第18章分式 单元综合达标测试题 2025-2026学年人教版八年级数学上册

2025-2026学年人教版八年级数学上册《第18章分式》单元综合达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列式子，分式有（    ）个． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．纳米（）是非常小的长度单位，，某种冠状病毒的直径为120纳米，用科学记数法表示该冠状病毒的直径为（   ）． A． B． C． D． 3．如果，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．解分式方程时，去分母变形正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，其中为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．52 7．已知均为正实数，且，若，则、大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定大小关系 8．援建位于巴基斯坦的瓜德尔港是我国实施“一带一路”倡议构想的重要一步，为了增进中巴友谊，促进全球经济一体化发展，我国施工队计划把距离港口的普通公路升级成同等长度的高速公路，如果升级后汽车行驶的平均速度将比原来提高，行驶时间缩短，那么汽车原来的平均速度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．当x 时，分式无意义；当x 时，分式有意义． 10．已知分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 11．化简的结果是 ． 12．若代数式的化简结果为，则M为 ． 13．已知，则 ． 14．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为 ． 15．一艘轮船顺水航行所用的时间与逆水航行所用的时间相同，若水流速度为，则静水速度为 ． 16．甲、乙两地之间的高速公路全长200km，比原来国道的长度少了20km，高速公路通车后，某长途汽车每小时行驶的路程比在原来国道上多45km，从甲地到乙地的行驶时间是原来的．设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为，则可得方程 ． 三、解答题（满分72分） 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．先化简，再求值：，其中满足． 19．已知关于的分式方程 (1)若分式方程无解，求的值； (2)若分式方程的解是负数，求的取值范围． 20．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 21．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ∴ ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． (3)已知，，，求的值． 22．喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 23．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为米，宽为a米． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘，已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟，求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)如图，今年从该基地中截取出一个边长为a米的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜，B类蔬菜，哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． 参考答案 1．B 【分析】本题考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．根据分式的定义、整式的定义逐一判断即可． 【详解】解：整式有：； 分式有：．共有5个， 故选：B 2．B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：120纳米． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，掌握零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题的关键；根据零指数幂，负整数指数幂分别求出a，b，c，再比较大小即可得解． 【详解】解：， ， ， 故选：． 4．B 【分析】本题主要考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．根据分式的加减乘除运算法则分别计算各项即可求解． 【详解】解：A. ，故选项A错误；     B. ，故选项B正确； C. ，故选项C错误；     D. ，故选项D错误； 故选：B． 5．B 【分析】先将分式方程中的分母化为相同形式，再根据等式的性质，给方程两边同乘最简公分母去分母，从而判断变形是否正确．本题主要考查了解分式方程去分母的步骤，熟练掌握分式方程去分母时给方程两边同乘最简公分母的方法是解题的关键． 【详解】解：， ． 方程两边同乘，得 ． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查分式方程，解二元一次方程组，掌握掌握解分式方程的一般步骤是解决问题的关键．先将原方程通过去分母化为整式方程，整理可得，根据方程两边恒等可得，解得，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 则， 解得：， ∴． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了分式的加减法则的运用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．分别通分化成同分母的分式相加，再根据分数的基本性质进行判断即可，最后比较即可． 【详解】解： ， ， ∵， ∴， ∴， ∵均为正实数， ∴， ∴， 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．求的汽车原来的平均速度，路程为，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：从甲地到乙地的时间缩短了．等量关系为：原来时间现在时间2． 【详解】解：设汽车原来的平均速度是， 根据题意得： 解得： 经检验：是原方程的解， 所以，汽车原来的平均速度是． 故选：B． 9． 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分式的分母不等于；由分式无意义，可得，可知当时，分式无意义；由分式有意义，可得，可知当时分式有意义． 【详解】解：分式无意义， ， ； 分式有意义， ， 解得：． 故答案为：；． 10．或 【分析】此题考查了解一元一次不等式组的应用和分式的值，解题的关键是根据题意列出不等式组． 根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出的范围． 【详解】解：∵的值为负数， ∴， 解得：； 或， 解得：， ∴x的取值范围是或； 故答案为：或． 11．1 【分析】本题考查了分式的化简求值，先求出负整数指数幂的值，然后进行分式的通分化简即可． 【详解】解：原式． 故答案为：1． 12． 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握分式混合运算的法则． 利用除法算式的意义先进行分式的乘法运算，再进行分式的减法运算即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 13．1 【分析】此题主要考查了分式化简求值．首先把两边同时乘以，可得，进而可得，然后再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 14．且 【分析】本题考查了由分式方程的解的情况求参数的取值范围，先求出分式方程的解，进而由解是正数及分母的值不等于列出不等式求出的取值范围即可，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， ∴， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， ∴， 综上，的取值范围为且， 故答案为：且． 15．28 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解决此题的关键是读懂题意找准等量关系；设静水速度为，则根据轮船顺水航行所用的时间与逆水航行所用的时间相同列出分式方程求解即可得到答案． 【详解】解：设静水速度为，则顺水航行速度为，逆水航行， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解； ∴静水速度为， 故答案为：28． 16． 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据时间关系列出分式方程． 先求出原来国道的长度以及长途汽车在高速公路上的速度，再根据“从甲地到乙地的行驶时间是原来的”这一关系列出方程． 【详解】解：已知高速公路全长，比原来国道的长度少了，所以原来国道的长度为， 设长途汽车在原来国道上行驶的速度为，因为高速公路通车后，长途汽车每小时行驶的路程比在原来国道上多，所以在高速公路上的速度为， 根据时间路程速度，原来在国道上行驶的时间为小时，在高速公路上行驶的时间为小时， 又因为从甲地到乙地在高速公路上的行驶时间是原来在国道上的， 所以可列方程． 故答案为：． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式运算的通分与约分规则以及四则运算法则是解题的关键． （1）按照运算顺序先处理乘方，再将除法转换为乘法，最后约分化简； （2）先找到最简公分母通分，再进行分式的加减运算即可； （3）首先将除法转化为乘法，约分后通分并计算减法； （4）先计算括号内的分式加法，再进行分式的除法运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 18．，． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解决本题的关键是根据分式的运算法则把分式化简，根据，可得，然后再整体代入化简后的代数式求值． 【详解】解： ， ， ， 原式． 19．(1)的值为或或； (2)且． 【分析】本题主要考查了解分式方程、根据方程的解的情况求参数的取值范围，分式方程无解分为两种情况：分式方程化成的整式方程无解、整式方程的解是分式方程的增根． 首先解分式方程可得：，若整式方程无解，则有，若整式方程的解是分式方程的增根，则有或，可以解得或； 解分式方程可得：，因为分式方程的解是负数，可得：，所以可得：，又因为当时，解出的根是原分式方程的增根，所以的取值范围为且． 【详解】（1）解: 方程两边同时乘以， 可得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当整式方程无解时，则， 即 ， 当整式方程的解为分式方程的增根时， 则， 或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：，     综上所述，的值为或或； （2）解：由得： ， ， 解得：， 又 ， ， 且， 的取值范围为且． 20．(1) (2)最大值是5 (3)，当时，分式运算的结果是整数 【分析】此题考查分式的化简求值，正确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分式有意义， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数 21．（1）解：∵，可知， ∴， ∴， ∴； （2）由， ∴，即， 则 ； （3）解：依题意，∵，，， ∴ ∴，即 ∵ ∴． 22．(1)甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； (2)乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【分析】（1）设甲车间增加工人前每天加工个，则增加工人后每天加工个，根据题意列出方程解得即可； （2）设乙车间改进技术前每天加工个，根据题意列出分式方程解得即可． 【详解】（1）解：设甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个， 由题意，得， 解得， ， 答：甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； （2）解：设乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个 ， 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程，弄清题意列出相应方程是解题的关键． 23．(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． （1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大． 学科网（北京）股份有限公司 $