精品解析：安徽省江淮名校2025-2026学年高二上学期期中阶段检测数学试题

2025~2026学年高二年级上学期阶段检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范国：人教A版选择性必修第一册第一章一第三章第1节3.1.1. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角的定义求解即可. 【详解】由于直线与轴平行，所以倾斜角为. 故选：D. 2. 若椭圆上一点与焦点的距离为1，则点与另一个焦点的距离是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，且， 又由椭圆的定义，可得，所以， 所以点与另一个焦点的距离是. 故选：A. 3. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. 12 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量共线的充要条件列式求得，，即得. 【详解】由向量，共线， 故存在，使得，即， 解得，，所以． 故选：C． 4. 若圆与圆外切，则为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 1或5 【答案】A 【解析】 【分析】由两圆外切得圆心距等于两圆半径之和，列方程，求出. 【详解】圆的圆心和半径分别为. 圆的标准方程为，其圆心和半径分别为. 由两圆外切，得，所以，解得. 故选：A. 5. 已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】通过直线的方向向量与平面的法向量的关系，判断直线与平面的位置关系 【详解】因为，， 所以，所以或． 故选：D． 6. 已知是坐标原点，若圆上有2个点到的距离为2，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出到原点的距离为2的轨迹方程，再由题意可知圆与圆有两个公共点，利用圆与圆的位置关系即可求得实数的取值范围. 【详解】将圆的方程化为标准方程得，所以. 到原点的距离为2的轨迹方程为， 因为圆上有2个点到的距离为2，所以圆与圆相交， 所以，又， 解得，即实数的取值范围为. 故选：A. 7. 已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理得点M在平面ABC内，当平面ABC时，最小，利用勾股定理求解即可. 【详解】因为，， 所以，所以， 因为，不共线，所以，，共面，所以点M在平面ABC内， 所以当平面ABC时，最小，如图，取BC的中点D，连接AD， 则点M在AD上，且， 所以，即的最小值为. 故选：B 8. 已知点，直线，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点间距离公式由得到点的轨迹方程，再利用圆心到直线的距离小于或等于半径可得. 【详解】设点， 因为，所以， 整理得点的轨迹方程为， 根据题意可得直线与点的轨迹有公共点， 所以，即，解得． 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆方程特征得出关系式，解不等式即可. 【详解】焦点在x轴上，则标准方程中，解得或． 又，，得，所以或． 故选:BC． 10. 已知O为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于A，B两点，若的面积为2，则直线在x轴上的截距可以是（ ） A. B. C. -2 D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用截距式方程，由点在直线上，及三角形面积公式列式求解即可. 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线的方程为， 其中a，b分别为在x轴，y轴上的截距，，， 又点在直线上，所以， 又的面积为2，所以，即或． 当时，，即，解得或； 当时，，即，解得． 故选：ABC． 11. 如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线所成角的余弦值为 C. D. 若四点共面，则点是线段的中点 【答案】BCD 【解析】 【分析】用基底表示，再结合数量积计算即可求解判断A；由基底法和向量夹角余弦公式计算，再结合异面直线所成角定义即可求解判断B；由基底法计算即可判断C；用基底表示，由共面定理求出即可得解. 【详解】因为， 所以， 取FC中点为M，因为点是三角形的重心， 所以， 所以 ， 所以， 所以 ，所以，故A错误； 因为，所以异面直线所成角即为所成角， 因为， 所以， 所以所成角即异面直线所成角的余弦值为，故B正确； 因为 ， 所以，即，故C正确； ， 因为四点共面，所以， 所以，所以点是线段的中点，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用方程表示圆的充要条件，列式求解即得. 【详解】依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 13. 若直线过原点，且直线的方向向量，则点到直线的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用空间向量的方法计算点到直线的距离，已知点与点，首先求在直线上的投影向量为的模长，然后再利用勾股定理即可求出点到直线的距离. 【详解】设向量在直线上的投影向量为，则， 所以点到直线的距离. 故答案为：. 14. 已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将代数式转化为，记，进而将问题转化为求的最小值，数形结合即可. 【详解】， 记，则原代数式表示， 作点关于直线的对称点，则， 所以，当三点共线时等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5 四､解答题：本题共小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）直线的方程为，利用平行线间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 易知直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以，直线的方程为，即. 【小问2详解】 直线，设直线的方程为， 因为直线与直线之间的距离为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 因此直线的方程为或. 16. 已知圆，直线l过点. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程; （2）设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分直线斜率是否存在两种情况讨论可求切线的方程； （2）设点，可得，利用点B在圆C上运动，可求点M的轨迹方程. 【小问1详解】 已知圆C的圆心是，半径是2， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意; 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心O到直线l的距离为=2，解得，故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. 【小问2详解】 设点，则由点M是线段AB的中点得，所以①， 因为点B在圆C上运动，所以②，将①代入②得， 化简得点M的轨迹方程是. 17. 如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点. （1）求的长； （2）证明：. 【答案】（1）； （2） 由（1）知， 在菱形中，， 所以 ， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）由，根据已知及向量数量积的运算律求向量的模长； （2）由（1）及，应用向量数量积的运算律求，即可证. 【小问1详解】 以为一个基底， 由题意知， 又， 所以 ， 所以； 【小问2详解】 略 18. 如图，在四棱锥中，底面，⊥，，，，，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明如下： ∵底面，底面， ∴， ∵⊥，平面， ∴平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 由为棱的中点，得， ∴，， ∴，， ∵平面， ∴平面； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由底面，得到，结合⊥得到线面垂直，建立空间直角坐标系，为平面的一个法向量，计算出，得到线面平行； （2）求出平面的法向量，计算出，得到线面角的正弦值； （3）利用两平面的法向量，得到两法向量的夹角余弦值，进而求出面面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，设平面的法向量为， 则，令得，取， 又，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 又平面的法向量， ， 所以平面与平面所成角的正弦值为 19. 设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】（1） （2） （3） 设直线的方程为， 由得，， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令，解得，即直线过定点． 【解析】 【分析】（1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组，解得，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交. 又， 则，解得. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年高二年级上学期阶段检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范国：人教A版选择性必修第一册第一章一第三章第1节3.1.1. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 2. 若椭圆上一点与焦点的距离为1，则点与另一个焦点的距离是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. 12 B. 9 C. D. 4. 若圆与圆外切，则为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 1或5 5. 已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知是坐标原点，若圆上有2个点到的距离为2，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 已知点，直线，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知O为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于A，B两点，若的面积为2，则直线在x轴上的截距可以是（ ） A. B. C. -2 D. 2 11. 如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线所成角的余弦值为 C. D. 若四点共面，则点是线段的中点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆，则的取值范围为______. 13. 若直线过原点，且直线的方向向量，则点到直线的距离为__________. 14. 已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 四､解答题：本题共小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 16. 已知圆，直线l过点. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程; （2）设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 17. 如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点. （1）求的长； （2）证明：. 18. 如图，在四棱锥中，底面，⊥，，，，，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的正弦值． 19. 设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $