精品解析：吉林省辽源市跨世纪学校2025-2026学年九年级上学期11月月考数学试题

辽源市跨世纪学校初三年级数学测试 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列美丽的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 B. 打开电视频道，正在播放《焦点访谈》 C. 关于x的方程有实数根 D. 射击运动员射击一次，命中十环 4. 如图，点都在上，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的弦垂直平分半径，垂足为，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，绕点顺时针旋转到的位置．如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图是一个旋转对称图形，它的最小旋转角度数为______． 8. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共30个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球大约有________个． 9. 已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为_______.（结果保留） 10. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O．若直线 PA 与⊙O 相切于点 A，则∠PAB＝_______________． 11. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点之间的距离为_________m． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程： 13. 一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”“2”“3”，除数字外三个小球无其他差别．现从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，请用画树状图或列表的方法，求两次记录的数字之和为3的概率． 14. 某公司今年8月份的生产成本为万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本为万元，假设该公司每个月生产成本的下降率相同，求每个月生产成本的下降率． 15. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）画出关于原点成中心对称的； （2）画出将绕点顺时针旋转后的（点、、的对应点分别为点、、）． 16. 如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E、F． （1）若，求证：； （2）若，求的度数． 17. 已知抛物线经过点和点． （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线上有一点，当时，直接写出m的取值范围． 18. 如图△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E． （1）求证：⊙D与AC相切； （2）若AC=5，BC=3，试求AE的长． 19. 在等边三角形中，，点D、E、F分别是、、边上的中点，连接、，动点P从点B出发，沿方向以的速度运动，到点运动停止．过点作，垂足为点，过点作交于点．设点运动时间为，与四边形重叠面积为． （1）当点H与点E重合时，x的值为_____． （2）求y与x的函数解析式； （3）当y的值为时，直接写出此时x的值． 20. 如图，已知在中，是的直径，于F，． （1）求图中阴影部分的面积； （2）若用阴影扇形围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径． 21. 小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长． 小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长． （1）请回答：在图2中，∠FCE的度数是 ，DE的长为 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题： （2）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由． 22. 已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，点A在点B左侧．点B的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； （3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽源市跨世纪学校初三年级数学测试 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列美丽的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义（如果一个图形沿着一个点转后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做中心对称图形）对四个选项进行分析．本题主要考查了轴对称图形的定义，难度不大，掌握定义是解答的关键． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：A． 2. 下列函数中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．函数是二次函数，故本选项符合题意； C．，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； D．函数不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如（、、为常数，）的函数，叫二次函数． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 B. 打开电视频道，正在播放《焦点访谈》 C. 关于x的方程有实数根 D. 射击运动员射击一次，命中十环 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，必然事件是指一定会发生的事件，选项C中方程的判别式恒为正，因此总有实数根，是必然事件；其他选项都不是必然事件，即可作答． 【详解】解：A、抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上，不是必然事件，故该选项不符合题意； B、打开电视频道，正在播放《焦点访谈》，不是必然事件，故该选项不符合题意； C、∵，，∴关于x的方程有实数根，是必然事件，该选项符合题意； D、射击运动员射击一次，命中十环，不是必然事件，故该选项不符合题意； 故选：C 4. 如图，点都在上，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知是等腰三角形，，可得出的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得出答案． 【详解】解：， 是等腰三角形， ， ，即， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，掌握这些知识点是解题的关键． 5. 如图，的弦垂直平分半径，垂足为，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，及用勾股定理解直角三角形，垂直平分线，熟练掌握垂径定理是解题关键． 连接，先求出，，，得到，，，由勾股定理，得到，则，即可解答． 【详解】解：连接，如图 的弦垂直平分半径，， ，，， ，，， ， ． 故选：D． 6. 如图，绕点顺时针旋转到的位置．如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知，，再根据角的和差关系即可解答． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转到的位置， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转的定义，角的和差关系，掌握旋转的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图是一个旋转对称图形，它的最小旋转角度数为______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 根据每旋转角的整数倍都能与原图形重合，则旋转角最小是，即可解答． 【详解】解：由图，可得 ， ∴每旋转角的整数倍都能与原图形重合， 故旋转角最小是． 故答案为：． 8. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共30个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球大约有________个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查频率估计概率， 已知概率求数量，掌握知识点是解题的关键． 根据频率估计概率，红球的概率稳定在，利用概率公式计算红球个数． 【详解】解：∵摸出红球的频率稳定在左右， ∴摸出红球的概率约为． ∴袋子中红球大约有（个）． 故答案为：12． 9. 已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为_______.（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式是，代入就可以求出弧长． 【详解】∵扇形的半径是30cm，圆心角是60°， ∴该扇形的弧长是： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关键． 10. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O．若直线 PA 与⊙O 相切于点 A，则∠PAB＝_______________． 【答案】30° 【解析】 【分析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数，利用弦切角定理∠PAB． 【详解】连接 OB，AD，BD， ∵多边形 ABCDEF 是正多边形， ∴AD 为外接圆的直径， ∠AOB＝＝60°， ∴∠ADB＝∠AOB＝×60°＝30°． ∵直线 PA 与⊙O 相切于点 A， ∴∠PAB＝∠ADB＝30°． 故答案为30°． 【点睛】本题考查正多边形和圆，切线的性质，作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键． 11. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点之间的距离为_________m． 【答案】10 【解析】 【分析】利用二次函数图象上顶点坐标特征可求出点N的坐标，利用对称性即可求出最高点之间的距离． 【详解】解：∵， ∴点, ∴水柱的最高点到y轴距离为， ∴两个水柱的最高点之间的距离为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查顶点坐标，利用图形的对称性计算是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴或， ∴，． 13. 一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”“2”“3”，除数字外三个小球无其他差别．现从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，请用画树状图或列表的方法，求两次记录的数字之和为3的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用画树状图或列表法求概率，先充分理解题意，画树状图，再得出一共有9种等可能的结果，两次记录的数字之和为3的结果有2种，然后列式计算即可求出两次记录的数字之和为3的概率，即可作答． 【详解】解：依题意，画树状图如下： ∴一共有9种等可能的结果，两次记录的数字之和为3的结果有2种， ∴两次记录的数字之和为3的概率为． 14. 某公司今年8月份的生产成本为万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本为万元，假设该公司每个月生产成本的下降率相同，求每个月生产成本的下降率． 【答案】每个月生产成本的下降率为 【解析】 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系列出方程． 设每个月生产成本的下降率．根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每个月生产成本的下降率． 则， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每个月生产成本的下降率为． 15. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）画出关于原点成中心对称的； （2）画出将绕点顺时针旋转后的（点、、的对应点分别为点、、）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作中心对称图形，旋转图形，掌握中心对称的性质和旋转的性质是解题的关键． （1）根据找点，描点，连线成即可； （2）根据找点，描点，连线成即可． 【小问1详解】 解：如图，为所作的图形； 【小问2详解】 解：如图，为所作的图形． 16. 如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E、F． （1）若，求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查圆的内接四边形，三角形的内角和及外角定理，对顶角相等，解题的关键是熟知三角形的内角和及圆内接四边形的性质． （1）根据对顶角与三角形的外角定理即可求解； （2）根据圆内接四边形得到，再根据三角形的内角和及外角定理即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ∵， ； 【小问2详解】 ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ． ，且， ∴, ， ∵， ． 17. 已知抛物线经过点和点． （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线上有一点，当时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，正确求得抛物线的解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得抛物线与x轴的交点坐标，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和点， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令， 解方程，得，， ∵， ∴该抛物线的开口向下， ∴当时，, ∵点是抛物线上的一点，且， ∴． 故答案为：． 18. 如图△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E． （1）求证：⊙D与AC相切； （2）若AC=5，BC=3，试求AE的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】过作于，利用角平分线的性质定理可得即可证明：与相切； 在直角中由勾股定理可求出的长，设圆的半径为，利用切线长定理可求出，所以，，利用勾股定理建立方程求出，进而求出的长． 【小问1详解】 证明：如下图所示，过作于， ， ， 平分交于点， ， 与相切； 【小问2详解】 解：设圆的半径为， ，，， ， ，是的切线， ， ， ， ， 在中，， 解得：， ． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、角平分线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理列方程． 19. 在等边三角形中，，点D、E、F分别是、、边上的中点，连接、，动点P从点B出发，沿方向以的速度运动，到点运动停止．过点作，垂足为点，过点作交于点．设点运动时间为，与四边形重叠面积为． （1）当点H与点E重合时，x的值为_____． （2）求y与x的函数解析式； （3）当y的值为时，直接写出此时x的值． 【答案】（1）3 （2） （3）x的值为或． 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、三角形中位线定理、三角形的面积、平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形性质，二次函数与四边形，解一元二次方程，解题关键是学会利用分类讨论和数形结合思想解决问题． （1）当点与点重合时，由可得点与点重合，于是； （2）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，．分别画出不同情况下的图形，利用等边三角形的性质和含度角的直角三角形性质计算即可解答； （3）当时，分三种情况： ①，②，③，分别求解即可． 【小问1详解】 解：当点与点重合时，如图， ∵点D、E、F分别是、、边上的中点， ∴， ，点与点重合，点为的中点， 点与点重合， ， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ①当时，点P在线段上，点H在线段上，如图， 为等边三角形， ， ， ，， 为等边三角形， 动点从点出发，沿方向以的速度运动，点运动时间为， ， ，， 在中，， ， ②当时，如图，设与交于点，连接，过点作于点， 点、、分别是、、边上的中点， ，，，，，， ， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， 在中，，， ， ，， ，， 为等边三角形， ③当时，如图，设与交于点，过点作于点， ， ， ， 为等边三角形，， ，， ，，， 为等边三角形， 在中，， ， ∴． 【小问3详解】 当时， ①， 解得（不符合题意，舍去）； ∴ ②， 即， 解得（不符合题意，舍去）； ∴ ③， 即， 解得（都不符合题意，舍去）； ∴该方程无解． 综上所述，x的值为或． 20. 如图，已知在中，是的直径，于F，． （1）求图中阴影部分的面积； （2）若用阴影扇形围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由∠A＝30°，可得到∠BOC＝60°，再根据垂径定理得∠BOD＝120°，由勾股定理得出BF以及OB的长，从而计算出阴影部分的面积； （2）直接根据圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长可得圆锥的底面圆的半径． 【小问1详解】 解：∵AC⊥BD于F，∠A＝30°， ∴∠BOC＝60°，∠OBF＝30°，∠BOD＝120°， ∵AB＝4， ∴BF＝2， ∴OB＝， ∴S扇形＝ 【小问2详解】 设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr， ∴2πr＝， ∴r＝． ∴这个圆锥底面圆的半径为． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，以及圆周角定理、垂径定理和解直角三角形，是基础知识要熟练掌握． 21. 小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长． 小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长． （1）请回答：在图2中，∠FCE的度数是 ，DE的长为 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题： （2）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）90°，； （2），见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，可得，勾股定理解△FCE，可求得FE（即DE）的长； （2）将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG，证明点F，D，G在同一条直线上，进而证明△AEF≌△AGF，EF＝FG，由FG＝DG＋FD＝BE＋DF，即可证明EF＝BE＋FD． 【小问1详解】 解：∵将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF， ∴ 在中， BD＝3，CE＝1， 故答案为：90°； 【小问2详解】 猜想：EF=BE＋FD； 理由如下： 如图，将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG， ∴BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG， ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠B＝∠ADG， ∴∠ADG＋∠ADC＝180°，即点F，D，G在同一条直线上． ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF， 即∠GAF＝∠EAF． 在△AEF和△AGF中， ∴△AEF≌△AGF， ∴EF＝FG ∵FG＝DG＋FD＝BE＋DF， ∴EF＝BE＋FD 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，掌握性质的性质是解题的关键． 22. 已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，点A在点B左侧．点B的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； （3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）12 （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法确定函数的解析式，抛物线上点的坐标特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）过点作于点，连接，则，，利用得到用的代数式表示出的函数关系式，再利用二次函数的性质解答即可得出结论； （3）存在以，，，为顶点且以为一边的平行四边形，分两种情形讨论解答：①过点作轴，交抛物线于点，过点作，交轴于点，令，则结论可求；②平移线段，它们分别与轴于点，，和轴上方的抛物线交，，当或时，利用平行四边形的判定定理可知四边形和四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可得，的纵坐标为，令，解方程即可得出点的横坐标，则结论可得． 【小问1详解】 解：点的坐标为， ， ， ， ． ， 解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：令，则， 解得：，， ， ， 点是线段下方抛物线上的动点， ∴设，其中， 过点作于点，连接，如图， 则，， ， ， 当时，四边形面积有最大值，最大值为12． 【小问3详解】 解：存在以A，C，，为顶点且以为一边的平行四边形，理由如下： ①过点作轴，交抛物线于点，过点作，交轴于点，依据平行四边形的定义可知四边形为平行四边形，如图， 令，则， 解得∶ ， ； ②平移线段，它们分别与轴于点，，和轴上方的抛物线交于，，当或时，四边形和四边形是平行四边形，如图， ，，在轴的上方， ，的纵坐标为， 令，则， 解得∶ ， ，， 综上，存在以，，，为顶点且以为一边的平行四边形，符合条件的点P有个，坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $