精品解析：河南省商丘市豫东综合物流产业聚集区私立学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键． 根据一元二次方程的一般形式，直接读取二次项系数、一次项系数和常数项即可得到答案． 【详解】解：∵方程中，的系数为3，的系数为，常数项为1， ∴ 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1， 故选：A． 2. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数定义，熟记二次函数定义是解决问题的关键． 根据二次函数的定义：形如（），判断各选项是否满足该形式，即可得到答案． 【详解】解：A：，为一次函数，不满足二次函数定义，不符合题意； B：，满足二次函数定义，是二次函数，符合题意； C：，的次数不是正整数，不满足二次函数定义，不符合题意； D：，为一次函数，不满足二次函数定义，不符合题意； 故选：B． 3. 点关于原点对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 【详解】解：已知点, 则点关于原点对称的点的坐标是， 故选： C． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 4. 若一元二次方程有一个根是，则的值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由一元二次方程的根求参数，熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 将已知根代入一元二次方程，解关于的一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的根， ∴代入得， 即， ∴， 解得， 故选：A． 5. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质是解答此题的关键．根据圆内接四边形性质得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 已知点，，在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数比较函数值大小，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键． 由二次函数图象与性质得到二次函数的开口向下，对称轴为，从而得到抛物线上的点到对称轴距离越近值越大，求出点，，到抛物线对称轴的距离，比较距离大小即可得到答案． 【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为， 由二次函数图象与性质可知，抛物线上的点到对称轴距离越近值越大， 点，，到对称轴的距离为、、， ， ， 故选：C． 7. 如图，在正方形网格中，三角形①绕某点旋转一定角度得到三角形②，其旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，旋转中心的确定． 根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线，交于点B， ∴点B为旋转中心． 故选：B． 8. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由判别式判断一元二次方程根的情况，熟记一元二次方程判别式与根的情况对应关系是解决问题的关键． 通过计算每个一元二次方程的判别式，判断根的情况：若，则一元二次方程有两个不相等的实数根，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A：，一元二次方程无实数根，不符合题意； B：，一元二次方程有两个相等的实数根，不符合题意； C：，一元二次方程有两个不相等的实数根，符合题意； D：，一元二次方程有两个相等的实数根，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，正方形的顶点在坐标原点，在轴上，在轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、正方形的性质熟练掌握旋转的性质，分顺时针和逆时针旋转两种情况是解答的关键． 【详解】解：∵正方形中，点在上， ∴正方形的边长为， ∴点坐标是，点坐标是， 第一种情况：顺时针旋转， 当绕点顺顺时针旋转时，在轴上， ∵，旋转后与重合，旋转后与轴重合，且，， ∴， ∴点； 第二种情况：逆时针旋转， 绕点逆时针旋转， 当绕点顺顺时针旋转时，在第一象限， 此时横坐标等于长度，纵坐标为， ∴坐标为， 所以旋转后点的对应点的坐标是或． 故选：C． 10. 把抛物线位于x轴上方的部分保留，下方的部分沿x轴翻折，得到新图象，若直线与新图象有且只有3个公共点，则b的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，根据题意，得到当直线过点时，直线（b为常数）与新图象恰有三个公共点，当直线与抛物线的翻折的部分只有一个交点时，满足题意，进行求解即可． 【详解】解：令， 解得：， ∴， ∵翻折， ∴翻折部分的解析式为：； 当直线过点时，直线（b为常数）与新图象恰有三个公共点， 把代入，得：； 当直线与只有一个交点时，满足题意， 令， 整理，得：， 则：， 解得：； 综上：或； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写一个对称轴是直线的二次函数解析式_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此求解即可． 【详解】解：符合题意的二次函数解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 一元二次方程根是_______． 【答案】，##， 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： ， 或， 所以，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 13. 若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是__________． 【答案】八（或8） 【解析】 【分析】根据正多边形的每一个内角为，求出正多边形的每一个外角，根据多边形的外角和，即可求出正多边形的边数． 【详解】解：根据正多边形每一个内角为 正多边形的每一个外角为： 多边形的边数为： 故答案为八． 【点睛】考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是解题的关键． 14. 如图，是半圆O的直径，将绕点A逆时针旋转得到线段，若，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出与，再利用勾股定理求得，然后分别求出、、，再利用求解即可． 【详解】解：如图，交半圆于点，过点作于点，连结， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了含度角的直角三角形，用勾股定理解三角形,求扇形面积,求其他不规则图形的面积,根据旋转的性质求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 15. 如图，是等边三角形，，点在上，，是中点，将线段绕点旋转，点的对应点为，连接、，当为直角三角形时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的性质，旋转的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 根据题意，判断出只能是，分两种情形，当点在内时，，此时点、、三点共线，且在、之间；当点在外时，，此时点、、三点共线，且在、之间，分别通过勾股定理求的长即可． 【详解】解：是等边三角形，，是中点， 只能是，， 由题意可得， 当点在内时，，此时点、、三点共线，且在、之间， ， ， ； 当点在外时，，此时点、、三点共线，且在、之间，此时，， ， 故答案：或． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法、公式法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用解一元二次方程——因式分解法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程——公式法进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：因式分解得， 则或， 解得，． 【小问2详解】 ， ，，，， ∴， 即，． 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）求a的值； （2）求此抛物线的对称轴； （3）当x为何值时，函数y随x的增大而增大？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由函数图象上的点的坐标满足函数解析式求得a的值是解题的关键． （1）把A点坐标代入抛物线解析式可得到关于a的方程，可求得a的值； （2）根据对称轴公式求解即可； （3）利用二次函数的开口方向、增减性可求得答案． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 解得． 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式， ∴对称轴为直线． 【小问3详解】 解：∵ ∴抛物线开口向上， 又对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大． 18. 如图，是的弦，于点，交于点，点在上． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．解题的关键是注意相关定理的应用． （1）由，根据垂径定理可得，然后由圆周角定理，即可求得的度数； （2）根据，，由勾股定理可求得的长度，继而可得出的值． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 ， 在中，， ， ． 19. 如图，三个顶点坐标分别为、、，请在正方形网格中按要求画图： （1）以为旋转中心，将绕点逆时针旋转得，画出； （2）画出关于轴对称的； （3）直接写出与的位置关系：______． 【答案】（1）图形见解析 （2）图形见解析 （3）平移后成轴对称 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形： （1）以为旋转中心，将点和点绕点B逆时针旋转90°，得到点和点，连接点、点和点，图形即为所求． （2）以轴为对称轴，点、、的对应点为点、、，顺次连接点、、，即为所求． （3）将沿着方向平移，使得点与点重合，此时与关于点和点确定的直线成轴对称． 【小问1详解】 图形即为所求． 【小问2详解】 即为所求． 【小问3详解】 将沿着方向平移，使得点与点重合，此时与关于点和点确定的直线成轴对称． 故答案为：平移后成轴对称 20. 如图，是的直径，与相切于点，于点，连接、． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质可得，再根据以及半径相等即可证明是的角平分线； （2）利用圆周角定理得到，再证明，对应边成比例即可求出的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的切线， ． 又， ． ． ， ． ． 平分． 【小问2详解】 解：在中，， 是直径， ． 又， ， ，即，解得． 21. 某服装店销售一批品牌衬衫，每件进价50元，规定销售单价不低于55元，且获利不高于．试销时发现，当销售单价定为55元时，每天可售出200件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件．设每天销售量为y件，销售单价为x（x为正整数）元． （1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当每件衬衫销售单价是多少元时，服装店每天获利1500元？ （3）销售单价定为多少元时，服装店每天销售衬衫获得的利润w最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）， （2）60元或65元 （3）单价定为62元或63元时，服装店每天销售衬衫获得的利润w最大，最大利润1560元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用－销售最值问题，根据条件建立二次函数模型是解题关键． （1）每日销售量＝，据此可进行求解． （2）总利润=销量单件利润，据此可进行求解． （3）总利润=销量单件利润，据此建立二次函数模型，结合二次函数性质求出最值． 【小问1详解】 解：由题意，， 进价50元，获利不高于， 售价不高于元， x的取值范围是． 答：y与x之间的函数关系式为，x的取值范围为． 【小问2详解】 解：由题意，， 整理得， 解得，，均在取值范围内． 答：单价是60元或65元． 【小问3详解】 解：由题意，， 对称轴为，x为正整数， 或时，w最大， 最大利润为（元）． 答：单价定为62元或63元时，有最大利润1560元． 22. 如图，抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） （3）坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． （1）将、代入求出、的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式可得当时，函数有最小值，求出当、时相应的值即可； （3）求出，设，则，即可求解． 【小问1详解】 解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为，顶点坐标为； 【小问2详解】 抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，； 【小问3详解】 、， ， 设， 则， 即， 解得， 此时或 ， 坐标为或或或． 23. 如图，两个等腰直角三角形和，． （1）如图1，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）如图2，将绕点旋转，（1）中的结论是否成立？请说明理由； （3）若，，当、、三点共线时，直接写出的长． 【答案】（1）， （2）成立，理由见解析 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）延长交于，由等腰直角三角形性质及三角形全等的判定定理证明，再由全等性质得到，，从而确定，； （2）结论不变．延长交于，交于，由三角形全等的判定定理证明，再由全等性质得到，，从而确定，； （3）分两种情况：当射线在直线上方时，作于；当射线在直线的下方时，作于，分别利用等腰三角形的性质、勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，延长交于， 和都是等腰直角三角形，， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，即， 故答案为：，； 【小问2详解】 成立，理由如下： 如图，延长交于，交于， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，即； 【小问3详解】 如图，当射线在直线上方时，作于， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ； 当射线在直线的下方时，作于， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 点关于原点对称的点的坐标是（　　） A B. C. D. 4. 若一元二次方程有一个根是，则的值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 5. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形网格中，三角形①绕某点旋转一定角度得到三角形②，其旋转中心（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 8. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的顶点在坐标原点，在轴上，在轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 把抛物线位于x轴上方的部分保留，下方的部分沿x轴翻折，得到新图象，若直线与新图象有且只有3个公共点，则b的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写一个对称轴是直线的二次函数解析式_____． 12. 一元二次方程的根是_______． 13. 若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是__________． 14. 如图，是半圆O的直径，将绕点A逆时针旋转得到线段，若，则图中阴影部分的面积是______． 15. 如图，是等边三角形，，点在上，，是中点，将线段绕点旋转，点的对应点为，连接、，当为直角三角形时，的长为______． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）求a的值； （2）求此抛物线的对称轴； （3）当x为何值时，函数y随x的增大而增大？ 18. 如图，是的弦，于点，交于点，点在上． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 19. 如图，三个顶点坐标分别为、、，请在正方形网格中按要求画图： （1）以为旋转中心，将绕点逆时针旋转得，画出； （2）画出关于轴对称的； （3）直接写出与的位置关系：______． 20. 如图，是的直径，与相切于点，于点，连接、． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 21. 某服装店销售一批品牌衬衫，每件进价50元，规定销售单价不低于55元，且获利不高于．试销时发现，当销售单价定为55元时，每天可售出200件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件．设每天销售量为y件，销售单价为x（x为正整数）元． （1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当每件衬衫销售单价多少元时，服装店每天获利1500元？ （3）销售单价定为多少元时，服装店每天销售衬衫获得的利润w最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 23. 如图，两个等腰直角三角形和，． （1）如图1，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）如图2，将绕点旋转，（1）中的结论是否成立？请说明理由； （3）若，，当、、三点共线时，直接写出长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $