精品解析：湖南省永州市蓝山县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年下期期中学业质量监测九年级数学（试题卷） 注意事项： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？则竹竿的长为（ ） A. 500寸 B. 450寸 C. 100寸 D. 50寸 6. 已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 7. 大自然巧夺天工，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 10. 如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为6，则k1﹣k2的值为（　　） A. 12 B. ﹣12 C. 6 D. ﹣6 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 若，且对应高线的比为，则它们的面积比为________． 12. 方程的两根分别为，，则______． 13. 若，且，则______． 14. 在比例尺为的地图上，测得，两地间的距离为，则，两地间的实际距离为______米． 15. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ________． 16. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是_________． 17. 如图，在中，，分别是，上的点，且，若，，，则______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在反比例函数的图象上，已知菱形的周长是8，，则k的值是______． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答题要求写出必要的文字说明或演算步骤） 19. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 20. 关于x一元二次方程的两根为，且，求m的值． 嘉佳的解题过程如下： 【解】， ， 整理，得， 解得． 嘉佳的解题过程漏了考虑哪个条件？请写出正确的解题过程． 21. 如图，在中，上一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）判断点是否在这个函数的图象上； （3）当时，求取值范围． 23. 某商场将进价为10元商品按40元出售时，每天可售出100件．为尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经市场调查发现，如果每件商品每降价1元，每天可多售出20件． （1）若商场要想每天盈利6000元，每件商品应降价多少元？ （2）每件商品降价多少元时，商场每天盈利最大？最大盈利是多少元？ 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 25. 如图，在中，，，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为秒． （1）求的长； （2）当为何值时，与相似？ （3）连接，当为何值时，？ 26. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为坐标原点，顶点、分别在轴、轴上，顶点的坐标为．反比例函数的图象与交于点，与交于点．连接，，． （1）若点是的中点，求反比例函数的解析式及点的坐标； （2）若的面积为，求反比例函数的解析式； （3）在的条件下，点是反比例函数图象上的一点，若是以为底边的等腰三角形，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期期中学业质量监测九年级数学（试题卷） 注意事项： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象． 将代入反比例函数解析式，直接计算k的值即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， ∴． 故选：A． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项A：是整式方程，只含未知数x，且最高次数为2，符合一元二次方程的定义． 选项B：含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义． 选项C：不是整式方程（含分式），不符合一元二次方程的定义． 选项D：最高次数为3，不符合一元二次方程的定义． 故选A． 3. 方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：∵可因式分解， ∴或， ∴方程的解为，， 故选A． 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，将所求比例拆分为两个比例之和，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵ ， 又 ∵ ， ∴ ． 故选：A． 5. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？则竹竿的长为（ ） A. 500寸 B. 450寸 C. 100寸 D. 50寸 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了考查平行投影，根据同一地点，同一时刻物高与影长对应成比例，通过建立比例方程求解竹竿长度即可． 【详解】解：设竹竿长为x寸． ∵竹竿影长150寸，标杆高15寸，标杆影长5寸， ∴ ∴ ∴ 故竹竿长为450寸， 故选B． 6. 已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可． 【详解】解： 观察图像①可得，所以，①符合题意； 观察图像②可得，所以，②不符合题意； 观察图像③可得，所以，③不符合题意； 观察图像④可得，所以，④符合题意； 综上，其中符合的是①④， 故答案为：B． 【点睛】本题考查的是正比例函数和反比例函数的图像，当k＞0时，正比例函数和反比例函数经过一、三象限，当k＜0时，正比例函数和反比例函数经过二、四象限． 7. 大自然巧夺天工，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键． 根据黄金分割点的定义即得出，代入数据，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 8. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象经过第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴， 故选：A． 9. 如图，在中，，于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质． 首先证，然后根据相似三角形的对应边成比例求出的长． 【详解】解：中，，， ， 又于， ， ， ， ， ． 故选：A． 10. 如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为6，则k1﹣k2的值为（　　） A. 12 B. ﹣12 C. 6 D. ﹣6 【答案】A 【解析】 【分析】△ABC的面积＝AB×yA，先设A、B两点坐标（其y坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解． 【详解】解：设：A、B点的坐标分别是A（，m）、B（，m）， 则：△ABC的面积＝AB×yA＝•（﹣）•m＝6， 则k1﹣k2＝12． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设、两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 若，且对应高线的比为，则它们的面积比为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行计算即可得解． 【详解】∵△ABC∽△DEF，对应高线的比为2：3， ∴它们的相似比为2：3， ∴它们的面积比为（）2＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方的性质． 12. 方程的两根分别为，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：的二次项系数 ，一次项系数 ， 因此． 故答案为6． 13. 若，且，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，通过设参数k表示a、b、c，再代入已知条件求出k的值，进而求出a． 【详解】解：设， 则，，． 代入，得，即， 解得． 所以． 14. 在比例尺为的地图上，测得，两地间的距离为，则，两地间的实际距离为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例尺. 根据比例尺及图上距离可得实际距离． 【详解】解：∵比例尺为，且的图上距离是， ∴两地间实际距离是． 故答案为：． 15. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： 故答案为：． 16. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是_________． 【答案】10% 【解析】 【分析】设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解． 【详解】解：设每次降价的百分率为 列方程得： 解得（舍去），． 答：每次降价的百分率是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意列出方程式解题的关键． 17. 如图，在中，，分别是，上点，且，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 首先由，可证得，进而可根据相似三角形得到的比例线段求得的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在反比例函数的图象上，已知菱形的周长是8，，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作，垂足为D，先求出，，继而求得点C的坐标，再把代入反比例函数即可求得答案. 【详解】过点C作，垂足为D， ， ， 又菱形OABC的周长是8， ， 在中，， ， ， 把代入反比例函数得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征等知识，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键. 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答题要求写出必要的文字说明或演算步骤） 19. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握相关解法是关键． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【小问1详解】 解： ， 或， ，； 【小问2详解】 解： ，，， ， ， ，． 20. 关于x的一元二次方程的两根为，且，求m的值． 嘉佳的解题过程如下： 解】， ， 整理，得， 解得． 嘉佳的解题过程漏了考虑哪个条件？请写出正确的解题过程． 【答案】的值为． 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式结合根与系数的关系解答． 【详解】解：嘉佳的解题过程漏了考虑这一条件．正确的解题过程如下： 根据题意得，解得． ，， 整理得，解得（舍去）， 的值为． 【点睛】本题中忽略这一条件导致错解针对这一类题，我们一定要看清题目中所给的条件，考虑一元二次方程有解的条件是“”，才能得出正确结果． 21. 如图，在中，是上一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）在这两个三角形中有一对已知角和一对公共角即可证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴． 22. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）判断点是否在这个函数的图象上； （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为； （2）点在这个函数的图象上； （3）当时，的取值范围是． 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，判断点是否在函数图象上，根据反比例函数的图象和性质求函数值的取值范围． （1）把点的坐标代入，可得，即可得反比例函数的解析式； （2）在中，令，可得的值，与比较，即可判断点是否在这个函数的图象上； （3）在中，分别令，，计算对应的的值，由反比例函数的图象和性质，即可得的取值范围． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴点在这个函数的图象上． 【小问3详解】 解：在中， 当时，， 当时，， 又∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，的取值范围是． 23. 某商场将进价为10元的商品按40元出售时，每天可售出100件．为尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经市场调查发现，如果每件商品每降价1元，每天可多售出20件． （1）若商场要想每天盈利6000元，每件商品应降价多少元？ （2）每件商品降价多少元时，商场每天盈利最大？最大盈利是多少元？ 【答案】（1）若商场要想每天盈利6000元，每件商品应降价15元 （2）每件商品降价元时，商场每天盈利最大，最大盈利是6125元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）设每件商品降价元，则销售了件，根据题意列方程求解，根据“尽快减少库存”取较大的解即可； （2）设每件商品降价元，商场每天的利润为元，求出函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：设每件商品降价元，则销售了件． 由题意得，， 解得，． 因为要尽快减少库存， 所以， 即降价15元． 答：若商场要想每天盈利6000元，每件商品应降价15元； 【小问2详解】 解：设每件商品降价元，商场每天的利润为元． 由题意知， ． 当时，有最大值，． 答：每件商品降价元时，商场每天盈利最大，最大盈利是6125元． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． （1）先把点的坐标代入反比例函数解析式，可得到，把点的坐标代入反比例函数解析式，求出，再用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）找出反比例函数图象位于一次函数的图象的下方的部分，再确定这部分对应的取值范围即可； （3）设直线与轴相交于点，求出的坐标，利用，确定底和高后计算即可． 【小问1详解】 解：把点代入反比例函数中，得， 则反比例函数的解析式为． 当时，， 所以点的坐标为 把点，点代入一次函数中， 得， 解得， 所以一次函数的解析式为． 【小问2详解】 由图象可得不等式的解集为或． 【小问3详解】 设一次函数与轴相交于点，当时，，即点的坐标为 即． 25. 如图，在中，，，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为秒． （1）求的长； （2）当为何值时，与相似？ （3）连接，当为何值时，？ 【答案】（1）10 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理： （1）直接利用勾股定理解答即可； （2）分两种情况，结合相似三角形的性质解答即可； （3）根据当时，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，∵，，， ∴． 【小问2详解】 解：由题意得，，， 因此， 与相似有两种情况， ①当时，， 即， 解得； ②当时，， 即， 解得； 综上所述，当为或时，与相似； 【小问3详解】 解：当时，， 由（2）可知，． 所以当为时，． 26. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为坐标原点，顶点、分别在轴、轴上，顶点的坐标为．反比例函数的图象与交于点，与交于点．连接，，． （1）若点是的中点，求反比例函数的解析式及点的坐标； （2）若的面积为，求反比例函数的解析式； （3）在条件下，点是反比例函数图象上的一点，若是以为底边的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】根据点的坐标为和矩形的性质把点、的坐标写出来，根据平面直角坐标系中中点坐标的公式求出点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的解析式求出点的坐标； 设点的坐标为，则反比例函数的解析式为，根据反比例函数的解析式可知点的坐标为，根据的面积为，可得方程，解方程求出的值即可得到点的坐标为，利用待定系数法求出反比例函数的解析式； 根据是以为底边的等腰三角形，可知，设点的坐标为，利用勾股定理可得，解方程可得，把点的坐标代入反比例函数的解析式中求出即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，顶点的坐标是， 点的坐标是，点的坐标是， 又点是的中点， 点的坐标为， 把点代入反比例函数， 可得：， 反比例函数的解析式为， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 反比例函数的解析式为，点的坐标为； 【小问2详解】 解：设点的坐标为， 则有， 把点的坐标代入反比例函数， 可得：， 反比例函数解析式为， 当时，， 解得：， 点的坐标为， 如下图所示，过点作轴， ，， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为， 把点代入反比例函数得， 的面积为3，反比例函数的解析式为； 【小问3详解】 解：点的坐标是，点的坐标是， 是以为底边的等腰三角形， ， 设点坐标为， ， ， 解得：， 又点在反比例函数上， ， 解得：， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、勾股定理，解决本题的关键是根据反比例函数的解析式把点的坐标表示出来，再根据三角形的面积公式列方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $