精品解析：新疆乌鲁木齐市第四十一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

2028届高一年级上学期期中考试数学试卷（问卷） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定集合，再结合交集运算即可求解. 【详解】， ， 所以， 故选：C 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由特称量词命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】由特称量词命题的否定为全称量词命题，则原命题的否定为. 故选：C 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式，然后根据集合的包含关系判断可得. 【详解】解不等式得，记， 记满足的元素组成的集合为， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B 4. 函数零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分析函数的单调性，并根据零点存在定理可确定函数的零点所在区间. 【详解】函数的定义域为. 因为函数是增函数，且在和上分别单调递增， 所以在和上分别单调递增. 当时，恒成立，所以无零点； 当时，，，所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 5. 若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】基本不等式求出的最小值，转化为，解不等式即可， 【详解】因正实数满足， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为4． 因为不等式有解，则，即， 即，解得或． 故选：D 6. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定的定义域，再根据复合函数的定义求解． 【详解】因为函数的定义域为，则，所以的定义域是， 所以函数中，解得， 故选：B． 7. 某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质10%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据，）（ ）. A. 30 B. 29 C. 28 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，两边取常用对数结合对数的运算性质即可求出的取值范围，得到结果． 【详解】解：由题意可得， 两边取常用对数得：， 为正整数， 至少需要过滤29次， 故选：B． 8. 已知函数的定义域为，且，当时，，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的对称性、单调性、图象等知识求得不等式的解集. 【详解】依题意，函数的定义域为， 所以的图象关于直线对称， ，当时，， 所以在区间上单调递增，则在区间上单调递减， 对于不等式，即， 设，的开口向上，对称轴为直线， ， ， 由此画出的大致图象、的图象如下图所示， 由图可知的解集为. 故选：D 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. “”是“”的充要条件 C. 若不等式的解集为，则集合的子集个数为4 D. 不等式对一切实数恒成立，则 【答案】AC 【解析】 【分析】通过作差法可判断A；解其中不等式，再结合充要条件定义即可判断B，由根与系数的关系求得可判断C，由时，恒成立；可判断D. 【详解】对于A，因为，又，且，则， 所以，即，所以A正确； 对于B，解，解得或， 所以“”不是“”的充要条件，所以B错误； 对于C，因为不等式的解集为， 所以的解为， 由一元二次方程根与系数的关系得，解得， 则， 因此该集合子集个数为，所以C正确； 对于D，当时，恒成立； 当时，则解得． 综上，，所以D错误． 故选：AC． 10. 已知函数在R上单调递减，则t可以为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】设，由题可得在上单调递减，，据此可得答案. 【详解】设， 因在R上单调递减， 则在上单调递减，，从而. 则t可以为. 故选：BC 11. 函数称为“对勾函数”，类比研究“对勾函数”的图象和性质的方法，研究函数的图象和性质，以下关于函数的结论正确的有（ ） A. 方程有唯一根 B. 函数在区间单调递增 C. 函数在区间的值域为 D. 方程有两个不同的根 【答案】ABD 【解析】 【分析】先分析函数性质，根据函数性质及零点存在性定理可判断A；根据函数性质可判断B，根据函数单调性求解可判断C，由化简可得，计算可判断D. 【详解】函数的定义域为， 当时，单调递减，单调递减， 所以函数在区间上单调递减； 当时，设， 则， 当时，，则，， 所以函数在区间上单调递减； 当，，则，， 所以函数在区间单调递增； 综上，函数在区间上单调递减，在区间上单调递减，在区间单调递增； 对于A，当时，因为，， 所以函数在区间上有唯一零点， 当时，，所以函数在区间没有零点， 综上，方程有唯一根，故A正确； 对于B，由函数性质可知函数在区间单调递增，故B正确； 对于C，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，， 所以函数在区间的值域为，故C错误； 对于D，方程，即，有， 即，， 化简得，即方程有两个不同的根，故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，若，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据元素与集合间的关系，结合集合中元素的互异性可求得a的值. 【详解】因为集合，且，所以，或. 若，则，即，解得，或. 当时，，所以，违反了集合中元素的互异性； 当时，，所以. 若，则，此时，所以，违反了集合中元素的互异性. 综上所述，. 故答案为：1 13. 已知函数的定义域是，值域为则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次函数的图象与性质，确定参数的取值范围. 【详解】设. 所以. 令，得，所以. 函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为如图所示， 由图可知，要使函数的定义域是，值域为 则的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，当时，有，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】作出f(x)图像，设a＜b＜c，a、b、c为与f(x)图像三个交点的横坐标，求出a、b、c的范围和它们之间的关系即可求解. 【详解】如图，设a＜b＜c，a、b、c为与f(x)图像三个交点的横坐标： 则，， ，，所以． 故答案为： 四、解答题（共5小题，共77分） 15. （1）若，求的值； （2）计算：. 【答案】（1）3；（2）7 【解析】 【分析】（1）根据对数运算性质先求出，再由指数运算法则，即可求出结果； （2）根据对数运算和指数幂的运算法则，即可求出结果. 【详解】（1）， . （2）原式 . 16. 已知幂函数的图象过点. （1）求表达式，并写出其单调区间； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），单调递减区间为和，无单调递增区间 （2） 【解析】 【分析】（1）设出幂函数解析式，代入坐标可求解析式，再写出单调区间即可； （2）先判断出自变量范围，再结合单调性列出不等式组，由此可求结果. 【小问1详解】 设，代入，则，解得， 所以，单调递减区间为和，无单调递增区间； 【小问2详解】 由可知，又因在上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 函数是定义在上的奇函数. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并证明你的结论； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）； （2）在上是增函数，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质及定义域的特点求的值. （2）根据单调性定义证明. （3）由奇偶性化简不等式，再由单调性求解. 【小问1详解】 因为函数的定义为 ，所以的定义域为 又因为是奇函数， 所以在上恒成立，所以， 故； 【小问2详解】 在上是增函数，证明如下： 设任意的且， ， 又，则， 所以，即， 所以在上是增函数. 【小问3详解】 不等式化为， 又是奇函数，则，再由（2）得， 解得，即所求不等式的解集为：. 18. 已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上. （1）求实数的值； （2）解不等式； （3）有两个不等实根时，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】(1)由函数解析式可知定点为(2, 2)，代入即可求得的值； (2)根据在定义域上单调递增即可求得不等式解集； (3)方程有两个实根转化为两个函数的图象有两个交点，结合函数图形确定范围即可求参数范围 【详解】解：（1）函数的图像恒过定点A，A点的坐标为(2, 2) 又因为A点在上，则： （2）由题意知： 而在定义域上单调递增，知 ，即 ∴不等式的解集为 （3）由知：，方程有两个不等实根 若令，有它们的函数图像有两个交点，如下图示 由图像可知：，故b的取值范围为 【点睛】本题考查了函数过定点求参数，根据对数函数的单调性求解集，方程的根转化为函数图象的交点问题，结合函数图象求参数范围 19. 若函数对于其定义域中任意非零实数，都满足，则称函数为“好玩函数”．已知． （1）试判断，，是否是“好玩函数”．并说明理由； （2）若，求的最小值； （3）设函数，求证：在其定义域内有且仅有两个零点． 【答案】（1）、是；不是，理由见解析 （2）12 （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）结合函数新定义逐个判断即可； （2）由（1）结合，得到，再结合基本不等式即可求解； （3）确定在上单调递增，在上单调递增．根据零点存在性定理可得函数在上有且只有一个零点，再结合可判断在存在一个零点，即可. 【小问1详解】 ， 所以是“好玩函数”． ， 所以是“好玩函数”． 由，则或，而， 当或时无意义， 所以不是“好玩函数”． 【小问2详解】 因为， 所以在上单调递增， 由（1）知，，所以， 又，所以， 所以． ， 当且仅当即时等号成立． 所以，的最小值为12． 【小问3详解】 因为， 在上单调递增，在上单调递增． 又， 由零点存在性定理知，， 所以在上有且只有一个零点． 又 所以是“好玩函数”，， 所以， 故也是的零点， 所以在和各有一个零点， 即在定义域内有且只有两个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高一年级上学期期中考试数学试卷（问卷） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质10%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据，）（ ）. A 30 B. 29 C. 28 D. 27 8. 已知函数的定义域为，且，当时，，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. C 或 D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. “”是“”的充要条件 C. 若不等式的解集为，则集合的子集个数为4 D. 不等式对一切实数恒成立，则 10. 已知函数在R上单调递减，则t可以为（ ） A. B. 1 C. D. 2 11. 函数称为“对勾函数”，类比研究“对勾函数”的图象和性质的方法，研究函数的图象和性质，以下关于函数的结论正确的有（ ） A. 方程有唯一根 B. 函数在区间单调递增 C. 函数在区间的值域为 D. 方程有两个不同的根 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12 已知集合，若，则___________． 13. 已知函数的定义域是，值域为则的取值范围是______. 14. 已知函数，当时，有，则的取值范围为___________． 四、解答题（共5小题，共77分） 15. （1）若，求的值； （2）计算：. 16. 已知幂函数的图象过点. （1）求的表达式，并写出其单调区间； （2）若，求实数的取值范围. 17. 函数是定义在上的奇函数. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并证明你的结论； （3）解关于的不等式. 18. 已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上. （1）求实数的值； （2）解不等式； （3）有两个不等实根时，求的取值范围. 19. 若函数对于其定义域中任意非零实数，都满足，则称函数为“好玩函数”．已知． （1）试判断，，是否是“好玩函数”．并说明理由； （2）若，求的最小值； （3）设函数，求证：其定义域内有且仅有两个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $