第五章二元一次方程组测试题 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2025-2026学年北师大版八年级上册数学第五章 二元一次方程组测试题 考试时间：120分 试题满分：120分 姓名： 考号： 总分： 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知方程，用含x的式子表示y，可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列哪一组x，y的值不是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．2 5．（本题3分）解方程组①和②，采用较为简单的解法应为（   ） A．均用代入法 B．①用代入法，②用加减法 C．均用加减法 D．①用加减法，②用代入法 6．（本题3分）若直线与直线平行，且截距为6，则直线与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）已知一次函数与的图象交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 9．（本题3分）手工课上，同学们用丝带和贴纸装饰书签、两种装饰材料一共准备了42件（丝带按“根”算，贴纸按“张”算），每制作一张书签需要2根丝带和1张贴纸（固定搭配），最后所有丝带和贴纸刚好全部用完，没有剩余．设所用丝带总数为x根，贴纸总数为y张，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问1个大容器、1个小容器的容量各是多少斛？设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）写出一个二元一次方程，使它的解是这个方程可以是 ． 12．（本题3分）方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 13．（本题3分）若与互为相反数，则 ． 14．（本题3分）已知关于，的方程组的解满足，则 ． 15．（本题3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则一次函数与的图象的交点坐标是 ． 16．（本题3分）某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的总利润为780万元．小明列出二元一次方程组刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的x表示的未知量为 ，y表示的未知量为 ． 17．（本题3分）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为 ． 18．（本题3分）如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 三、解答题（共56分） 19．（本题8分）解方程组： (1)； (2)． 20．（本题8分）若关于，的方程组与方程组的解相同，求： (1)两个方程组的相同解； (2)的值． 21．（本题8分）已知一次函数的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的关系式； (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上并说明理由． 22．（本题8分）阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值． 23．（本题8分）下面是两位同学解方程组的做法， 芊芊的做法如下： 由方程①得③ 将方程③代入②得 解得 把代入③ ∴方程组的解为 浩浩的做法如下： 由①×2得③ 由②＋③得 解得 把代入①得 ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题． (1)芊芊的消元方法是 ；浩浩的消元方法是 ． (2)判断 （选填“芊芊”或“浩浩”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 24．（本题8分）《哪吒之魔童闹海》上映以来，精彩的剧情与震撼的视觉效果彰显了中国动画电影产业的崛起与文化自信，掀起了一股观影热潮．电影院为了创收，分两次购进了电影周边产品，哪吒和敖丙手办进行售卖，第一次购入哪吒手办25个，敖丙手办10个共花费650元，第二次以相同的进价购入哪吒手办40个，敖丙手办20个共花费1100元． (1)求每个哪吒和每个敖丙手办进价各多少元？ (2)电影院为了解这两款手办的销售情况，对每天的销售进行记录，周一卖了6个哪吒手办，5个敖丙手办，销售收入记录为305元，经核实记录正确；周二以相同的售价出售了哪吒手办12个，敖丙手办10个，销售收入记录为620元，你认为周二的销售收入记录正确吗？如正确，请说明理由；若不正确，请你计算出正确的销售额． 25．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点，与x轴交于点，点P是直线上的一个动点，且不与点O重合，连接． (1)求直线l的表达式： (2)若的面积为，求点P的坐标； (3)探究是否存在点P，使得?若存在，请求出此时点P的纵坐标；若不存在，请说明理由． 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C C B D A B B A 1．C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个一次方程组成，且含有两个未知数的整式方程叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：由二元一次方程组的定义可知，只有C选项中的方程组是二元一次方程组， 故选：C． 2．C 【分析】本题考查用含的式子表示，需要通过移项和系数化为1来求解，正确移项是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴（移项）， ∴（两边同时除以4）， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程的解需使方程左右两边相等，因此将每组、的值代入方程验证即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、当，时，，故A是方程的解，不符合题意； B、当，时，，故B是方程的解，不符合题意； C、当，时，，故C不是方程的解，符合题意； D、当，时，，故D是方程的解，不符合题意； 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了加减消元法，通过解方程组求出的值，再代入中求解即可． 【详解】解：，得： ； 解得：； ∵的解也是方程的解， ∴， ∴， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了解二元一次方程组的两种方法，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． 根据方程组系数的特点选择解法：当有一个方程直接表示一个变量时，代入法简单；当相同未知数的系数互为相反数时，加减法简单． 【详解】解：对于方程组①： ∵ 第一个方程中x的系数为1，且直接表示为， ∴ 采用代入法较为简单； 对于方程组②： ∵ 两方程中y的系数分别为9和，互为相反数， ∴ 采用加减法可直接消去y，较为简单， 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，熟悉掌握一次函数的图象性质是解题的关键．根据两直线平行和截距的长度得到，再把代入运算即可． 【详解】∵， ∴， 又∵截距为6，即， ∴； 令，得， ∴， ∴交点坐标为 ， 故选：D． 7．A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组与一次函数之间的关系，两个一次函数的图象交点的横纵坐标即为两个一次函数解析式联立得到的二元一次方程组的解，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴关于x、y的二元一次方程组的解为， 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题． 由于两个方程组有相同的解，可先由两个不含参数的方程联立解出公共解和，再代入含参数的方程求出和，进而计算． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴可得方程组：， ， 解得：， 将，代入得：， 解得：， ∴， 故选：B． 9．B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并正确列方程组是解题关键．根据丝带和贴纸的总件数以及每张书签的固定用料关系列方程组即可． 【详解】解：设所用丝带总数为x根，贴纸总数为y张， 由题意得：， 故选：B． 10．A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据题意，利用不同数量的大容器和小容器的总容量，分别列出两个方程，从而得到方程组． 【详解】解：设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积为y斛，则根据题意可列方程组为： ， 故选：A． 11．（答案不唯一） 【分析】本题考查了对二元一次方程的解，根据二元一次方程的解，构造一个以，为解的方程即可． 【详解】解：设二元一次方程为，其中，，为常数，且和不为0． 将，代入，得． 取，，则， 因此方程可为． 经验证，当，时，成立． 故答案为（答案不唯一）． 12． 或 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程叫二元一次方程，根据定义可得：，，，求出、，即可解答． 【详解】解：方程是关于x，y的二元一次方程， ，，， 解得，， 或． 故答案为：或． 13． 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值非负性，解二元一次方程组，根据题意得，所以，然后求出，再代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 14． 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，先把第二个方程和重组方程组，然后利用加减消元法求出，的值，再代入原方程组中的第一个方程求解即可得到的值．先重组方程组求出，的值是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的方程组的解满足， ∴方程组的解也满足， 解方程组得：， ∴， 解得：． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了“一次函数图象与二元一次方程组的关系”，正确理解二元一次方程组的解与一次函数的交点之间的关系是解题关键． 根据解，可以通过得到x的值，再由二元一次方程组，可得方程组的解就是这俩个一次函数的图象的交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． ∴二元一次方程组即的解为 ∴一次函数与的交点坐标为． 故答案为： ． 16． 去年的总收入为x万元 去年的总支出为y万元 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列出相应的方程组．分析方程组可得方程组中的，表示的未知量分别为：去年的总收入为万元、总支出为万元，根据去年的利润（总收入总支出）为200万元，今年的利润为780万元，即可列方程组． 【详解】解：设去年的总收入为万元、总支出为万元， 由题意得，， 故答案为：去年的总收入为x万元，去年的总支出为y万元 17．34 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个小长方形的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组，求出每个小长方形的长与宽，再表示出阴影部分的面积，代入计算即可得解，理解题意，正确求出每个小长方形的长与宽是解此题的关键． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 即阴影部分的面积之和为， 故答案为：34． 18． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），利用“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”解决问题． 【详解】解：∵点为函数与函数的图象的交点， ∴方程组的解为， 故答案为：． 19．(1)原方程组的解为 (2)原方程组的解为 【分析】本题考查二元一次方程组的代入消元法，运用消元思想，易错点是代入或求解过程中符号、系数计算错误；解题思路是对于每个方程组，先从一个方程中解出一个未知数的表达式，再代入另一个方程消去该未知数，进而求解两个未知数． 【详解】（1）解：由①得③； 把③代入②，得， 解得； 把代入③，得； 所以原方程组的解为． （2）由①得③ 把③代入②，得， 解得 把代入③，得， 所以原方程组的解为． 20．(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，代数式求值，熟练掌握解二元一次方程组方法是解题关键． （1）由题意得出并解出即可； （2）把代入方程组求出，代入计算即可． 【详解】（1）解：与的解相同， ， 解得， 两个方程组的相同解为． （2）解：把代入方程组， 得， 解得， ． 21．(1) (2) 点在一次函数的图象上，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法，将点，代入一次函数，解方程组求和即可； （2）将点的横坐标代入函数解析式，计算值，与点的纵坐标比较即可判断． 【详解】（1）解：设一次函数关系式为， 把，代入得： ，解得， 这个一次函数的关系式为； （2）解：点在一次函数的图象上，理由如下： 当时，， 点在一次函数的图象上． 22．，，． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，代数式求值，分别把方程组的解代入没有看错的方程中，即可求出的值，然后再把的值代入代数式中计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：将代入方程组中的得：，解得， 将代入方程组中的得：，解得， 当，时， ∴ ． 23．(1)代入消元法；加减消元法 (2)浩浩；，见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）由加减消元法和代入消元法的步骤判断即可； （2）浩浩的做法中，由①2得③，错了．由加减消元法和代入消元法的步骤分别求解即可． 【详解】（1）解：芊芊的消元方法是代入消元法；浩浩的消元方法是加减消元法． 故答案为：代入消元法，加减消元法． （2）解：浩浩. 正确解答如下： 由①2得③． 由②③得． 解得． 把代入①得． 方程组的解为． 24．(1)每个哪吒手办进价为20元，每个敖丙手办进价为15元 (2)周二的销售收入记录不正确，正确的销售额为610元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及代数式求值，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设每个哪吒手办进价为元，每个敖丙手办进价为元，根据第一次购入哪吒手办25个，敖丙手办10个共花费650元，第二次以相同的进价购入哪吒手办40个，敖丙手办20个共花费1100元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设每个哪吒手办的售价为元，每个敖丙手办的售价为元，根据题意得：，即可解决问题． 【详解】（1）解：设每个哪吒手办进价为元，每个敖丙手办进价为元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个哪吒手办进价为20元，每个敖丙手办进价为15元； （2）解：设每个哪吒手办的售价为元，每个敖丙手办的售价为元， 根据题意得：， 元元， ∴周二的销售收入记录不正确，正确的销售额为610元． 答：周二的销售收入记录不正确，正确的销售额为610元． 25．(1) (2)点P的坐标为或 (3)存在；点P的纵坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）求出直线与的交点，可判定这两直线垂直，再设，由面积关系求得，再由建立方程即可求解； （3）在上取点D，使，连接，过点D作于点E，则，由，则，由（2）知，得，通过计算知，利用面积关系得，从而求得；设，则，从而得，解方程求得a，从而求解． 【详解】（1）解：把，分别代入中，得， 解得：， ∴直线l的表达式为： （2）解：设直线l与直线交于点C，如图， 联立与，即， 解得：， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，而， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或； （3）解：存在点P，使得； 如图，在上取点D，使，连接，过点D作于点E， ∵由（2）知，又， ∴， ∴， ∵， ∴， 即平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 设，则， ∴， 解方程得或， 则或， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，求两直线的交点，勾股定理，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质是解题的关键． 第2页，共13页 第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $