精品解析：广西壮族自治区来宾市第八中学2025-2026学年高二上学期11月期中质量检测数学试题

2025年秋季学期高二年级期中质量检测 卷数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一、二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由倾斜角和斜率的关系即可求解. 【详解】因为，所以直线的斜率为. 故选：C 2. 若直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】两条直线平行，满足斜率相等，截距不相等，结合斜率和截距的公式即可计算出正确答案. 【详解】斜率相等：，解得：； 截距不相等：，解得：； 所以. 故选：. 3. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 7 B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：B 4. 在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定对称点的坐标，由两点间距离公式即可求解. 【详解】关于轴的对称点为， 关于平面的对称点为， 则. 故选：B 5. 已知圆：与圆（）内切，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用两圆位置关系列方程求解即可. 【详解】因为圆：的圆心，半径为1； 圆的圆心，半径为； 又，由题意，解得. 故选：D 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，若，，，且，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合空间向量线性运算，利用基底表示向量即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以 . 故选：A 7. 已知过点的直线与圆：相交于，两点，若，则的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线斜率存在和不存在结合弦长公式即可求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径. 当的斜率不存在时，，此时的方程为； 当的斜率存在时，设的方程为， 由，解得，此时的方程为. 综上，直线的方程为或. 故选：C 8. 已知点，，圆：，若圆上存在点，使得为锐角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆上存在一点，在以为直径的圆外，即可求解. 【详解】依题意，，且圆上存在一点，在以为直径的圆外， 设以为直径的圆的圆心为，半径. 设圆的圆心为，则， 所以，则. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题为真命题的是（ ） A. 经过定点且方向向量为的直线都可以用方程表示 B. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示 C. 不经过原点的直线都可以用方程来表示 D. 方程不同时为零可以表示平面内的任意一条直线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合直线方程的形式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由直线方向向量为，可得该直线的斜率为， 又由直线过定点，可得直线方程为，所以A为真命题； 对于B，设是该直线的任意一点，则，， 由，可得，所以B为真命题； 对于C，不过原点但在轴或轴上无截距的直线（）或（）不能用方程表示，所以C为假命题. 对于D，直线的一般式方程不同时为零可以表示平面内的任意一条直线，所以D为真命题. 故选：ABD. 10. 若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，列出方程组，结合方程组的解，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，假设共面，则存在不全为0的实数，使得， 因为为空间的一个基底，所以 ，该方程组无解，假设不成立， 所以不共面，能构成空间的一个基底，所以A符合题意； 对于B，假定向量共面，则存在不全为0的实数，使得，该式显然不成立，所以向量不共面，能构成空间的一个基底. 对于C，假设共面，则存在不全为0的实数， 使得，则，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，所以C不符合题意； 对于D，若共面，则存在不全为0的实数， 使得，则，该方程组无解， 所以不共面，能构成空间的一个基底，所以D符合题意. 故选：ABD. 11. 已知正四面体的棱长为，点，分别为和的重心，为线段上一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若取得最小值，则 B. 若，则平面 C. 若平面，则三棱锥外接球的表面积为 D. 直线到平面的距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】将正四面体放入正方体中，建立空间直角坐标系，设（），利用向量模的运算得，求解最值即可判断A；求出平面的法向量，利用向量法证明判断B；先利用向量法平面，再利用球的性质求解球的半径，代入球的表面积公式求解判断C；先利用向量法证得直线平面，然后利用向量法求得点到平面的距离，即可判断D. 【详解】将正四面体放入正方体中， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为正四面体的棱长为，所以正方体的棱长为2， 则，，，. 因为点，分别为和的重心， 所以点的坐标为，点的坐标为，所以. 设（），则， 所以，即， 所以，. 对于A，因为，， 所以. 当，即点与点重合时，取得最小值，此时，A错误. 对于B，若，则，可得，从而. 设平面的法向量为，因为，， 所以取，得. 因为，所以平面，B正确. 对于C，若平面，由B可知，则， ，， 设平面的法向量为，因为，， 所以取，则. 因为，所以平面， 则三棱锥外接球的球心在直线上. 又因为点为等边三角形的重心， 所以点为等边三角形的外心，外接圆的半径为. 设三棱锥外接球的半径为，则， 即，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为，C错误. 对于D，因为点的坐标为，点的坐标为， 所以，. 设平面的法向量为，因为，， 所以取，则. 因为，且直线平面，所以直线平面， 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离， 则点到平面的距离， 即直线到平面的距离为，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出点关于轴的对称点，然后求出反射光线所在直线的斜率，进而求出直线方程. 【详解】易知点关于轴的对称点为， 因为反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为. 故答案为： 13. 过点作圆的切线，切点为，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合圆的切线长公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 连接，因为是圆的切线，所以， 又因为，可得， 所以. 故答案为：. 14. 在三棱锥中，若，，，则点到平面的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】建系，由空间向量数量积的定义求得的坐标即可求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，. 设点，则，，， 因为，所以，解得. 同理，即. 由，解得，故点到平面的距离为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，直线：. （1）若与平行，求的值； （2）若与的交点位于第一象限，求的倾斜角的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行斜率相等即可求解； （2）联立方程求得交点坐标，然后利用第一象限点的坐标特征列不等式求得，然后结合角的范围，利用正切函数的性质求解角的范围. 【小问1详解】 直线：即，故直线的斜率为. 因为直线：与平行，所以. 【小问2详解】 由，解得， 因为与的交点在第一象限，所以，解得， 即，又，所以， 即的倾斜角的取值范围为. 16. 在平行六面体中，，，，设，，． （1）求的值； （2）若点，满足，，试用，，表示； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，运用向量的数量积运算规则计算求解； （2）结合已知条件，运用向量加减法运算规则计算求解； （3）先求出向量，再求出，最后运用向量夹角余弦公式计算求解． 【小问1详解】 ，，，，， ，， 又， ，， ． 【小问2详解】 ，， ，， 又， ． 【小问3详解】 ， ， ， ， ． 异面直线与所成角的余弦值为． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是的中点. （1）证明：平面. （2）若直线与底面所成的角为30°，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）由，即可求证； （2）建系，求得直线方向向量和平面法向量，由夹角公式即可求解. 【小问1详解】 在矩形中，因为，，是的中点， 所以， 所以. 因为底面是矩形，所以， 所以，从而. 因为平面，平面，所以. 又，且都在平面内， 所以上平面. 【小问2详解】 因为平面， 所以为直线与底面所成的角， 则，因为，所以. 以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 即，取，得， 则. 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知点，，曲线是以线段为直径的圆. （1）求的标准方程； （2）若与曲线：有且仅有四个公共点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式先求中点坐标，再求半径，根据圆的标准方程即可求解； （2）由曲线的方程为，得曲线恒过点，且是关于轴对称的两条射线，记轴上方的射线为，轴下方的射线为，利用点到直线的距离公式得，解出即可. 【小问1详解】 由中点坐标公式得的中点坐标为. 设圆的半径为，则， 的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）知，曲线是以为圆心，2为半径的圆. 由曲线的方程为，得曲线恒过点， 且是关于轴对称的两条射线，如图所示. 记轴上方的射线为，轴下方的射线为. 因为在圆外部，所以只要轴上方的射线与有两个交点， 就能保证轴下方的射线与也有两个交点. 当时，曲线的方程为，易知. 设圆心到直线的距离为， 则，解得， 即当与有且仅有四个公共点时，的取值范围为. 19. 如图1，在矩形中，，，是的中点，把沿折起至的位置，变成如图2所示的四棱锥. （1）设是的中点，证明：平面. （2）设，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，.通过四边形是平行四边形，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 证明：取的中点，连接，. 因为是的中点，是的中点，所以，且. 又，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，则. 又平面平面，所以平面. 【小问2详解】 解：设的中点为，连接，. 因为，所以. 因为，，， 所以. 又，，所以，则. 因为，所以平面. 以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，. 设，（），由， 得，，则. ，， 设平面的法向量为， 由得 令，得. 设平面的法向量为， 由得 令，得. 所以. 由，化简得，解得或， 所以存在点，且当或时，平面与平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期高二年级期中质量检测 卷数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一、二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 7 B. C. 9 D. 4. 在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆：与圆（）内切，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，若，，，且，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知过点的直线与圆：相交于，两点，若，则的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 8. 已知点，，圆：，若圆上存在点，使得为锐角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题为真命题的是（ ） A. 经过定点且方向向量为的直线都可以用方程表示 B. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示 C. 不经过原点的直线都可以用方程来表示 D. 方程不同时为零可以表示平面内的任意一条直线 10. 若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11. 已知正四面体的棱长为，点，分别为和的重心，为线段上一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若取得最小值，则 B. 若，则平面 C. 若平面，则三棱锥外接球的表面积为 D. 直线到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为______. 13. 过点作圆的切线，切点为，则______. 14. 在三棱锥中，若，，，则点到平面的距离为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，直线：. （1）若与平行，求的值； （2）若与的交点位于第一象限，求的倾斜角的取值范围. 16. 在平行六面体中，，，，设，，． （1）求的值； （2）若点，满足，，试用，，表示； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是的中点. （1）证明：平面. （2）若直线与底面所成的角为30°，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知点，，曲线是以线段为直径的圆. （1）求的标准方程； （2）若与曲线：有且仅有四个公共点，求的取值范围. 19. 如图1，在矩形中，，，是的中点，把沿折起至的位置，变成如图2所示的四棱锥. （1）设是的中点，证明：平面. （2）设，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $