精品解析：青海省西宁市大通县第二中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷

大通县第二中学2025~2026学年第一学期期中质量检测 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若经过，两点的直线的倾斜角为45°，则等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2. 已知向量，，且，则x的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若方程表示圆，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 4. 已知一条入射光线经过两点，经轴反射后，则反射光线所在直线方程（ ） A. B. C. D. 5. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 内切 C. 相交 D. 外切 6. 已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（ ） A. B. C. D. 7. 在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，，，，是圆上的动点，且，点是线段的中点，则当取得最大值时，的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于直线，下列说法正确有（ ） A. 直线l过点 B. 直线l与直线垂直 C. 直线l的一个方向向量为 D. 原点到直线的距离为1 10. 圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，平面 B. 当时， C. 当时，长度的最小值为 D. 当时，存在点，使得与平面所成的角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两条平行直线与间的距离______________． 13. 若直线过原点，且直线的方向向量，则点到直线的距离为__________. 14. 圆与圆关于直线对称，则圆方程为____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 直线与直线相交于点P，直线l经过点P. （1）若直线，求直线l方程； （2）若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 16. 已知三点，记的外接圆为. （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，求的面积. 17. 如图在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值； （3）求的长． 18. 已知圆：，直线：，点． （1）判断直线与圆的位置关系； （2）设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程； （3）在（2）的条件下，若，求直线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，，，，平面． （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）若的面积为1，求直线与平面所成角的正弦值平方的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大通县第二中学2025~2026学年第一学期期中质量检测 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若经过，两点的直线的倾斜角为45°，则等于（ ） A 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的斜率公式，由题中条件列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为， 所以，解得. 故选：D. 2. 已知向量，，且，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以， 故选：A 3. 若方程表示圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般方程成立的条件求解． 【详解】若方程表示圆， 则， 整理得，解得． 故选：B． 4. 已知一条入射光线经过两点，经轴反射后，则反射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得关于轴的对称点，即可求解. 【详解】关于轴的对称点坐标分别为， 由对称性可知反射光线经过，， 所以反射光线所在直线方程为， 即. 故选：C 5. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 内切 C. 相交 D. 外切 【答案】D 【解析】 【分析】先求出两圆的圆心和半径，然后求出圆心距，再与两圆的半径和与差比较大小即可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 因为， 所以圆与圆外切． 故选：D． 6. 已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量法可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 7. 在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记的重心为，点是的中点，点是的中点，进而求得，利用空间向量加减、数乘的几何意义，将化为，数形结合求最小值. 【详解】记的重心为，点是的中点，点是的中点， 在正三棱锥中，所以， 平面，又平面，所以，则. 又， 所以 ， 所以当与重合时，取最小值0， 此时有最小值. 故选：C 8. 已知圆，，，，是圆上的动点，且，点是线段的中点，则当取得最大值时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的性质可得，即可根据两点距离得的轨迹为，根据相切，即可勾股定理求解. 【详解】连接，，因为点是线段的中点，所以， 又，所以，即. 设，则，即， 所以点在圆上， 所以当直线与圆相切时，取得最大值，此时. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于直线，下列说法正确的有（ ） A. 直线l过点 B. 直线l与直线垂直 C. 直线l的一个方向向量为 D. 原点到直线的距离为1 【答案】AB 【解析】 【分析】由直线方程易于判断A项；将其化成斜截式，易得其斜率，利用两直线垂直的充要条件易判断B项；利用直线的方向向量和斜率的关系即可判断C项；由点到直线的距离公式可判断D项. 【详解】对于A，直线显然经过点，故A正确； 对于B，由可得，直线的斜率为，而直线的斜率为1，故直线l与直线互相垂直，故B正确； 对于C，若直线l的一个方向向量为，则其斜率应该是，显然错误，故C错误； 对于D，由原点到直线的距离为，故D错误. 故选：AB. 10. 圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意可知圆心到直线的距离小于，建立不等式，求出的取值范围，从而得到结果. 【详解】圆上恰有四个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离等于， 则，解得. 显然. 故选：ABC 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，平面 B. 当时， C. 当时，长度的最小值为 D. 当时，存在点，使得与平面所成的角为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，确定点在线段上，得到可判断；对于B，确定平面，可判断；对于C，确定三点共线，线段在中，可得到点为中点时，最小，即可判断；对于D，由，结合，求得范围，即可判断. 【详解】 对于A，当时，，即点在线段上，则，又平面，平面，平面，A正确 对于B，平面，且平面，， ， 又平面，且相交，平面，又平面，，B正确 对于C，当时，，即，即三点共线，线段在中，因为，所以当点为中点时，最小，此时，，C错误 对于D，点在平面上的射影为点，所以与平面所成的角为，，又，所以，所以，又，所以，D错误 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两条平行直线与间的距离______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两平行线间距离公式计算． 【详解】由题意． 故答案为：． 13. 若直线过原点，且直线的方向向量，则点到直线的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用空间向量的方法计算点到直线的距离，已知点与点，首先求在直线上的投影向量为的模长，然后再利用勾股定理即可求出点到直线的距离. 【详解】设向量在直线上的投影向量为，则， 所以点到直线的距离. 故答案为：. 14. 圆与圆关于直线对称，则圆的方程为____． 【答案】 【解析】 【分析】求得圆的圆心，由此求得圆的方程. 【详解】设关于直线对称点， 则， 解得， 所以圆的方程为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 直线与直线相交于点P，直线l经过点P. （1）若直线，求直线l的方程； （2）若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）先求点坐标，由垂直关系得斜率后求解， （2）由题意得过原点或斜率为后求解 【小问1详解】 联立得即. 因为，不妨设直线l方程为， 将点代入，得， 所以直线l的方程为. 【小问2详解】 当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是，即； 当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为， 将点代入，得， 所以直线l的方程为，即. 综上所述，直线l的方程是或. 16. 已知三点，记的外接圆为. （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设圆的一般方程，借助待定系数法计算即可； （2）运用弦长公式计算弦长，再用点到直线距离公式求高，再求面积即可. 【小问1详解】 设的一般方程为， 由题意可知，解得， 所以，故的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，，半径.则圆心到直线的距离为， 所以，故的面积为. 17. 如图在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值； （3）求的长． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理证明垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求两直线的夹角余弦值；（3）根据空间坐标系中两点距离公式求解. 【小问1详解】 因正方体的棱长为1，所以，而是线段的中点，因此. 由勾股定理得，，，因是线段的中点，所以. 在直角三角形中，是其斜边上的中线，故. 由勾股定理得，. 因此，，故是直角三角形，其中，故. 【小问2详解】 以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则，，，. ，. 设直线与所成角，则 【小问3详解】 18. 已知圆：，直线：，点． （1）判断直线与圆的位置关系； （2）设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程； （3）在（2）的条件下，若，求直线的方程． 【答案】（1）相交 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出动直线经过的定点，判断定点和圆的位置关系即可； （2）连接圆心和弦的中点，利用垂径定理找出几何关系来解决； （3）联立直线和圆的方程，利用韦达定理来解决. 【小问1详解】 因为直线：过定点， 又，所以在圆内， 所以直线与圆相交； 【小问2详解】 设，当与不重合，即时，连接，，则，根据勾股定理．则，化简得：（）；当与重合时，，也满足上式，故弦的中点的轨迹方程为； 【小问3详解】 设，，因为，所以， 所以，化简得． ① 又消去并整理得， 所以②，． ③ 由①②③联立，解得， 所以直线的方程为或． 19. 如图，在四棱锥中，，，，平面． （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）若的面积为1，求直线与平面所成角的正弦值平方的最小值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，先证明，再结合题意，可证平面，进而可证平面平面； （2）作，垂足为H，连接，根据面面垂直性质可得平面，结合锥体的体积公式，可得四棱锥的体积，再结合不等式求得和的最大值，即可求解； （3）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，设以垂直于的直线为轴，为终边的角为，可得，再结合空间直线与平面所成角的计算公式，代入计算，结合三角函数的计算，即可求得其最小值. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 又，且与相交于点，平面，所以平面， 又平面，故平面平面． 【小问2详解】 如图，在中，作，垂足为H，连接， 因为平面平面，平面与平面相交于，平面， 所以平面， 因平面，平面， 所以，所以， 所以， 当且仅当时取等号， 因为，所以． 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当取等号，所以． 又，所以． 所以四棱锥的体积， 即四棱锥体积的最大值为． 【小问3详解】 取的中点，以为原点，为轴，过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由（1）知平面， 又平面，所以． 因为，所以， 因为，，所以，， 所以，所以，故， 设的中点为， 因为，，所以，，， 设以轴的正半轴为始边，以为终边的角为，则，， 所以． 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则 （其中）， 所以当，即时，有最小值，最小值为． 即， 所以直线与平面所成角的正弦值平方的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $