃ ﹣30℃ 0℃ A．钨 B．水银 C．煤油 D．水 二．填空题（共5小题） 6．如图所示的是某古筝调音器软件的界面，已知古筝是标准音时，界面指针指向0，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．当古筝的音调低于标准音30时，该界面指针指向的数字是　 　 ． 7．若海平面以上2000米记做“+2000米”，那么海平面以下3000米记做“　 　 ”． 8．时针逆时针旋转30°，记作+30°，那么时针顺时针旋转45°，记作 　 　 ． 9．一瓶可乐的净含量标注为500mL．根据《定量包装商品计量监督管理办法》规定，500mL的可乐净含量允许偏差范围为±2%．如果一瓶可乐的实际净含量是502mL，记为+2mL．则当一瓶可乐的实际净含量是496mL 时，则记为　 　 mL，它　 　 规定．（填“符合”或“不符合”．） 10．某项科学研究，以45分钟为一个时间单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正．例如9：15记为﹣1，10：45记为1等等，依此类推，上午7：45应记为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 11．教师节当天，出租车司机小王在东西向的街道上免费接送教师，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下（单位：千米）：+5，﹣4，﹣8，+10，+3，﹣6，+7，﹣11． （1）将最后一名老师送到目的地时，小王距出发地多少千米？ （2）若汽车耗油量为0.5升/千米，则当天耗油多少升？若汽油价格为6.70元/升，则小王共花费了多少元钱？ 12．皇帝柑又名贡柑，是肇庆的著名土特产．每年11月、12月，是肇庆皇帝柑的成熟期，可以采摘．每框皇帝柑以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，求这4框皇帝柑的总质量． 13．某服装厂计划平均每天生产400套运动服，下表是该厂某一周的生产情况（超出计划产量的记为“+”，不足计划产量的记为“﹣”）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 +10 ﹣15 +21 +13 +7 ﹣8 +20 （1）试求出表中被污染的数据； （2）该服装厂星期五生产了多少套运动服？ 14．2022年11月20日18：00（北京时间），卡塔尔世界杯开幕式在豪尔市的海湾球场举行．小明为方便各国球迷准时观看比赛，列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数）． 城市 纽约 东京 豪尔市 时差/时 ﹣13 +1 ﹣5 假设现在北京时间是2020年11月22日上午9：00． （1）现在纽约的时间是几点？东京时间是几点？ （2）如果小明在北京坐11月19日上午10：00的航班飞行约9小时到达豪尔市，那么达到豪尔市的时间是几点？ 15．某电脑公司三种型号的电脑今年的销售量与去年的相比，变化率如下：A型号增长3%，B型号减少1%，C型号减少2%． （1）写出今年这些型号的电脑销售量的增长率． （2）该公司a、b、c三种型号的键盘今年销售量的增长率是5%、﹣4%和0，这三个数各表示什么意思． 学科网（北京）股份有限公司 $