精品解析： 江苏省无锡市江阴市澄要片2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

江阴市澄要片2025-2026学年第一学期期中考试 初二数学试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 81的平方根为（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．直接根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴81的平方根是． 故选：D． 2. 在实数、、、、、中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键在于掌握无理数的定义并且能够判别，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断每个数是否为无理数． 【详解】解： 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； ，是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； ∴ 无理数有和，共2个， 故选B． 3. 已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长是（　　） A. 5 B. 8 C. 11 D. 5或11 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意当腰为5或底边为5时，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为5时，底边长为21﹣2×5＝11，三角形的三边长为5，5，11，不能构成三角形； 当底边长为5时，腰长为（21﹣5）÷2＝8，三角形的三边长为8，8，5，能构成等腰三角形； 所以等腰三角形的底边为5． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 4. 如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论． 【详解】解：．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； ．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； ．不能作出的高，故该选项不符合题意； ．作出的是中边上的高线，故该选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形． 【详解】解：已知三角形的两角和夹边， ∴两个三角形全等的依据是， 故选：C． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 6. 如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点C在原点．以点C为圆心，为半径作半圆，交点C右侧数轴于点E，则E所表示的数为（ ） A. 1 B. 1.4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．先利用勾股定理求出的长，再由已知条件得到的长，据此求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：， ， 点E表示的数为． 故选：C． 7. 如图，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质．由全等三角形的性质得，，进而根据三角形的内角和定理得，从而即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，中，，，于，于，，，则的长为（  ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识． 由于，于，得，由，，得，而，即可根据“”证明，进一步即可得出结论． 【详解】解：∵于，于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 9. 如图，中，，平分，下列一定结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．在上截取，连接，证明，得，则，再由三角形的三边关系得，则，即可得出结论． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，等边△ABD与等边△ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，下列结论：（1）BE=CD ；（2）AF平分∠EAC ； （3）∠BFD=60°；（4）AF+FD=BF 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】（1）先证△BAE≌△DAC，即可得到BE=CD； （2）利用四点共圆的判定证出A、E、F、C四点共圆，再利用反证法假设（2）成立得到与条件矛盾即可说明假设不成立； （3）根据A、E、F、C四点共圆，可求出∠EFC，然后就可求∠BFD； （4）利用截长补短法：在BF上找到点G使得FG=FA，先证△AFG是等边三角形，再证 △BAG≌△DAF即可证出结论. 【详解】在BF上找到点G使得FG=FA，如下图所示： ∵△ABD和△ACE是等边三角形 ∴∠BAD=∠EAC=60°，AB=AD，AE=AC ∴∠BAD－∠EAD=∠EAC－∠EAD ∴∠BAE=∠DAC， 在△BAE和△DAC中， ∴△BAE≌△DAC，（SAS） ∴BE=CD，故（1）正确； ∠BEA=∠ACD， ∵∠AEB+∠AEF=180°， ∴∠AEF+∠ACF=180°， ∴A、E、F、C四点共圆， ∴假设（2）正确，即∠EAF=∠CAF 由圆的性质可得EF=FC ∴∠FEC=∠FCE ∴∠FEC＋∠AEC=∠FCE＋∠ACE ∴∠AEF=∠ACF 又∵∠AEF+∠ACF=180°（已证） ∴∠AEF=∠ACF=90° 而题中的∠AEF是动角，不一定是90°，矛盾， 故（2）不一定正确； ∵A、E、F、C四点共圆，∠EAC=60° ∴∠EFC=120°， ∴∠BFD=180°－∠EFC =60°，故（3）正确； ∵AE=AC， ∴∠AFC=∠AFE=∠EFC=60° ∵FG=FA， ∴△AFG是等边三角形， ∴AG=AF，∠FAG=60° ∵∠BAG+∠GAD=60°，∠FAD+∠GAD =60°， ∴∠BAG =∠FAD， 在△BAG和△DAF中， ∴△BAG≌△DAF（SAS）， ∴BG=FD， ∴AF＋FD=FG＋BG=BF，故（4）正确； ∴正确的结论有3个． 故选C． 【点睛】此题考查的是等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定、反证法，四点共圆的判定和圆的性质，此题难度较大，要学会借助辅助线解决问题. 二、填空题（本大题共8题9空，每小空3分，共27分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 将精确到百分位______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的近似数，精确到百分位，只需要对千分位上的数字进行四舍五入即可，熟练掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 【详解】解：精确到百分位的结果为， 故答案为：． 12. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分两种情况：顶角为和底角为，讨论求解即可． 【详解】解：当顶角为时，则底角为， 当底角为时，则底角为， 综上所述，它的底角是或， 故答案为：或． 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质，算术平方根和绝对值的值都大于等于零，它们的和为零时，每个部分都为零，由此可求出a和b的值． 【详解】解：因为，，且， 所以 且， 由，得，即， 由，得，即， 所以． 故答案为：． 14. 如图，已知，若以“ASA”判定，需添加的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟知判定三角形全等的方法是关键； 根据题意，题目中已有公共边，已知中有，若以“”判定，需添加的条件是． 【详解】解：在中， ∵，， ∴若以“”判定，需添加的条件是； 故答案为：． 15. 如图，，若和分别垂直平分和，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得，由线段垂直平分线的性质结合等边对等角得出，再由计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图：是等边三角形，，，相交于点，于，，，则的长是______________． 【答案】9 【解析】 【分析】在，易求，于是可求，进而可求，而，那么有. 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含有角直角三角形的性质，三角形全等判定及性质等相关内容，熟练掌握相关三角形性质及判定的证明是解决本题的关键. 17. 如图，中，D为边的中点，E为边的三等分点，线段、交于F，若，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】设，，根据为边的中点得出，，，根据为边的三等分点得出，，再列出关于、的方程组，求解即可． 【详解】解：设，， 为边的中点， ∴，，， 为边的三等分点， ∴，， ， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、角平分线和高，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 18. 如图，在中，点分别是的中点，，，，已知，，若连接，则的关系是______，图中长为______． 【答案】 ①. 且 ②. 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，连接，，延长到，使，连接，证明和全等得，，证明和都是等腰直角三角形得，则，由此可证明，进而依据“”判定和全等得，，则，，据此即可得出图中长，理解线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接，，延长到，使，连接，如图所示： ∵点是中点，， ∴是边的垂直平分线， ∴， ∵点是的中点，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：且，． 三、解答题（本大题共8小题，共63分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． 先计算立方根和算术平方根，乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解原式 ． 20. 求的值． （1） （2） 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查利用平方根解方程，求一个数的立方根． （1）先移项，利用平方根解方程即可； （2）通过求立方根解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴ ∴ ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴． 21. 已知某正数的两个不同平方根是和，的立方根为，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算和平方根与立方根的含义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先根据平方根的定义列出关于的方程，解方程求出，从而求出即可； （）根据立方根的定义列出关于的方程，解方程求出，再估算的大小，求出其整数部分，最后把，，代入进行计算，求出其平方根即可． 【小问1详解】 解：∵正数的两个不同平方根是和， ∴， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵的立方根为， ∴， ∴， ∵， ∴的整数部分， ∴， ∴， ∴的平方根为． 22. 如图，点E在线段AC上，BC∥DE，AC＝DE，CB＝CE，求证：∠A＝∠D． 【答案】 证明：∵BC∥DE， ∴∠BCA＝∠CED， 在△ABC和△DCE中，， ∴△ABC≌△DCE(SAS)， ∴∠A＝∠D． 【解析】 【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定可以判断△ABC≌△DCE，然后根据全等三角形的性质即可证明结论成立． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答． 23. 如图，在的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，用无刻度的直尺，在给定的网格中画图． （1）在图1中找一点D，使得D到、的距离相等； （2）在图1中画出三角形的高线； （3）在图2中画的垂直平分线，再在上找一点M，使得． 【答案】（1） 所作点D如图所示： （2）所作三角形的高线如图所示； （3） 所作图形如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质是解题的关键； （1）根据角平分线的性质定理可进行作图； （2）根据直角三角形的性质及平行线的性质可进行作图； （3）根据等腰直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 先构造等腰直角三角形，然后再分别画出该等腰直角三角形斜边的中点M和的中点G，连接，则问题可求解． 24. 阅读与理解： 小明在学习了有关平方根的知识后，知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于-1，所以-1没有平方根．有一天，善于思考的小明想：如果存在一个数i，使，那么，因此就有两个平方根了．进一步，小明想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根就是．请你根据上面的信息解答下列问题： （1）求，的平方根（写成因为……，所以……的形式）； （2）求的值； （3）利用所学公式求和的值． 【答案】（1）的平方根就是；的平方根就是 （2） （3）； 【解析】 【分析】本题主要考查平方根及乘法公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给运算可进行求解； （2）由题意易得，，，，进而问题可求解； （3）根据平方差公式及完全平方公式可进行求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴的平方根就是， ∵， ∴的平方根就是． 【小问2详解】 解：∵，，，， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：， ． 25. 在直角三角形中，过一个锐角顶点的一条直线将直角三角形分成一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这条直线是该直角三角形的“直角等腰线”． （1）如图1，在中，，，若，判断是否为的“直角等腰线”并说明理由；（在图1中利用无刻度的直尺和圆规画出直线） （2）如图2，在中，，，，若为的“直角等腰线”，点E在上，在图2中利用无刻度的直尺和圆规画出点E，则点E到的距离为______． 【答案】（1） 是．理由如下：如图 在中，，， ， ，， ， ， ，即是等腰三角形， 是直角三角形， 是的“直角等腰线” （2）点即为所求作的点． 点E到的距离为2 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，尺规作图，角平分线的性质，理解“直角等腰线”的定义是解题的关键． （1）是．只需证即可； （2）作的平分线交于点，点即为所求作的点，过点于点，求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，作的平分线交于点， 过点于点， , ， 令，则， 在中，， ，即， 解得， ， 点E到的距离为． 26. 综合与实践： 小明想知道一张纸的长宽比（长除以宽），他设计了如下方案： （1）他拿出一张纸，如图1，量出长和宽分别是297毫米和210毫米，请你帮小明计算一下纸大致长宽比______；（保留1位小数） （2）小明受图2启发，将一纸按图3的方式先沿折叠，再沿折叠后发现和重合，若长方形的宽为2，则它的长为______； （3）小明发现，两张纸可以拼成一张纸，并且长宽比保持不变，你能由此得出纸的长宽比吗？请说明理由； （4）继续深入，小明发现两张纸可以拼成一张，两张纸可以拼成一张，……问：纸的面积是纸的几倍？（画出图形再回答） 【答案】（1）1.4 （2） （3） 纸的长宽比，理由如下， 设纸的长为，则宽为， ∵两张纸可以拼成一张纸， ∴纸的长为，则宽为， ∵长宽比保持不变， ∴， ∴（负值已舍）， ∴，即纸的长宽比为； （4）16倍， 如图： 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，规律探究，勾股定理，算术平方根的应用． （1）根据题意计算即可求解； （2）根据折叠的性质得到为等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可； （3）设纸的长为，则宽为，则纸的长为，则宽为，根据长宽比保持不变，列式计算即可求解； （4）由（3）的结论以及画图即可求解． 【小问1详解】 解：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵长方形的宽为2， ∴，， 由折叠的性质得， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴，即长方形的长为， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：设纸面积为，则纸面积为，纸面积为，纸的面积为，纸面积为， ∴纸的面积是纸的倍． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江阴市澄要片2025-2026学年第一学期期中考试 初二数学试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 81的平方根为（ ） A. 9 B. C. D. 2. 在实数、、、、、中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长是（　　） A. 5 B. 8 C. 11 D. 5或11 4. 如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A. B. C. D. 6. 如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点C在原点．以点C为圆心，为半径作半圆，交点C右侧数轴于点E，则E所表示的数为（ ） A. 1 B. 1.4 C. D. 7. 如图，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，于，于，，，则的长为（  ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，中，，平分，下列一定结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边△ABD与等边△ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，下列结论：（1）BE=CD ；（2）AF平分∠EAC ； （3）∠BFD=60°；（4）AF+FD=BF 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8题9空，每小空3分，共27分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 将精确到百分位______． 12. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是__________． 13. 若，则______． 14. 如图，已知，若以“ASA”判定，需添加的条件是______． 15. 如图，，若和分别垂直平分和，则的度数是______． 16. 如图：是等边三角形，，，相交于点，于，，，则的长是______________． 17. 如图，中，D为边的中点，E为边的三等分点，线段、交于F，若，则______． 18. 如图，在中，点分别是的中点，，，，已知，，若连接，则的关系是______，图中长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共63分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 求的值． （1） （2） 21. 已知某正数的两个不同平方根是和，的立方根为，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 22. 如图，点E在线段AC上，BC∥DE，AC＝DE，CB＝CE，求证：∠A＝∠D． 23. 如图，在的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，用无刻度的直尺，在给定的网格中画图． （1）在图1中找一点D，使得D到、的距离相等； （2）在图1中画出三角形的高线； （3）在图2中画的垂直平分线，再在上找一点M，使得． 24. 阅读与理解： 小明在学习了有关平方根的知识后，知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于-1，所以-1没有平方根．有一天，善于思考的小明想：如果存在一个数i，使，那么，因此就有两个平方根了．进一步，小明想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根就是．请你根据上面的信息解答下列问题： （1）求，的平方根（写成因为……，所以……的形式）； （2）求的值； （3）利用所学公式求和的值． 25. 在直角三角形中，过一个锐角顶点的一条直线将直角三角形分成一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这条直线是该直角三角形的“直角等腰线”． （1）如图1，在中，，，若，判断是否为的“直角等腰线”并说明理由；（在图1中利用无刻度的直尺和圆规画出直线） （2）如图2，在中，，，，若为的“直角等腰线”，点E在上，在图2中利用无刻度的直尺和圆规画出点E，则点E到的距离为______． 26. 综合与实践： 小明想知道一张纸的长宽比（长除以宽），他设计了如下方案： （1）他拿出一张纸，如图1，量出长和宽分别是297毫米和210毫米，请你帮小明计算一下纸大致长宽比______；（保留1位小数） （2）小明受图2启发，将一纸按图3的方式先沿折叠，再沿折叠后发现和重合，若长方形的宽为2，则它的长为______； （3）小明发现，两张纸可以拼成一张纸，并且长宽比保持不变，你能由此得出纸的长宽比吗？请说明理由； （4）继续深入，小明发现两张纸可以拼成一张，两张纸可以拼成一张，……问：纸的面积是纸的几倍？（画出图形再回答） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $