精品解析：福建省福州市连江县2025-2026学年上学期八年级上册数学期中试卷

2025-2026学年第一学期八年级期中适应性测试 数学试卷 （全卷共8页；满分：150分；完卷时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡规定位置上，答在本试卷上的一律无效！ 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意， B、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意， C、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意， D、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意， 故选：D 2. 如图，人字梯中间设计拉杆来固定，这样做的几何原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 垂线段最短 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，可以构造一个三角形，根据三角形具有稳定性可以增加使用梯子时的安全性，因此这样做的几何原理是三角形的稳定性． 故选：D． 3. 已知三角形的两边长分别为3和6，则第三边长可能是（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，通过不等式确定第三边范围是解题关键．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求出第三边的取值范围，再判断选项． 【详解】解：设第三边长为x， 则，即， 选项中，只有6满足条件， 故选：B． 4. 如图，在中，，，垂足为H，那么与互余的角有（ ） A. B. C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查余角的定义，利用余角的定义解题即可，解题的关键是掌握和为的两个角互为余角． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与互余的角有和， 故选D． 5. 小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（ ）去． A. 第①块 B. 第②块 C. 第③块 D. 第④块 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理“角边角”，根据三角形全等的判定定理，分析哪一块玻璃能提供足够的条件确定原三角形的形状和大小，从而选出正确选项． 【详解】解：由图可知，带第③块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故选：C． 6. 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．通过探究一个四边形、五边形、六边形的三角剖分成的三角形个数与边数的关系，试猜想将一个n边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是（ ） A. n B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的特征与性质，通过探究四边形、五边形、六边形的三角剖分，分别得到2、3、4个三角形，发现三角形个数与边数n的关系为． 【详解】解：∵四边形三角剖分得2个三角形（即），五边形得3个三角形（即），六边形得4个三角形（即）， ∴对于n边形，三角剖分得的三角形个数为． 故选：C． 7. 已知点与关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标系中关于y轴对称的点的坐标性质，牢记“横相反，纵相同”即可快速求解．根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等，直接计算即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴横坐标互为相反数，即，纵坐标相等，即， ∴， 故选：A． 8. 公园内三条小路两两相交，交点分别为点A，B，C，若要在区域内修建一座到三条小路的距离相等的凉亭，则凉亭的位置应建在（ ） A. 的三条高线的交点 B. 的三条角平分线的交点 C. 的三条中线的交点 D. 的三边垂直平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质作图即可解答． 【详解】解：如图，分别作，和的角平分线，交于点P， 由角平分线的性质可知，点P到3条小路的距离相等． 故选：B． 9. 如图，的中线，相交于点G，若的面积为30，则四边形的面积是（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的面积，理解等底等高的两个三角形面积相等，等高的两个三角形面积之比等于对应底边的比是解决问题的关键．连接，在的延长线上截取，连接，，则，证明四边形是平行四边形得，由此得是的中位线，则，进而得，设，，根据，得，，，进而得，则，再根据得，据此可得四边形的面积． 【详解】解：如图，连接，在的延长线上截取，连接，， 则， 在的中线，相交于点G， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴是的中位线， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相同， ∴， 设，， ∴， ∵，边上的高与的边上的高相同， ∴， 同理：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的面积为30， ∴，解得：， ∴， 即四边形的面积是10． 故选：B． 10. 如图，把长方形纸片沿折叠，点C落到点E处，与相交于点F，连接，则下列结论中错误是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的折叠变换及其性质，矩形的性质，平行线的判定及全等三角形的判定与性质．根据已知条件及每个选项的结论进行逐一分析判断即可选出答案． 详解】解：A项：假设， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 在长方形中， ∴， ∴， ∴， 依题意得：不一定等于， ∵假设是错误的， ∴该选项错误，符合题意； B项：在长方形中，， ∴， ∴， ∴该选项正确，不符合题意； C项：在长方形中，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴该选项正确，不符合题意； D项：∵是和的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该选项正确，不符合题意． 故选：A． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，在中，，，点O在边的延长线上，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及其推论．由是的外角，，，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 12. 若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角的度数为__________． 【答案】100 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角的度数为， ∴这个等腰三角形的另一个底角的度数为， ∴等腰三角形的顶角的度数为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的关键． 13. 如图，是的平分线，，垂足为，若，为上一动点，则的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】过点作，由角平分线的性质可得，进而可得出结论． 【详解】解：如图，过点作于点E，如图所示： 是的平分线，点在上，且，， ， 又， ， 为上一动点， 的最小值为的长5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，要熟练掌握角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键． 14. 如图，，添加一个条件能证得，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法进行求解即可． 【详解】解：∵，，添加， ∴； ∵，，添加， ∴； ∵，，添加， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 BD=CE，AD 与 BE相交于点 P，则∠APE 的度数为___________． 【答案】60 【解析】 【分析】根据题干条件：AB=BC，BD=CE，∠ABD=∠C可以判定△ABD≌△BCE，即可得到∠BAD=∠CBE，又知∠APE=∠ABP+∠BAP，故知∠APE=∠ABP+∠CBE=∠ABC，于是可求． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°． 在△ABD和△BCE中， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠DBE． ∵∠APE=∠ABP+∠BAP， ∴∠APE=∠ABP+∠DBE． 即∠APE=∠ABD． ∴∠APE=60°． 故答案是：60°． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是能证明△ABD≌△BCE． 16. 如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点D作直线分别交，于点E，F，且，若，，，则的周长为__________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边三角形的判定与性质．连接，过点D作于点H，于点K，于点P，根据角平分线性质得，由此可依据“”证明，得，设，则，同理证明，，同理证明，，进而得，则是等边三角形，由此得，，同理证明，得，根据得，由此解得，在中，根据得，则，据此即可得出的周长． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点H，于点K，于点P， ∴，，， ∵和的平分线相交于点D， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 同理证明：， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 同理证明：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴的周长为：． 故答案为：24． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．求和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角的性质，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，外角的性质进行解答即可． 【详解】解：∵在中，是高， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵在中， ，是角平分线， ∴，， ∴， ∴． 18. 如图， ，，，垂足分别为，，．求证． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先通过等量代换得出，然后利用证明，则结论可证． 本题主要考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握证明是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，，的顶点都在网格线的交点上，在图中建立平面直角坐标系，使与关于y轴对称，且点C的坐标为． （1）在图中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标； （2）画出关于轴对称的图形，其中点的对称点是，点的对称点是，并写出点的坐标； （3）观察两次对称变换后点A与点坐标之间的关系，若内任意一点P的坐标为，则点P在中的对应点的坐标是__________． 【答案】（1）作图见详解，点 （2）作图见详解，点 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）根据点C的坐标全等平面直角坐标系即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）观察可得P，关于原点对称，即可求得的坐标． 【小问1详解】 解：平面直角坐标系如图所示，点． 【小问2详解】 解：如图所示，点． 【小问3详解】 解：由题意得，点P，关于原点对称，点的坐标是． 故答案为：． 20. 如图，海岸线l上有两个的观察点A，B，点B在点A的正东方向，，从观察点A，B望海岛C，测得海岛C分别在点A的北偏东和点B的北偏东的方向上，求海岛C到A，B观察点所在海岸线l的距离． 【答案】海岛C到海岸线l的距离为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角的问题，过C作交延长线于D，根据三角形的外角性质求出，再根据等腰三角形的性质求出，并通过解直角三角形的应用得到答案． 【详解】解：如图，过C作交延长线于D， ∴， 根据题意得，，，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 即海岛C到海岸线l的距离为． 21. 求证：等腰三角形两底角的平分线相等． （要求：请结合图形补全求证内容，并写出证明过程） 已知：如图，在中，，，是分别和的平分线． 求证：__________． 证明： 【答案】，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义及全等三角形的判定与性质．由于，，分别是，的角平分线，利用等边对等角，角平分线定义，可得，，而，利用“”可证，再利用全等三角形的性质可证． 【详解】解：求证：． 证明：∵， ∴， ∵，分别是，角平分线， ∴，， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，点O是边延长线上一点． （1）①过点C作直线，②过点C作，交于点E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，在线段延长线上取一点F，使，连接，求证：． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-作已知点的平行线及垂线，平行线的判定及等腰三角形的性质． （1）结合平行线的判定，在的右侧作，作直线即可；根据垂线的作图方法作即可； （2）由等腰三角形的性质得，由题意知垂直平分线段，可得，则，结合平行线的判定可知． 【小问1详解】 解：如图，直线，即为所求： 【小问2详解】 证明：由（1）得：，， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∴． 23. 在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，这些问题就是利用轴对称、平移等相关知识确定最短路径，建立数学模型，并运用数学模型解决最短路径问题． 【理解模型】 （1）如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 下面给出的画图和证明方法，请你补全证明过程所缺的内容或理由： 如图2，画点B关于直线l的对称点，连接，与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短． 证明：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，根据轴对称性质，得， ① ， ∴，， ∵（ ② ） ∴，即最短路径． 【应用模型】 （2）如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路，，步道与小路，的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处，才能使所建的步道总长度最短？请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线． （要求：保留画图痕迹，写出结论） 【迁移延伸】 （3）如图5，某景区内有一块三角形草坪，，，，，点D为边的中点，小明从A点出发，先到边上某一点E，再到D点，最后回到A点，如何确定上点E的位置，才能使所走的路径最短？并求出最短路径的长． 【答案】（1）①，②两点之间，线段最短，（2）作图见解析，（3）作图见解析，最短路径的长为 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形的三边关系，最短路径问题的转化思想及垂直平分线的性质． （1）因为点B与关于直线l对称，所以直线l是的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得，；在中，根据三角形两边的和大于第三边，有，据此数学依据填空即可； （2）分别过点A作关于小路和小路的对称点，，连接，此时与小路和小路的交点分别为C和D，依次连接，和，此时点C，D即为所确定的点，步道总长度即为所建的最短路线； （3）画点A关于的对称点，连接，交于点E，则点E为所确定的点，此时所走的路径最短．根据三角形内角和定理求得的度数，再通过含特殊直角三角形的性质求得，根据已知条件推出，利用轴对称的性质推出，，利用“”证明得出，最后通过已知条件进而推出的长度即可． 【详解】解：（1）①在直线l上另取任一点，连接，，，根据轴对称性质，得，. ②由可知，用到的数学依据为三角形两边的和大于第三边． 故答案为：，三角形两边的和大于第三边． （2）如图所示，点C，D即为所确定的点． ∴此时步道总长度即为所建的最短路线． （3）如图所示，画点A关于的对称点，连接，交于点E，则点E为所确定的点，此时所走的路径最短． ∵在中，， ∴， ∴在中，， ∵点D为边的中点，即， ∴， ∵点A，关于的对称， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 即最短路径的长为． 24. 如图1，在中，，，平分交于点D，，且，与相交于点O，过E作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，，且，如图2． ①求证：是等腰直角三角形； ②求的面积． 【答案】（1）证明见详解 （2）①证明见详解，② 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理等知识点． （1）先根据三角形内角和定理得出，再利用“”证明即可； （2）①根据全等三角形的性质得出，，再根据线段的和差关系得出，最后由已知即可证明出是等腰直角三角形； ②分别延长，交于点M，由已知条件得出，再由平分，得出，进而得出，利用“”证明，得出，，再利用“”证明得出，进而求得三角形的面积． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：①证明：由（1）得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形． ②如图，分别延长，交于点M， 由①得，是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 25. 已知，在中，，，，垂足为D，点E在边上，以线段为边作等边三角形（点F在边左侧）． （1）当线段平分时，如图1．求证：垂直平分线段； （2）当点E为线段的中点时，若点K为线段的中点，连接，，，如图2．求证：； （3）当点E在线段上，且时，若点H为线段中点连接，并延长交于点G，如图3．求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得到平分，再结合平分求出的度数，然后根据等边三角形的性质得到的度数，进而求出的度数，最后根据线段垂直平分线的判定证明垂直平分； （2）先根据等腰三角形三线合一的性质得到平分，再结合已知条件求出、、的度数，然后根据直角三角形的性质得到与的关系，再通过全等三角形的判定与性质得到与的关系，进而证明； （3）在上截取，连接，，结合已知条件求得、、的度数，证明出和是等边三角形，然后通过全等三角形的判定与性质得到，再根据等腰三角形的性质等角对等边得到，进而得到和的关系． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴，，， ∵线段平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴垂直平分线段． 【小问2详解】 证明：由（1）知，，，， ∴在中，， ∵点K为边的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E是中点 ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即． 【小问3详解】 证明：如图，在上截取，连接，， ∵点H为中点， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期八年级期中适应性测试 数学试卷 （全卷共8页；满分：150分；完卷时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡规定位置上，答在本试卷上的一律无效！ 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，人字梯中间设计拉杆来固定，这样做几何原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 垂线段最短 D. 三角形的稳定性 3. 已知三角形两边长分别为3和6，则第三边长可能是（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 2 4. 如图，在中，，，垂足为H，那么与互余的角有（ ） A B. C. 和 D. 和 5. 小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（ ）去． A. 第①块 B. 第②块 C. 第③块 D. 第④块 6. 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．通过探究一个四边形、五边形、六边形的三角剖分成的三角形个数与边数的关系，试猜想将一个n边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是（ ） A. n B. C. D. 7. 已知点与关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 公园内三条小路两两相交，交点分别为点A，B，C，若要在区域内修建一座到三条小路的距离相等的凉亭，则凉亭的位置应建在（ ） A. 的三条高线的交点 B. 的三条角平分线的交点 C. 的三条中线的交点 D. 的三边垂直平分线的交点 9. 如图，的中线，相交于点G，若的面积为30，则四边形的面积是（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 10. 如图，把长方形纸片沿折叠，点C落到点E处，与相交于点F，连接，则下列结论中错误是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，在中，，，点O在边的延长线上，则的度数是__________． 12. 若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角的度数为__________． 13. 如图，是的平分线，，垂足为，若，为上一动点，则的最小值为______． 14. 如图，，添加一个条件能证得，这个条件可以是______（写出一个即可）． 15. 如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 BD=CE，AD 与 BE相交于点 P，则∠APE 的度数为___________． 16. 如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点D作直线分别交，于点E，F，且，若，，，则的周长为__________． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．求和的度数． 18. 如图， ，，，垂足分别为，，．求证． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，，的顶点都在网格线的交点上，在图中建立平面直角坐标系，使与关于y轴对称，且点C的坐标为． （1）在图中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标； （2）画出关于轴对称的图形，其中点的对称点是，点的对称点是，并写出点的坐标； （3）观察两次对称变换后点A与点坐标之间的关系，若内任意一点P的坐标为，则点P在中的对应点的坐标是__________． 20. 如图，海岸线l上有两个的观察点A，B，点B在点A的正东方向，，从观察点A，B望海岛C，测得海岛C分别在点A的北偏东和点B的北偏东的方向上，求海岛C到A，B观察点所在海岸线l的距离． 21. 求证：等腰三角形两底角的平分线相等． （要求：请结合图形补全求证内容，并写出证明过程） 已知：如图，在中，，，是分别和的平分线． 求证：__________． 证明： 22. 如图，在中，，点O是边延长线上一点． （1）①过点C作直线，②过点C作，交于点E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，在线段延长线上取一点F，使，连接，求证：． 23. 在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，这些问题就是利用轴对称、平移等相关知识确定最短路径，建立数学模型，并运用数学模型解决最短路径问题． 【理解模型】 （1）如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 下面给出的画图和证明方法，请你补全证明过程所缺的内容或理由： 如图2，画点B关于直线l对称点，连接，与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短． 证明：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，根据轴对称性质，得， ① ， ∴，， ∵（ ② ） ∴，即最短路径． 【应用模型】 （2）如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路，，步道与小路，的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处，才能使所建的步道总长度最短？请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线． （要求：保留画图痕迹，写出结论） 【迁移延伸】 （3）如图5，某景区内有一块三角形草坪，，，，，点D为边的中点，小明从A点出发，先到边上某一点E，再到D点，最后回到A点，如何确定上点E的位置，才能使所走的路径最短？并求出最短路径的长． 24. 如图1，在中，，，平分交于点D，，且，与相交于点O，过E作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，，且，如图2． ①求证：是等腰直角三角形； ②求的面积． 25. 已知，在中，，，，垂足为D，点E在边上，以线段为边作等边三角形（点F在边的左侧）． （1）当线段平分时，如图1．求证：垂直平分线段； （2）当点E为线段的中点时，若点K为线段的中点，连接，，，如图2．求证：； （3）当点E在线段上，且时，若点H为线段的中点连接，并延长交于点G，如图3．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $