精品解析：湖南省邵东市第四中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题

2025年下学期邵东四中高一期中考试卷（数学） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答卡上．写在本试卷上无效． 3．考试范围：人教A版2019必修第一册1.1---3.2（集合与常用逻辑用语+一元二次函数、方程和不等式+函数的概念与基本性质） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，与函数y=x表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数的图象如图所示，观察图象可知函数的定义域、值域分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 设，，则（ ） A. B. C. D. 8. 奇函数和偶函数的图象分别如图1、图2所示，方程和的实根个数分别，，则（ ） A. 3 B. 7 C. 10 D. 14 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 集合 C. 集合 D. 集合 10. 函数是定义在R上的奇函数，下列说法中正确的是（ ） A. B. 若在上有最小值－1，则在上有最大值1 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. ，使 11. 已知a，b为正实数，且，，，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为________. 13. 若“，使成立”为真命题，则实数的取值范围是_________． 14. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求： （2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 16. （1） 解不等式； （2） 解关于的不等式． 17. 已知函数 （1）求； （2）若，求实数的值； （3）作出函数在区间内的图像． 18. 已知函数 （1）判断函数奇偶性，并证明； （2）判断函数在区间上单调性，并证明； （3）求满足的实数的取值范围. 19. 已知集合的元素个数为个且元素为正整数，将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合，即，，，，其中，，，若集合中的元素满足，，，则称集合为“完美集合”． （1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由； （2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期邵东四中高一期中考试卷（数学） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答卡上．写在本试卷上无效． 3．考试范围：人教A版2019必修第一册1.1---3.2（集合与常用逻辑用语+一元二次函数、方程和不等式+函数的概念与基本性质） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义计算． 【详解】由已知． 故选：C． 2. 下列函数中，与函数y=x表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别判断函数的定义域和对应法则是否和y＝x一致即可． 【详解】解：A．函数y＝（）2＝x的定义域为{x|x≥0}，和y＝x定义域不相同，不是同一函数． B．函数y＝（）3＝x的定义域为R，和y＝x的定义域相同，对应法则相同，是同一函数． C．函数y的定义域为R，和y＝x的定义域相同，对应法则不相同，不是同一函数． D．函数yx的定义域{x|x≠0}，和y＝x的定义域不相同，对应法则相同，不是同一函数． 故选B． 【点睛】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同． 3. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】全称与特称命题的否定分两步，第一步：改写符号（与互改）；第二步：否定后半部分，据此回答即可. 【详解】第一步：改写符号，由改成； 第二步：对进行否定得； 所以为：，. 故选：A. 4. 下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，定义法得到不为奇函数；B选项，不满足在定义域上单调；C选项，为非奇非偶函数；D选项，满足在定义域上为单调函数，又是奇函数，D正确. 【详解】A选项，定义域为R，且， 故不是奇函数，A错误； B选项，的定义域为，而在上单调递减， 故不在定义域上单调，B错误； C选项，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，C错误； D选项，的定义域为R，且， 故为奇函数，且当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递增， 又，故在定义域上单调递增，为单调函数，D正确. 故选：D 5. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】因为，因此，是的必要不充分条件. 故选：B. 6. 函数的图象如图所示，观察图象可知函数的定义域、值域分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】函数的定义域和值域即为自变量和因变量的取值范围，结合图像即得解 【详解】由图像可知，函数的定义域即为自变量的取值范围，为 值域即为因变量的取值范围，为 故选：C 7. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得，A错；利用作差法判断B错；利用基本不等式可得C正确；由，而，可得D错． 【详解】，，故A错； ，，即，可得，，故B错； ，，且，则，故C正确； ，，而，则，故D错. 故选：C 8. 奇函数和偶函数的图象分别如图1、图2所示，方程和的实根个数分别，，则（ ） A. 3 B. 7 C. 10 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】令，得到，从而求出对应的解，，同理可得有4个解，，得到答案. 【详解】结合函数图象可知中，令，则，故， 结合图象可知，的根为0，有2个根，无解； 故有3个解，故； 中，令，则有2个根，不妨设， 当，即，此时有2个解， 当，即，此时有2个解， 故有4个解，即， 综上，. 故选：B 【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 集合 C. 集合 D. 集合 【答案】BC 【解析】 【分析】根据集合间的基本关系逐一判定即可. 【详解】解：对于A，，故A错误； 对于B，由，可得x为偶数，所以集合，故B正确； 对于C，集合，故C正确； 对于D，集合，，故D错误. 故选：BC. 10. 函数是定义在R上的奇函数，下列说法中正确的是（ ） A. B. 若在上有最小值－1，则在上有最大值1 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. ，使 【答案】AB 【解析】 【分析】利用奇函数定义，使，结合奇函数与单调性的结论处理判断． 【详解】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，则，使 D不正确； 令，则，即 A正确； 若在上有最小值－1，即对，，使得 当时，，即在上有最大值1 B正确； 根据奇函数在对称区间单调性相同可知C不正确； 故选：AB． 11. 已知a，b为正实数，且，，，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】A.利用基本不等式判断；B.利用基本不等式结合“1”的代换判断；C.利用基本不等式结合“1”的代换判断；D.利用基本不等式判断. 【详解】对于A，因为，则，， 当且仅当时取“＝”，所以ab的最小值为4，A错误； 对于B，由，得，， 当且仅当，时取“＝”，B正确； 对于C，， 当且仅当时，取“＝”，C错误； 对于D，因为，所以， 则，当且仅当时，取“＝”，D正确. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分母不等于和二次根式中被开方数大于等于即可得到函数的定义域. 【详解】由得，，所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 若“，使成立”为真命题，则实数的取值范围是_________． 【答案】m≤1 【解析】 【详解】，使为真命题 则 解得 则实数的取值范围为 14. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三个二次的关系，得到方程有两根为和，且，将用表示后代入所求不等式，化简即可求其解集. 【详解】由题意，方程有两根为和，且. 则解得. 将上式代入不等式，整理得， 因，故得，解得， 即不等式的解集是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求： （2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接由集合的运算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，且，然后分与讨论，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，，所以或， 又，所以或. 【小问2详解】 因为“”是“”的必要非充分条件，则，且， 当时，则，即； 当时，，等号不同时成立，解得，符合题意； 综上所述，m的取值范围为. 16. （1） 解不等式； （2） 解关于的不等式． 【答案】（1）；（2）答案见解析． 【解析】 【分析】（1）直接解出不等式即可； （2）利用分解因式整理不等式，结合分类讨论思想，可得答案． 【详解】（1），即，解得， 则解集为. （2）由不等式，则， 当，即时，解得或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或． 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或． 17. 已知函数 （1）求； （2）若，求实数的值； （3）作出函数在区间内的图像． 【答案】（1）； （2）2或0 （3）图象： 【解析】 【分析】（1）代入求值即可； （2）分与两种情况，列出方程，求出实数的值，去掉不合要求的解． （3）根据分段函数解析式即可作出函数图象. 【小问1详解】 易知 【小问2详解】 当时，，解得，满足要求， 当时，,解得或（舍） 综上可得或0 【小问3详解】 由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示： 18. 已知函数 （1）判断函数奇偶性，并证明； （2）判断函数在区间上单调性，并证明； （3）求满足的实数的取值范围. 【答案】（1）为奇函数，证明如下： 由题意可知，函数定义域为，关于原点对称， ， 由此可知，函数为奇函数. （2） 函数在区间上单调递减，证明如下： 任取令， ， 因为， 所以， 故函数在区间上单调递减； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断即可； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法判断并证明； （3）利用函数的奇偶性与单调性解不等式即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据函数的奇偶性，结合（2）可知，函数在区间上单调递减， 又因为， 可得， 解得，得或； 综上，实数的取值范围或. 19. 已知集合的元素个数为个且元素为正整数，将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合，即，，，，其中，，，若集合中的元素满足，，，则称集合为“完美集合”． （1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由； （2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值. 【答案】（1）对于集合，取， 满足，，，，且， 所以集合为“完美集合”， 若为“完美集合”，则存在，使得，，，， 设中各元素的和为，中各元素的和为，中各元素的和为， 则有且， 所以，它不是整数，矛盾，故不是“完美集合”. （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）根据完美集合的定义可得中的最大元素就是，再根据三个集合的和的关系得到中各元素的和为，它是中去掉某个元素后余下4个元素的和，分类讨论后可得的值. 【详解】（1）略 （2）因为为“完美集合”，由（1）可知，根据定义可知为中的最大元素，故， 又中各元素的和为，所以的另一个元素为， 它是中的某个数， 因为中各元素之和为，它必是中去掉某个元素后余下4个元素的和，共有5种情形：，对应的的值. 当时，，，满足； 当时，，，满足； 当时，，，满足； 当或 时，或，余下任何两个元素的和不超过 ，故不满足定义要求， 综上,. 【点睛】这个题目考查了集合的新概念型问题，关键是读懂题意，找到完美集合的三个无公共元素的子集的诸元素之和的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $