专题05 等腰（等边）三角形中重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型（几何模型讲义）数学北师大版2024八年级上册

专题05 等腰（等边）三角形中重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型 等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比”、“45°辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，结合常用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！ 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.等直内接等直模型 5 模型2.等直+高分线模型 10 14 等直内接等直模型主要来源于初中几何教学体系，是等腰直角三角形衍生的重要模型，近年来，一些教育工作者根据几何结构将其命名为等直内接等直模型。该模型通过在等腰直角三角形斜边中点构造新顶点形成嵌套结构，利用中点对称性与直角特性，形成多组线段相等、面积比例关系及特殊角度关系。该模型与“等直角+角分模型”结合后，可扩展至动态旋转问题的快速解题路径，是培养学生几何思维的重要工具。 ‌ （24-25八年级上·河南新乡·期末）如图所示，在中，，是边上的中线，点E是边上一动点（不与A、B重合），连结，过点P作的垂线交于点F，连结．有下列四个结论：①； ②是等腰直角三角形； ③； ④．其中一定正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：∵在中，，是边上的中线， ∴，，， ∴均为等腰直角三角形，，∴，故①正确； ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∴，故③正确； ∵，∴，当为的中位线时，满足，此时， ∵点E是边上一动点，∴无法确定是否为的中位线， ∴无法判断和的大小关系，故④错误；故选∶B （2025·安徽六安·一模）如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：延长，交于点H，连接， ∵为等腰直角三角形，D为中点，∴；∵平分，∴， 又∵，D为中点，∴，∴， ∴，∴，∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，∴， 又∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵平分，∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴，故B选项正确，不符合题意； ∵，，∴， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵为等腰直角三角形，D为中点，∴垂直平分，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，∴，故D选项正确，不符合题意；故选：C． 1）等直内接等直模型 条件：已知如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P为底边BC的中点，且∠EPF=90°。 结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④； ⑤；⑥。 （注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！） 证明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点是的中点 同理可得：， ，∵AB=AC，∴AE=FB； 又是直角，是等腰直角三角形，同理：易证是等腰直角三角形。 ∴AE+AF=FB+AF=AB，∴。 ，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴。 ∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴ 2）等直+高分线模型 条件：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点． 结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤． 证明：，，， ，，， ，，，， 在和中，，． 平分，， ∵，，，，， ，，，， ，，， ，是等腰三角形．，，， 平分，点到的距离等于点到的距离，， ∵，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。 模型1.等直内接等直模型 例1（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图：∵，，点D是中点， ∴∴， ∴ 又∵ ∴故选：C 例2（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在等腰直角中，，，于点F，点 D，E分别在边上，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：∵在等腰直角中，，，， ∴，，，∴，故①正确； ∵，∴，∵，∴， ∴，故②正确；， ∵，∴，即， ∴是等腰直角三角形，∴；故③正确；故选D． 例3（24-25八年级·河北·培优）如图，在中，，点是的中点，点在射线上运动，，交直线于，连接．在点运动的过程中，下列结论：①；②长度的最小值为2；③当点在之间运动时，四边形的周长和面积保持不变；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①连接，如图，∵是等腰直角三角形，，D为的中点， ∴∴ ∵∴ ∵∴∴又∴ 又∴，∴，故①正确； ②设，则，在中，， ∴， ∵∴当时，有最小值为，故②错误； ③∵∴又∴,∴， ∴， ∵，∴，∴ ∵点E变化时，也会发生变化，∴四边形的周长会发生变化，故③错误； ④∵，∴在中，， ∴，故④正确，∴正确的结论有2个，故选：B 例4（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，在正方形中，点是对角线、的交点，过点作射线、分别交、于点、，且，、交于点，连接，．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④⑤其中正确的为（    ） A．①②④⑤ B．①②③④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 【答案】D 【详解】解：①在正方形中，，，， ，，， ，，，， ，，故①正确； ②在正方形中，，，， ，，；故②正确； ③由①全等可得四边形的面积与面积相等， 四边形的面积为正方形面积的，故③正确； ④，，四边形为正方形，，， 在中，，，∵不成立 故④不正确； ，，，，， ，，，故⑤正确； 综上所述，正确的是①②③⑤，故选：D． 例5（24-25八年级上·山西临汾·期末）综合与实践 问题情景：在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图，在等腰中，，，点D是的中点，点E是直线上一个动点，过点D作，交直线于点F． 初步探究：（1）如图①，当点E在线段上时，请判断线段，的数量关系：________． 类比探究：（2）如图②，当点E在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． 拓展延伸：（3）如图③，在四边形中，，平分，以D为顶点作，交于点F，交于点E，若，求四边形的面积．（备注：所对的直角边等于斜边的一半） 【答案】（1）；（2）成立，理由见详解；（3） 【详解】（1）．理由如下∶如图①，连接， ，，是的中点，，， 和是等腰三角形，即， ，，，即， 在和中，，，； （2）当点E在线段的延长线上时，（1）中的结论仍然成立， 理由如下：如图②，连接，，，是的中点， ，， 和是等腰三角形，即，， ，，， ，，，即， 在和中，，，； （3）如图③，作于，于， 平分， ，，， ，，， ，，， ， 平分，，，， ，， ，，， ． 模型2.等直+高分线模型 例1（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，，平分，与相交于点，，交延长线于，且垂足为，是边的中点，连接与相交于点，则下列结论①；②；③；④；⑤正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，故①正确； ∵平分，∴，∵， ∴，∴，∴，故②正确，连接， ∵，∴，∴，∵，∴，故③错误； ∵，∴，故④正确；作于M． ∵平分，，∴， ∵，且，∴，故⑤错误， ∴正确的有3个；故选：C． 例2（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，等腰直角中，，于D，的平分线分别交、于E、F两点，M为的中点，延长交于点N，连接，，给出下列结论：①；②垂直平分；③是等腰三角形；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：，，， ∴，，，∴， 平分，∴，∴， ∴，，故①正确；③正确， 为的中点，∴，∴垂直平分；故②正确； ，，，故④错误； ，，， 在和中，，，， ，，故⑤错误，综上所述：其中正确的结论有①②③，共3个，故选：B． 例3（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G． (1)求证：；(2)判断的数量关系，并说明理由；(3)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)3 【详解】（1）解：∵，，∴，∴， ∵，∴，在和中，，， 又，．，， ∴．． （2）解：由（1）得，∵H是边的中点，∴，∴， ∵平分， ∴，由（1）得，， ∵，∴， ∵，，∴，∴； （3）解：连接， ∵，H为中点，∴为的垂直平分线， ，， ，， ，，． 例4（24-25八年级上·湖北孝感·期中）在中，，，点为上一点，点为上一点，线段，交于点．    (1)若为的角平分线．①如图，已知，求证：；②如图，已知，求证：；(2)如图，若为的中线，且，试探究，，三条线段的数量关系是______（直接写出答案）． 【答案】(1)①见解析②见解析(2) 【详解】（1）①证明：∵为的角平分线，    ∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， 又∵，∴，∴； ②证明：∵，，∴，∵平分，∴， ∵，，∴（）， ∴，，∴垂直平分线段，∴． （2）解：，，三条线段的数量关系是．如图中，作交的延长线于，∵，，∴，    ∵，∴，∴，， ∵，，∴， ∴，∴，故答案为∶． 1．（24-25九年级上·四川广元·期末）如图，在等腰中，，于点，将一直角三角尺的直角顶点放在点处，当三角尺绕点顺时针旋转时，两条直角边分别与交于点（点、分别在线段、上，端点除外），连接，则线段与的大小关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵等腰中，，于点， ∴，，，∴， ∵，∴，∴，∴，故选：． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，等腰直角中，，于D，的平分线分别交、于E、F两点，M为的中点，延长交于点N，连接，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵，是等腰直角三角形，， ∴，，，， ∵平分，∴，∴， ∴，∴，故①正确，③错误； ∵M为的中点，∴，故②正确； ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴，故④正确； ∵，，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴，故⑤正确．综上所述，①②④⑤正确，共4个．故选：D． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点D为边的中点，，将绕点D旋转，它的两边分别交、所在直线于点E、F，有以下4个结论：①；②；③；④当点E、F落在、的延长线上时，，在旋转的过程中上述结论一定成立的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：如图1，连接，，，为中点，    ，，，， ，，，， 在和中，，， ，，，，故①正确； ， 如图2，当点、落在、的延长线上时，连接，同理可证， ，故②错误，由， ，，故③正确； 如图2，连接，同理可证：，，    ，．故④正确，故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，D是的中点，点E在上，点F在上，且．给出以下三个结论：（1）；（2）是等腰直角三角形：（3）S四边形CEDF．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【详解】解：∵在中，，， ∴为等腰直角三角形，，∵D是的中点，∴， 根据“三线合一”可知，，， ∴，，∴， 在和中，∴， ∴，，故（1）正确； ∵，∴， ∴是等腰直角三角形，故（2）正确；∵，∴， ∵，∴，故（3）正确； 即：（1），（2），（3）均正确，故选：A． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，为斜边的中点，在内绕点转动，分别交边，于点，（点不与点，重合），下列说法正确的是（　　　） ①；②；③ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：①∵，∴△是等腰直角三角形∴∠ ∵点D是AB的中点，∴，∠ ∵∠∴∠∴∠ 在△和△中∴△ ∴∴△是等腰直角三角形∴∠，故①正确； ②∵∠∴∠∴∠ 在△与△中∴△∴ ∵∴，故②正确；③∵△是等腰直角三角形，∴ ∵当时，最短，∴ ∴即，故③错误；∴综上，正确的是①②，故选：A． 6．（24-25八年级上·河南安阳·期中）如图，在中，，平分，于点E，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【详解】解：①∵，∴， ∵，∴，∴，∵，∴，∴①正确； ②∵，，∴， ∴，∴，∴②正确； ③过H作于I，∵平分，，∴， ∵，∴，∴③不正确； ④如图，连接，∵，平分，∴， ∵垂直平分，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴∴④正确． ∴正确的有：①②④．故选：B． 7．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②为等腰三角形；③；④，其中正确结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：，，， ，，，， 平分，，， ，，，， 在和中，，，，①正确； ，为的中点，为线段的垂直平分线，，②正确； ，，平分，， 在和中，，，，③正确； 在和中，，，， 8．（24-25八年级上·黑龙江·期末）如图在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，BE与CD相交于点F，BF=2CE，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，下列结论中：  ①∠A=67.5°；②DF=AD；③BE=2BG；④DH⊥BC 其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD， ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝22.5°，∴∠A＝67.5°；故①正确； ∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠DBF＋∠A＝90°，∠ACD＋∠A＝90°，∴∠DBF＝∠ACD， 在△BDF与△CDA中，∴△BDF≌△CDA（ASA），∴AD＝DF，故②正确； ∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，∴∠ABE＝∠CBE，∠AEB＝∠CEB＝90°， ∴在△ABE与△CBE中，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE＝AC， ∵△BCD是等腰直角三角形，H是BC边的中点，∴DH⊥BC，故④正确；∴DH不平行于AC， ∵BH＝CH，∴BG≠EG；∴BE≠2BG，故③错误．故选：C． 9．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，一位同学拿了两块同样的含45°的三角尺，即等腰直角MNK，等腰直角ACB做了一个探究活动：将MNK的直角顶点M放在ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a，猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为（    ） A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 【答案】C 【详解】解：连接MC，∵△ACB是等腰直角三角形，M是AB的中点， ∴MC⊥AB，∠ACM=∠BCM=∠B=45°，∴MC=MB，∠BMC=90°， ∵∠EMF=90°=∠BMC，∴∠EMF-∠CME=∠BMC-∠CME，即∠CMF=∠BME， 在△CMF和△BME中，,∴△CMF≌△BME，∴， ∴四边形CEMF的面积 =，故选：C． 10．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，在等腰直角中，，，延长至点D，使得，连接，的中线与交于点F，连接，过点B作交于点G．连接，．则下列说法正确的有（ ）（多选题） A． B． C．点G为的中点 D． 【答案】BC 【详解】解：∵，是的中线，∴，， ∴，垂直平分，∴， ∵是等腰直角三角形，∴，∴， ∴，∴，故选项B正确； ∵，，∴，， ∵，∴，∴，， ∵是的中线，∴，∵，，∴，故选项A错误； ∵，，∴，故选项D错误； ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴点G为的中点，故选项C正确；∴说法正确的有，故选：BC． 11．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在等腰直角中， ，点是的中点，且AC=3，将一块直角三角板的直角顶点放在点处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与、相交，交点分别为、，则 ．    【答案】3 【详解】如图，连接CO，    ∵在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，∴CO=AO，∠A=∠OCB=45°，且∠AOC=90°， ∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠DOC=∠DOC+∠COE=90°，∴∠AOD=∠COE， 在△ADO和△COE中∵∠A=∠OCE，AO=CO，∠AOD=∠COE∴△ADO≌△COE(ASA)， ∴AD=CE，∴CD+CE=CD+AD=AC=3，故答案为：3. 10．（2025·遵义·校考一模）如图，在中，，，于点，过点作的平分线分别交，于点，，过点作交的延长线于点，若，则的长为 【答案】8 【详解】如图，连接，在中，，，， ∴，为的垂直平分线，∴.∴. ∵是的平分线，∴，∴. ∵，∴.∴. ∵平分，，∴.∴. ∵，∴. 在和中，，∴.∴.故答案：8． 12．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在正方形中，点为对角线的中点，过点的射线，分别交，于点，，且，，交于点，有下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②是等腰直角三角形；③正方形的面积等于四边形面积的倍；④．其中正确结论的个数是 个．    【答案】 【详解】∵四边形是正方形，点为对角线的中点， ∴，，， 在和中，，∴； 在和中，，∴；∴， ∵，，，∴，∴，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴； 同理：，∴，∴全等三角形有对，∴①不正确； ∵，∴，∴是等腰直角三角形；∴②正确； ∵，∴四边形的面积为：，∴③正确； ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴④正确． ∴正确的选项为：②③④，共个．故答案为：． 13．（24-25八年级上·湖北·课后作业）如图，在等腰直角中，点是斜边的中点，以点为顶点的直角的两边分别与边，交于点，，连结．试说明是等腰三角形． 【答案】见解析 【详解】解：连结， 点是等腰直角边的中点，即是底边上的中线， （三线合一） 是等腰直角三角形，即，． 是直角，，即． 在和中，．．是等腰三角形． 14．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图所示，直线交轴于点，交轴于点满足．(1)求点、的坐标；(2)如图1，若的坐标为，且于点交于点．①求证：．②试求点的坐标．(3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)①见解析；②(3)的值不发生改变，等于4 【详解】（1）解：； ；点的坐标为，点的坐标为； （2）①证明：点的坐标为，点的坐标为，， ，，，，， 在和中，，； ②解：，，点的坐标为； （3）解：的值不发生改变，等于4，理由如下：如图，连接， 为的中点，，， ，，，， 在与中，，， ． 15．（24-25八年级上·广西南宁·期中）甲、乙两个含角的等腰直角三角尺如图①放置，则有，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，则有，，现将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．交于M，交于N．(1)求证：；(2)如图③所示，连结和，请你证明：； (3)延长分别交，所在直线于点F，G，如图④，猜想并证明与的位置关系． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)，证明见解析． 【详解】（1）由题意可得，∴， ∴， 在和中，，∴，∴； （2）∵，∴， 在和中，，∴，∴； （3）猜想：；证明如下：∵，∴， ∵在等腰直角三角形中，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 16．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，等腰直角中，，，点为上一点，于点，交于点，于点，交于点，连接，． (1)若，求证：垂直平分；(2)若点在线段上运动． ①请判断与的数量关系，并说明理由；②求证：平分． 【答案】(1)证明见解析(2)①，理由见解析；②证明见解析 【详解】（1）证明：∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴为的垂直平分线； 方法二：∵且，∴垂直平分； （2）解：，理由如下：∵，∴， ∵中，，∴，∴， ∵，∴， 又∵在等腰直角中，，，∴，∴， 在和中，，∴，∴； ②作交于点N，∴，∴， ∵，，且，∴， ∵等腰直角中，，，∴， 在和中，，∴， ∴，即是等腰直角三角形，∴， ∵ ∴平分． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 等腰（等边）三角形中重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型 等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比”、“45°辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，结合常用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！ 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.等直内接等直模型 5 模型2.等直+高分线模型 10 14 等直内接等直模型主要来源于初中几何教学体系，是等腰直角三角形衍生的重要模型，近年来，一些教育工作者根据几何结构将其命名为等直内接等直模型。该模型通过在等腰直角三角形斜边中点构造新顶点形成嵌套结构，利用中点对称性与直角特性，形成多组线段相等、面积比例关系及特殊角度关系。该模型与“等直角+角分模型”结合后，可扩展至动态旋转问题的快速解题路径，是培养学生几何思维的重要工具。 ‌ （24-25八年级上·河南新乡·期末）如图所示，在中，，是边上的中线，点E是边上一动点（不与A、B重合），连结，过点P作的垂线交于点F，连结．有下列四个结论：①； ②是等腰直角三角形； ③； ④．其中一定正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 （2025·安徽六安·一模）如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 1）等直内接等直模型 条件：已知如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P为底边BC的中点，且∠EPF=90°。 结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④； ⑤；⑥。 （注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！） 证明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点是的中点 同理可得：， ，∵AB=AC，∴AE=FB； 又是直角，是等腰直角三角形，同理：易证是等腰直角三角形。 ∴AE+AF=FB+AF=AB，∴。 ，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴。 ∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴ 2）等直+高分线模型 条件：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点． 结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤． 证明：，，， ，，， ，，，， 在和中，，． 平分，， ∵，，，，， ，，，， ，，， ，是等腰三角形．，，， 平分，点到的距离等于点到的距离，， ∵，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。 模型1.等直内接等直模型 例1（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 例2（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在等腰直角中，，，于点F，点 D，E分别在边上，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例3（24-25八年级·河北·培优）如图，在中，，点是的中点，点在射线上运动，，交直线于，连接．在点运动的过程中，下列结论：①；②长度的最小值为2；③当点在之间运动时，四边形的周长和面积保持不变；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例4（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，在正方形中，点是对角线、的交点，过点作射线、分别交、于点、，且，、交于点，连接，．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④⑤其中正确的为（    ） A．①②④⑤ B．①②③④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 例5（24-25八年级上·山西临汾·期末）综合与实践 问题情景：在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图，在等腰中，，，点D是的中点，点E是直线上一个动点，过点D作，交直线于点F． 初步探究：（1）如图①，当点E在线段上时，请判断线段，的数量关系：________． 类比探究：（2）如图②，当点E在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． 拓展延伸：（3）如图③，在四边形中，，平分，以D为顶点作，交于点F，交于点E，若，求四边形的面积．（备注：所对的直角边等于斜边的一半） 模型2.等直+高分线模型 例1（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，，平分，与相交于点，，交延长线于，且垂足为，是边的中点，连接与相交于点，则下列结论①；②；③；④；⑤正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，等腰直角中，，于D，的平分线分别交、于E、F两点，M为的中点，延长交于点N，连接，，给出下列结论：①；②垂直平分；③是等腰三角形；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例3（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G． (1)求证：；(2)判断的数量关系，并说明理由；(3)若，求的长． 例4（24-25八年级上·湖北孝感·期中）在中，，，点为上一点，点为上一点，线段，交于点．    (1)若为的角平分线．①如图，已知，求证：；②如图，已知，求证：；(2)如图，若为的中线，且，试探究，，三条线段的数量关系是______（直接写出答案）． 1．（24-25九年级上·四川广元·期末）如图，在等腰中，，于点，将一直角三角尺的直角顶点放在点处，当三角尺绕点顺时针旋转时，两条直角边分别与交于点（点、分别在线段、上，端点除外），连接，则线段与的大小关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，等腰直角中，，于D，的平分线分别交、于E、F两点，M为的中点，延长交于点N，连接，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点D为边的中点，，将绕点D旋转，它的两边分别交、所在直线于点E、F，有以下4个结论：①；②；③；④当点E、F落在、的延长线上时，，在旋转的过程中上述结论一定成立的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，D是的中点，点E在上，点F在上，且．给出以下三个结论：（1）；（2）是等腰直角三角形：（3）S四边形CEDF．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，为斜边的中点，在内绕点转动，分别交边，于点，（点不与点，重合），下列说法正确的是（　　　） ①；②；③ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．（24-25八年级上·河南安阳·期中）如图，在中，，平分，于点E，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 7．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②为等腰三角形；③；④，其中正确结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25八年级上·黑龙江·期末）如图在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，BE与CD相交于点F，BF=2CE，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，下列结论中：  ①∠A=67.5°；②DF=AD；③BE=2BG；④DH⊥BC 其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，一位同学拿了两块同样的含45°的三角尺，即等腰直角MNK，等腰直角ACB做了一个探究活动：将MNK的直角顶点M放在ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a，猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为（    ） A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 10．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，在等腰直角中，，，延长至点D，使得，连接，的中线与交于点F，连接，过点B作交于点G．连接，．则下列说法正确的有（ ）（多选题） A． B． C．点G为的中点 D． 11．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在等腰直角中， ，点是的中点，且AC=3，将一块直角三角板的直角顶点放在点处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与、相交，交点分别为、，则 ．    10．（2025·遵义·校考一模）如图，在中，，，于点，过点作的平分线分别交，于点，，过点作交的延长线于点，若，则的长为 12．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在正方形中，点为对角线的中点，过点的射线，分别交，于点，，且，，交于点，有下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②是等腰直角三角形；③正方形的面积等于四边形面积的倍；④．其中正确结论的个数是 个．    13．（24-25八年级上·湖北·课后作业）如图，在等腰直角中，点是斜边的中点，以点为顶点的直角的两边分别与边，交于点，，连结．试说明是等腰三角形． 14．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图所示，直线交轴于点，交轴于点满足．(1)求点、的坐标；(2)如图1，若的坐标为，且于点交于点．①求证：．②试求点的坐标．(3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 15．（24-25八年级上·广西南宁·期中）甲、乙两个含角的等腰直角三角尺如图①放置，则有，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，则有，，现将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．交于M，交于N．(1)求证：；(2)如图③所示，连结和，请你证明：； (3)延长分别交，所在直线于点F，G，如图④，猜想并证明与的位置关系． 16．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，等腰直角中，，，点为上一点，于点，交于点，于点，交于点，连接，． (1)若，求证：垂直平分；(2)若点在线段上运动． ①请判断与的数量关系，并说明理由；②求证：平分． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $