精品解析：安徽省合肥市蜀山区合肥百花中学等四校联考2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

合肥百花中学2025~2026学年度第一学期 高一年级期中考试数学 本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列四组函数中，表示同一函数的是（　　） A. B C. D. 5. 已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如果正数满足，那么（　　） A. ，且等号成立时的取值唯一 B. ，且等号成立时的取值唯一 C. ，且等号成立时的取值不唯一 D. ，且等号成立时的取值不唯一 7. 若函数在上为增函数，则的取值范围为 A B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，，则（　　） A. B. 有最小值 C. D. 是奇函数 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 10. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（　　） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义在上奇函数，当时，,则__________. 13. 若函数满足，则在区间上的最小值为___________． 14. 已知实数满足，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合． （1）求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16 已知函数． （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 17. 青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S. （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 18. 已知是定义域为的奇函数，且． （1）求实数的值； （2）判断在区间上的单调性，并用定义证明； （3）求不等式解集． 19. 已知幂函数在上单调递增. （1）求实数的值； （2）若存在，使得能成立，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥百花中学2025~2026学年度第一学期 高一年级期中考试数学 本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用并集的定义求解得答案. 【详解】，而， 所以. 故选：C 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】特称命题的否定：将存在改为任意并否定原结论，即可得答案. 【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为. 故选：D 3. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 结合不等式的性质，分别讨论充分性与必要性，即可选出答案. 【详解】当且时，根据不等式的性质，可得； 当时，不能推出且，比如取，. 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 下列四组函数中，表示同一函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出定义域，看看是否相同，若不同，则两个函数不是同一函数，若相同，则继续化简表达式，若表达式不同，则两个函数不是同一函数，若相同，则两个函数是同一函数. 【详解】选项A，的定义域为，的定义域为， 定义域不同，不是同一函数，故选项A错误； 选项B，的定义域为，的定义域为， 定义域不同，不是同一函数，故选项B错误； 选项C，的定义域为，的定义域为，定义域同， 与表达式不同，不是同一函数，故选项C错误； 选项D，的定义域为，的定义域为， 定义域相同，，与表达式相同， 是同一函数，故选项D正确. 故选：D. 5. 已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用为偶函数关于轴对称，故越靠近轴，函数值越小，从而解出不等式. 【详解】因为偶函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小， 因为， 所以，解得：． 故选：A. 6. 如果正数满足，那么（　　） A. ，且等号成立时的取值唯一 B. ，且等号成立时的取值唯一 C. ，且等号成立时的取值不唯一 D. ，且等号成立时的取值不唯一 【答案】A 【解析】 【详解】正数满足，∴ 4=，即，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=，∴ c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得，且等号成立时的取值都为2，选A． 7. 若函数在上为增函数，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数对称轴和单调性、一次函数单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】由于函数在上递增，所以，解得.故选B. 【点睛】本小题主要考查分段函数的单调性，考查二次函数、一次函数的单调性，属于基础题. 8. 已知函数的定义域为，且，，则（　　） A. B. 有最小值 C. D. 是奇函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用抽象函数的性质，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A：令，可得，所以A错误； 对于B：令，不妨令，则， 可得， 若时，时，，此时函数为单调递增函数； 若时，时，，此时函数为单调递减函数， 所以函数不一定有最小值，所以B错误； 对于C：令，可得，即， 所以，， ，， 各式相加得，所以，所以C错误； 对于D：令，可得，可得， 即，所以函数是奇函数，所以D正确； 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的性质和作差法求解. 【详解】，，故选项A正确； ，，，故选项B错误； ，，故选项C错误； ， ，，，， ，，故选项D正确. 故选：AD. 10. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A.利用一次函数的性质判断； B.利用反比例函数的性质判断； C.画出函数的图象判断；D.画出函数的图象判断. 【详解】A.在R内既是奇函数又是增函数,故正确； B.在，上单调递增，故错误； C. 的图象如图所示， 由图象易知错误； D.，的图象如图所示， 由图象易知正确. 故选：AD 11. 下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（　　） A B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别求出各选项中函数的定义域与值域，可得符合题意的选项. 【详解】对于A：的定义域与值域均为R，故A符合； 对于B：定义域为，值域为，故B不符合； 对于C：的定义域与值域均为，故C符合； 对于D：的定义域为， 值域：令，则，原式为， 根据二次函数的性质可知，，故D符合. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________. 【答案】12 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可知，代入函数解析式即可求出结果. 【详解】函数是定义在上的奇函数，，则， . 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型. 13. 若函数满足，则在区间上的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将中的换得到，联立方程组解出，判断在区间上的单调性，利用单调性求出在区间上的最小值. 【详解】，， 从中解出， 将代入， 得到，解得， 在区间上是减函数，在区间上是减函数， 在区间上是减函数， 时，取最小值为， 故答案为：. 14. 已知实数满足，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】法八：利用基本不等式，即可求解. 【详解】[方法一]：（代换，用判别式法） 设，则，代入， 得，由得，因此. [方法二]：（代换，构造一元二次方程用判别式法） 设，则，则2x、y可看作关于m的方程的两个实根，由得，因此. [方法三]：（构造向量法） 令，. 则，即的最大值为. [方法四]：（待定系数法） 令 则解得故，化简得. ［方法五］：（代换消项结合放缩法） 令，则，则原题等价于：已知，求2a的最大值. 由的几何意义得，即得.即. ［方法六］：（换元法，转化为三角函数求解） 令则. 即，即，则. . 故. ［方法七］：（三角换元结合均值不等式求解） 令代入条件方程得. 则 故. 故答案为：． ［方法八］：最优解】基本不等式 ， 即，(当且仅当，即时，取等号) 故答案为：． 【整体点评】法一：换元利用判别式法求出； 法二：代换构造一元二次方程根据判别式法求出； 法三：构造向量利用求出； 法四：构造平方和，利用平方数自身的范围求出； 法五：代换利用椭圆的几何性质求出； 法六：利用三角代换求出，是该类型题的常用方式； 法七：利用三角代换结合基本不等式求出； 法八：直接利用基本不等式，是该题的通性通法，也是最优解． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合． （1）求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合运算法则进行计算即可. （2）转化为集合的包含关系求解即可. 【小问1详解】 ，或， 所以． 【小问2详解】 若“”是“”的必要不充分条件，则且， 所以且两个等号不能同时取得，解得. 所以的取值范围是. 16. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）最大值为5，最小值为； （2） 【解析】 【分析】（1）当时，函数，利用二次函数的图像求解； （2）由对任意实数，恒成立，整理得到对任意实数恒成立，按照和讨论求解，当时，对任意实数恒成立等价于，计算得解. 【小问1详解】 当时，函数， 因为，所以当时，有最小值； 当时，有最大值5， 所以，当时，函数在上的最大值和最小值分别为5和． 【小问2详解】 因为对任意实数，恒成立， 即对任意实数恒成立， 所以对任意实数恒成立， 当时，，解得，不满足题意； 当时，对任意实数恒成立等价于， 即，解得 综上，实数的取值范围为. 17. 青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S. （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 18. 已知是定义域为的奇函数，且． （1）求实数的值； （2）判断在区间上的单调性，并用定义证明； （3）求不等式的解集． 【答案】（1）； （2）单调递增，证明见解析； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义及给定函数值列式求出. （2）判断单调性，再利用单调函数的定义推理得证. （3）利用奇函数性质变形不等式，再利用单调性结合定义域列出不等式组求解即得.. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数，得， 则在上恒成立，因此，， 由，得，因此， 所以. 【小问2详解】 函数在上单调递增， ，，则 ，由， 得，则，即， 所以函数在上单调递增. 【小问3详解】 由以及奇函数的性质得，， 由（2）知，在上单调递增，则解得， 所以原不等式的解集为. 19. 已知幂函数在上单调递增. （1）求实数的值； （2）若存在，使得能成立，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义列方程，解出的值，再根据幂函数的单调性检验，即可得到答案； （2）分离变量，再结合基本不等式可得的范围； （3）代入，化简，因式分解，按两根的大小关系分类讨论，即得答案. 【小问1详解】 因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意； 所以. 【小问2详解】 因为，即转化为， 由参变量分离法可得，其中，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 综上可知，实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）知，由， 得. 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当，即时，不等式解为. 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $