精品解析：河北省唐山市遵化市2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题

遵化市2025-2026学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 （满分为150分，考试用时为120分钟） I卷共58分 一、选择题（本大题有8个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）. 1. 直线l1的倾斜角,直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为 A. - B. C. - D. 2. 已知向量，若三点共线，则（ ） A. B. C. 2 D. 8 3. 已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 圆的圆心到直线与直线的距离相等，则实数（ ） A. B. 1或 C. 或3 D. 3 5. 斜三棱柱中，设，，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. B. C. 4或 D. 或 7. 在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是圆上一动点，若直线上存在两点，使得能成立，则线段的长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每个6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 已知直线l：，则（　　） A. 直线l过点 B. 直线l的斜率为 C. 直线l的倾斜角为 D. 直线l在轴上的截距为1 10. 已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ，，．下列结论正确的有（ ） A. B. C. 是平面 的一个法向量 D. 11. 椭圆的左右焦点分别为，是坐标原点，是椭圆上一点，则 （ ） A. 的周长是14 B. 当时，面积最大 C. 的最大值是 D. 当时，面积为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线：恒过定点______. 13. 若向量，，则________. 14. 已知圆，点是直线上一点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若直线上仅有一点，使得，则的值为______. 四、解答题（本大题有5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 已知直线：与：． （1）当时，求直线与的交点坐标； （2）若，求a的值． 16. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求点B到平面的距离． 17. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）若点P在椭圆上，∠F2PF1＝60°，求△PF1F2的面积． 18. 如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点. （1）若对角线的长度为时，求的值. （2）求证：. 19. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为． （1）求点的轨迹方程； （2）若，求点的轨迹的方程； （3）过作两条互相垂直的直线，与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵化市2025-2026学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 （满分为150分，考试用时为120分钟） I卷共58分 一、选择题（本大题有8个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）. 1. 直线l1的倾斜角,直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为 A. - B. C. - D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得L2的倾斜角等于30°+90°＝120°，从而得到L2的斜率为 tan120°，运算求得结果． 【详解】如图：直线L1的倾斜角α1＝30°，直线L1⊥L2，则L2的倾斜角等于30°+90°＝120°， ∴L2的斜率为 tan120°＝﹣tan60°， 故选C． 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想，属于基础题． 2. 已知向量，若三点共线，则（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据三点共线得向量共线，然后根据向量共线的坐标形式列式计算即可. 【详解】因为三点共线，所以与共线，又向量， 所以，所以，所以. 故选：A 3. 已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先把两圆方程化为标准形式确定圆心和半径，再计算圆心距，通过比较圆心距和两圆半径之和的关系判断两圆的位置关系，进而确定公切线的条数． 【详解】圆的标准形式为：， 该圆为以为圆心，半径是的圆； 圆为以为圆心，半径是的圆， 圆心距， ， ， 两圆相外切，共有3条公切线． 故选：C． 4. 圆的圆心到直线与直线的距离相等，则实数（ ） A. B. 1或 C. 或3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，则，解之即可求解. 【详解】由，知， 则，解得或． 故选：C． 5. 斜三棱柱中，设，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】因为 . 故选：A. 6. 已知椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. B. C. 4或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，按焦点位置及椭圆离心率的意义分类求解. 【详解】当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得； 当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得， 所以的值为或. 故选：D 7. 在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在空间四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【详解】由题意， 则，， 因为， 所以在上的投影向量为. 故选：C 8. 已知是圆上一动点，若直线上存在两点，使得能成立，则线段的长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定信息，结合几何图形得当以为直径的圆与圆外切，且圆心连线与垂直时，线段长度最小，然后求即可. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线上存在两点，使得成立， 得以为直径的圆与圆有公共点，当长度最小时，两圆外切，且两圆连心线与垂直，如图， 圆心到直线的距离， 所以. 故选：A 二、多项选择题（本题共3小题，每个6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 已知直线l：，则（　　） A. 直线l过点 B. 直线l的斜率为 C. 直线l的倾斜角为 D. 直线l在轴上的截距为1 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线方程逐项判断. 【详解】对于A，将代入，可知不满足方程，故A不正确； 对于B，由，知直线l的斜率为，故B正确； 对于C，设直线l的倾斜角为α，则，可得，故C正确； 对于D，由，令，可得直线l在轴上的截距为－1，故D不正确． 故选：BC 10. 已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ，，．下列结论正确的有（ ） A. B. C. 是平面 的一个法向量 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】运用数量积逐项分析. 【详解】由题意可知 都是非零向量， 对于A， ，正确； 对于B， ，正确； 对于C， 平面ABCD， 平面ABCD，， 所以 平面ABCD，正确； 对于D， 平面ABCD， 平面ABCD， ，错误； 故选：ABC. 11. 椭圆的左右焦点分别为，是坐标原点，是椭圆上一点，则 （ ） A. 的周长是14 B. 当时，面积最大 C. 的最大值是 D. 当时，面积为1 【答案】CD 【解析】 【分析】根据判断A选项；根据点在椭圆的短轴端点时，面积最大判断B选项；根据椭圆的性质判断C选项；联立方程得，进而计算面积公式即可. 【详解】由题知：椭圆的长半轴长，，，， 因为是椭圆上一点，所以根据椭圆的定义，， 对于A， 的周长是，故A错误； 对于B，当面积最大时，点在椭圆的短轴端点，即点的坐标为， 此时，故不成立，故B错误； 对于C，由椭圆的性质可知，的最大值是长半轴长，即为，故C正确； 对于D，根据题意，联立方程得，， 此时，面积为，故D正确. 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线：恒过定点______. 【答案】 【解析】 【分析】将方程化为，通过解方程组即可 . 【详解】由， 可得： 令，解得：， 故答案为： 13. 若向量，，则________. 【答案】46 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】由，， 则，， 所以. 故答案为：46. 14. 已知圆，点是直线上一点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若直线上仅有一点，使得，则的值为______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，由圆的切线性质可得点在的外接圆上，再由唯一性可得，进而列式计算即得. 【详解】圆的圆心，半径， 由，得点在的外接圆上，当时，， 该圆直径，由直线上仅有一点，使得，得的外接圆与直线相切， 即，于是，解得或， 所以的值为或. 故答案为：或 四、解答题（本大题有5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 已知直线：与：． （1）当时，求直线与的交点坐标； （2）若，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到：，：，再联立求解； （2）根据，由求解. 【小问1详解】 解：因为， 所以：，：． 联立方程组， 解得， 故直线与的交点坐标为． 【小问2详解】 因为， 所以，解得或． 当时，与重合，不符合题意． 当时，与不重合，符合题意． 故． 16. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求点B到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的大小； （2）利用向量法求得点B到平面的距离． 【小问1详解】 依题意可知两两相互垂直， 以为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 由于，所以. 【小问2详解】 ，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 所以点B到平面的距离为. 17. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）若点P在椭圆上，∠F2PF1＝60°，求△PF1F2的面积． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由题意求得a，设出椭圆方程，代入已知的坐标求得b，则椭圆方程可求； （2）由（1）求得c及2a，在△F2PF1中，由余弦定理可得，然后代入三角形面积公式可得△F2PF1的面积． 【详解】（1） 因为的焦点在轴上且长轴为， 故可设椭圆的方程为（）， 因为点在椭圆上，所以， 解得， 所以，椭圆的方程为． （2）由（1）知， 在△F2PF1中，由余弦定理可得： 即 ，则 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了焦点三角形中椭圆定义及余弦定理的应用，是中档题． 18. 如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点. （1）若对角线的长度为时，求的值. （2）求证：. 【答案】（1） （2） ， 则 . 故. 【解析】 【分析】（1）由题意，结合模、数量积的计算公式列方程即可求解； （2），由数量积的运算律证明即可. 【小问1详解】 设，三个向量不共线，则构成空间的一个基底， 且， ， 则，故. 【小问2详解】 略 19. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为． （1）求点的轨迹方程； （2）若，求点的轨迹的方程； （3）过作两条互相垂直的直线，与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）点，利用两点距离表示关系，并化简即可； （2）设点，，由，由表示出，代入点的轨迹方程即可得出答案； （3）设圆心到直线，的距离分别为，则，表示出四边形面积，由基本不等式即可得出答案. 【小问1详解】 设点，点满足， 所以可得， 化简可得． 【小问2详解】 设点，， 由（1）点满足方程： ，， 即 ，， 代入上式消去可得的轨迹方程为． 【小问3详解】 设圆心到直线，的距离分别为，则， ， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，四边形面积的最大值为7． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $