精品解析：福建省南平市松溪一中、政和一中等协作体2025-2026学年高二上学期期中质量检测数学试卷

2025-2026学年高二第一学期质量检测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与直线垂直，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，则（ ） A. B. C. D. 4. 若圆：和圆：有且仅有3条公切线，则（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（ ） A. 9 B. 18 C. D. 8. 已知，分别是椭圆的左、右顶点，点满足，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于直线：，下列结论正确的是（ ） A. 的倾斜角为 B. 的斜率为1 C. 过点 D. 在两条坐标轴上的截距相等 10. 若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11. 已知直线：过抛物线：的焦点，且与交于，两点，点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为4 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点到抛物线的准线的距离为，则_____. 13. 过点且斜率为3的直线与圆：相交于点，，则______. 14. 在三棱锥中，若，，，则点到平面的距离为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，，，分别为，的中点. （1）用，，表示，； （2）求直线，所成角的余弦值. 16. 已知圆经过，，三点. （1）求圆的标准方程； （2）求过点并与圆相切的直线的一般式方程. 17. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）若经过点的直线与抛物线交于点，，且，求． 18. 如图所示，在平行六面体中，底面为正方形，，，，分别为棱，的中点. （1）证明：四边形为矩形. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知椭圆经过，两点. （1）求的方程. （2）若点，是上一动点，求的最小值. （3）若直线与交于与点不重合的，两点，且在以为直径的圆上，，垂足为，判断是否存在点，使得为定值.若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二第一学期质量检测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与直线垂直，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据一般式方程下直线垂直的关系列式求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：D 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化双曲线方程为标准方程即可求解. 【详解】由题意得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D 3. 在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定对称点的坐标，由两点间距离公式即可求解. 【详解】关于轴的对称点为， 关于平面的对称点为， 则. 故选：B 4. 若圆：和圆：有且仅有3条公切线，则（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两圆的位置关系即可求解． 【详解】由题意知，圆与圆外切， ∴圆心距为两圆半径之和， ∴， 解得． 故选：A． 5. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量夹角计算公式求解即可． 【详解】设平面与平面的夹角为，则． 故选：B． 6. 设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线离心率公式计算即可. 【详解】由，得， 所以，又，所以. 故选：C. 7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（ ） A. 9 B. 18 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】如图： 设的焦距为，由题意得， 又， 可得，得. 故选：C 8. 已知，分别是椭圆的左、右顶点，点满足，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造直角三角形，利用角度关系和正切函数建立联系，进而求得离心率. 【详解】 过作垂直于轴，垂足为， 易得，得， 则. 在中，由，得， 得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于直线：，下列结论正确的是（ ） A. 的倾斜角为 B. 的斜率为1 C. 过点 D. 在两条坐标轴上的截距相等 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意得的斜率为1，在轴上的截距为1，再依次分析各选项即可. 【详解】由题可知，的斜率为1，在轴上的截距为1，故直线的倾斜角为，A，B均正确. 点代入方程不满足，故不在上，C不正确. 令得在轴上的截距为，与轴上的截距1不相等，D不正确. 故选：AB 10. 若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，列出方程组，结合方程组的解，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，假设共面，则存在不全为0的实数，使得， 因为为空间的一个基底，所以 ，该方程组无解，假设不成立， 所以不共面，能构成空间的一个基底，所以A符合题意； 对于B，假定向量共面，则存在不全为0的实数，使得，该式显然不成立，所以向量不共面，能构成空间的一个基底. 对于C，假设共面，则存在不全为0的实数， 使得，则，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，所以C不符合题意； 对于D，若共面，则存在不全为0的实数， 使得，则，该方程组无解， 所以不共面，能构成空间的一个基底，所以D符合题意. 故选：ABD. 11. 已知直线：过抛物线：的焦点，且与交于，两点，点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为4 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，由抛物线的几何性质及斜率公式求解；对于B项，当与轴垂直时，取得最小值；对于C项，联立直线与抛物线方程，由韦达定理及弦长公式求解；对于D项，由数量积公式及弦长公式求解． 【详解】由题可得，则. 因为，所以，则，A正确. 设，，由得， 方程的判别式， 所以，. 所以， 所以当时，取最小值， 所以当与轴垂直时，取得最小值，且最小值为4，B正确. 由，可得，又，. 所以， 则，C不正确. ，， 由， 可得， 则，解得， 则，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点到抛物线的准线的距离为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题知的准线为直线，再根据距离公式求解即可. 【详解】由题意得的准线为直线， 所以点到抛物线的准线的距离为：，解得. 所以. 故答案为： 13. 过点且斜率为3的直线与圆：相交于点，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先写出直线的点斜式方程，转化为一般式方程，求出圆心到直线的距离，由几何法求得弦长. 【详解】由题可知，直线的方程为，即. 由圆：得，圆心，半径. 则圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：. 14. 在三棱锥中，若，，，则点到平面的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】建系，由空间向量数量积的定义求得的坐标即可求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，. 设点，则，，， 因为，所以，解得. 同理，即. 由，解得，故点到平面的距离为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，，，分别为，的中点. （1）用，，表示，； （2）求直线，所成角的余弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的运算直接表示即可； （2）利用向量法求解即可. 【小问1详解】 在直四棱柱中， 因为底面是菱形，且，分别为，的中点， 所以，. 【小问2详解】 因为在直四棱柱中，平面， 所以，，即，， 因为，，所以， 所以. ， ， 所以，， 设直线与所成角的大小为，则. 所以直线与所成角的余弦值为. 16. 已知圆经过，，三点. （1）求圆的标准方程； （2）求过点并与圆相切的直线的一般式方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题可知，线段垂直平分线的方程为，圆心在上，设出圆心坐标，由解得圆心坐标及半径，从而得到圆的标准方程；或根据圆经过，，三点.，用待定系数法求得圆的一般方程，再转化为圆的标准方程. （2）当过点的切线斜率不存在时，方程为，到圆心的距离为半径经，满足题意，当切线斜率存在时，设其点斜式方程，化为一般方程，根据圆心到切线的距离为半径，可求得斜率，从而得到切线方程. 【小问1详解】 （方法一）因为圆经过点，，所以线段垂直平分线的方程为， 所以圆心的横坐标为4，设， 则由，可得， 解得，， 所以圆的标准方程为. （方法二）设的一般方程为， 则，解得 所以的一般方程为， 所以的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，圆的圆心坐标为，半径为5. 由，知点在圆外，过点并与圆相切的直线有两条. 若的斜率不存在，则的方程为，此时圆心到的距离为5，与圆相切； 若的斜率存在，则设的方程为，即. 因为与圆相切，所以， 解得， 的方程为. 综上所述，的一般式方程为或. 17. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）若经过点的直线与抛物线交于点，，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线焦半径公式即可求解； （2）设直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理，通过，求得斜率，再由弦长公式即可求解. 【小问1详解】 由点在抛物线上，得， 由，可得，得， 所以抛物线的方程； 【小问2详解】 当斜率不存在时，方程为：， 此时， 则， ，不符合题意， 当斜率存在时，设直线方程为：， 联立抛物线方程消去可得： ， 设， 又，则， 代入， 可得： 代入 得： 化简可得：， 即或， 当时，直线方程为，过坐标原点，不符合题意舍去， 当，直线方程为， 所以 由弦长公式得： 18. 如图所示，在平行六面体中，底面为正方形，，，，分别为棱，的中点. （1）证明：四边形为矩形. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：连接，交于点，连接，，如图： 因为底面为正方形，所以为、的中点. 因为，， 所以（），所以. 又，所以，又，平面，， 所以平面. 又平面，所以 因为，所以，， 又，所以四边形为矩形. （2）. 【解析】 【分析】（1）可先证平面，通过线面垂直，得到，再结合平行六面体的性质，可判定四边形为矩形. （2）由题意建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 所以. 在中，，，， 所以. 在中，，， 所以，所以， 又，平面，，所以面. 故，，两两垂直. 以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，. 又，所以，，. 设平面的法向量为，则有即， 解得平面的一个法向量为， 所以. 故与平面所成角的正弦值为. 19. 已知椭圆经过，两点. （1）求的方程. （2）若点，是上一动点，求的最小值. （3）若直线与交于与点不重合的，两点，且在以为直径的圆上，，垂足为，判断是否存在点，使得为定值.若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在点 【解析】 【分析】（1）将，两点坐标代入椭圆方程，可求得，从而得到椭圆的方程； （2）设，由两点间距离公式和椭圆方程联立可将表示成关于的函数，从而求得其最小值； （3）分斜率存在和不存在两种情况，设直线的方程，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理及向量垂直的坐标表示，得直线过定点，由此点在以为直径的圆上，即的中点到点D的距离为定值.所以存在定点，使得为定值. 【小问1详解】 由题意得，解得. 所以的方程为. 【小问2详解】 设.由，得， 则， 当时，取得最小值，最小值为. 【小问3详解】 存在点，使得为定值.理由如下： 当的斜率存在时，设点，，. 由得，得 由题意得，则， 所以 ， 化简得. 因为不在直线上，所以， 所以，即， 则的方程为， 故直线过定点. 当的斜率不存在时，设点，得， 则. 由，得，得或（舍去）. 故方程为：，经过点. 综上，直线过定点. 令为的中点，则，点在以为直径的圆上. 当与重合时，，当与不重合时，. 故存在点，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $