精品解析：云南省昭通市威信县第三高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

威信三中2025-2026学年度高2024级高二上期中考试卷 数学 考试时间：120分钟：命题人：周崇义 审核人：吴海鹰 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每个小题5分，8个小题共40分） 1. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 内切 D. 外切 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与平行，则m的值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 或3 5. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知两定点，动点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 取一条长度为的细绳，把它的两端绑在一起，形成绳套（绳结长度忽略不计）.再分别用两颗钉子将绳套上两点固定在图板的两点上（如图所示），套上铅笔，拉紧绳子移动笔尖画出一个椭圆.在此过程中，绳子长度保持不变，笔尖与钉子构成的三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每个小题6分，3个小题共18分） 9. 已知，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 在上的投影向量的坐标为 10. 已知圆，则下列说法正确的有（ ） A. 圆心为 B. 圆的面积为 C. 点在圆内 D. 过原点且与圆相切的直线方程为 11. 已知点及圆，点是圆上的动点，则（ ） A. 过原点与点的直线被圆截得的弦长为 B. 过点作圆的切线，则切线方程为 C. 当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线的方程为 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 第II卷（非选择题） 三、填空题（每个小题5分，3个小题共15分） 12. 椭圆的离心率为______． 13. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P是双曲线C上的一点，且，则______． 14. 如图，在正方体中，E为棱的中点，动点沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论： ①存在点P，使得； ②的面积越来越小； ③四面体的体积不变. 所有正确的结论的序号是_____________. 四、解答题（5个答题共77分） 15. （1）求经过点，，且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程. （2）求方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标，离心率以及渐近线方程. 16. 如图，四棱锥的侧棱底面，已知底面是正方形，若，且是的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知圆经过，，. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点，若，求直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，且，，，E为PD的中点. （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离； （3）二面角的余弦值. 19. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为． （1）求椭圆的方程： （2）过点的直线（不过原点）与椭圆交于两点、，为线段的中点．求面积的最大值及此时的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威信三中2025-2026学年度高2024级高二上期中考试卷 数学 考试时间：120分钟：命题人：周崇义 审核人：吴海鹰 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每个小题5分，8个小题共40分） 1. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】B 【解析】 【分析】求出两圆心距，与半径之差的绝对值，半径之和比较大小即可判断. 【详解】圆，，圆心分别为，，半径分别为，.因为，，，因为，所以两圆相交. 故选：B. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算求解即可. 【详解】 ． 故选：C． 3. 已知，，，则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离. 【详解】由题意有：， 所以， 所以点A到直线BC的距离为， 故选：B. 4. 已知直线与平行，则m的值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 或3 【答案】B 【解析】 【分析】结合两直线平行的条件列式求解，然后代入检验是否平行，即可得解. 【详解】由题意时，由得，则或， 当时，与，两条直线恰好重合，矛盾， 而时，与平行，且不重合，符合题意. 所以m的值为3. 故选：B． 5. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】设直线的倾斜角为，若，则的斜率不存在，此时； 若，则， 由正弦函数的性质知， 所以，所以； 综上所述：. 故选：A 6. 已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量关系找到相关点的坐标关系，再代入相关点坐标即可得动点轨迹方程. 【详解】设，，由，得： ，则有， 因为为圆上任意一点， 所以，代入可得： ，整理得：， 即方程就是动点的轨迹方程. 故选：A 7. 已知两定点，动点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出对称点坐标，根据将军饮马模型即可求出最小值. 【详解】取点关于直线对称点，设， 则，解得，即， 则， 当且仅当、、三点共线时取等. 故选：D. 8. 取一条长度为的细绳，把它的两端绑在一起，形成绳套（绳结长度忽略不计）.再分别用两颗钉子将绳套上两点固定在图板的两点上（如图所示），套上铅笔，拉紧绳子移动笔尖画出一个椭圆.在此过程中，绳子长度保持不变，笔尖与钉子构成的三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义可知笔尖的轨迹是以为左右焦点，且的椭圆，则的面积，再根据椭圆的性质可得，令，利用导数求的最大值即可. 【详解】由椭圆的定义可知笔尖的轨迹是以为左右焦点，且的椭圆， 以的中点为原点，所在直线为轴建立如图所示坐标系， 设，则笔尖的轨迹方程为，且， 所以的面积， 联立可得，所以， 令，，则， 所以当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减， 所以， 所以，当且仅当且点在椭圆的上下顶点时等号成立， 所以三角形面积的最大值为， 故选：C 二、多选题（每个小题6分，3个小题共18分） 9. 已知，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量的模公式、向量平行、向量垂直的坐标表示以及投影向量的公式进行逐项判断即可. 【详解】因为，所以，所以A错误； 因为，所以，解得，所以B正确； 因为，所以，解得，所以C正确； 在上的投影向量为，所以D正确. 故选：BCD. 10. 已知圆，则下列说法正确的有（ ） A. 圆心为 B. 圆的面积为 C. 点在圆内 D. 过原点且与圆相切的直线方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程可得圆心及其半径，即可得其面积，即可判断A、B；再计算点到圆心的距离可判断C；计算过原点且与圆相切的直线可判断D. 【详解】可化为， 则该圆圆心为，半径为，则圆的面积，故A、B正确； 由，故点在圆内，故C正确； 设过原点且与圆相切的直线为，则当直线斜率存在时： 设，则有，解得，即， 则当直线斜率不存在时：，则到距离为， 故与圆相切； 综上可得过原点且与圆相切的直线方程为或，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知点及圆，点是圆上的动点，则（ ） A. 过原点与点的直线被圆截得的弦长为 B. 过点作圆的切线，则切线方程为 C. 当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线的方程为 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用垂径定理和勾股定理即可求得弦长；对于B，利用圆心到直线的距离等于半径即可求得切线方程，要注意切线斜率不存在的情况；对于C，利用平行线之间的距离公式计算即得；对于D，结合图形易得，再根据圆的轴对称性质求得直线的斜率即可求出其方程. 【详解】圆的标准方程为，圆的半径. 对于，如图，直线的方程为0，过点作于点， 则点到直线的距离为， 故直线被圆截得的弦长为故A正确； 对于B，如图，圆的过点的切线斜率存在时，设其方程为， 即，由，解得，此时切线方程为，另一条切线是斜率不存在的直线故B错误； 对于C，如图，当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线， 即为与直线距离为2的圆的切线. 因直线的斜率为2，可设该切线方程为，又直线的直线方程为， 则可得解得故C正确； 对于D，如图，连接,易得过点的切线所在直线方程为，故， 又由圆的对称性可知,因,则, 故直线的方程为，即，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每个小题5分，3个小题共15分） 12. 椭圆的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程可知，的值，由离心率求出结果. 【详解】因为椭圆方程为， 所以 所以， 所以 所以离心率， 故答案为： 13. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P是双曲线C上的一点，且，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】运用双曲线定义解题即可. 【详解】若点P在双曲线C的左支上，则，与矛盾，则点P在双曲线C的右支上. 由双曲线的定义可得，则． 故答案为：8. 14. 如图，在正方体中，E为棱的中点，动点沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论： ①存在点P，使得； ②的面积越来越小； ③四面体的体积不变. 所有正确的结论的序号是_____________. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，表达出各点坐标，设出（），选项①，列出方程，求出m的值；选项②，利用点到直线距离的向量公式表达出P到直线距离，表达出的面积，进而得到答案；③把作为底，高为点P到上底面的距离，可以判断四面体的体积不变. 【详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，设（），则，，令，解得：，存在点P，使得，①正确； ，，，，设点P到直线距离为，则 所以，因为，动点沿着棱DC从点D向点C移动，即从0逐渐变到2，随着的变大，变小，的面积越来越小，②正确； 以为底，高为点P到上底面的距离，因为∥底面，所以h不变，所以四面体的体积不变，③正确. 故答案为：①②③ 四、解答题（5个答题共77分） 15. （1）求经过点，，且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程. （2）求方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标，离心率以及渐近线方程. 【答案】（1）.（2）双曲线的实轴长为，焦点坐标，，离心率为，渐近线为. 【解析】 【分析】（1）依题意设双曲线的方程为，，代入点的坐标，求得的值，代入方程即得双曲线方程； （2）由双曲线标准方程可得，根据双曲线的性质得到实轴长、焦点坐标、离心率与渐近线方程. 【详解】（1）设双曲线的方程为，． 因为点，在双曲线上， 所以，解得， 所以双曲线的标准方程为． （2）由得，，， 故双曲线的实轴长为，焦点坐标，， 离心率为，渐近线为. 16. 如图，四棱锥的侧棱底面，已知底面是正方形，若，且是的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 如图，连接交于点，连接， 因为底面是正方形， 所以为的中点， 又因为是的中点， 所以在中，， 又平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据线面角向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为四棱锥的底面是正方形，所以， 又因为侧棱底面，底面， 所以，， 如图，以为坐标原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，. 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知圆经过，，. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2），或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 设圆的一般方程为，其中, 把点，点，点的坐标代入圆的一般方程中，得 ， 所以该圆的一般方程为； 【小问2详解】 过点的直线不存在斜率时，方程为，代入中， 得，显然只有一个交点，不符合题意； 当过点的直线存在斜率时，方程设为， ，圆心坐标为，半径为， 因为，且半径为， 所以圆心到直线的距离， 于是由点到直线距离公式，得或， 所以方程为，或. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，且，，，E为PD的中点. （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离； （3）二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质，证得平面，得到，再由勾股定理，证得，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）以A为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为和向量，结合向量的距离公式，即可求解； （3）由由（2）得到平面的一个法向量为，再由平面，得到平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：在中，由，所以，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 在直角梯形中，由且， 可得，， 所以，所以， 又因为，且平面，所以平面. 【小问2详解】 解：由（1）知平面，因为，所以， 以A为原点，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 因为为的中点，所以，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设点到平面的距离为，可得， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 解：由（2）中的空间直角坐标系，可得平面的一个法向量为， 又由（1）知平面，所以平面的一个法向量为 设二面角的平面角的大小为，则， 所以二面角的余弦值为. 19. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为． （1）求椭圆的方程： （2）过点的直线（不过原点）与椭圆交于两点、，为线段的中点．求面积的最大值及此时的斜率． 【答案】（1） （2）面积的最大值是，此时的斜率为 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程，求出，进而求出椭圆方程；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，求出弦长，点到直线距离，表达出的面积，用基本不等式求出最大值及此时直线的斜率. 【小问1详解】 设椭圆上的点坐标为，，则点D到焦点距离为，当时，取得最大值，由题意知： ∴，∴椭圆C的方程为． 【小问2详解】 显然，直线的斜率存在， 设直线方程为，，， 联立直线与椭圆方程得：， 原点到直线的距离为，所以 ， 令，．∴， 当且仅当时等号成立，此时，且满足， ∴面积的最大值是，此时的斜率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $