精品解析：江西省宜春市上高县第五中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年上学期初二年级数学期中考试试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下面四个手机的图标中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，已知，，那么判定的依据是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一副三角板，按图所示叠放在一起，其中，，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把沿线段折叠，使点A落在点F处，，若（），则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算______． 8. 已知点和关于x轴对称，则____． 9. 如图，在中，平分若则____． 10. 如图，小明用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放一个等腰直角三角尺，点在上，点，分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为__________． 11. 如图，是中，点D为边上任意一点（点D不与点B、点C重合），点分别是线段的中点，连结．若的面积为8，则的面积为 _______． 12. 已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____． 三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 用一条长为的细绳能围成有一边长为的等腰三角形吗?如果能，请求出它的底边长? 15. 已知，如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D是BC边上的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF． 16. 已知：如图，在平面直角坐标系中． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标； （2）直接写出△A1B1C1的面积为____________； （3）在x轴上画点P，使PA＋PC最小(保留作图痕迹）． 17. 已知图①、图②都是轴对称图形．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）在图①中，作出该图形的对称轴l； （2）在图②中，作出点P的对称点． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 19. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为F、G． （1）求证：AG=CF； （2）若BG=5，AC=6，求△ABC的周长． 20. 已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，求证： （1）； （2） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. （1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 22. 已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN． （Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想； （Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数． 六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 23. 如图，在中，，高、相交于点，，且． （1）请说明的理由； （2）动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； （3）在（2）的条件下，点是直线上的一点，且当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期初二年级数学期中考试试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下面四个手机的图标中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选不项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选不项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选不项符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 2. 如图，已知，，那么判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据，证明三角形全等即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴； 故选C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方，幂的乘方且负数的奇数次幂为负，偶数次幂为正逐项计算判断即可；本题主要考查了指数运算规则，包括积的乘方、幂的乘方以及负数的乘方运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：选项A：，故错误； 选项B：，故错误； 选项C：，故正确； 选项D：，故错误； 故选：C． 4. 一副三角板，按图所示叠放在一起，其中，，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角板上的特殊角度，结合三角形外角的定义和性质解答即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ， ， ，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键． 5. 如图，把沿线段折叠，使点A落在点F处，，若（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠性质得出，再由平行可知，进而得出与和的关系，根据平角的性质列出的等量关系式，求解即可得出答案． 【详解】由折叠的性质可知， 又， ∴． ∴， ∴ ， 故选B． 【点睛】本题考查的是折叠的性质、平行线的性质，三角形的内角和以及平角的性质，熟练掌握相关性质是解决本题的关键． 6. 如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可以把关于对称到的点，如此的最小值问题即变为与线段上某一点的最短距离问题，最后根据垂线段最短的原理得解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，则，连接，过点作于点，所以、、三点共线时，，此时有可能取得最小值， 当垂直于即移到位置时，的长度最小， 的最小值即为的长度， ， ，即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 已知点和关于x轴对称，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数得到的大小求解即可得到答案． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 9. 如图，在中，平分若则____． 【答案】1 【解析】 【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作于点F， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键． 10. 如图，小明用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放一个等腰直角三角尺，点在上，点，分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； 由题意得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 故答案为10． 11. 如图，是中，点D为边上任意一点（点D不与点B、点C重合），点分别是线段的中点，连结．若的面积为8，则的面积为 _______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据中线与面积的关系即可求解． 【详解】解：的高相等 故 的高相等 故 因为是线段的中点 所以 故答案为：２ 【点睛】本题考查中线与面积的关系．抓住“等高模型”是解题关键． 12. 已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____． 【答案】40°或90°或140° 【解析】 【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】解：①如图， 当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线， ∵∠ABC=110°，∠DBC=90°， ∴∠ABD=20°， ∵AD=BD， ∴∠A=∠ABD=20°， ∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°； ②如图， 当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，； ③如图， 当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线， ∵∠ABC=110°，∠ABD=90°， ∴∠DBC=20°， ∵CD=BD， ∴∠C=∠DBC=20°， ∴∠BDC=140°． 综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查幂的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算乘方和幂的乘方，最后根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （2）原式先计算积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的乘法，最后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 用一条长为的细绳能围成有一边长为的等腰三角形吗?如果能，请求出它的底边长? 【答案】能，底边为或． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系，明确题意，利用分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键． 利用分类讨论，令分别为腰和底边的方法求出是否可以组成三角形，然后得出底边长度． 【详解】解：能围成有一边长为的等腰三角形， 理由如下： 当腰长为时，则底边长为， ， 能围成有腰长为9的等腰三角形， 当底边长为时，则每个腰长为， ， 能围成有底边长为9的等腰三角形， 由上可得，三角形的底边为或． 15. 已知，如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D是BC边上的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF． 【答案】 证明：∵△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D是BC边上的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠FAD＝45°， ∴AD＝BD＝DC， 又∵∠EDF＝90°，∠ADB＝90°， ∴∠EDB＝∠FDA＝90°﹣∠ADE， 在△ADF和△BDE中 ∴△ADF≌△BDE（ASA）， ∴BE＝AF． 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质得到AD⊥BC，∠ADB=90°，由三角形内角和定理得到∠B=∠C=45°，∠BAD=∠FAD=45°，进而可得到AD=BD=DC，∠EDB=∠FDA，根据ASA证出△ADF≌△BDE即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，能求出△ADF≌△BDE是解此题的关键． 16. 已知：如图，在平面直角坐标系中． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标； （2）直接写出△A1B1C1的面积为____________； （3）在x轴上画点P，使PA＋PC最小(保留作图痕迹）． 【答案】（1） 解：如图，△A1B1C1即为所求作的三角形， 点，，． （2） （3） 如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）作出点A、B、C关于y轴对称的对应点、、，然后顺次连接即可作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，写出△A1B1C1三个顶点的坐标即可； （2）根据网格利用割补法即可求出△A1B1C1的面积； （3）取点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，即可使PA＋PC最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 △A1B1C1的面积可以利用△A1B1C1所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积，则： ＝2×3−×1×2−×1×2−×1×3＝． 故答案为：． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 17. 已知图①、图②都是轴对称图形．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）在图①中，作出该图形的对称轴l； （2）在图②中，作出点P的对称点． 【答案】（1） 如图所示，FE即为所求对称轴l， （2） 如图所示，点即为所求， 【解析】 【分析】（1）连接AC、BD交于点F，连接FE，FE即为所求对称轴l； （2）延长AD、BC交于点E，令AC、BD的交点为F，连接EF并延长交AB于点H，EH所在直线为该图形的对称轴，连接BP，交EH于点G，连接AG并延长，交BC于点，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查轴对称图形，尺规作图，找出图形的对称轴是解题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后由直角三角形的锐角互余得到，结合对顶角相等，即可根据等角对等边证得结论； （2）根据已知条件可知是等边三角形，进而得到，由30度角所对直角边等于斜边的一半得到，然后根据线段的和差运算即可求得的长，从而得到的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 19. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为F、G． （1）求证：AG=CF； （2）若BG=5，AC=6，求△ABC的周长． 【答案】 （1）证明：连接AD、DC． ∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC， ∴DG=DF． ∵D在AC的中垂线上， ∴DA=DC． 在Rt△DGA与Rt△DFC中， ∵DG=DF，DA=DC， ∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL） ∴AG=CF； （2）△ABC的周长为16． 【解析】 【分析】（1）连接AD、DC，根据角平分线的性质和中垂线的性质得DG=DF，DA=DC，进而得Rt△DGA≌Rt△DFC，即可得到结论； （2）先证Rt△BDG≌Rt△BDF，得BG=BF，结合AG=CF，进而即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）由（1）知DG=DF． 又∵BD=BD， ∴Rt△BDG≌Rt△BDF， ∴BG=BF． 又∵AG=CF， ∴C△ABC=AB＋BC＋AC=BG－AG＋BF＋FC＋AC=2BG＋AC=2×5＋6=16． 答：△ABC的周长为16． 【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，中垂线的性质定理，掌握角平分线的性质，中垂线的性质定理以及用HL证直角三角形全等，是解题的关键． 20. 已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，求证： （1）； （2） 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ≌； （2） 解：由（1）知：， ， ， ， ， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等边三角形的性质可得，，再利用“边角边”证明和全等； （2）通过全等的性质得到，证得，再根据，得到，进而得 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. （1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）．证明如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角是解题关键． （1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明全等即可． （2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可． （3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点A作轴点D，过点B作轴于点E， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ． 22. 已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN． （Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想； （Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数． 【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°． 【解析】 【分析】(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交AN于点C，得出,因此有BM⊥AN； (2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN； (3) 取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数. 【详解】解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN． 理由：如图1中， ∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN， ∴△MBP≌△ANP（SAS）， ∴MB＝AN． 延长MB交AN于点C． ∵△MBP≌△ANP， ∴∠PAN＝∠PMB， ∵∠PAN+∠PNA＝90°， ∴∠PMB+∠PNA＝90°， ∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°， ∴BM⊥AN． （Ⅱ）结论成立 理由：如图2中， ∵△APM，△BPN，都是等边三角形 ∴∠APM＝∠BPN＝60° ∴∠MPB＝∠APN＝120°， 又∵PM＝PA，PB＝PN， ∴△MPB≌△APN（SAS） ∴MB＝AN． （Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB． ∵△APM，△PBN都是等边三角形 ∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN ∵点C是PB的中点，且PN＝2PM， ∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN， ∵∠APC＝60°， ∴△APC为等边三角形， ∴∠PAC＝∠PCA＝60°， 又∵CA＝CB， ∴∠CAB＝∠ABC＝30°， ∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°． 【点睛】本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键. 六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 23. 如图，在中，，高、相交于点，，且． （1）请说明的理由； （2）动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； （3）在（2）的条件下，点是直线上的一点，且当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 【答案】（1） 证明：是高， ， 是高， ， ，， ， 在和中， ， ． （2）当的面积为时，的值为或 （3）或时，与全等 【解析】 【分析】（1）根据原理证明即可； （2）由题意，，当点在线段上时，， 当点在延长线上时，，根据三角形的面积列式解答即可． （3）分类解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，分类证明全等，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由知， ， ， ， 由题意，， 当点在线段上时，， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 解得：； 综上，当的面积为时，的值为或． 【小问3详解】 解：存在．理由如下： 如图中，当时， ，， ． ， ， 解得， 如图中，当时， ，， ． ， ， 解得， 综上所述，或时，与全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $