精品解析：新疆生产建设兵团第二师八一中学2025-2026学年上学期9月开学考九年级数学试题

第二师八一中学九年级开学诊断性测试 科目：数学 时间：120分钟 分值：100分 一、选择题（共9题，每题3分） 1. 下列各式是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式．根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．的被开方数为，不是二次根式，故本选项符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．若，无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．是二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 宋朝的诗句中写到“又是残春将立夏，如何到处不啼莺”．立夏后的第一周，小明将每日气温情况记录后，绘制了如下折线统计图，下列说法中正确的是（ ） A. 这周最高气温是 B. 这周的最大温差是 C. 这组数据的中位数是 D. 这组数据的众数是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从折线统计图中获取信息，同时设计到中位数和众数的考查，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据折线统计图以及众数、中位数的意义逐项判断即可． 【详解】解：A、这周最高气温为，故本选项不符合题意； B、这周最低气温为，最高气温为，因此温差为，故本选项不符合题意； C、将气温排列后为：24，26，26，27，30，31，32，因此中位数为，故本选项不符合题意； D、24，26，26，27，30，31，32中26出现了2次且最多，故众数为26，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据、的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【详解】解：A、若，，则经过一、二、三象限，经过二、四象限，故不合题意； B、，，则经过一、三、四象限，经过一、三象限，故不合题意； C、若，，则经过一、二、三象限，经过二、四象限，故符合题意； D、若，，则经过二、三、四象限，经过一、三象限，故不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 4. 把的图象沿轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的平移，根据一次函数图象平移的规律，沿y轴向下平移时，函数关系式中的常数项减去平移单位即可． 【详解】解：∵原函数为 ，沿y轴向下平移5个单位， ∴新函数为 ． 故选：C． 5. 如图，已知菱形的面积为分别为的中点，若的长为4，对角线的长为（　　） A. 12 B. 18 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，连接，三角形的中位线定理求出的长，利用菱形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵分别为的中点，的长为4， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， ∴； 故选C． 6. 给出下列四个命题 （1）一组对边平行的四边形是平行四边形　 （2）一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 （3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形　 （4）顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形. 其中正确命题的个数为（　 　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解：（1）一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，还可能是梯形，所以此命题错误； （2）一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，此命题正确； （3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形，此命题正确； （4）顺次连接四边形四边中点所得的四边形，由三角形中位线定理可判定一组对边平行且相等，此四边形是平行四边形，所以此命题正确. 正确的命题有3个， 故选：C. 【点睛】本题主要考查平行四边形及特殊的平行四边形的判定，牢记平行四边形与特殊的平行四边形的判定方法是解题的关键． 7. 如图，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的侧面爬行到点B，圆柱体的底面周长是16厘米，高是6厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. 6厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 10厘米 【答案】D 【解析】 【分析】将圆柱体的侧面展开，通过勾股定理求出的长即可． 【详解】解：圆柱体的侧面展开图如图所示，连接， 圆柱体的底面周长是16厘米，高是6厘米， ，， 蚂蚁爬行的最短距离， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，将立体图形转化在平面图形中求解是解题的关键． 8. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，此图形中连结四条线段得到阴影部分，若，，，为各直角边中点，且小正方形面积为4，阴影部分面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意可得小正方形的边长为2，再由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，，，，为各直角边中点，可得，再由三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵小正方形面积为4， ∴， ∵四个全等的直角三角形围成一个大正方形，，，，为各直角边中点， ∴， ∴阴影部分面积为， 故选：D． 9. 如图所示，一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说， 随的增大而增大；②函数不经过第四象限；③不等式的解集是；④．其中正确的是（ ） A. 2个 B. 1个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质，根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， ，则，对于函数来说，y随x的增大而减小，故①错误； ，，则函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②正确； 如图， 由可得解集是，故③错误； 当时，，可以得到，故④正确； 故选：A． 二、填空题：（每题3分，共6题） 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 11. 甲、乙、丙、丁四名学生最近3次数学测试的平均分相同，方差分别为，，，，则数学成绩最稳定的学生是 _______． 【答案】甲 【解析】 【分析】比较四个人的方差的大小，方差最小的成绩最稳定. 【详解】甲、乙、丙、丁四名学生最近3次数学测试的平均分相同， 而方差分别为，，，， ∵ ∴甲的成绩最稳定. 故答案为：甲 【点睛】本题主要考查了数据的离散程度.极差、方差、标准差都是刻画一组数据的离散程度的量.当平均数相同时，极差、方差、标准差越小，表明这一组数据越稳定.掌握以上知识是解题的关键. 12. 若一次函数的图象经过点，则与的大小关系是_____．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键． 先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵图象经过点，且， ∴． 故答案为： 13. 如图，正比例函数和一次函数的图象相交于点，则不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，观察函数图象得到当时，直线不在直线的上方，于是可得到不等式的解集． 【详解】解：由函数图象可得，当时，， 所以不等式的解集为， 故答案为：． 14. 过点(－1，7)的一条直线与x轴，y轴分别相交于点A，B，且与直线y=－x＋1平行．则在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是______________． 【答案】(1，4)或(3，1)　##(3，1)或(1，4) 【解析】 【详解】∵过点（﹣1，7）的一条直线与直线平行，设直线AB为y=﹣x+b； 把（﹣1，7）代入y=﹣x+b；得7=+b， 解得：b=， ∴直线AB的解析式为y=﹣x+， 令y=0，得：0=﹣x+， 解得：x=， ∴0＜x＜的整数为：1、2、3； 把x等于1、2、3分别代入解析式得4、、1； ∴在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是（1，4），（3，1）． 故答案为（1，4），（3，1）． 15. 如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题： 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别化简算术平方根、零指数幂以及绝对值，再进行合并即可； （2）原式根据单项式乘多项式运算法则以及平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9． （1）求DC和AB的长； （2）证明：∠ACB＝90°． 【答案】（1）CD=12；AB=25； （2）证明：∵AC2+BC2=202+152=625=252=AB2 ∴△ABC是直角三角形， ∵25＞20＞15， ∴∠ACB＝90°． 【解析】 【分析】（1）由已知条件根据勾股定理先求出CD的长，然后再在△ACD中应用勾股定理求出AD的长，进而可求AB的长. （2）利用勾股定理的逆定理可以证明△ABC是直角三角形，即可证明∠ACB＝90°． 【详解】（1）∵CD⊥AB,BC＝15，DB＝9 ∴CD2=BC2-BD2，即CD==12. ∵AC=20， ∴AD2=AC2-CD2，即AD==16， ∴AB=AD+BD=16+9=25. （2）略 【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，正确计算是解题关键． 18. 分角仪是一种把角分成若干份的绘图仪器，在工程、测量、设计等活动中经常用到．某同学制作了一个简易的形分角仪来二等分任意一个角．如图，该形分角仪是由互相垂直的两根细组成，是的中点．寻找角的平分线时，需要调整位置，使得所分角的顶点在上，同时保证形分角仪的两点正好落在所分角的两条边上． （1）求证：； （2）延长至点，使，连接，请判断四边形的形状，并证明． 【答案】（1） 证明：由题意得，，点是的中点， ，． 在和中， ， ． （2） 解：四边形是菱形． 证明：由题意作图如下， ，， 四边形是平行四边形． ，即， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用“”判定即可； （2）先判定四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形判定为菱形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在菱形中，对角线和相交于点． （1）实践与操作：过点作交的延长线于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1） 即为所求，     （2）， 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是上的中线， ∴． 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，为半径，画弧交的延长线于点，连接，再根据菱形的性质，平行四边形的判定，即可； （2）根据菱形的性质，得，；根据，，即可． 【小问1详解】 如下如：即为所求， 以点为圆心，为半径，画弧交的延长线于点，连接， 证明： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查菱形、平行四边形和直角三角形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，直角三角形的中线，平行四边形的判定和性质． 20. 某商场服装部分为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），并根据统计的这组销售额的数据，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： （1）该商场服装营业员的人数为 ，图①中m的值为 ； （2）求统计的这组销售额数据的平均数、众数和中位数． 【答案】（1）25；28；（2）平均数：18.6；众数：21；中位数：18． 【解析】 【分析】（1）观察统计图可得，该商场服装部营业员人数为2+5+7+8+3=25人，m%=1-32%-12%-8%-20%=28%，即m=28； （2）计算出所有营业员的销售总额除以营业员的总人数即可的平均数；观察统计图，根据众数、中位数的定义即可得答案． 【详解】解：（1）根据条形图2+5+7+8+3=25（人）， m=100-20-32-12-8=28； 故答案为：25；28； （2）观察条形统计图， ∵ ∴这组数据的平均数是18.6． ∵在这组数据中，21 出现了8次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是21． ∵将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是18， ∴这组数据的中位数是18． 【点睛】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 21. 2025年4月23日是第30个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园” “阅读·梦飞翔”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元． （1）求《骆驼祥子》和《昆虫记》每套各是多少元？ （2）学校准备再购买《骆驼祥子》和《昆虫记》共26套，总费用不超过1230元，购买《骆驼祥子》的数量不超过《昆虫记》的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】（1）《骆驼祥子》单价为30元，《昆虫记》单价为75元 （2）《骆驼祥子》19套，《昆虫记》7套，费用为1095元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组和一次函数的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元，根据《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元，列出二元一次方程组，求解即可； （2）设学校购买《骆驼祥子》m套，则购买《昆虫记》套，由题列出一元一次不等式组，解出未知数范围，设所需费用为W元，则，根据一次函数性质求出结果即可． 【小问1详解】 解：设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元， 根据题意，得： 解得， 答：《骆驼祥子》单价为30元，《昆虫记》单价为75元． 【小问2详解】 解：设学校购买《骆驼祥子》m套，则购买《昆虫记》套， 根据题意得， 解得． 设所需费用为W元，则， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W有最小值为（元） 此时，（套）． 答：学校购买《骆驼祥子》19套，《昆虫记》7套，所需费用最小为1095元． 22. 已知：直线经过点A（-8，0）和点B（0，6），点C在线段AO上，将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处． （1）求直线AB的表达式． （2）求AC的长． （3）点P为平面内一动点，且满足以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合要求的所有P点的坐标． 【答案】（1）y=x+6 （2）AC=5 （3）存在，P点坐标为（-5，6）或（-11，-6）或（5，6） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由对称性可知CO=CD，BO=BD，可求AD=4，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出CD的长，即可求AC的长； （3）设P（m，n），分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时；②当AC为平行四边形的对角线时；③当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角互相平分，利用中点坐标公式求解即可． 【小问1详解】 解：设直线AB的解析式为y=kx+b， ∴， 解得， ∴y=x+6； 【小问2详解】 解：∵D点与C点关于BC对称， ∴CO=CD，BO=BD， ∵BO=6， ∴BD=6， ∵OA=8，BO=6， ∴AB=10， ∴AD=4， 在Rt△ACD中，， 解得CD=3， ∴CO=3， ∴AC=5； 【小问3详解】 解：由（2）可得C（-3，0）， 设P（m，n）， ①当AB为平行四边形的对角线时， ， 解得， ∴P（-5，6）； ②当AC为平行四边形的对角线时， ， 解得， ∴P（-11，-6）； ③当AP为平行四边形的对角线时， ， 解得， ∴P（5，6）； 综上所述：P点坐标为（-5，6）或（-11，-6）或（5，6）． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，轴对称的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二师八一中学九年级开学诊断性测试 科目：数学 时间：120分钟 分值：100分 一、选择题（共9题，每题3分） 1. 下列各式是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 宋朝的诗句中写到“又是残春将立夏，如何到处不啼莺”．立夏后的第一周，小明将每日气温情况记录后，绘制了如下折线统计图，下列说法中正确的是（ ） A. 这周最高气温是 B. 这周的最大温差是 C. 这组数据的中位数是 D. 这组数据的众数是 3. 一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 把的图象沿轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知菱形的面积为分别为的中点，若的长为4，对角线的长为（　　） A. 12 B. 18 C. 24 D. 48 6. 给出下列四个命题 （1）一组对边平行的四边形是平行四边形　 （2）一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 （3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形　 （4）顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形. 其中正确命题的个数为（　 　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的侧面爬行到点B，圆柱体的底面周长是16厘米，高是6厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. 6厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 10厘米 8. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，此图形中连结四条线段得到阴影部分，若，，，为各直角边中点，且小正方形面积为4，阴影部分面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 如图所示，一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说， 随的增大而增大；②函数不经过第四象限；③不等式的解集是；④．其中正确的是（ ） A. 2个 B. 1个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（每题3分，共6题） 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 11. 甲、乙、丙、丁四名学生最近3次数学测试的平均分相同，方差分别为，，，，则数学成绩最稳定的学生是 _______． 12. 若一次函数的图象经过点，则与的大小关系是_____．（用“”连接） 13. 如图，正比例函数和一次函数的图象相交于点，则不等式的解集为_____． 14. 过点(－1，7)的一条直线与x轴，y轴分别相交于点A，B，且与直线y=－x＋1平行．则在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是______________． 15. 如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为______________． 三、解答题： 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9． （1）求DC和AB的长； （2）证明：∠ACB＝90°． 18. 分角仪是一种把角分成若干份的绘图仪器，在工程、测量、设计等活动中经常用到．某同学制作了一个简易的形分角仪来二等分任意一个角．如图，该形分角仪是由互相垂直的两根细组成，是的中点．寻找角的平分线时，需要调整位置，使得所分角的顶点在上，同时保证形分角仪的两点正好落在所分角的两条边上． （1）求证：； （2）延长至点，使，连接，请判断四边形的形状，并证明． 19. 如图，在菱形中，对角线和相交于点． （1）实践与操作：过点作交的延长线于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想． 20. 某商场服装部分为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），并根据统计的这组销售额的数据，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： （1）该商场服装营业员的人数为 ，图①中m的值为 ； （2）求统计的这组销售额数据的平均数、众数和中位数． 21. 2025年4月23日是第30个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园” “阅读·梦飞翔”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元． （1）求《骆驼祥子》和《昆虫记》每套各是多少元？ （2）学校准备再购买《骆驼祥子》和《昆虫记》共26套，总费用不超过1230元，购买《骆驼祥子》的数量不超过《昆虫记》的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用． 22. 已知：直线经过点A（-8，0）和点B（0，6），点C在线段AO上，将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处． （1）求直线AB的表达式． （2）求AC的长． （3）点P为平面内一动点，且满足以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合要求的所有P点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $