精品解析：贵州省遵义市凤冈县2025-2026学年高二上学期11月期中学业水平质量监测数学试卷

凤冈县2025-2026学年度第一学期期中学业水平质量监测 高二年级数学试卷 （满分：150分，时间：120分钟） 注意事项： 1．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码． 2．选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式得集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】因为， 又， 所以. 故选：A 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法法则计算，再结合共轭复数定义得结论． 【详解】由题意， 所以， 故选：B． 3. 已知是两条不重合的直线，是两个互不重合的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行和线面垂直的判定定理和性质定理逐一判断即得. 【详解】对于A：两条直线与同一平面平行，那么这两条直线有可能相交、异面、平行，所以A错误； 对于B：若，则可能平行、可能垂直，可能异面，所以B错误； 对于C：若，则或，所以C错误； 对于D：如图所示，过直线作平面，使得 ，由，可得， 又，，所以，故，即D正确. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合同角三角函数平方关系求出，再由两角和的正弦公式即可求解. 【详解】由，又，所以， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 故选：D. 5. 在正方体中，点分别为与的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别取线段的中点，证明，即得直线与所成角是或其补角，借助于中求出即可. 【详解】分别取线段的中点，连接， 因，，则四边形为平行四边形，则， 因，则， 则直线与所成角是或其补角， 设正方体的棱长为，则在中，， 在中，，在中，， 则， 故直线与所成角的余弦值为. 故选：D 6. 用一个平面去截正方体，不可能截得的是以下平面图形中的（ ） A. 正三角形 B. 梯形 C. 直角三角形 D. 矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合正方体的几何结构特征，以及正方体截面的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，在正方体中，连接， 此时截面为等边三角形，所以A不符合题意； 对于B中，取的中点分别为，连接， 可得，且，所以， 所以截面为等腰梯形，所以B不符合题意； 对于D中，在正方体中，截面为矩形，所以D不符合题意； 对于C中，在分别取点，设， 可得， 则， 同理可得：，所以均为锐角， 所以截面为锐角三角形，所以C符合题意. 故选：C. 7. 如图，在平行六面体中，与相交于点，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，利用空间向量的线性运算即得. 【详解】由图可得 . 故选：B 8. 已知正三棱锥的四个顶点都在半径为R的球面上，且，若三棱锥的体积为，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中心，设球心为，先由三棱锥的体积求出棱锥的高为，再由勾股定理求出球的半径，最后求表面积即可. 【详解】 由题意得，为等边三角形，取的中心，设球心为，易得共线，设三棱锥的高为， ，则，则，又， 由正弦定理得，，在中，，即， 解得，则球的表面积为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则在上的投影向量为 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算判断A，根据投影向量的定义判断B，根据向量模的坐标表示判断C，由求出的范围，即可判断D. 【详解】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：当时，，则，， 所以在上的投影向量，故B正确； 对于C：若，则，解得，故C错误； 对于D：若与的夹角为钝角，则，解得， 若，则，方程无解，所以与不共线， 所以若与的夹角为钝角，则，故D错误. 故选：AB 10. 已知均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可. 【详解】A选项，任取符合，但是，故A错误； B选项，由于，则，即，故B正确； C选项，若，则，同时乘以可得，同时乘以可得，则，故C正确； D选项，若，，则，则，即，故D正确. 故选：BCD. 11. 在棱长为1的正方体中，点是正方形内一点，下列说法正确的是（ ） A. 若点与点不重合时，平面平面 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若点在线段上，则异面直线与所成角的取值范围 D. 若点在线段上，则三棱锥体积不变 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明平面，即可判断A，求出，即可判断B，设，利用空间向量法求出异面直线夹角余弦值的取值范围，即可判断C，证明平面，即可判断D. 【详解】对于A：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，， 所以，，， 所以，，所以，，即，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故A正确； 对于B：当在点时，不符合题意，故当不在点， 因为平面，平面，所以， 所以，解得， 又点是正方形内一点，所以在以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧上， 所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C：设，则， 又， 设异面直线与所成角为， 则， 当时，又，所以； 当且时 因为且，所以，所以， 则，，，， 即，又，所以， 综上可得，异面直线与所成角的取值范围，故C正确； 对于D：因为，平面，平面，所以平面， 又点在线段上，所以点到平面的距离为定值，设为，又的面积为定值， 所以为定值，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边经过点，则___________； 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再由诱导公式计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 则. 故答案为： 13. 若一个正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则这个三棱台的体积为___________； 【答案】## 【解析】 【分析】求出正三棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解. 【详解】设上下底面的外心分别为，过作底面的垂线交于点， 上、下底面三角形的高分别为，， 所以，， 所以，又， 所以正三棱台的高为， 上底面积为，下底面积为， 所以正三棱台的体积为. 故答案为：. 14. 已知表示不超过的最大整数，例如，，，函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出函数在上的值域与单调性，结合取整函数的定义求出，即可得解. 【详解】因为， 当时，则，则，所以， 所以， 即， 又在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减， 又，则； 又，所以当时，则， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别是，已知. （1）求； （2）若，且的周长为，求. 【答案】（1）或； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，进而求出. （2）由（1）的结论，利用余弦定理列式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得，而， 则，又， 所以或. 【小问2详解】 由的周长为，，得， 在中，由余弦定理得，即， 则，当时，，于是，，此方程无解； 当时，，于是，解得或， 所以当时，无解；当时，或. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，进而可得，由等边三角形的性质可得，再由线面垂直的判定定理即可求证； （2）如图建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，由空间向量夹角公式即可得二面角平面角的余弦值，再由同角三角函数基本关系即可得正弦值. 【小问1详解】 因为底面为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，面， 所以平面， 因为面，所以， 又因为是正三角形，是的中点， 所以，所以平面. 因为，所以平面； 【小问2详解】 过在平面内作的垂线，知与，两两垂直， 以为坐标原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系，设， 有，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，， 所以； 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得， 所以； 设二面角的平面角为， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，当的长为（为的中点）或（为的靠近点的一个四等分点）. 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，即可证明，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，假设棱上是否存在一点，直线与平面所成角的正弦值为，设且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可. 【小问1详解】 连接，交于点，连接， 因为底面为矩形，所以点是的中点， 又点是的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为底面为矩形，底面， 所以以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 又， 设， 则， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，所以，解得或， 又， 当时，，即为的中点， 当时，，即为的靠近点的一个四等分点， 即当的长为（为的中点）或（为的靠近点的一个四等分点）时，直线与平面所成角的正弦值为. 18. 某校为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求1800名学生中物理测试成绩在内的频数、频率. （2）学校建议，本次物理测试成绩不低于a分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有70%的学生选择物理为高考考试科目，试求a的估计值（结果精确到0.1）. （3）已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值. 【答案】（1）;0.15 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图各小矩形面积和为1及频率、频数的关系求解. （2）根据频率分布直方图求第70百分位数可得； （3）根据方差的求法，方差转化为，进而可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得物理测试成绩在的频率为： ， 频数为， 所以1800名学生中物理测试成绩在内的频数为270. 【小问2详解】 易得前两段频率之和为，前三段频率之和，则有， 满足，所以（分）. 【小问3详解】 成绩在的频数为人，， 成绩在的频数为人，， 所以的学生成绩的平均值为， 由方差公式知，， 所以该班成绩的方差为： 所以的最大值为． 19. 在如图所示的平行六面体中，，． （1）以为空间的一个基底，求平面的一个法向量； （2）求点到平面的距离； （3）若动点满足，求直线与平面所成角正弦值的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设及平面法向量的定义，设为平面的一个法向量，有，结合向量数量积的运算律，列方程求参数值即可得； （2）应用向量数量积的运算律求得，，再应用点面距离的向量求法求点面距离； （3）求出及其模，再设直线与平面所成角为，再运用向量夹角公式表示出，再利用换元法结合的范围求出的范围即可. 【小问1详解】 由题知，，， 设为平面的一个法向量， 则，所以， 所以，令，则， 故为平面的一个法向量； 【小问2详解】 ， ， 点到平面的距离为； 【小问3详解】 . · 由（2）可知，， 则. ， 设直线与平面所成角为，则 . 令， 当时，，则； 当时， 则， 再令 则， 当，，故. 则. 综上所述，，即直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤冈县2025-2026学年度第一学期期中学业水平质量监测 高二年级数学试卷 （满分：150分，时间：120分钟） 注意事项： 1．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码． 2．选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是两条不重合的直线，是两个互不重合的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在正方体中，点分别为与的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 用一个平面去截正方体，不可能截得的是以下平面图形中的（ ） A. 正三角形 B. 梯形 C. 直角三角形 D. 矩形 7. 如图，在平行六面体中，与相交于点，记，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱锥的四个顶点都在半径为R的球面上，且，若三棱锥的体积为，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则在上的投影向量为 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则 10. 已知均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 11. 在棱长为1的正方体中，点是正方形内一点，下列说法正确的是（ ） A. 若点与点不重合时，平面平面 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若点在线段上，则异面直线与所成角的取值范围 D. 若点在线段上，则三棱锥体积不变 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边经过点，则___________； 13. 若一个正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则这个三棱台的体积为___________； 14. 已知表示不超过的最大整数，例如，，，函数，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别是，已知. （1）求； （2）若，且的周长为，求. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 18. 某校为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求1800名学生中物理测试成绩在内的频数、频率. （2）学校建议，本次物理测试成绩不低于a分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有70%的学生选择物理为高考考试科目，试求a的估计值（结果精确到0.1）. （3）已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值. 19. 在如图所示的平行六面体中，，． （1）以为空间的一个基底，求平面的一个法向量； （2）求点到平面的距离； （3）若动点满足，求直线与平面所成角正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $