精品解析：山东省菏泽市鄄城县2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025—2026学年度第一学期阶段性质量检测 九年级数学试题 时间120分钟 总分120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置） 1. 下列关于的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一元二次方程有三个特点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；是整式方程，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、整理得，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、是一元二次方程，原选项中没有给出二次项系数不为0，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程配方法，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤．首先方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 3. 某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 560 1100 2750 正面朝上"的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.56 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（ ） A. 0.50 B. 0.55 C. 0.56 D. 0.60 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在0.55附近，即可得出答案． 【详解】解：当抛掷次数较小时，频率波动较大，当次数增加到2000次及以上时，频率稳定在0.55，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55． 故选：B． 4. 如图，在菱形中，，对角线，交于点O，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握“菱形的对角线平分一组对角”这一核心性质，利用该性质将已知角转化为所求角． 先明确菱形中，对角线是的角平分线；再根据已知，可得为的一半；计算得出的度数后，匹配选项即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴菱形的对角线平分一组对角，即平分； 又∵， ∴； 该结果与选项B一致， 故选：B． 5. 网球比赛时，发球往往是制胜的关键．如图，小军在打网球时，使球恰好能打过网，假设球沿直线前进而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，根据球网和击球时球拍垂直线段平行即可知，，根据其相似比即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 即， ∴． 故选：B． 6. 若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由整理得，根据关于的一元二次方程有一根为进行对比即可求解，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 解得， ∴一元二次方程必有一根为， 故选：． 7. 若、是方程的两根，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出，，，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，，， ∴ 故选：C． 8. 如果等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 4或7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程的根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．当底边为3，利用根的判别式的意义得到，解得；当腰为3时，把代入关于的方程得，解得． 【详解】解：当底边为3，两腰为关于的方程的两个根， ， 解得， 此时方程为，解得， 此时三边长为3，2，2，因为，所以能构成三角形； 当腰为3时，把代入关于的方程得， 解得， 此时方程为，解得，， 三角形三边分别为3、3、1， 综上所述，的值为4或3． 故选：C． 9. 如图，点E是的边的中点，连接与交于点O， 延长交的延长线于点F．若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．先根据平行四边形的性质得出，，，推出，，由E是的中点，证得，得出，由得出的值，利用“”证明，得出，进而求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， 又∵E是的中点， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③一定是等腰三角形；④．其中正确结论的序号为（　　） A. ①②③④ B. ①②④ C. ②④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得是等腰直角三角形，在中，，即可判断①；②先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，即可判断②；③根据P的任意性可以判断不一定是等腰三角形，即可判断③；④四边形为矩形，通过正方形的轴对称性，即可判断④． 【详解】解：∵于点E，于点F，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形 ∴ ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故①正确； ②∵，， ∴四边形为矩形， ∴四边形的周长， 故②正确； ③∵点P是正方形的对角线上任意一点，， ∴当或或时，是等腰三角形， 除此之外，不是等腰三角形， 故③错误． ④连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵正方形为轴对称图形， ∴， ∴， 故④正确； 故选：B． 【点睛】此题考查正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的运用，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 已知正方形ABCD的对角线AC的长为4，则正方形ABCD的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理可得AB长度． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°， ∵AC2=AB2+BC2， ∴16=2AB2， ∴AB=， 故答案为∶ ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，利用勾股定理求边长是解题的关键． 12. 若一元二次方程(x-3)2＝1的两根为Rt△ABC的两直角边的长，则Rt△ABC的面积是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】一元二次方程开平方求出两根，再根据三角形面积公式即可解得． 【详解】 ， 【点睛】此题考查了一元二次方程的根和直角三角形面积，解题关键是熟悉一元二次方程的解法． 13. 如图，在中， D在上，，，若，则的值为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形性质的应用．根据平行线的性质得出相似三角形，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方来求解． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则和的相似比为， ∴． 故答案为：． 14. 若，求代数式的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确用k表示x、y．由，设，，再代入化简求值即可． 【详解】解：由，设，（）， ∴， 故答案为：． 15. 如图所示，在平行四边形中，与相交于O，E为的中点， 连接并延长交于点F，则等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的性质求解线段比例关系．先根据平行四边形的性质得到边和线段的关系，进而证明两个三角形相似，再通过相似三角形的对应边成比例求出与的比例关系，最后结合与的关系求出与的比例关系． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵E为的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 由，，得，即， ∵，且， 设，则，， ∴． 故答案为：． 16. 如图，点E是矩形的边上一点，把沿对折，点D的对称点F恰好落在上，已知，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、翻折的性质、勾股定理等知识，先在中利用勾股定理求出线段，设，在中利用勾股定理列方程求出，最后由解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵是由翻折得来， ∴，， 设， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 用适当方法解下列方程∶ （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1） （2），； （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的解法，如直接开平方法、因式分解法、公式法等． （1）方程，可先将方程两边同时除以4，再用直接开平方法求解； （2）方程，尝试用因式分解法求解； （3）方程，用公式法求解； （4）方程，把看成一个整体，用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：（1），即， 或， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：， 设，则方程变形为， ， 即， 或， 或， 则或， 解得． 18. 如图，在中，，为上一点，连接交于点，． （1）求的值； （2）当时，求的长度． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例，即可得出结论； （2）利用得到，再利用对应边成比例，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴； （2） 证明：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角角边”证明三角形全等，再由全等三角形的性质容易得出结论； （2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键． 20. 九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态，在开关闭合的情况下，再闭合中的任意一个开关，小灯泡就会发光）． （1）若闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为 ； （2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表法或树状图法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式计算得出答案； （2）利用树状图列举出所有可能，进而求出答案． 【小问1详解】 若闭合，还剩下3个开关按键，只有闭合开关按键，灯泡才会发光， 所以P（灯泡发光）； 【小问2详解】 画树状图如下： 一共有12种不同的情况，其中有6种情况下灯泡能发光， 所以P（灯泡发光）． 21. 在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度． （1）第一小组的同学测得身高米的小明影子长为米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为18米，求旗杆的高度； （2）如图，第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树的高度，小丽在处竖立了一根标杆，小华从处走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点在一条直线上，，根据以上测量数据，求出树的高度． 【答案】（1）12米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据同一时刻，同一水平面，人的身高人的影子旗杆的高度旗杆的影子，即可得出答案； （2）过点作，垂足为，交于点，接着证明，利用求得答案即可． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为米，根据题意得， 解得， 答：旗杆的高度为12米． 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则 ∴四边形，四边形都是矩形， 则， ， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：树的高度为8.8米． 22. 已知关于x的方程：． （1）求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）设，是方程的两个根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明： ， 因为， 所以， 所以无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）m的值为3或 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）表示出根的判别式，证明大于零即可； （2）利用根与系数的关系得，，再将变形为，进而可得关于m的方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，是方程的两个根， 所以，， 又因为， 即， 所以， 解得或， 所以m的值为3或． 23. 如图1，已知中，顶点、在直线右侧，满足． （1）求证：； （2）连接，求的值； （3）如图2，过点作于点交边于点．当，且点在线段延长线上时，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，结合，可得结论． （2）由（1）可得：，可得，证明，可得，再进一步求解即可． （3）如图，过作于，证明，设，求解，可得，，，由，可得，证明，设，则，证明，求解，证明，进一步可得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过作于， ∵，，， ∴，设， ∴， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∵， ∴，而， ∴，， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：，经检验符合题意， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 24. 【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由，得到，再由，得到，从而得到，变形即可得到答案； （2）由矩形的性质得，，从而得到，即，由（1）可得，，从而得到，计算即可得到答案； （3）与关于直线对称，得，从而得到，再通过证明得到，由（1）可得，，设，解方程求出的值即可． 【详解】解：（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）∵ ∴ 在矩形中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 即： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ； （3）解：在矩形中， ∴ ∵与关于直线对称 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是的中点 ∴ 由（1）可得： ∴ 设 则 ∴ 解得：或(舍去负根) ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期阶段性质量检测 九年级数学试题 时间120分钟 总分120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置） 1. 下列关于的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 560 1100 2750 正面朝上"的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.56 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（ ） A. 0.50 B. 0.55 C. 0.56 D. 0.60 4. 如图，在菱形中，，对角线，交于点O，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 网球比赛时，发球往往是制胜的关键．如图，小军在打网球时，使球恰好能打过网，假设球沿直线前进而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h应为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 7. 若、是方程的两根，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如果等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 4或7 9. 如图，点E是的边的中点，连接与交于点O， 延长交的延长线于点F．若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 10. 如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③一定是等腰三角形；④．其中正确结论的序号为（　　） A. ①②③④ B. ①②④ C. ②④ D. ①②③ 二、填空题（每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 已知正方形ABCD的对角线AC的长为4，则正方形ABCD的边长为______． 12. 若一元二次方程(x-3)2＝1的两根为Rt△ABC的两直角边的长，则Rt△ABC的面积是_____． 13. 如图，在中， D在上，，，若，则的值为 _________． 14. 若，求代数式的值为_____． 15. 如图所示，在平行四边形中，与相交于O，E为的中点， 连接并延长交于点F，则等于_________． 16. 如图，点E是矩形的边上一点，把沿对折，点D的对称点F恰好落在上，已知，，则_______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 用适当方法解下列方程∶ （1）． （2）． （3）． （4）． 18. 如图，在中，，为上一点，连接交于点，． （1）求的值； （2）当时，求的长度． 19. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是矩形． 20. 九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态，在开关闭合的情况下，再闭合中的任意一个开关，小灯泡就会发光）． （1）若闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为 ； （2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表法或树状图法） 21. 在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度． （1）第一小组的同学测得身高米的小明影子长为米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为18米，求旗杆的高度； （2）如图，第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树的高度，小丽在处竖立了一根标杆，小华从处走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点在一条直线上，，根据以上测量数据，求出树的高度． 22. 已知关于x的方程：． （1）求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）设，是方程的两个根，且，求m的值． 23. 如图1，已知中，顶点、在直线右侧，满足． （1）求证：； （2）连接，求的值； （3）如图2，过点作于点交边于点．当，且点在线段延长线上时，求的长． 24. 【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $