精品解析：安徽合肥市蜀山区2024-2025学年高一上学期期中阶段检测数学试卷

2024~2025学年高一上学期期中阶段检测数学试卷 命题范围：2019人教A版前三章 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（每题5分，共40分） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“”否定是“”. 故选：B. 2. 设，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】计算的结果并将其与比较大小，由此得到的大小关系. 【详解】解：因为， 所以，. 故选：C 3. 已知，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由条件分析集合的元素的特征，确定满足条件的结合即可. 【详解】因为，所以或或或或或或或，即满足条件的集合的个数为8， 故选：D． 4. 已知，则“”的充要条件是（ ） A. a，b都不为1 B. a，b不都为1 C. a，b不都为0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的等价变形可知且，即可得出结论. 【详解】且， 即都不为1， 故选：A 5. 已知，则解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，利用换元法求出函数，从而直接代入即可求出的解析式. 【详解】因为，所以令，则， 所以， 所以， 因为，所以，即， 所以. 故选：D. 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域求出的定义域，结合，求出函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，则，， 所以的定义域为， 又因为，即， 所以函数的定义域为， 故选：C 7. 函数是定义在的偶函数，当时，，下列说法正确的是（    ） A. 函数的图象与轴有四个不同的交点 B. 当时， C. 不等式的解集为 D. 对于任意，，若，则的最大值为2 【答案】D 【解析】 【分析】A选项,令，解方程求出零点；B选项,利用奇偶性求解析式；C选项,令，解不等式，得到解集；D选项,分段讨论，求出的范围. 【详解】当时，. 对于A,当时，令可得或， 所以或， 由函数是定义在的偶函数可得，， 故函数的图像与轴有三个不同的交点，A不正确; 对于B,设，则，， 设，则，， 当时，，B不正确; 对于C,当时，令，则或， 所以或，， 由函数是定义在的偶函数可得，当时，， 综上：不等式的解集为，C错误; 对于D,不妨设，则， ①当时， ②当时，， ③当时，， ④当时，， 综上：对于任意的，，若，则，D正确， 故选：D 8. 设S是实数集的非空子集，如果有，则称是一个“和谐集”．下面命题为假命题的是 A. 存在有限集S，S是一个“和谐集” B. 对任意无理数，集合都是“和谐集” C. 若，且均是“和谐集”，则 D. 对任意两个“和谐集”，若，则 【答案】D 【解析】 【分析】举特例可判断A;根据“和谐集”的定义可判断B; 据“和谐集”的定义可知，当时，，故任意“和谐集”都包含元素0,由此判断C;举反例判断D. 【详解】对于A，不妨取有限集且也是“和谐集”，A正确； 对于B,任意，则存在有， 则，， 因为，所以，所以，，故是“和谐集”，B正确； 对于C,根据“和谐集”的定义可知，当时，， 故任意“和谐集”都包含元素0，所以，即，C正确； 对于D,，则都是“和谐集”， 但，所以，D不正确， 故选：D 二、多项选择题（每题6分，共18分） 9. 已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上是减函数 C. D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用赋值法求得，从而得以判断；对于B，根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，从而判断函数的单调性；对于C，利用抽象函数的性质求得式子的值，由此得以判断；对于D，先求得，再将不等式转化为，从而得到关于的不等式，解之即可判断. 【详解】对于A，因为， 令，得，所以，故A正确； 对于B，令，得，所以， 任取，且，则， 因为，所以，即，所以， 所以在上是减函数，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，因为，，所以， 又因为， 所以由得，故， 因为在上是减函数， 所以，解得， 所以不等式的解集为，故D正确. 故选：ABD． 【点睛】关键点睛：对于解含抽象函数不等式问题，一般先利用抽象函数的性质求得其在定义域上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题. 10. 已知，给出下列不等式：①；②；③；④；其中正确的有（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合作差法和特殊值依次判断，即可求解． 【详解】解：对于①：， 因为， 所以，， 所以，即，故①正确， 对于②：， 因为， 所以，， 所以，即，故②正确， 对于③：当，时，，， 所以，故③错误， 对于④：， 因为， 所以，， 所以，即，故④正确， 综上所述，正确的有①②④． 故选：ABD． 11. 在R上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由题意可得恒成立，运用判别式，解出二次不等式，可得的可能取值． 【详解】不等式对任意实数恒成立， 有，即恒成立， ∴， 解得， 所以选项CD正确． 故选：CD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若函数为幂函数，且在单调递减，则实数的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数定义和单调性求解． 【详解】由题意知，解得：或， 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意； 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意； 所以实数的值为. 故答案为：. 13. 已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为_______. 【答案】9 【解析】 【分析】利用分离参数法，转化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】由已知，，若不等式恒成立， 所以恒成立，转化成求的最小值， ， 当且仅当时取等，所以． 故答案为：9 14. 已知函数若使得成立，则实数t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用奇偶性、单调性定义判断是在定义域上递增的奇函数，利用奇函数及单调性，将问题化为使能成立，进而求范围. 【详解】由，则，则， 由，则，则，且， 所以为奇函数， 令，则 ，而， 所以，即在上递增， 由奇函数的对称性知：在上递增，且在处连续， 综上，是在定义域上递增的奇函数， 由， 所以使能成立，即能成立， 故，即实数t的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，再由交集和补集的定义即可得出答案. （2）由，得，讨论当和，求出实数m的取值范围 【小问1详解】 当时，，则， 故或 【小问2详解】 由，得； ①当时，有，解得； ②当时，有，解得． 综上解得，实数m的取值范围是． 16. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为，求a，b的值. （2）求关于x的不等式（其中）的解集． 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，结合对应方程根与系数关系列方程组求参数； （2）分类讨论参数a，求对应不等式解集即可. 【小问1详解】 由题设，易知且是方程两个不同根， 则，经验证满足题设， 所以. 【小问2详解】 由题设，且，所以， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 17. 已知 . （1）判断的奇偶性； （2）判断在[1,+∞）上的单调性，并说明理由； （3）若方程有四个不同的实数根，求实数m的取值范围. 【答案】（1）偶函数 （2）增函数，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义即可判断， （2）根据单调性的定义即可判断， （3）利用函数图象，即可由图象求解. 【小问1详解】 的定义域为，关于原点对称， ∵ ∴为偶函数. 【小问2详解】 上是增函数，理由如下： 设 ，且 ，则 ， ∵；，， ∴＞ ∴在上是增函数 【小问3详解】 ∵有四个不同的实数根， 当时，，故对称轴为，且当时， 取最小值 ， ，又 为偶函数， ∴图象与直线有四个不同的交点，作出的草图如下. 如图可得：直线与图象有四个不同交点时m的取值范围为： 18. 后疫情时代，全民健康观念发生很大改变．越来越多人注重通过摄入充足的水果，补充维生素，提高自身免疫力．郑州某地区适应社会需求，利用当地的地理优势，发展种植某种富含维生素的珍稀果树．经调研发现：该珍稀果树的单株产量W（单位：千克）与单株用肥量x（单位：千克）满足如下关系：已知肥料的成本为10元/千克，其他人工投入成本合计元．若这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当单株施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1） （2）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元 【解析】 【分析】（1）用单株产量乘以水果的市场售价减去肥料的成本、人工投入成本得出该果树的单株利润； （2）利用配方法、基本不等式求出的最大值可得答案． 【小问1详解】 由题可知 ， ； 【小问2详解】 由（1）得 ， 当时，； 当时，； （当且仅当时，即时等号成立） 因为，所以当时，， 所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元. 19. 设，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足.已知函数. （Ⅰ）证明：函数的图象关于点对称； （Ⅱ）已知函数的图象关于点对称，当时，.若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据题意计算可得； （Ⅱ）首先求出的值域，若对任意的，总存在，使得成立，则函数值域为函数的值域的子集，再利用二次函数的性质分类讨论可得. 【详解】（Ⅰ）∵，， ∴. ∴. 即对任意的，都有成立. ∴函数的图象关于点对称. （Ⅱ）∵，易知在上单调递增. ∴在时的值域为. 记函数，的值域为. 若对任意的，总存在，使得成立，则 . ∵时，， ∴，即函数的图象过对称中心. （i）当，即时，函数在上单调递增.由对称性知，在上单调递增. ∴函数在上单调递增. 易知.又，∴，则. 由，得，解得. （ii）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增. 由对称性，知在上单调递增，在上单调递减. ∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. ∴结合对称性，知或. ∵，∴. 又，∴. 易知.又， ∴. ∴当时，成立. （iii）当，即时，函数在上单调递减. 由对称性，知在上单调递减. ∴函数在上单调递减. 易知.又， ∴，则. 由，得.解得. 综上可知，实数的取值范围为. 【点睛】本题考查函数新定义，含参二次函数的值域问题，典型的动轴定区间问题，考查分类讨论思想，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年高一上学期期中阶段检测数学试卷 命题范围：2019人教A版前三章 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（每题5分，共40分） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 已知，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知，则“”的充要条件是（ ） A. a，b都不为1 B. a，b不都为1 C. a，b不都为0 D. 5. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 函数是定义在偶函数，当时，，下列说法正确的是（    ） A. 函数的图象与轴有四个不同的交点 B. 当时， C. 不等式的解集为 D. 对于任意，，若，则的最大值为2 8. 设S是实数集的非空子集，如果有，则称是一个“和谐集”．下面命题为假命题的是 A. 存在有限集S，S是一个“和谐集” B. 对任意无理数，集合都是“和谐集” C. 若，且均是“和谐集”，则 D. 对任意两个“和谐集”，若，则 二、多项选择题（每题6分，共18分） 9. 已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上是减函数 C D. 不等式的解集为 10. 已知，给出下列不等式：①；②；③；④；其中正确的有（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 11. 在R上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若函数为幂函数，且在单调递减，则实数的值为_______. 13. 已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为_______. 14. 已知函数若使得成立，则实数t的取值范围是______． 四、解答题（共77分） 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 已知关于的不等式． （1）若不等式解集为，求a，b的值. （2）求关于x的不等式（其中）的解集． 17. 已知 . （1）判断的奇偶性； （2）判断在[1,+∞）上的单调性，并说明理由； （3）若方程有四个不同的实数根，求实数m的取值范围. 18. 后疫情时代，全民健康观念发生很大改变．越来越多人注重通过摄入充足水果，补充维生素，提高自身免疫力．郑州某地区适应社会需求，利用当地的地理优势，发展种植某种富含维生素的珍稀果树．经调研发现：该珍稀果树的单株产量W（单位：千克）与单株用肥量x（单位：千克）满足如下关系：已知肥料的成本为10元/千克，其他人工投入成本合计元．若这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当单株施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大，并求出最大利润． 19. 设，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足.已知函数. （Ⅰ）证明：函数的图象关于点对称； （Ⅱ）已知函数图象关于点对称，当时，.若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$