第五章一元一次方程单元测试 2025-2026学年北师大版七年级数学上册

2025-2026学年北师大版七年级数学上册第五章 一元一次方程 单元测试 考试时间：120分 试题满分：120分 姓名： 考号： 总分： 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列运用等式的性质，变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（本题3分）若是关于的方程的解，则（   ） A． B． C．3 D． 4．（本题3分）已知关于x的方程与的解相同，则a的值为（   ） A． B．3 C．8 D．15 5．（本题3分）一件工作，甲独做8小时完成，乙独做12小时完成，现由甲先做2小时，余下部分由乙独做，又做了x小时完成，用方程表示为（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）李老师有一包糖果，若分给n个学生，则每个学生分x颗；若分给个学生，则每个学生分4颗，还剩2颗，则x的值可能是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（本题3分）定义一种运算：，若，则x的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 8．（本题3分）小明在自学了简单的电脑编程后，设计了如图的程序.若一次性输出的数是，则执行了程序后，输入的结果是（    ） A． B． C．或 D．或 9．（本题3分）几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下5棵树苗未种：如果每人种11棵，则缺3棵树苗，若设种树的人数为人，则依题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图是某月的月历，用形如“十”字框任意框出5个数，这5个数的和不可能是（   ） A．125 B．110 C．95 D．60 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）已知是关于的一元一次方程，则 ． 12．（本题3分）若，则 ． 13．（本题3分）若与互为相反数，则m的值为 ． 14．（本题3分）已知数轴上点、所表示的数分别是，若、两点之间的距离是6，则的值是 ． 15．（本题3分）如图，将正方形纸片剪去一张宽为的长方形纸条，再将剩下的纸片剪去一张宽为的长方形纸条，两次剪去的长方形纸条面积相等．设原正方形纸片的边长为，根据题意可列方程为 ． 16．（本题3分）对于有理数定义一种新运算“”：．已知表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，且，的值为 ． 17．（本题3分）学校组织同学们春游，若每辆汽车坐45人，则有29人没有座位；若每辆汽车坐50人，则只有1辆汽车空11个座位无人坐，其余车辆全部坐满．共有 人春游． 18．（本题3分）规定关于x的一元一次方程的解为，称该方程是“郡园方程”，如：的解为，该方程是“郡园方程”．若关于x的一元一次方程是“郡园方程”，它的解为a，则 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 20．（本题9分）李华在解方程时，■处被油墨盖住，不能解出的值，通过问老师得知这个方程的解是，求■处的数字． 21．（本题9分）若规定“”的运算过程表示为：． 如： (1)则________． (2)若，求的值． 22．（本题9分）已知A、B两地相距，甲车从A地出发开往B地，同时乙车从B地开往A地，甲车的速度是，乙车的速度是； (1)求出发多长时间两车相遇？ (2)求出发多长时间两车相距？ 23．（本题9分）某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克25元，由基地送货上门；方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元． (1)食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？ 24．（本题10分）某出租车公司的收费标准如下：以内（含）收费10元；超过的部分，每千米收费2.4元（不足按计算）． (1)若某人乘坐出租车行驶了，应付多少元？ (2)若某人乘坐出租车行驶了（，且x为整数），应付车费多少元？（用含x的代数式表示） (3)若某人付了34元车费，那么他最多乘坐了多少千米？ 25．（本题12分）如图是一个不完整的数轴（未标出原点），在数轴上有A和B两点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，a和b满足的关系式为，点C在数轴上运动，表示的数为c． (1)a=______，b=______； (2)当点B与点C之间的距离是点A与点B之间的距离的时，求数c； (3)在点C到点A和点B的距离中，当一个距离是另一个距离的3倍时，直接写出数c． 试卷第2页，共5页 第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年北师大版七年级数学上册第五章 一元一次方程 单元测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D A B A A B A A 1．D 【分析】题目主要考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程），逐一判断各选项是否符合条件即可． 【详解】解：一元一次方程需同时满足： ① 只含一个未知数； ② 未知数的最高次数为1； ③ 为整式方程。 选项A：，含有两个未知数和，不符合①； 选项B：，化简为，未知数最高次数为2，不符合②； 选项C：，未知数在分母上，不是整式方程，不符合③； 选项D：，只含一个未知数，且的次数为1，是整式方程，符合所有条件； 故选：D． 2．D 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立．根据等式基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，原结论正确，不符合题意； B、若，则，原结论正确，不符合题意； C、若，则，原结论正确，不符合题意； D、若，则需要时，才成立，原结论错误，符合题意． 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得， 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了解一元一次方程，已知方程的解求参数．先解第一个方程求出x的值，再代入第二个方程求解a，据此进行分析计算，即可作答． 【详解】解：∵： ∴， ∴ ∴， ∵两个方程的解相同， ∴把代入，得， 即， ∴， ∴， 故选：A． 5．B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，将工作总量视为1，甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲先做2小时完成的工作量为，乙做小时完成的工作量为，总工作量等于1，由此建立方程. 【详解】解：假设工作总量为1， 则甲的工作效率为，乙的工作效率为， 甲做2小时完成的工作量为 ， 乙做小时完成的工作量为， ∴ 总工作量方程：， 故选B. 6．A 【分析】本题考查了含参一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 根据若分给个学生，则每个学生分颗；若分给个学生，则每个学生分4颗，还剩2颗，列出方程，求出正整数解，即可解决问题． 【详解】解：根据题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 的值为1，2，17，34， 当时，, 当时，； 当时，； 当时，； 选项中只有选项A中的符合条件， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了新定义运算．根据运算定义，，代入表达式并解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴ 解得：． 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，一元一次方程的应用，设输入的结果是，由题意可得，解方程即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设输入的结果是， 由题意可得，， 解得 ∴输入的结果是， 故选：． 9．A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．根据树苗总棵数不变，由两种种树方案列出方程． 【详解】解：设种树的人数为人， ∵每人种10棵，剩下5棵树苗未种， ∴树苗总棵数为； ∵每人种11棵，缺3棵树苗， ∴树苗总棵数为； ∴， 故选：A． 10．A 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程的实际应用，解题关键是正确理解题意． 设框出的5个数中中间一个数为，则同一行与同一列的其它两个数均可表示出来，则可求得其和，根据其和的特征及“十”字框的特点即可求解． 【详解】解：设框出的5个数中中间一个数为，则同一行的另外两个数从左到右分别为、，同一列的两个数从上到下分别为、，这5个数的和为：， 因此这5个数的和是5的倍数． 由于一个月最多31天，则，即， 则， 即框里的5个数的和最大为120， 显然当时，5个数的和为100，B选项不符合题意； 当时，5个数的和为110，C选项不符合题意； 当时，5个数的和为40，D选项不符合题意； 当时，则这5个数分别为、、、、， 显然一个月没有32天，这5个数的和为125，这是不可能的，A选项符合题意． 故选：A． 11． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义可得且，解之即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， ∴， 故答案为：． 12．5或 【分析】该题考查了绝对值，根据绝对值的定义，一个数的绝对值等于5，则这个数可以是5或． 【详解】解：由绝对值的定义可知，表示数x到原点的距离为5， 因此或． 故答案为：5或． 13．5 【分析】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键；根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，由此列出方程求解即可． 【详解】解：由与互为相反数，可知， 即，解得； 故答案为5． 14．或10 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离公式，熟练掌握“数轴上两点间距离等于两数差的绝对值”是解题的关键．利用数轴上两点间距离公式（两点表示数的差的绝对值）列方程，求解得到的值． 【详解】解：∵表示的数为，点表示的数为，、距离为． ∴， ∴或， 当时， ，解得； 当时，解得； 故答案为：或． 15． 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据纸条的剪法结合正方形的边长为，即可得出两次剪下的长条的长和宽，再根据两次剪下的长条面积相等列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：由题意可得：第一次剪下长条的长为，宽为，即面积为； 第二次剪下长条的长为，宽为，即面积为； ∵两次剪去的长方形纸条面积相等， ∴． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查定义新运算，化简绝对值．根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知：，，， ∵，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 17．389 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握根据等量关系建立方程是解题的关键．设汽车数量为未知数，依据总人数不变的等量关系列方程求解． 【详解】解：设共有辆汽车．由题意可得 ， ， ， ， ∴总人数：（人）， 故答案为：． 18．3 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的方程是解此题的关键． 根据“郡园方程”的定义，方程的解应为，同时题目给定解为 ，因此建立等式求解． 【详解】解：由“郡园方程”定义，解满足， ∴， ∵， 解得， ∵给定解为， ∴， 代入，得， 解得， 代入，得， 解得 ， 故， 故答案为：3． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的一般步骤，本题只需移项、合并同类项、系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的一般步骤，本题只需去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 20．4 【分析】本题考查一元一次方程的解以及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 将代入得到，再解方程即可． 【详解】解：将代入， 则， ， 解得， ∴■处的数字为． 21．(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程、有理数混合运算，掌握解一元一次方程的步骤和有理数混合运算顺序，理解规定的运算列式及方程是解题的关键． （1）根据规定的运算列式计算即可； （2）根据规定的运算列方程，解出一元一次方程即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 整理得：， 解得． 22．(1)小时 (2)或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． （1）设两车t小时后两车相遇，根据题意列出方程求解即可． （2）设出发m小时后两车相距，然后分两种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设两车t小时后两车相遇， 则， 解得， 答：两车小时后两车相遇． （2）解：设出发m小时后两车相距， 相遇前： 解得， 相遇后： 解得 答：出发或后两车相距． 23．(1)食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同 (2)方案二省钱，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意得到等量关系是解题的关键． （1）设食品加工厂购买千克草莓，选择两种购买方案所需的费用相同，再根据题意列出一元一次方程并正确解出即为本题答案； （2）分别列式求出两种方案分别多少钱，再比较大小即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设食品加工厂购买千克草莓，选择两种购买方案所需的费用相同， 方案一：费用为， 方案二：费用为 则由题意得：， 解得：， 答：食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同． （2）解：食品加工厂计划购买2500千克草莓， ∴方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴方案二更省钱． 24．(1)应付14.8元 (2)元 (3)他最多乘坐了13千米 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接列式进行求解； （2）根据题意可得，进而求解即可； （3）由（2）可得方程，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：（元） 答：应付14.8元． （2）解：应付车费（元）； 答：应付车费元． （3）解：由（2）可得： ， 解得， 答：他最多乘坐了13千米． 25．(1)，5； (2)数c为8或2 (3)数c为9或3或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴，两点间的距离公式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程再求解． （1）根据绝对值和偶次方的非负性解答即可． （2）根据（1）中的数据，算出，得出点B与点C之间的距离为3，分为点C在点B的左侧和右侧解答即可． （3）分为当点C到点A的距离是点C到点B的距离的3倍时，和当点C到点B的距离是点C到点A的距离的3倍时，列绝对值方程解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， 故答案为：，5； （2）解：根据点A表示的数为，点B表示的数为5， 补全数轴如图： ∴， ∴点B与点C之间的距离， ∴数c为或． （3）解：根据题意可得， 当点C到点A的距离是点C到点B的距离的3倍时，， ∴，或 解得：或3； 当点C到点B的距离是点C到点A的距离的3倍时，， ∴或 解得：或； 综上：数c为9或3或或． 第2页，共13页 第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $