第五章 三角函数（知识清单+14大易错训练）高一数学人教A版2019必修第一册

该高中数学三角函数知识清单系统梳理了全章核心内容，涵盖任意角与弧度制、三角函数概念、诱导公式、图象性质、三角恒等变换及函数变换六大知识范畴，构建了从基础概念到公式应用再到易错突破的递进式学习支架。 清单采用“知识清单+易错突破”双模块设计，知识清单按逻辑分级呈现，如三角函数定义分单位圆和终边上点两种形式，诱导公式总结“奇变偶不变，符号看象限”记忆口诀；易错点分类14个高频错误类型，每个配典例与训练，培养数学思维与运算能力。学生可自主梳理知识，教师能精准教学，提升效率。

第五章 三角函数 清单01 任意角与弧度制 1、正角、负角、零角、象限角的概念. 正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； 零角：一条射线没有任何旋转，就称它形成了一个零角。 2、旋转与运算： (1)角的加法：角的终边旋转角后所得的终边对应的角是. (2)角的减法：。 3、与角终边相同的角的集合：. 4、弧度制 (1)1弧度角：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. (2)弧度公式： （为圆的半径，弧长为 的弧所对的圆心角为）。 (3)弧长公式：. (4)角度与弧度换算： ；。 (5)扇形面积公式：.（为圆的半径，扇形弧长为，圆心角为） 清单02 三角函数的概念 1、三角函数定义1：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则： 把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作.即； 把点的横坐标叫做的余弦函数，记作.即； 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作.即。 正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数：;余弦函数：;正切函数：. 2、三角函数定义2：设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，点P与原点的距离为：，则：，，. 3、三角函数值对应表： 角度 弧度 无 无 4、三角函数在各象限中的符号：口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 第一象限： sin0,cos0,tan0, 第二象限： sin0,cos0,tan0, 第三象限： sin0,cos0,tan0, 第四象限： sin0,cos0,tan0, 5、角的表示 (1)同终边的角可表示为； 轴上角：；轴上角：. (2)象限角 第一象限角：； 第二象限角：； 第三象限角：； 第四象限角：. (3)区分第一象限角、锐角以及小于的角 第一象限角：; 锐角： ; 小于的角：. 6、同角三角函数的基本关系式: 平方关系：；商数关系：. 清单03 诱导公式（其中：） 1、 诱导公式一： 2、 诱导公式二： 3、诱导公式三： 4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6.诱导公式六： , 注意：①同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. ②“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．；. ③解决给角求值的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为终了． 清单04 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 1、正弦.余弦函数图象： 2、会用五点法作图. 在上的五个关键点为： 在上的五个关键点为： 3、周期函数：函数定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个，都有，且，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.如果函数的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小正数叫的最小正周期. 4、正余弦函数的周期： 正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是； 余弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是. 5、正弦.余弦.正切函数的图像及其性质： 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 无 周期性 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 在上递增 在上递减 在上递增 在上递减 在每一个区间上递增 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 无对称轴 对称中心， 注意：(1)单调性：求函数y＝Asin (ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误． (2)三角函数的奇偶性：对于，若为奇函数，则. 对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则。 对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则. 清单05 两角和与差的正弦.余弦.正切公式 1、两角和与差的正弦： :； :； 2、两角和与差的余弦： :； :； 3、两角和与差的正切： :； :. 4、倍角公式 (1)，变形：. (2). 变形：降幂公式： ； (3). 5、辅助角公式（异名化同名） （其中,). （其中,). 6、有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα tanβ)． (2)cos 2α＝，sin 2α＝. (3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2、 (4)sinα±cosα＝sin . 7、半角公式：sin ＝±，cos ＝±， tan ＝±＝＝. 注意：(1)由于tan ＝＝，不涉及符号问题，使用方便，但需要注意该公式成立的条件． (2)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用sin2＝和cos2＝. 8、化简、求值、证明问题：看角（二倍、互余、互补或特殊角关系）；看名（同名时，联想公式即可；异名时，切化弦或弦化切）；看结构特征（联想公式）. 绝招：配角（即将已知角和目标角进行“加加减减”运算） ①“显性”互余关系；②“隐性”互余关系; ③互补关系；④二倍关系；⑤特殊角关系. （1）时，；（2）时，； （3）时，，；（4）； （5）； （6）1的代换：； （7）． 9、弦化切. (1)； (2)（转化为分式）； (3)（转化为齐次式）； (4)； (5)； . 清单06 函数的变换 1、三角函数图像变换() (1) . (2) . 注意：（平衡变换），向上或向下平移个单位． 2、三角函数的周期公式：（） ⑴，，，的周期：． ⑵，，，的周期都是： 3、求的单调（递增、递减）区间：视为，的复合函数； 4、函数的值域为中的物理量： ①振幅是（离开平衡位置的最大距离），②周期是（作往复运动一次的时间）， ③频率是（单位时间内往复运动的次数）， ④相位是， ⑤初相是； 注意：1、具体求解函数的问题时一定要注意的符号． （1）时，一定要用诱导公式或奇偶性处理，使得的系数为正． （2）时，对的单调性、值域（最值）有影响！ 【易错01：n分角的象限问题】 对于的范围问题,可采用等分象限法,即把每个象限平均分成n份,从第一象限x轴正半轴的上方起按逆时针方向循环标注象限序号(如图以为例),则标注序号与α所在象限序号相同的区域即为所在的区域. 【典例】 1．（24-25高一下·上海·月考）已知为第三象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第三象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【针对训练】 1．（24-25高一上·山西·月考）“为第二象限角”是“是第一象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【易错02：三角函数的定义考虑不全】 （1）设角终边上任一点的坐标为，它与原点的距离为 ，则，，. （2）求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离．当已知坐标含参数时需注意分类讨论． 【典例】 1．已知角的终边经过点，则的值为（   ）． A． B． C．0 D．或 【针对训练】 1．（24-25高一下·河南南阳·期中）若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【易错03：同角三角函数关系中忽略角的范围】 （1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 【典例】 1．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【易错04：弦化切齐次式】 （1）对于或的求值,将分子分母同除以或,化成关于的式子,从而达到求值的目的. （2）对于的求值,可看成分母是1,利用进行代替后分子分母同时除以,得到关于的式子,从而可以求值. 【典例】 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【针对训练】 1．（24-25高一上·云南昭通·月考）（1）已知，求下列各式的值. （Ⅰ）； （Ⅱ）. （2）已知α为第四象限角，若，求的值. 【易错05：诱导公式变名出错】 误认为是的奇数倍时函数名改变而致错 【典例】 1．（23-24高一上·陕西榆林·月考）已知是方程的根，是第三象限角，则 . 【针对训练】 1．（23-24高一上·陕西榆林·月考）已知是方程的根，是第三象限角，则 . 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则 ， ． 【易错06：辅助角公式】 （其中,). 【典例】 1．已知，且，则 . 2．（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知函数的最大值为3，则实数的值为 . 【针对训练】 1．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）函数在时函数取得最大值，则 ． 2．已知，则 . 【易错07：二倍角、降幂公式】 三角函数式的化简技巧 （1）化切为弦，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． （2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． （3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低次数，达到化简的目的． 【典例】 1．（24-25高一下·全国·周测）（多选题）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 （24-25高一下·江苏淮安·月考（多选题）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【易错08：给值求值问题】 【典例】 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（多选题）已知，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东烟台·月考）已知，均为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏淮安·月考）设为锐角，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【易错09：给值求角问题】 【典例】 1．（多选题）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（多选题）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【易错10：左右平移变换出错】 对，，的三点说明 （1）越大，函数图象的最大值越大，最大值与是正比例关系． （2）越大，函数图象的周期越小，越小，周期越大，周期与为反比例关系． （3）大于0时，函数图象向左平移，小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”． 【典例】 1．（24-25高一下·甘肃武威·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【针对训练】 1．（24-25高一下·四川巴中·期末）为了得到函数的图象，可以将的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【易错11：未注意A、ω的值是负的】 计算的单调增（减）区间时，要保证，才能直接利用正弦的单调增（减）区间，否则要按照复合函数的单调性求解. 【典例】 1．（23-24高一下·上海·期中）函数的值域是 ． 2．（24-25高一下·上海普陀·月考）函数，的单调减区间为 . 【针对训练】 1．（24-25高一下·上海·月考）函数的单调增区间为 ． 2．（24-25高一下·陕西渭南·月考）函数的单调增区间为 . 【易错12：根据图像求解析式中参数的值求错】 （1）如果从图象可直接确定A和,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“”注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得或选取最值点代入公式,求. （2）待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式. 【典例】 1．（多选题）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象关于点中心对称 D．在上的值域为 2．（多选题）（24-25高一下·四川雅安·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．在上单调递增 【针对训练】 1．（多选题）（24-25高一下·云南昆明·期中）如图是函数的部分图象，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期是 B．点是函数图象的一个对称中心 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数 2．（多选题）（24-25高一上·浙江杭州·期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C．是函数的一条对称轴 D．是函数的对称中心 【易错13：三角函数性质的综合应用】 【典例】 1．（多选题）函数的最小正周期为，则（   ） A．的值为2 B．是函数图象的一条对称轴 C．函数在单调递减 D．当时，方程存在两个根，则 2．（多选题）（23-24高一上·湖北·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．图象关于点对称 C．若，，则的最小值为 D．若且，则（） 【针对训练】 1．（多选题）已知函数的图象与直线的交点中，距离最近的两点间的距离为，则（    ） A． B．函数在上单调递增 C．是的一条对称轴 D．函数在上存在两个零点 2．（多选题）设函数，给出下列命题，正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．若，则 C．把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 D．在内使的所有的和为 【易错14：三角函数中的参数（ω、φ）问题】 对于已知函数单调区间的某一部分确定参数的范围问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷． 【典例】 1．（24-25高一下·江苏苏州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一上·全国·专题练习）设函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东肇庆·期末）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，再将图象向左平移φ个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，其中，则（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在区间上至少存在两条对称轴，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 3．函数的图象关于原点对称，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·四川成都·期末）为了得到的图象，只需要将上所有点（   ） A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 B．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 D．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若角的终边在直线上，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东威海·期末）已知曲线，，则（    ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 4．（24-25高一下·安徽·月考）已知函数，为了得到函数的图象，可以将的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏连云港·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线．若曲线关于原点对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·辽宁·月考）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若在上单调递增，则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 8．（23-24高一下·江苏南京·月考）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·河南焦作·月考）已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·四川达州·期中）（多选题）计算下列各式，结果为的有（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一下·江西吉安·期末）（多选题）已知，，那么的终边可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．（多选题）函数的部分图象如图，若的相邻两个零点间的距离为，则（    ）    A． B． C．的零点形成的集合为 D．的单调递减区间为 15．（23-24高一下·河南驻马店·月考）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．直线为图象的一条对称轴 D．将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的图象 16．（23-24高一上·四川凉山·期末）（多选题）已知，则（    ） A．为第二象限角 B． C． D． 17．（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一下·四川南充·月考）（多选题）下列三角式中，值为1的是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一下·山东淄博·月考）（多选题）若，，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·广东江门·月考）（多选题）已知函数，，则下列结论中正确的是（    ） A．若，且的最小值为，则 B．若，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称 C．若，则在最小值为-1 D．若在上有且仅有个零点，则的取值范围是 21．（多选题）已知函数任一对称轴与其相邻的零点之间的距离为，若的图像向左平移个单位得到的图象关于轴对称，则（    ） A． B．若在单调递增，则 C．曲线的一条对称轴是 D．曲与直线有5个交点 22．（多选题）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若，，且，则 B．若在上恰有9个零点，则的取值范围为 C．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到图象关于轴对称 D．若在上单调递增，则的取值范围为 23．（24-25高一上·安徽合肥·期末）写出函数取得最大值时的的取值集合： . 24．（24-25高一下·北京·期中）若，则的最小值为 ． 25．已知角θ的终边经过点，则 ， ． 26．化简： . 27．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知函数，，，则= ． 28．（24-25高一上·河南周口·期末）已知函数在上的最大值为，则 . 29．（24-25高一下·山东聊城·期中）已知函数，，则的单调递减区间为 . 30．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知，则 . 31．（24-25高一下·上海徐汇·月考）已知，，则的值为 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 三角函数 清单01 任意角与弧度制 1、正角、负角、零角、象限角的概念. 正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； 零角：一条射线没有任何旋转，就称它形成了一个零角。 2、旋转与运算： (1)角的加法：角的终边旋转角后所得的终边对应的角是. (2)角的减法：。 3、与角终边相同的角的集合：. 4、弧度制 (1)1弧度角：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. (2)弧度公式： （为圆的半径，弧长为 的弧所对的圆心角为）。 (3)弧长公式：. (4)角度与弧度换算： ；。 (5)扇形面积公式：.（为圆的半径，扇形弧长为，圆心角为） 清单02 三角函数的概念 1、三角函数定义1：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则： 把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作.即； 把点的横坐标叫做的余弦函数，记作.即； 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作.即。 正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数：;余弦函数：;正切函数：. 2、三角函数定义2：设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，点P与原点的距离为：，则：，，. 3、三角函数值对应表： 角度 弧度 无 无 4、三角函数在各象限中的符号：口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 第一象限： sin0,cos0,tan0, 第二象限： sin0,cos0,tan0, 第三象限： sin0,cos0,tan0, 第四象限： sin0,cos0,tan0, 5、角的表示 (1)同终边的角可表示为； 轴上角：；轴上角：. (2)象限角 第一象限角：； 第二象限角：； 第三象限角：； 第四象限角：. (3)区分第一象限角、锐角以及小于的角 第一象限角：; 锐角： ; 小于的角：. 6、同角三角函数的基本关系式: 平方关系：；商数关系：. 清单03 诱导公式（其中：） 1、 诱导公式一： 2、 诱导公式二： 3、诱导公式三： 4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6.诱导公式六： , 注意：①同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. ②“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．；. ③解决给角求值的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为终了． 清单04 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 1、正弦.余弦函数图象： 2、会用五点法作图. 在上的五个关键点为： 在上的五个关键点为： 3、周期函数：函数定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个，都有，且，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.如果函数的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小正数叫的最小正周期. 4、正余弦函数的周期： 正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是； 余弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是. 5、正弦.余弦.正切函数的图像及其性质： 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 无 周期性 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 在上递增 在上递减 在上递增 在上递减 在每一个区间上递增 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 无对称轴 对称中心， 注意：(1)单调性：求函数y＝Asin (ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误． (2)三角函数的奇偶性：对于，若为奇函数，则. 对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则。 对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则. 清单05 两角和与差的正弦.余弦.正切公式 1、两角和与差的正弦： :； :； 2、两角和与差的余弦： :； :； 3、两角和与差的正切： :； :. 4、倍角公式 (1)，变形：. (2). 变形：降幂公式： ； (3). 5、辅助角公式（异名化同名） （其中,). （其中,). 6、有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα tanβ)． (2)cos 2α＝，sin 2α＝. (3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2、 (4)sinα±cosα＝sin . 7、半角公式：sin ＝±，cos ＝±， tan ＝±＝＝. 注意：(1)由于tan ＝＝，不涉及符号问题，使用方便，但需要注意该公式成立的条件． (2)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用sin2＝和cos2＝. 8、化简、求值、证明问题：看角（二倍、互余、互补或特殊角关系）；看名（同名时，联想公式即可；异名时，切化弦或弦化切）；看结构特征（联想公式）. 绝招：配角（即将已知角和目标角进行“加加减减”运算） ①“显性”互余关系；②“隐性”互余关系; ③互补关系；④二倍关系；⑤特殊角关系. （1）时，；（2）时，； （3）时，，；（4）； （5）； （6）1的代换：； （7）． 9、弦化切. (1)； (2)（转化为分式）； (3)（转化为齐次式）； (4)； (5)； . 清单06 函数的变换 1、三角函数图像变换() (1) . (2) . 注意：（平衡变换），向上或向下平移个单位． 2、三角函数的周期公式：（） ⑴，，，的周期：． ⑵，，，的周期都是： 3、求的单调（递增、递减）区间：视为，的复合函数； 4、函数的值域为中的物理量： ①振幅是（离开平衡位置的最大距离），②周期是（作往复运动一次的时间）， ③频率是（单位时间内往复运动的次数）， ④相位是， ⑤初相是； 注意：1、具体求解函数的问题时一定要注意的符号． （1）时，一定要用诱导公式或奇偶性处理，使得的系数为正． （2）时，对的单调性、值域（最值）有影响！ 【易错01：n分角的象限问题】 对于的范围问题,可采用等分象限法,即把每个象限平均分成n份,从第一象限x轴正半轴的上方起按逆时针方向循环标注象限序号(如图以为例),则标注序号与α所在象限序号相同的区域即为所在的区域. 【典例】 1．（24-25高一下·上海·月考）已知为第三象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第三象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【答案】C 【分析】用不等式表示第三象限角，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定所在的象限. 【详解】由为第三象限角，得, 则, 当，此时在第二象限； 当，此时在第四象限. 故是第二或第四象限角. 故选：C. 【针对训练】 1．（24-25高一上·山西·月考）“为第二象限角”是“是第一象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用特殊值得出象限角结合充分、必要条件的定义即可判断． 【详解】由为第二象限角，当，得是第三象限角，不满足充分性， 当时，，不满足必要性， 则“为第二象限角”是“是第一象限角”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 【易错02：三角函数的定义考虑不全】 （1）设角终边上任一点的坐标为，它与原点的距离为 ，则，，. （2）求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离．当已知坐标含参数时需注意分类讨论． 【典例】 1．已知角的终边经过点，则的值为（   ）． A． B． C．0 D．或 【答案】D 【分析】根据角的终边经过某一点的三角函数值计算公式，分别求出即可. 【详解】∵，∴． ①当时，，则， 则． ②当时，，， 则． 故选：D． 【针对训练】 1．（24-25高一下·河南南阳·期中）若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的三角函数的定义分计算求解即可. 【详解】因为角的终边经过点， 当时，由三角函数的定义可得， ，此时，； 当时，由三角函数的定义可得， ，此时，． 综上，． 故选：B． 【易错03：同角三角函数关系中忽略角的范围】 （1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 【典例】 1．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系将平方得，再求出，，再计算即可. 【详解】由得，即. 所以. 由于，， 所以,此时. 故. 联立,解得，. 故. 故选：B. 【针对训练】 1．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平方关系先求出，结合的范围判断正弦值余弦值的符号，从而求解. 【详解】因， 则， 又时，，故是第四象限角，则. 则. 故选：A 【易错04：弦化切齐次式】 （1）对于或的求值,将分子分母同除以或,化成关于的式子,从而达到求值的目的. （2）对于的求值,可看成分母是1,利用进行代替后分子分母同时除以,得到关于的式子,从而可以求值. 【典例】 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用商数关系化弦为切，再将代入即可得解； （2）根据平方关系将化为，再利用商数关系化弦为切，再将代入即可得解； （3）根据平方关系将化为，再利用商数关系化弦为切，再将代入即可得解. 【详解】（1）. （2）. （3）. 【针对训练】 1．（24-25高一上·云南昭通·月考）（1）已知，求下列各式的值. （Ⅰ）； （Ⅱ）. （2）已知α为第四象限角，若，求的值. 【答案】（1）（Ⅰ）10；（Ⅱ）；（2）或． 【分析】（1）利用切化弦即齐次式法计算； （2）化为齐次式求解． 【详解】（1）因为， 所以（Ⅰ）； （Ⅱ）. （2）由得， 即， ，解得或． 是第四象限角，，均符合题意， 所以或． 【易错05：诱导公式变名出错】 误认为是的奇数倍时函数名改变而致错 【典例】 1．（23-24高一上·陕西榆林·月考）已知是方程的根，是第三象限角，则 . 【答案】/ 【分析】首先求解，利用同角基本关系式求和，再利用诱导公式化简求值 【详解】方程，解得：或， 由题意可知，，是第三象限角， 则， 所以. 故答案为： 【针对训练】 1．（23-24高一上·陕西榆林·月考）已知是方程的根，是第三象限角，则 . 【答案】/ 【分析】首先求解，利用同角基本关系式求和，再利用诱导公式化简求值 【详解】方程，解得：或， 由题意可知，，是第三象限角， 则， 所以. 故答案为： 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则 ， ． 【答案】 /-0.5 【分析】直接利用诱导公式化简，结合正余弦的齐次式法求值即可. 【详解】， . 故答案为：，. 【易错06：辅助角公式】 （其中,). 【典例】 1．已知，且，则 . 【答案】 【分析】先将利用辅助角公式得到，再利用同角关系式求出，再根据角的范围进行取舍. 【详解】，，， ，， ，，， 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知函数的最大值为3，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由辅助角公式结合正弦函数的值域计算可得. 【详解】， 因为函数的最大值为3， 所以，（舍去）， 所以实数的值为. 故答案为：. 【针对训练】 1．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）函数在时函数取得最大值，则 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式计算可得时满足题意，再利用诱导公式计算可得结果. 【详解】易知， 其中； 当时，取得最大值，此时需满足， 即可得，所以； 可知. 故答案为： 2．已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用辅助角公式求出，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可． 【详解】， ∴，则，故， ， 故答案为： 【易错07：二倍角、降幂公式】 三角函数式的化简技巧 （1）化切为弦，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． （2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． （3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低次数，达到化简的目的． 【典例】 1．（24-25高一下·全国·周测）（多选题）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用余弦二倍角公式化简，可得判断AB，利用正切的二倍角公式化简可判断C，利用特殊角的函数值化简可判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：因为， 所以， 解得或（舍去）， 所以，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选:AD． 【针对训练】 （24-25高一下·江苏淮安·月考（多选题）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据三角函数的二倍角公式、和差公式、降幂公式以及半角公式，可得答案. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故，故D正确. 故选：ACD. 【易错08：给值求值问题】 【典例】 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用诱导公式、二倍角余弦公式求函数值即可. 【详解】由. 故选：D 2．（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】进一步缩小角的范围，并根据同角三角函数关系求出，利用诱导公式和正弦二倍角公式进行求解. 【详解】因为，所以， 又，所以，故， 所以， 故 . 故选：B 3．（多选题）已知，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由，为锐角，求出的范围，根据，，由同角三角关系式分别求得，，，再依据二倍角正弦公式，两角差的正弦公式，两角和的正切公式及同角三角函数关系式分别求各选项对应的三角函数值，即可选出正确选项. 【详解】因为，为锐角，所以，，所以， 所以， 因为，所以，， 因为，所以， 选项A：，所以选项A正确； 选项B：，所以选项B正确； 选项CD：因为，所以，所以；，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 【针对训练】 1．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化为，再结合二倍角公式进一步化简求值即可. 【详解】因为，所以 . 故选：B 2．（24-25高一下·山东烟台·月考）已知，均为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的基本关系以及配凑法即可求解. 【详解】因为， 又因为，均为锐角，则，所以，， 所以， 故选：C 3．（23-24高一下·江苏淮安·月考）设为锐角，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求出，根据即可求解. 【详解】因为为锐角，则，因为， 所以， 所以 . 故选：D. 【易错09：给值求角问题】 【典例】 1．（多选题）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据，可以缩小的范围，即可判定出的正负. 再利用凑角的方法，即，求出，即可得到的大小. 【详解】因为，，所以，且. 因为，所以.因为，所以. 因为，所以. 因为， 所以 ，故. 故选：AD 【针对训练】 1．（多选题）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】先根据，判断角的范围，再根据求； 根据平方关系，判断的值；利用公式求值，并根据角的范围判断角的值；利用公式和，联合求. 【详解】①因为，所以， 又，故有，， 解出，故A错误； ②， 由①知：，所以， 所以，故B正确； ③由①知：，而，所以， 又，所以， 解得， 所以 又因为，， 所以，有，故C正确； ④由， 由③知，， 两式联立得：，故D错误． 故选：BC 【易错10：左右平移变换出错】 对，，的三点说明 （1）越大，函数图象的最大值越大，最大值与是正比例关系． （2）越大，函数图象的周期越小，越小，周期越大，周期与为反比例关系． （3）大于0时，函数图象向左平移，小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”． 【典例】 1．（24-25高一下·甘肃武威·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据三角函数平移规则得出选项. 【详解】因为，所以要得到函数的图象， 只需将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：A. 【针对训练】 1．（24-25高一下·四川巴中·期末）为了得到函数的图象，可以将的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【分析】由解析式确定函数图象的平移过程即可. 【详解】将向右移动个单位得. 故选：C 【易错11：未注意A、ω的值是负的】 计算的单调增（减）区间时，要保证，才能直接利用正弦的单调增（减）区间，否则要按照复合函数的单调性求解. 【典例】 1．（23-24高一下·上海·期中）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的值域即可求出． 【详解】 故答案为：. 2．（24-25高一下·上海普陀·月考）函数，的单调减区间为 . 【答案】和 【分析】先根据诱导公式化简函数解析式，根据正弦函数图像的性质，求出函数的单调减区间，判断在上的减区间. 【详解】由题意知，所以函数的单调减区间就是的单调增区间， 已知得单调增区间为， 得，解得， 当时，增区间为，当时，增区间为， 所以在上的单调增区间为和， 即在上的单调减区间为和， 故答案为：和. 【针对训练】 1．（24-25高一下·上海·月考）函数的单调增区间为 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数图像性质即可求解. 【详解】由余弦函数图像性质，可得的单调递减区间为， 故的单调递增区间为. 故答案为：. 2．（24-25高一下·陕西渭南·月考）函数的单调增区间为 . 【答案】 【分析】根据给定函数，结合余弦函数的性质、诱导公式求出单调增区间. 【详解】函数，即， 则，解得， 所以函数的单调增区间为. 故答案为： 【易错12：根据图像求解析式中参数的值求错】 （1）如果从图象可直接确定A和,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“”注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得或选取最值点代入公式,求. （2）待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式. 【典例】 1．（多选题）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象关于点中心对称 D．在上的值域为 【答案】ABD 【分析】根据函数经过的特殊点，结合正弦型函数的对称性和最值性质逐一判断即可. 【详解】A：由函数图象可知该函数过点，且最低点坐标为， 于是有，设该函数的最小正周期为，则有， 因为， 所以由，所以本选项正确； B：由上可得，，即， 因为该函数过， 所以有， 又因为， 所以令，， 即，所以本选项正确； C：因为， 所以的图象不关于点中心对称，因此本选项不正确； D：当时，令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因此在上的值域为，故本选项正确， 故选：ABD 2．（多选题）（24-25高一下·四川雅安·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】根据最低点可求解，利用周期可得，代入最低点坐标可得，即可判断ABC，利用整体法即可求解D. 【详解】由最低点可知：，故A正确， 由图可得，故，故B错误， 将代入中可得，故，结合，所以，故C正确， 此时，当时，，故在上单调递增，D正确， 故选：ACD 【针对训练】 1．（多选题）（24-25高一下·云南昆明·期中）如图是函数的部分图象，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期是 B．点是函数图象的一个对称中心 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数 【答案】ABD 【分析】由函数图象即可判断A；求得的解析式，再根据余弦函数的性质即可判断BCD． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，， 由图象可知，，又，则， 所以， 因为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得图象的解析式为，则为偶函数，故D正确； 故选：ABD． 2．（多选题）（24-25高一上·浙江杭州·期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C．是函数的一条对称轴 D．是函数的对称中心 【答案】ACD 【分析】根据函数图象知：、、为对称轴、是函数的一个对称中心，结合正弦函数的性质即可判断各选项的正误. 【详解】由图知：，即，而，可得，A正确； 可得,结合，可得，B错误； 为对称轴，C正确； 由是函数的一个对称中心，,则是函数的对称中心，D正确； 故选：ACD 【易错13：三角函数性质的综合应用】 【典例】 1．（多选题）函数的最小正周期为，则（   ） A．的值为2 B．是函数图象的一条对称轴 C．函数在单调递减 D．当时，方程存在两个根，则 【答案】AD 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，根据最小正周期为可得选项A 正确；根据可得选项B错误；令，分析函数的单调性可得选项C错误；把问题转化为直线与函数图象交点个数问题可得选项D正确. 【详解】A.由题意得，， 由得，A正确； B.由A得，故， ∴不是函数图象的一条对称轴，B错误； C.令，当时，， 根据函数在上不是单调递减函数，可得C错误. D.令，由得，， 由得，，问题转化为直线与函数的图象在区间上有两个交点， 结合图象可得，故，即，D正确. 故选：AD. 2．（多选题）（23-24高一上·湖北·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．图象关于点对称 C．若，，则的最小值为 D．若且，则（） 【答案】AD 【分析】利用正弦函数的图象与性质一一判定选项即可. 【详解】选项A：令即，，解得，， 故的增区间为，，取，则在上单调递增，故选项A正确． 选项B：令，，则，， 取，则有，因此图象关于点对称，故选项B不正确． 选项C：若，，则在和处分别取最大值和最小值， 因此，，故，选项C不正确． 选项D：若，则是函数的零点， 故，，选项D正确． 故选：AD 【针对训练】 1．（多选题）已知函数的图象与直线的交点中，距离最近的两点间的距离为，则（    ） A． B．函数在上单调递增 C．是的一条对称轴 D．函数在上存在两个零点 【答案】ACD 【分析】由题可知函数的最小正周期为，据此求出，再根据正弦型函数的图像与性质逐项判断即可. 【详解】由题可知，的两个相邻的最大值之间的距离为，则的周期为， 则，∴，故A正确； 当时，，当时， 即，∴在 上不单调，故B错误； 由，则是的一条对称轴，故C正确； 由 得，即， 当时，，当时，，故在上存在两零点，故D正确. 故选：ACD. 2．（多选题）设函数，给出下列命题，正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．若，则 C．把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 D．在内使的所有的和为 【答案】ACD 【分析】对原函数使用辅助角公式.对于A选项，根据对称中心的定义即可；对于B选项，和一个为函数的最大值，一个为最小值即可求解；对于C选项，求出，根据偶函数的定义即可；对于D选项，令，求出在的根即可. 【详解】． A：当时，，经检验是它的一个对称中心，故A正确； B：若，则和一个为函数的最大值，一个为最小值，∴，故B错误； C：的图象向左平移个单位长度得到，为偶函数，故C正确； 令，∵，∴， 在的根分别为：，，，， 则有，，，，在内使的所有的和为：，故D正确． 故选：ACD． 【易错14：三角函数中的参数（ω、φ）问题】 对于已知函数单调区间的某一部分确定参数的范围问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷． 【典例】 1．（24-25高一下·江苏苏州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正体代入利用正弦函数的单调性结合题意计算可得. 【详解】由，可得， 由题意可得，解得， 因为，所以，所以实数的取值范围是. 故选：A. 2．（2025高一上·全国·专题练习）设函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到，求解即可. 【详解】因为，所以. 的部分图象如图所示，    要使函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心， 则，解得，即. 故选：C. 3．（24-25高一下·广东肇庆·期末）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，再将图象向左平移φ个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辅助角公式化简可得，根据图象变换可得新函数的解析式为.根据新函数图象关于y轴对称，可得，即可求解. 【详解】，经过两次变换后，新函数的解析式为. 因为新函数图象关于y轴对称，所以，所以. 因为，所以. 故选：A. 【针对训练】 1．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意函数在区间上单调递减，结合余弦函数的单调性，根据三角函数的性质列式求解. 【详解】因为，则，由函数在区间上单调递减，可知，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D 2．已知函数在区间上至少存在两条对称轴，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】化简函数，根据题意，结合余弦型函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】因为函数， 由，可得， 要使得函数在区间上至少存在两条对称轴， 根据余弦型函数的性质，则满足，解得， 所以实数的最小值为. 故选：C. 3．函数的图象关于原点对称，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数图象的对称性即可得到，，根据条件和选项即可得出答案. 【详解】因为函数的图象关于原点对称， 所以，. 又，结合选项，得的取值可能是. 故选：D 1．（24-25高一下·四川成都·期末）为了得到的图象，只需要将上所有点（   ） A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 B．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 D．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 【答案】C 【分析】根据三角函数平移伸缩转换即可判断. 【详解】将向左平移个单位得到，然后纵坐标伸长为原来的2倍得到. 故选：C 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若角的终边在直线上，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在终边上取点（或），根据三角函数的定义计算可得. 【详解】在角的终边上取一点，所以； 或角的终边上取一点，所以， 综上可得等于. 故选：B． 3．（24-25高一下·山东威海·期末）已知曲线，，则（    ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 【答案】A 【分析】根据给定的函数，利用三角函数图象变换，结合诱导公式逐项分析判断. 【详解】对于A，所得曲线为，A正确； 对于B，所得曲线为，B错误； 对于C，所得曲线为，C错误； 对于D，所得曲线为，D错误. 故选：A 4．（24-25高一下·安徽·月考）已知函数，为了得到函数的图象，可以将的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】B 【分析】化简函数，结合三角函数的图象变换，即可求解. 【详解】由函数， 将函数向左平移个单位长度，可得， 即将函数的图象上各点向左平移个单位长度，即可得到图象. 故选：B. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断是函数的一条对称轴，再根据的对称轴列式求解. 【详解】由题知是函数的一条对称轴，即，解得， 又，则当时，取得最小值为． 故选：B 6．（23-24高一下·江苏连云港·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线．若曲线关于原点对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，得出平移图像后的函数解析式，结合函数的奇偶性可得，又根据，即可求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后函数解析式为： ，即， 又因为曲线关于原点对称，所以，， 解得，，因为，所以当时，取得最小值， 的最小值是. 故选：C 7．（24-25高一下·辽宁·月考）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若在上单调递增，则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象变换可得函数解析式，由整体思想以及正弦函数的单调性，可得函数的单调区间，结合题意可得其包含关系，建立不等式，可得答案. 【详解】由题意可得， 令，解得， 令，由题意可得，则，解得， 当时，，不合题意；当时，，不合题意. 故选：B. 8．（23-24高一下·江苏南京·月考）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意求出及，然后再由从而可求解. 【详解】因为，所以， 所以，又因为， 所以， 所以 ，则， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以 ，所以，故C正确. 故选：C. 9．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得，即，再由及区间最值、余弦型函数的图象列不等式求参数范围. 【详解】由函数的图象经过点， 所以，由于，则，则． 由，可得， 因为在上有且只有两个最值点，则， 所以. 故选：A 10．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦函数的单调性结合题意可得. 【详解】由题意可得， 即， 令，可得， 因为函数在上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 11．（24-25高一下·河南焦作·月考）已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦函数图象和性质结合零点个数可得，解不等式即可得出答案. 【详解】， 令，因为，所以， 令可得，， 因为在上有且仅有2个零点，所以， 解得． 故选：C． 12．（23-24高一下·四川达州·期中）（多选题）计算下列各式，结果为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用辅助角公式与和角公式可判断A项正确；用降幂公式可判断B项；利用二倍角的正切公式可判断C项；利用两角和的正切公式可判断D项. 【详解】对于A项， ，故A项正确； 对于B项，，故B项错误； 对于C项，故C项错误； 对于D项，，故D项正确. 故选：AD. 13．（23-24高一下·江西吉安·期末）（多选题）已知，，那么的终边可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【分析】利用给定条件解出的范围，再分类讨论求解即可. 【详解】由题意可得，，则，， 当时，此时的终边落在第一象限，故A正确； 当时，此时的终边落在第二象限，故B正确； 当时，此时的终边落在第三象限，故C正确． 故选：ABC 14．（多选题）函数的部分图象如图，若的相邻两个零点间的距离为，则（    ）    A． B． C．的零点形成的集合为 D．的单调递减区间为 【答案】ABD 【分析】对于A，由周期即可求解；对于B，由得，再结合且在单调递增区间内即可得解；对于C，令结合正弦函数性质即可求解；对于D，根据正弦函数单调性令并求解即可得解. 【详解】对于A，由已知得最小正周期，又， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 又因为，且由图可知在单调递增区间内，所以，故B正确； 对于C，由选项A和B得，令得，， 所以，故C错误； 对于D，令，解得， 所以当时，单调递减，故D正确. 故选：ABD. 15．（23-24高一下·河南驻马店·月考）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．直线为图象的一条对称轴 D．将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的图象 【答案】ACD 【分析】根据函数的图象，求得，可得判定A正确，B不正确，再结合三角函数的性质，以及三角函数的图象变换，可判定C、D正确. 【详解】由函数的图象，可得，可得，则， 又由，所以， 又由，即， 因为，所以，可得，所以， 所以A正确；B不正确； 对于C中，由为函数的最大值， 所以直线为图象的一条对称轴，所以C正确； 对于D中，将图象上的所有点向左平移个单位长度， 可得，所以D正确. 故选：ACD. 16．（23-24高一上·四川凉山·期末）（多选题）已知，则（    ） A．为第二象限角 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用三角函数的基本关系式，结合完全平方公式得到，进而求得，从而得解. 【详解】对于B，因为①， 所以， 则，故B正确； 对于A，又，所以，则，故为第一象限角，故A错误； 对于C，所以， 则②， 由①②可得，，则，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：BCD. 17．（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用三角恒等变换的公式先求出和，再由诱导公式和倍角公式即可逐一求解. 【详解】由题，A正确； 又，所以，所以，B正确； ，C错误； ，D正确. 故选：ABD． 18．（24-25高一下·四川南充·月考）（多选题）下列三角式中，值为1的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用二倍角公式可判断ABD选项；计算出的值，可判断C选项. 【详解】对于A选项，，A满足条件； 对于D选项，，D满足条件； 对于C选项，，C不满足条件； 对于B选项，，而，故，B不满足条件. 故选：AD. 19．（24-25高一下·山东淄博·月考）（多选题）若，，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由的范围可以求出的范围，结合，可以将的范围缩小到一定的范围，从而求出的取值；再结合的取值范围，可以求得和的范围，求出值后，利用配凑法，求出的取值，最后结合其范围得出的值. 【详解】因为，所以，且因为， 所以，则， 则，所以正确； 由可得，又因为， 利用不等式的性质可得，， 所以， 则， 又因为，所以，所以正确. 故选: 20．（23-24高一下·广东江门·月考）（多选题）已知函数，，则下列结论中正确的是（    ） A．若，且的最小值为，则 B．若，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称 C．若，则在最小值为-1 D．若在上有且仅有个零点，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】化简，，则，是的最大值点、最小值点，，即能得出A选项；通过图象伸缩变换即能得到，即能得到B选项；整体换元得到函数的值域，即得到C；整体换元思想，，即在仅有个零点，即能得到范围，即得到D选项. 【详解】函数， 选项A：若，则，是函数的最大值点、最小值点， 若的最小值为，则最小正周期是，所以，A正确； 选项B：若，的图象向左平移个单位长度得函数的图象， 关于原点对称，B正确； 选项C：，令， 当时，，最小值为-2，C错误； 选项D：当时，，若在仅有2个零点， 即在仅有个零点，则，所以，D正确． 故：ABD． 21．（多选题）已知函数任一对称轴与其相邻的零点之间的距离为，若的图像向左平移个单位得到的图象关于轴对称，则（    ） A． B．若在单调递增，则 C．曲线的一条对称轴是 D．曲与直线有5个交点 【答案】AD 【分析】利用周期和图像平移即可判断选项A；结合正弦函数的单调性即可判断选项B；利用正弦函数的对称轴即可判断选项C；结合函数图像即可判断选项D. 【详解】由题意，故， 又的图象向左平移个单位得到， 所以，且，故，A正确； 令， 故易知在单调递增，故，B错； 因为，则， 所以直线不是曲线的一条对称轴，C选项错误；    直线与曲线均过点， 且该直线与曲线均关于该点中心对称， 当时，， 当时，， 如图所示， 由对称性可知曲线与直线有5个交点，故D对. 故选：AD 22．（多选题）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若，，且，则 B．若在上恰有9个零点，则的取值范围为 C．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到图象关于轴对称 D．若在上单调递增，则的取值范围为 【答案】AD 【分析】利用二倍角公式化简，判断函数的相关性质即可. 【详解】因为， 所以 对于A：若，，且，则， 所以，所以，故A正确； 对于B：，则， 因为在上恰有9个零点，所以， 所以，所以B不正确； 对于C：，的图象向右平移个单位长度后得到 ，使得图象关于轴对称， 则，所以，所以不存在， 所以C不正确； 对于D：若在上单调递增，， 所以，解得， 所以D正确. 故选：AD. 23．（24-25高一上·安徽合肥·期末）写出函数取得最大值时的的取值集合： . 【答案】 【分析】可得当时，取得最大值，即可求出的取值集合. 【详解】， 时，函数有最大值， 的取值集合为. 故答案为：. 24．（24-25高一下·北京·期中）若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由辅助角公式结合正弦函数的值域可得. 【详解】由辅助角公式可得， 所以最小值为. 故答案为：. 25．已知角θ的终边经过点，则 ， ． 【答案】 2 【分析】根据任意角的三角函数的定义、同角三角函数基本关系式，直接运算即可． 【详解】∵角θ的终边经过点，∴； ∴． 故答案为：①   ②． 26．化简： . 【答案】 【分析】利用诱导公式运算即可得解. 【详解】解：∵， ，， ，， ∴. 故答案为：. 27．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知函数，，，则= ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式可得，进一步判断得到，最后计算即可. 【详解】由题可知：， 又，，所以为函数的最大值， 所以，则，所以 故答案为： 28．（24-25高一上·河南周口·期末）已知函数在上的最大值为，则 . 【答案】1 【分析】利用三角恒等变换得到，数形结合得到，从而得到方程，求出答案. 【详解】 ， 时，，， 故， 故，解得. 故答案为：1 29．（24-25高一下·山东聊城·期中）已知函数，，则的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】根据一次函数的性质判断的单调性和值域，再结合正弦函数及复合函数的性质确定原函数的单调减区间. 【详解】由在上单调递减，且， 根据正弦函数的性质时，单调递增， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 30．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知，则 . 【答案】/ 【分析】先利用两角和差的正弦公式化简得出，再利用诱导公式和倍角公式化简得出即可求出. 【详解】因为， 即， 所以 . 故答案为：. 31．（24-25高一下·上海徐汇·月考）已知，，则的值为 ． 【答案】/0.96 【分析】利用辅助角公式化简可得，结合角的范围确定的值，利用二倍角公式，即可求得答案. 【详解】由， 得，则，即， 由于，故，结合， 可知， 故， 故答案为： 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $